Пересечение прямой с плоскостью 10 класс погорелов конспект урока

Обновлено: 07.07.2024

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Описание презентации по отдельным слайдам:

Приветствую вас на уроке Уроки №15-16 26.10.17г. Девиз урока Успешного усвоения учебного материала Малый человек и на горе мал; исполин велик и в яме. М.В.Ломоносов.

26.10.17 Закрепление нового материала КР Параллельность прямых, прямой и плоскости. Глава I. §1, пп.4-6

Цели урока: Рассмотреть случаи взаимного расположения прямых, прямых и плоскостей в пространстве. Дать определение параллельных прямых в пространстве, параллельных прямых и плоскостей. Формировать навык применения знаний теории при решении задач.

1. Назовите фигуры на чертеже: А В К М а) б) в) с г) д) N P S Повторение теоретического материала

Прямая АВ 1. Назовите фигуры на чертеже: А В К М а) б) в) с г) д) N P S Повторение теоретического материала

Прямая АВ 1. Назовите фигуры на чертеже: А В К М а) б) в) с г) д) N P S Повторение теоретического материала Прямая КМ

Прямая АВ 1. Назовите фигуры на чертеже: А В К М а) б) в) с г) д) N P S Повторение теоретического материала Прямая КМ Прямая с

Прямая АВ 1. Назовите фигуры на чертеже: А В К М а) б) в) с г) д) N P S Повторение теоретического материала Прямая КМ Прямая с Плоскость

Прямая АВ 1. Назовите фигуры на чертеже: А В К М а) б) в) с г) д) N P S Повторение теоретического материала Прямая КМ Прямая с Плоскость Плоскость NSP или плоскость

Повторение теоретического материала Аксиома 1. Через любые … …, не лежащие на одной прямой, … плоскость и притом … … .

Повторение теоретического материала Аксиома 1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна

Повторение теоретического материала Аксиома 2. Если две точки прямой … в плоскости, то все точки прямой … в этой плоскости.

Повторение теоретического материала Аксиома 2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

Р Повторение теоретического материала Если две плоскости имеют … … , то они имеют … …, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Р Повторение теоретического материала Если две плоскости имеют общую точку , то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Повторение теоретического материала Следствие 1 из аксиомы А1: Через прямую и … … на ней точку … плоскость и притом … одна. а А

Повторение теоретического материала Следствие 1 из аксиомы А1: Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость и притом только одна. а А

Повторение теоретического материала Следствие 2 из аксиомы А1: Через две … прямые проходит … и притом … одна. а

Повторение теоретического материала Следствие 2 из аксиомы А1: Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна. а

Введение теоретического материала Две прямые на плоскости: Имеют … точку Не имеют … точек Прямые … Прямые …

Введение теоретического материала Две прямые на плоскости: Имеют общую точку Не имеют общих точек Прямые пересекаются Прямые параллельны

Введение теоретического материала Определение: Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не имеют … … . а b

Введение теоретического материала Определение: Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек а

Введение теоретического материала Определение: Две прямые в пространстве называются параллельными, если они … в … плоскости и … … . а

Введение теоретического материала Определение: Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. а а ║b

Введение теоретического материала Аксиома ( … ) Через любую точку плоскости, не … на данной прямой, … …, параллельная данной, и притом … … . а b a…b А

Введение теоретического материала Аксиома параллельных прямых Через любую точку плоскости, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна. а b а║b Прямая а единственная! А

Введение теоретического материала Теорема: Через любую точку …, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, … данной, и притом … одна. а М

Введение теоретического материала Теорема: Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна. а b а║b, М Прямая b - единственная Доказательство теоремы на стр.9

Введение теоретического материала Опр.1: Два отрезка в пространстве называются параллельными, если они … на …прямых. а b а║b А В С D

Введение теоретического материала Задача. Запишите отрезки, параллельные отрезку АВ.

Введение теоретического материала Задача. Максимум – 3 балла Отрезку АВ параллельны: отрезки: А1В1, D1С1, DС.

Введение теоретического материала Опр.2: Два луча в пространстве называются параллельными, если они … на … прямых. а║b А

Введение теоретического материала Опр.2: Два луча в пространстве называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. а║b А

Введение теоретического материала Опр.3: Отрезок и луч в пространстве наз. параллельными, если они … на … прямых. а а║b А В С D

Введение теоретического материала Опр.3: Отрезок и луч в пространстве наз. параллельными, если они лежат на параллельных прямых. а а║b А В С D

Введение теоретического материала Задача. Параллельны: а) лучи: б) отрезки: в) прямые: г) прямая … и отрезок: … Запишите параллельные отрезки, лучи и прямые на чертеже:

Введение теоретического материала Задача. Найдите параллельные отрезки, лучи и прямые на чертеже: Параллельны а) лучи: DC и ЕF, СD и ЕF, СD и FЕ. DC и FЕ, Максимум – 4 балла

Введение теоретического материала Задача. Найдите параллельные отрезки, лучи и прямые на чертеже: Параллельны: б) отрезки: DC и ЕF Максимум – 1 балл

Введение теоретического материала Задача. Найдите параллельные отрезки, лучи и прямые на чертеже: Параллельны в) прямые DC и ЕF Максимум – 1 балл

Введение теоретического материала Задача. Найдите параллельные отрезки, лучи и прямые на чертеже: Параллельны: г) прямая а и отрезок АВ; прямая CD и отрезок FE; прямая FE и отрезок CD Максимум – 3 баллa

Плоскость можно задать: … … … …

Плоскость можно задать: … … … 3 точками, не лежащими на одной прямой

Плоскость можно задать: … 3 точками, не лежащими на одной прямой прямой и не лежащей на ней точкой …

Плоскость можно задать: … 3 точками, не лежащими на одной прямой прямой и не лежащей на ней точкой двумя пересекающимися прямыми

Плоскость можно задать: 3 точками, не лежащими на одной прямой прямой и не лежащей на ней точкой двумя пересекающимися прямыми двумя параллельными прямыми Максимум 4 балла

Взаимное расположение параллельных прямых и плоскости Лемма. Если одна из двух параллельных прямых … плоскость, то и другая прямая … эту плоскость

Введение теоретического материала Взаимное расположение параллельных прямых и плоскости Лемма. Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость Доказательство леммы на стр.10

Взаимное расположение трёх параллельных прямых на плоскости Если то а с b

Сформулируйте подобное утверждение для трёх прямых в пространстве Взаимное расположение трёх параллельных прямых на плоскости Если то а с b

Взаимное расположение трёх параллельных прямых в пространстве Если то а с b Доказательство леммы на стр.10 Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны

Взаимное расположение прямой и плоскости Давайте порассуждаем: а b Две прямые а и b параллельны. Прямая b лежит в плоскости . Сколько общих точек может иметь прямая а с плоскостью ?

Взаимное расположение прямой и плоскости … общие точки … общая точка … общих точек

Взаимное расположение прямой и плоскости Две общие точки Одна общая точка Нет общих точек Максимум-3 балла

Опр. Прямая и плоскость наз. параллельными, если они не имеют … … . Введение теоретического материала Взаимное расположение прямой и плоскости а

Взаимное расположение прямых и плоскостей Опр. Прямая и плоскость наз. параллельными, если они не имеют общих точек. а Приведите примеры параллельных прямых и плоскостей в окружающей нас обстановке

Взаимное расположение прямых и плоскостей Опр. Прямая и плоскость наз. параллельными, если они не имеют общих точек. а Можно ли использовать данное определение для доказательства факта параллельности прямой и плоскости

Как вы думаете будут располагаться прямая а и плоскость ? Взаимное расположение прямых и плоскостей Смоделируйте ситуацию на моделях прямых и плоскостей: 1) прямая а, не лежит в плоскости , 2) она параллельная прямой b, лежащей в плоскости . а b

Взаимное расположение прямых и плоскостей Теорема- признак параллельности прямой и плоскости: Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельная какой – нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, она параллельна данной плоскости а в

Смоделируйте ситуацию на моделях прямых и плоскостей: Плоскость проходит через прямую а, которая параллельная плоскости . 2)Плоскость пересекает плоскость Взаимное расположение прямых и плоскостей Как вы думаете будут располагаться прямая а и линия пересечения плоскостей ?

Важные утверждения: 1. Если плоскость, проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей … данной прямой Взаимное расположение прямых и плоскостей

Важные утверждения: 1. Если плоскость, проходит через прямую, параллельная другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой Взаимное расположение прямых и плоскостей

Смоделируйте ситуацию на моделях прямых и плоскостей: 1) Прямые а и b параллельны 2)Прямая а параллельная плоскости . Взаимное расположение прямых и плоскостей Как вы думаете могут располагаться прямая b и плоскость ?

Введение теоретического материала Взаимное расположение прямых и плоскостей Важные утверждения: 2. Если одна из двух параллельных прямых, параллельна плоскости, то другая прямая либо … данной плоскости, либо … в этой плоскости. либо а в а в

Введение теоретического материала Взаимное расположение прямых и плоскостей Важные утверждения: 2. Если одна из двух параллельных прямых, параллельна плоскости, то другая прямая либо параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости. либо а в а в

Формирование навыков решения задач Стр.13,№16 Прочитайте задачу. Что дано в задаче? Запишем условие задачи с помощью символов.

Формирование навыков решения задач Стр.13,№16 Дано: Решение: Заполняем пропуски в условии

Формирование навыков решения задач Стр.13,№16 Дано: Решение: Выполняем чертёж Максимум - 1 балл

Формирование навыков решения задач Стр.13,№16 Дано: Решение: Что имеем, если прямая с пересекает прямые а и в? Максимум - 1 балл

Формирование навыков решения задач Стр.13,№16 Дано: Решение: Проговорите, а затем запишите словесное решение задачи

Формирование навыков решения задач Стр.13,№16 Дано: Решение: Так как по условию прямая с пересекает прямые а и b, значит точки пересечения прямых лежат в плоскости и по А2 прямая с лежит в . Максимум - 1 балл

Формирование навыков решения задач Стр.13,№17 Прочитайте задачу. Что дано задаче? Запишем условие.

Формирование навыков решения задач Стр.13,№17 Дано: М- середина ВD N-середина DC Q-середина AC P-середина AB AD=12 cм ВС=14см. Найти: РMNQP Решение: Рис.17

Формирование навыков решения задач Стр.13,№17 Дано: М- середина ВD N-середина DC Q-середина AC P-середина AB AD=12 cм ВС=14см. Найти: РMNQP Решение: Что нужно знать, чтобы найти искомый периметр? Как найти требуемые величины? Что нужно использовать?

Формирование навыков решения задач Стр.13,№17 Дано: М- середина ВD N-середина DC Q-середина AC P-середина AB AD=12cм ВС=14см. Найти:РMNQP Решение: 1)NQ – средняя линия ∆ АDС. Какие сведения о средней линии нам нужны?

Решение: 1)NQ-средняя линия ∆ АDС: Формирование навыков решения задач Стр.13,№17 Дано: М- середина ВD N-середина DC Q-середина AC P-середина AB AD=12 cм, ВС=14см. Найти:РMNQP Аналогично найдите остальные стороны МРQP

Стр.13,№17 Дано: М- середина ВD N-середина DC Q-середина AC P-середина AB AD=12 cм, ВС=14см. Найти:РMNQP Решение: 1)NQ-средняя линия ∆АDС: 2)МР-средняя линия ∆АDВ: 3)МN-средняя линия ∆CDВ: 4)PQ-средняя линия ∆АBС: Ответ: 26см Максимум - 3 балла

Итоги урока 1. Прямая и плоскость могут не иметь … точек, иметь … общую точку, либо все точки прямой являются … … точками.

Итоги урока 1. Прямая и плоскость могут не иметь общих точек, иметь одну общую точку, либо все точки прямой являются их общими точками.

Итоги урока 2. Через три точки можно провести либо … плоскость, либо … множество плоскостей.

Итоги урока 2. Через три точки можно провести либо одну плоскость, либо бесконечное множество плоскостей.

Итоги урока 3. Две плоскости либо не … … точек, либо имеют общую … .

Итоги урока 3. Две плоскости либо не имеют общих точек, либо имеют общую прямую.

Оцените свое настроение по итогам урока: Все понятно Остались некоторые вопросы Требуется помощь Ваша самооценка за урок…

Подводим итоги урока: 1 уровень: Вы понимали все, что предлагалось на уроке. Все теоремы и определения понятны, рассмотренные вопросы усвоены, отличный результат. 2 уровень: сегодня некоторые вопросы остались непонятыми, неплохой результат. Рекомендации: Материал каждого урока разбирать по конспекту урока на сайте.

Д.Р №8 на 09.11.17 1. Теория: Разобрать конспект урока. Выучить формулировки опр. и теорем §1, стр.9-12. Стр.31, вопросы 1-7. 2. Практика. Стр.13, №21,22, 26 Дополнительные задачи с ответами Справочные материалы: таблицы, решения задач

Дополнительные задачи для устной работы

Справочные материалы: таблицы, решения задач

Формирование навыков решения задач Задача** Постройте возможные точки пересечения прямых с плоскостями граней куба.

Формирование навыков решения задач Постройте возможные точки пересечения прямых с плоскостями граней куба.

1).Неверно. Прямые не пересекаются, они не лежат в одной плоскости 2).Неверно. Прямые не пересекаются, они не лежат в одной плоскости

Прямая и плоскость могут иметь: Взаимное расположение прямой и плоскости P а А В а Одну общую точку Две общие точки Не иметь общих точек

Краткое описание документа:

Электронный конспект урока представляет из себя полное изложение урока с комментариями учителя и его вопросами по мере изложения материала.

Конспект содержит проверку домашней работы, оценку выполнения которой дают сами обучающиеся и экспресс- опрос по изучаемой теме (письменный или устный), целю которого является или закрепление пройденной теории или проверка знаний, обучающихся (свои ответы- пропущенные в заданиях слова или словосочетания, учащиеся записывают на специально подготовленных карточках, что экономит время проведения таких проверочных работ).

Традиционное объяснение нового материала учителем заменяется совместным процессом познания, в котором активно используется учебник, как теоретическая его часть, так и разобранные примеры решения заданий.

В течение всего урока за самостоятельное выполнение отдельных заданий или части этих заданий, учащиеся получают баллы, критерии постановки которых разрабатываются по количеству включаемых в блок заданий.

Средний результат по уроку выставляется в качестве одной из оценок за урок.

Электронный конспект урока вывешивается на сайте учителя сразу по прохождению урока и ученику предоставляется уникальная возможность просмотреть этот конспект дома, разобрать непонятые моменты, которые на уроке казались понятными.

Урок на сайте позволяет ученикам, пропустившим его, изучить материал самостоятельно.

Метапредметные: уметь устанавливать причинно – следственные связи, строить логическое рассуждение, умозаключение. Умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом.

Личностные: готовность к жизненному и личностному самоопределению, знания моральных норм, умения выделять нравственный аспект поведения и соотносить поступки и события с принятыми этическими нормами, ориентация в жизненных ролях и межличностных отношениях (формируются во время выполнения заданий, в которых школьникам предлагается дать собственную оценку)

Регулятивные: уметь поставить учебную цель, задачу на основе того, что уже известно и усвоено; уметь планировать последовательность своих действий для достижения конечного результата.

Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками; постановка вопросов.

Тип урока: урок совершенствования знаний, умений и навыков Оборудование: конспект, учебник, доска, чертёжные принадлежности

I. Организационный момент

Сообщить тему и цели урока.

II. Проверка домашнего задания

III. Актуализация знаний учащихся.

1) Какие прямые в пространстве называются параллельными?

2) Всегда ли через две параллельные прямые можно провести - плоскость? А через две пересекающиеся прямые? (Да, да.)

3) В пространстве дано число n параллельных между собой прямых. Известно, что никакие три из них не лежат в одной плоскости. Сколько различных плоскостей можно провести через эти прямые? (Число n плоскостей.)

4) Сформулируйте лемму о пересечении плоскости параллельными прямыми.

5) Каково может быть взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве?

6) В каком случае прямая параллельна плоскости?

IV. Решение задач

1) Решение у доски с записью в тетрадях

Дано: A ∈ α, В ∈ α, С ∈ α; AM = МС; BN = NC.

Доказательство: MN || АВ (по свойству средней линии), АВ ∈ α; MN || α по признаку.

Перед решением задачи № 26 дать понятие отрезка, параллельного плоскости.

Дано: АС || α, АВ ∩ α = М; СВ ∩ α = N (рис. 1).

Доказать: ΔАВС ~ ΔMBN.

1. Докажем, что AC || MN;

2. Так как АС || MN ⇒ ΔАВС ~ ΔMBN.

2) Самостоятельное решение задач по уровням

Отрезок АВ не пересекает плоскость α. Через середину отрезка С и концы отрезка А и В проведены прямые, параллельные между собой и пересекающие плоскость α в точках А1, В1, С1.

Вычислить длину отрезка СС1, если АА1 = 5, BB1 = 7.

Дано: АА1 = 5 см, ВВ1 = 7 см (рис. 2).

1. Докажем, что A1, С1 и В1 лежат на одной прямой. (АА1, ВВ1) = β, β ∩ а = А1В1. Докажем, что С1 ∈ А1В1.

2. Пусть С1 ∈ А1В1, тогда CC1 ∩ β = c, с - прямая пересечения; по лемме АА1 ∩ β. Получили противоречие, значит, С1 ∈ А1В1.

3. Так как А1А || ВВ1, значит, А1АВВ1 - трапеция, СС1 - средняя линия (Ответ: 6 см.)

Точка М лежит на отрезке АВ. Отрезок АВ пересекается с плоскостью α в точке В. Через А и М проведены параллельные прямые, пересекающие α в точках А1 и M1.

а) Докажите, что А1, М1 и В лежат на одной прямой.

б) Найдите длину отрезка АВ, если АА1 : ММ1 = 3 : 2, AM = 6.

Докажите: М1 ∈ А1В.

1. Предположим, М1 ∈ А1В, тогда значит, что противоречит условию.

V. Подведение итогов. Рефлексия

VI. Домашнее задание

I уровень: № 24, 28.

II уровень: № 31, дополнительная задача № 1.

Дано: ABCD - трапеция М ∉ (ABC) (рис. 4).

Доказать: AD || (ВМС).

Доказательство: AD || ВС (по определению трапеции); ВС ∈ (ВМС), значит AD || (ВМС) по признаку.

Дано: D ∈ AB, Е ∈ AC, DE = 5; (рис. 5).

2) по определению.

3) ΔАВС ~ ΔADE (по двум углам)

Дано: α || ВС, АК = ВК, К ∈ α (рис. 6).

Доказать: α ∩ АС = М; АМ = СМ.

Самостоятельное решение задач по уровням

Вычислить длину отрезка СС1, если АА1 = 5, BB1 = 7.

а) Докажите, что А1, М1 и В лежат на одной прямой.

б) Найдите длину отрезка АВ, если АА1 : ММ1 = 3 : 2, AM = 6.

Самостоятельное решение задач по уровням

Вычислить длину отрезка СС1, если АА1 = 5, BB1 = 7.

а) Докажите, что А1, М1 и В лежат на одной прямой.

б) Найдите длину отрезка АВ, если АА1 : ММ1 = 3 : 2, AM = 6.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

План конспект урока геометрии 9 класс Понятие вектора

План конспект урока №1 по геометрии 9 класс. Понятие вектора. Учебник Атанасяна.

Конспект урока геометрии 8 класс Теорема Пифагора

Конспект урока геометрии 8 класс "Площадь многоугольника"

Площадь – одно из важнейших понятий школьного курса математики. Практические умения и навыки, которые получают школьники при изучении этой темы, необхо.

Разработка урока содержит материалы для актуализации и первичного закрепления учебного материала.

Конспект урока геометрии по теме "Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые"

На данном уроке повторяются понятия смежных и вертикальных углов и их свойства: вводится понятие перпендикулярных прямых и решаются задачи на применение этих понятий.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Методическая разработка урока Взаимное расположение прямых и плоскостей

Цель урока:повторение и обобщение изученного материала по теме "Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве". Задачи. обучающие: рассмотреть возможные случаи взаимного располо.

Методическая разработка практического занятия по теме "Решение задач на перпендикулярность прямых и плоскостей"

Методическая разработка практического занятия "Решение задач на перпедикулярность прямых и плоскостей" предназначена для учителей школ и преподавателей 1 курса учреждений СПО. Образовательные задачи д.

векторы на плоскости.Уравнения прямой на плоскости.

Пособие для проведения самостоятельной работы по теме векторы. Краткая теория по теме векторы и уравнения прямой на .

Методическая разработка открытого урока. "Прямые и плоскости в пространстве"

Инновационные подходы к преподаванию связаны, прежде всего, с изменением роли учителя. В современных условиях очень важно, чтобы обучающиеся получали не готовые знания, а н.

презентация урока геометрии в 10 классе по теме "Перпендикулярность прямых и плоскостей"

Данная презентация в помощь учителю математики. Презентация по геометрии для учащихся 10 класса на тему "Перпендикулярность прямых и плоскостей".Автор учебника Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузо.

Презентация урока геометрии в 10 классе по теме "Признак перпендикулярности прямой и плоскости"

Презентация урока геометрии в 10 классе по теме "Признак перпендикулярности прямой и плоскости". Второй урок по теме "Перпендикулярность прямой и плоскости".

Уроки по геометрии 10 класс и другие полезные материалы для учителя геометрии, которые вы можете выбрать и скачать бесплатно в этом разделе.

Геометрия. Учебник для 10-11 классов. Погорелов А.В. 13-е изд. - М.: 2014 - 175 с.

Все учебники
Геометрия (базовый и углублённый уровни), 10 класс, Козлов В.В., Никитин А.А. и др./ Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А., Изд. "Русское слово” 2016
Геометрия. 10 класс. (углубленное и профильное обучение). Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. (2008, 223с.)
Геометрия. 10 класс. Базовый и углубленный уровни. Нелин Е.П., Лазарев В.А. М.: 2015. - 304 с.
Геометрия. 10-11 классы. (профильный уровень) Калинин А.Ю., Терёшин Д.А. (2011, 640с.)
Геометрия. 10-11 классы. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. (2014, 255с.)
Геометрия. 10-11 классы. Базовый уровень. Шарыгин И.Ф. М.: 2013. - 240 с.
Геометрия. 10-11 классы. Учебник (базовый и профильный уровни). Смирнова И.М., Смирнов В.А. (2008, 288с.)
Геометрия. Профильный уровень. 10 класс. Гусев В.А., Куланин Е.Д. и др. (2010, 311с.)
Геометрия. Углубленный уровень (учебник задачник), 10 класс,, Потоскуев Е.В., Звазич Л.И., Изд. "ДРОФА" 2014
Геометрия. Учебник для 10-11 классов. Погорелов А.В. 13-е изд. - М.: 2014 - 175 с.

Все темы
10 КЛАСС
§ 1. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия
1. Аксиомы стереометрии
2. Существование плоскости, проходящей через данную прямую и данную точку
3. Пересечение прямой с плоскостью
4. Существование плоскости, проходящей через три данные точки
5. Замечание к аксиоме I
6. Разбиение пространства плоскостью на два полупространства
Контрольные вопросы
Задачи
§ 2. Параллельность прямых и плоскостей
7. Параллельные прямые в пространстве
8. Признак параллельности прямых
9. Признак параллельности прямой и плоскости
10. Признак параллельности плоскостей
11. Существование плоскости, параллельной данной плоскости
12. Свойства параллельных плоскостей
13. Изображение пространственных фигур на плоскости
Контрольные вопросы
Задачи
§ 3. Перпендикулярность прямых и плоскостей
14. Перпендикулярность прямых в пространстве
15. Признак перпендикулярности прямой и плоскости
16. Построение перпендикулярных прямой и плоскости
17. Свойства перпендикулярных прямой и плоскости
18. Перпендикуляр и наклонная
19. Теорема о трех перпендикулярах
20. Признак перпендикулярности плоскостей
21. Расстояние между скрещивающимися прямыми
22. Применение ортогонального проектирования в техническом черчении
Контрольные вопросы
Задачи
§ 4. Декартовы координаты и векторы в пространстве
23. Введение декартовых координат в пространстве
24. Расстояние между точками
25. Координаты середины отрезка
26. Преобразование симметрии в пространстве
27. Симметрия в природе и на практике
28. Движение в пространстве
29. Параллельный перенос в пространстве
30. Подобие пространственных фигур
31. Угол между скрещивающимися прямыми
32. Угол между прямой и плоскостью
33. Угол между плоскостями
34. Площадь ортогональной проекции многоугольника
35. Векторы в пространстве
36. Действия над векторами в пространстве
37. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам
38. Уравнение плоскости
Контрольные вопросы
Задачи
11 КЛАСС
§ 5. Многогранники
39. Двугранный угол
40. Трехгранный и многогранный углы
41. Многогранник
42. Призма
43. Изображение призмы и построение ее сечений
44. Прямая призма
45. Параллелепипед
46. Прямоугольный параллелепипед
47. Пирамида
48. Построение пирамиды и ее плоских сечений
49. Усеченная пирамида
50. Правильная пирамида
51. Правильные многогранники
Контрольные вопросы
Задачи
§ 6. Тела вращения
52. Цилиндр
53. Сечения цилиндра плоскостями
54. Вписанная и описанная призмы
55. Конус
56. Сечения конуса плоскостями
57. Вписанная и описанная пирамиды
58. Шар
59. Сечение шара плоскостью
60. Симметрия шара
61. Касательная плоскость к шару
62. Пересечение двух сфер
63. Вписанные и описанные многогранники
64. О понятии тела и его поверхности в геометрии
Контрольные вопросы
Задачи
§ 7. Объемы многогранников
65. Понятие объема
66. Объем прямоугольного параллелепипеда
67. Объем наклонного параллелепипеда
68. Объем призмы
69. Равновеликие тела
70. Объем пирамиды
71. Объем усеченной пирамиды
72. Объемы подобных тел
Контрольные вопросы
Задачи
§ 8. Объемы и поверхности тел вращения
73. Объем цилиндра
74. Объем конуса
75. Объем усеченного конуса
76. Объем шара
77. Объем шарового сегмента и сектора
78. Площадь боковой поверхности цилиндра
79. Площадь боковой поверхности конуса
80. Площадь сферы
Контрольные вопросы
Задачи
§ 9. Избранные вопросы планиметрии
81. Решение треугольников
82. Вычисление биссектрис и медиан треугольника
83. Формула Герона и другие формулы для площади треугольника
84. Теорема Чевы
85. Теорема Менелая
86. Свойства и признаки вписанных и описанных четырехугольников
87. Углы в окружности
88. Метрические соотношения в окружности
89. О разрешимости задач на построение
90. Геометрические места точек в задачах на построение
91. Геометрические преобразования в задачах на построение
92. Эллипс, гипербола, парабола
Контрольные вопросы
Задачи

Построение сечений параллелепипеда

Уроки

На готовых моделях параллелепипедов учащиеся строят сечения с помощью ниток. Производят измерения и проверяют свойство диагоналей параллелепипеда.

Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Определение. Скрещивающиеся прямые − прямые, которые не лежат в одной плоскости.

Определение. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на паралельных прямых.

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Основная литература:

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия 10-11 кл.– М.: Просвещение, 2014. 255 с.

Дополнительная литература:

Зив Б. Г. Дидактические материалы. Геометрия 10 кл. – М.: Просвещение, 2014. 96 с.

Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В.Ф. Рабочая тетрадь. Геометрия 10 кл.-М.: Просвещение, 2013. 65 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Каково расположение 2-х прямых на плоскости (совпадают, пересекаются, параллельны) (рис. 1 а, б, в).

Перейдем к взаимному расположению 2-х прямых в пространстве. Как и в планиметрии, две различные прямые в пространстве либо пересекаются в одной точке, либо не пересекаются (не имеют общих точек). Но второй случай допускает две возможности: прямые лежат в одной плоскости (параллельны) или прямые не лежат в одной плоскости. В первом случае они параллельны, а во втором - такие прямые называются скрещивающимися.

Определение. Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости.

Проиллюстрировать данные определения наглядно нам поможет куб.

Давайте укажем некоторые пары параллельных прямых:

AB||A₁B₁; AB|| CD; A₁B₁||C₁D₁; CD||C₁D₁; AD||A₁D₁; BC||B₁D₁; AD||BC; A₁D₁||B₁C₁.

А теперь рассмотрим некоторые пары скрещивающихся прямых, как мы отметили, они не должны лежать в одной плоскости:

AB A₁D₁; AB B₁C₁; CD A₁D₁; CD B₁C₁; BC C₁D₁; BC A₁B₁; AB B₁C₁; AB A₁D₁.

Теорема. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

М и а задают плоскость α
Прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а, должна лежать в одной плоскости с точкой М и прямой а, т.е. в плоскости α.
В плоскости α через точку М проходит прямая, параллельная прямой а, и притом только одна- это нам известно из кураса планиметрии.
На чертеже эта прямая обозначена буквой b .
Следовательно, b-единственная прямая, проходящая через точку М паралельно прямой а.

Определение. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на паралельных прямых.

Аналогично определяется праралельность отрезка и прямой, а так же паралельность двух лучей.

Рассмотрим две параллельные прямые a и b и допустим, что прямая b пересекает плоскость α в точке M(а рис.).
Мы знаем, что через параллельные прямые a и b можно провести только одну плоскость β. (теорема)

Так как точка M находится на прямой b, то M также принадлежит плоскости β (б рис.). Если у плоскостей α и β есть общая точка M, то у этих плоскостей есть общая прямая p, которая является прямой пересечения этих плоскостей (4 аксиома).

Если в этой плоскости одна из параллельных прямых b пересекает прямую p, то вторая прямая a тоже пересекает p.

Точку пересечения прямых a и p обозначим за N.

Так как точка N находится на прямой p, то N находится в плоскости α и является единственной общей точкой прямой a и плоскости α.

Значит, прямая a пересекает плоскость α в точке N.

Нам известно из курса планиметрии, что если три прямые лежат в одной плоскости и две из них параллельны третьей, то эти две прямые параллельны. Похожее утверждение имеет место и для трех прямых в пространстве.

Теорема. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Доказательство:

Выберем точку M на прямой b.

Через точку M и прямую a, которая не содержит эту точку, можно провести только одну плоскость α (Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести только одну плоскость).

Возможны два случая:

1) прямая b пересекает плоскость α или 2) прямая b находится в плоскости α.

Пусть прямая b пересекает плоскость α.

Значит, прямая c, которая параллельна прямой b, тоже пересекает плоскость α. Так как a∥c, то получается, что a тоже пересекает эту плоскость. Но прямая a не может одновременно пересекать плоскость α и находиться в плоскости α. Получаем противоречие, следовательно, предположение, что прямая b пересекает плоскость α, является неверным. Значит, прямая b находится в плоскости α.

Теперь нужно доказать, что прямые a и b параллельны.

Пусть у прямых a и b есть общая точка L.

Это означает, что через точку L проведены две прямые a и b, которые параллельны прямой c. Но по второй теореме это невозможно. Поэтому предположение неверное, и прямые a и b не имеют общих точек.

Так как прямые a и b находятся в одной плоскости α и у них нет общих точек, то они параллельны.

Если две точки прямой лежат в данной плоскости, то по аксиоме А₂ вся прямая лежит в этой плоскости. Из этого следует, что возможны три расположения прямой и плоскости:

1. прямая и плоскость имеют только одну общую точку, т.е. пересекаются

1. прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Наглядный пример, который дает представление о прямой, параллельной плоскости- это линия пересечения стены и потолка-она параллельна плоскости пола.

Теорема (Признак параллельности прямой и плоскости)
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой на этой плоскости, то эта прямая параллельна данной плоскости.

Доказательство:
Доказательство проведем от противного. Пусть a не параллельна плоскости α, тогда прямая a пересекает плоскость в некоторой точке A. Причем A не находится на b, так как a∥b. Согласно признаку скрещивающихся прямых, прямые a и b скрещивающиеся.

Мы пришли к противоречию. Так как согласно данной информации a∥b, они не могут быть скрещивающимися. Значит, прямая a должна быть параллельна плоскости α.

Существует еще два утверждения, которые используются при решении задач:

Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо тоже параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Тип задания: Ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте

Дано: в ∆ АВС КМ − средняя линия, КМ=5; ACFE- параллелограмм.

Решение: Т.к. КМ − средняя линия, то АС= 2·КМ, то АС=2·7=10

Т.к. ACFE − параллелограмм, то АС=EF=10

Ответ: EF=10

Тип задания: Единичный / множественный выбор

Точка М не лежит в плоскости ромба ABCD. На отрезке АМ выбрана точка Е так, что MЕ:ЕА=1:3. Точка F – точка пересечения прямой МВ с плоскостью CDE. Найдите АВ, если AD= 8 cм.

Т.к. AD||BC||FK, следовательно, треугольники MFK и MBC- подобны (по трем углам). Значит

Читайте также: