Парабола конспект 11 класс

Обновлено: 06.07.2024

Основные определения

Параболой называется кривая второго порядка, состоящая из множества точек, которые удалены на равные расстояния от директрисы и вершины. Ее еще называют функцией квадратичного типа. Не следует путать с гиперболой, поскольку она является прямой второго порядка, но ее называют кубической.

Директриса — условная прямая, относительно которой строится кубическая парабола. Она не указывается на чертеже, но полезна при нахождении неизвестных параметров, когда требуется выполнить дополнительное построение.

Вершина (фокус) — ближайшая точка к директрисе. Из нее исходят симметричные ветви кривой, на которой располагаются точки, имеющие одинаковое значение ординат, а их абсциссы равны между собой по модулю и являются противоположными числами.

Полезные свойства

Парабола, как и любое геометрическое тело, обладает определенными свойствами:

1. Ветви проходят в зависимости от коэффициента, стоящего перед аргументом старшей степени A: A 0 - вверх.
2. Геометрическая фигура, принадлежащая к кривым ll порядка.
3. Симметричность.
4. Изделия, изготовленные в форме параболы, всегда отражают свет, аккумулируя его в одной точке — вершине.
5. Отрезок, соединяющий среднюю точку хорды и точку, где пересекаются прямые-касательные, всегда перпендикулярен директрисе.
6. Подобие всех кубических парабол.

Свойства помогают находить некоторые параметры кривой, доказывать утверждения и теоремы. Однако этого недостаточно для решения задач. Следует разобрать математические формы записи параболы.

Формула кривой

Формула параболы — математическая запись, описывающая ее поведение в пространстве. В физико-математических дисциплинах описаны 3 основные формы: каноническая, квадратичная и общая. В первом случае уравнение выглядит у^2=2nх, где у — ордината, х - абсцисса и n - параметр, равный отрезку между директрисой и вершиной кривой.

Следует отметить, что р>0. Чтобы вывести формулу параболы, следует применить алгоритм:

1. Записать формулу директрисы. Она параллельна OУ (ординате): х+n/2=0.
2. Координаты вершины - (n/2;0).
3. Отметить произвольную точку М на одной из ветвей кривой, а затем соединить с вершиной (фокусом - F). В результате получится отрезок FМ.
4. Длина FM: FM=[(х-n/2)^2+у^2]^0.5.
5. Также FМ записывается при помощи такого тождества: х+n/2.
6. Поставить знак равенства между тождествами в четвертом и пятом пунктах: х+n/2=[(х-n/2)^2+у^2]^0.5.
7. Возвести обе части во вторую степень, а затем привести подобные коэффициенты: y^2 = 2pn.

Вторая форма математической записи — квадратичная функция. Последняя имеет вид обыкновенного квaдратного трехчлена, т. е. y=Ах^2+Bx+C, где А, В и С — некоторые коэффициенты. Иногда формула рассматривается без дополнительных элементов В и С, т. е. y= ax^2 . В этом случае вершина кривой II порядка находится по формулам:

1. Абсцисса: х=-B/2A.
2. Ордината: у=-D/2A, где D - значение дискриминанта D=(-B)^2 - 4AC.

Методы нахождения координат вершины

Очень часто функция квадратичного типа при решении задач может быть представлена в некотором виде, который следует при помощи математических преобразований привести в читабельную форму. Последний термин обозначает, что требуется преобразовать формулу параболы для удобного построения таблицы и схематического представления. Делается эта операция по следующему алгоритму на примере z=t^2 +4t+2:

1. Приравнять к нулевому значению (квадратное уравнение): t^2 +4t+2=0.
2. Выполнить подготовительную операцию по выделению квадрата: t^2 +4t+2+2=0.
3. Выделить формулу сокращенного умножения — квадрат: (t+2)^2 -2=0.
4. Перенести "-2" вправо, т. е. (t+2)^2=2.
5. Найти вершину исходя из решения тождества без "-2".
6. Определить ординату z: z=-(2), т. е. число из правой части выражения, умноженное на -1.
7. Вычислить координату фокуса (смещение относительно начала координат): (t;z)=(-2;-2).

Методика позволяет найти фокус без дополнительных формул. Однако существует и другой способ определения вершины, где применяется производная функции:

1. Определить производную: z'=2t+4.
2. Приравнять z' к нулевому значению: 2t+4=0.
3. Найти корень: t=-2.
4. Подставить в первоначальную функцию для нахождения ординаты, т. е. z=-2.
5. Координата вершины: (-2;-2). Она совпадает со значением в предыдущем примере.

Существуют программные продукты для нахождения параметров параболы. Названия имеют английскую номенклатуру, т. е. "parabola".

График функции

Иногда требуется в заданиях графическое представление функции. Для этого необходимо следовать инструкции:

1. Найти вершину любым из способов.
2. Рассчитать координаты точек, в которых происходит пересечение с ординатами и абсциссами в прямоугольной системе координат.
3. Построить вспомогательную таблицу. Специалисты рекомендуют использовать для схематического построения не менее 4 точек, не считая вершины, а для точного - не менее 10. Кроме того, вершина всегда находится посередине значений таблиц.
4. Отметить каждую точку, а затем соединить плавными линиями.

График параболы хорош тем, что позволяет освободиться от большого количества расчетов, поскольку является симметричным. Для таблицы зависимостей достаточно подставить 2 одинаково противоположные величины, а иногда и разные числа превращают значения функции в одинаковые величины.

В первом случае для уравнения z=f^2+1 возможно взять 2 значения аргумента "f" - 1 и -1. При подстановке их в формулу z не изменится, т. е. z1=2 и z2=2. Во втором - 5 и 7 могут давать значение функции, равное 8.

Пример решения

Для практического применения теоретических знаний о параболе рекомендуется решать задачи. Условие одной из них формулируется следующим образом: дана формула функции параболы f=(t+2)^2 -3t^2+8t-5+3(t-1)^2, для которой необходимо подготовить данные, чтобы построить график в схематическом виде (8 значений). Решать ее следует по следующей методике:

1. Раскрыть скобки и привести подобные элементы: f=t^+4t-1.
2. Приравнять к 0: t^2+4t-1=0.
3. Выделить квадрат: (t+2)^2-5.
4. Перенос свободного члена: (t+2)^2=5.
5. Вершина с координатами: (-2;-5).
6. Вычислить нули функции с абсциссами: t^2+4t-1=0. Корни: t1=-2-(5)^0.5 и t2=-2+(5)^0.5. Координаты: (-2-(5)^0.5;0) и (-2+(5)^0.5;0)
7. Нули функции (пересечение оси ординат при t=0): (0+2)^2-5=-1. Координата - (0;-1).
8. Построение таблицы.

Можно приступать к построению графика. Специалисты рекомендуют чертить его при помощи карандаша. Отмечать следует только точки, указанные в таблице. Кроме того, необходимо указать на графике нули функции, а также ее пересечения с ординатой. Ветви искомой параболы будут направлены вверх, поскольку коэффициент при квадрате 1>0.

Таким образом, парабола — кривая ll порядка, которая используется для описания некоторых физических явлений, траекторий движения тел в пространстве, а также для описания квадратичной зависимости между двумя величинами.

Большинство явлений в нашей жизни можно описать математическим языком. И функция — отличный в этом помощник. Давайте рассмотрим ее квадратичную форму.

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Задать функцию означает определить правило в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

• Табличный способ. Помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
• Графический способ: наглядно.

• Аналитический способ, через формулы. Компактно и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
• Словесный способ.

Еще быстрее разобраться в теме и научиться строить график квадратичной функции можно на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.

Построение квадратичной функции

Квадратичная функция задается формулой y = ax 2 + bx + c, где x и y — переменные, a, b, c — заданные числа, обязательное условие — a ≠ 0. В уравнении существует следующее распределение:

• a — старший коэффициент, который отвечает за ширину параболы. Большое значение a — парабола узкая, небольшое — парабола широкая.
• b — второй коэффициент, который отвечает за смещение параболы от центра координат.
• с — свободный член, который соответствует координате пересечения параболы с осью ординат.

График квадратичной функции — парабола, которая имеет следующий вид для y = x 2 :

Точки, обозначенные зелеными кружками называют базовыми точками. Чтобы найти их координаты для функции y = x 2 , нужно составить таблицу:

x

y

Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент равен единице, то график имеет ту же форму, как y = x 2 при любых значениях остальных коэффициентов.

График функции y = –x 2 выглядит, как перевернутая парабола:

Зафиксируем координаты базовых точек в таблице:

x

y

Посмотрев на оба графика можно заметить их симметричность относительно оси ОХ. Отметим важные выводы:

• Если старший коэффициент больше нуля a > 0, то ветви параболы напрaвлены вверх.
• Если старший коэффициент меньше нуля a 2 + bx + c, для построения которой нужно решить квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. В процессе найдем дискриминант D = b 2 - 4ac, который даст нам информацию о количестве корней квадратного уравнения.

Рассмотрим три случая:

1. Если D 0,то график выглядит так:
   

1. Если D = 0, то уравнение имеет одно решение, а парабола пересекает ось ОХ в одной точке. Если a > 0, то график имеет такой вид:
2. Если D > 0, то уравнение имеет два решения, а парабола пересекает ось ОХ в двух точках, которые можно найти следующим образом:

Если a > 0, то график выглядит как-то так:

На основе вышеизложенного ясно, что зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, у нас есть понимание, как будет выглядеть график конкретной функции.

Координаты вершины параболы также являются важным параметром графика квадратичной функции и находятся следующим способом:

Ось симметрии параболы — прямая, которая проходит через вершину параболы параллельно оси OY.

Чтобы построить график, нам нужна точка пересечения параболы с осью OY. Так как абсцисса каждой точки оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y = ax 2 + bx + c с осью OY, нужно в уравнение вместо х подставить ноль: y(0) = c. То есть координаты этой точки будут соответствовать: (0; c).

На изображении отмечены основные параметры графика квадратичной функции:

Алгоритм построения параболы

Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. Наиболее удобный способ можно выбрать в соответствии с тем, как задана квадратичная функция.

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = ax 2 + bx + c.

Разберем общий алгоритм на примере y = 2x 2 + 3x - 5.

Как строим:

1. Определим направление ветвей параболы. Так как а = 2 > 0, ветви параболы направлены вверх.
2. Найдем дискриминант квадратного трехчлена 2x 2 + 3x - 5.

D = b 2 - 4ac = 9 - 4 * 2 * (-5) = 49 > 0

В данном случае дискриминант больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ. Чтобы найти их координаты, решим уравнение:

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = a * (x - x₀) 2 + y₀

Координаты его вершины: (x₀; y₀). В уравнении квадратичной функции y = 2x 2 + 3x - 5 при а = 1, то второй коэффициент является четным числом.

Для построения заполняем таблицу, подставляя значения x в формулу:

Отмечаем точки (0;0); (1;1); (-1;1) и т.д. на координатной плоскости (чем с меньшим шагом мы берем значения х ( в данном случае шаг 1 ), и чем больше берем значений х, тем плавнее будет кривая), получаем параболу:

Нетрудно заметить, что если мы возьмем случай , , , то есть , то мы получим параболу, симметричную относительно оси (ох). Убедиться в этом несложно, заполнив аналогичную таблицу:

Что же будет, если мы будем брать , , ? Как изменится поведение параболы? При парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):

На первой картинке (см. выше) хорошо видно, что точки из таблицы для параболы (1;1), (-1;1) трансформировались в точки (1;4), (1;-4), то есть при тех же значениях ордината каждой точки умножилась на 4. Это произойдет со всеми ключевыми точками исходной таблицы. Аналогично рассуждаем в случаях картинок 2 и 3.

1) Знак коэффициента отвечает за направление ветвей. При ветви направлены вверх, при — вниз.

2) Абсолютная величина коэффициента (модуля) отвечает за “расширение”, “сжатие” параболы. Чем больше , тем у’же парабола, чем меньше |a|, тем шире парабола.

Теперь давайте введем в игру (то есть рассматриваем случай, когда ), будем рассматривать параболы вида . Нетрудно догадаться (вы всегда можете обратиться к таблице), что будет происходить смещение параболы вдоль оси вверх или вниз в зависимости от знака :

Когда же парабола “оторвется” от оси и будет, наконец, “гулять” по всей координатной плоскости? Когда перестанет быть равным .

Здесь для построения параболы нам понадобится формула для вычисления вершины: , .

Так вот в этой точке (как в точке (0;0) новой системы координат) мы будем строить параболу , что уже нам по силам. Если имеем дело со случаем , то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, один вверх, – полученная точка – наша (аналогично шаг влево, шаг вверх – наша точка); если имеем дело с , например, то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, два – вверх и т.д.

Например, вершина параболы :

, . Теперь главное уяснить, что в этой вершине мы будем строить параболу по шаблону параболы , ведь в нашем случае.

При построении параболы после нахождения координат вершины очень удобно учитывать следующие моменты:

1) парабола обязательно пройдет через точку . Действительно, подставив в формулу x=0, получим, что . То есть ордината точки пересечения параболы с осью (оу), это . В нашем примере (выше), парабола пересекает ось ординат в точке , так как .

2) осью симметрии параболы является прямая , поэтому все точки параболы будут симметричны относительно нее. В нашем примере, мы сразу берем точку (0; -2) и строим ей симметричную относительно оси симметрии параболы, получим точку (4; -2), через которую будет проходить парабола.

3) Приравнивая к , мы узнаем точки пересечения параболы с осью (ох). Для этого решаем уравнение . В зависимости от дискриминанта, будем получать одну (, ), две (, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) . В предыдущем примере у нас корень из дискриминанта – не целое число, при построении нам особо нет смысла находить корни, но мы видим четко, что две точки пересечения с осью (ох) у нас будут (так как ), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.

Итак, давайте выработаем

Алгоритм для построения параболы, если она задана в виде

1) определяем направление ветвей ( а>0 – вверх, a

2) находим координаты вершины параболы по формуле , .

3) находим точку пересечения параболы с осью (оу) по свободному члену , строим точку, симметричную данной относительно оси симметрии параболы (надо заметить, бывает, что эту точку невыгодно отмечать, например, потому, что значение велико… пропускаем этот пункт…)

4) В найденной точке – вершине параболы (как в точке (0;0) новой системы координат) строим параболу . Если , то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с

5) Находим точки пересечения параболы с осью (оу) (если они еще сами “не всплыли”), решая уравнение

Замечание 1. Если же парабола изначально нам задана в виде , где – некоторые числа (например, ), то построить ее будет еще легче, потому что нам уже заданы координаты вершины . Почему?

Возьмем квадратный трехчлен и выделим в нем полный квадрат: Посмотрите, вот мы и получили, что , . Мы с вами ранее называли вершину параболы , то есть теперь , .

Например, . Отмечаем на плоскости вершину параболы , понимаем, что ветви направлены вниз, парабола расширена (относительно ). То есть выполняем пункты 1; 3; 4; 5 из алгоритма построения параболы (см. выше).

Замечание 2. Если парабола задана в виде, подобном этому (то есть представлен в виде произведения двух линейных множителей), то нам сразу видны точки пересечения параболы с осью (ох). В данном случае – (0;0) и (4;0). В остальном же действуем согласно алгоритму, раскрыв скобки.

Цель: познакомить учащихся с квадратичной функцией, ее графиком и свойствами.

Образовательная – актуализовать ранее полученные знания о функции и ее графике, дать определение квадратичной функции, сформулировать свойства.

Развивающая ­– развить навыки анализа и аналогии проведения исследования функции, развить грамотную математическую речь.

Воспитательная – воспитывать трудолюбие, умение выслушать, применять знания.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Изучение нового материала

Закрепление новых знаний

Подведение итогов урока

Информация о домашнем задании

Оборудование: доска, карточки с заданиями

Организационный момент.

Актуализация знаний

Что такое функция?

Функцией называют такую зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у.

Что является графиком функции?

Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты- соответствующим значениям функции.

Какие графики вы уже изучили? ( ).

Изучение нового материала

Рассмотрим квадратичную функцию .

Мы получаем формулу вида , где .Значит , график функции есть парабола, которую можно получить из графика функции с помощью двух параллельных переносов - сдвига вдоль оси х и сдвига вдоль оси у. Вершина параболы является точка .

Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида , где х - независимая переменная, a,b и c- некоторые числа, причем .

Если старший коэффициент a0, то ветви параболы направлены вверх.

Если старший коэффициент a

Алгоритм построения графика:

Определить направление ветвей параболы;

Найти координаты вершины параболы и отметить ее на координатной плоскости, определить ось симметрии параболы

Найти нули функции;

Если нулей функции нет, то определить точки пересечения с осью Оу, отметить ей симметричную.

Свойства функции при :

1. Ветви параболы направлены вверх.

2. Областью определений является множество действительных чисел.

3. Областью значений функции является промежуток .

4. Функция возрастает в промежутке и убывает на промежутке .

5. Наименьшее значение функция принимает в точке , наибольшего значения функция не имеет.

Свойства функции при :

1. Ветви параболы направлены вниз.

2. Областью определений является множество действительных чисел.

3. Областью значений функции является промежуток .

4. Функция возрастает в промежутке и убывает на промежутке .

5. Наибольшее значение функция принимает в точке , наименьшего значения функция не имеет.

Уравнение квадратичной функции имеет вид – в этом уравнении – координаты вершины параболы или в уравнении квадратичной функции , и второй коэффициент – четное число.

Знаки функции.

Нули функции разбивают ее область определения на промежутки, на каждом из которых функция сохраняет постоянный знак.

Поскольку ордината (у) любой точки, лежащей на оси ОХ равна нулю, чтобы найти координаты точек пересечения графика функции с осью ОХ, нужно решить уравнение .

В случае квадратичной функции нужно решить квадратное уравнение .

В процессе решения квадратного уравнения мы находим дискриминант: , который определяет число корней квадратного уравнения. И здесь возможны три случая:

1. Если ,то уравнение не имеет решений, и, следовательно, квадратичная парабола не имеет точек пересечения с осью ОХ. Если ,то

2. Если ,то уравнение имеет одно решение, и, следовательно, квадратичная парабола имеет одну точку пересечения с осью ОХ, квадратичная функция обращается в нуль в одной точке . числовая ось разбивается на два промежутка и , однако знак функции в этих промежутках один и тот же, зависящий от старшего коэффициента а.

Если , то

3. Если имеет два решения, и, следовательно, квадратичная парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ:

Если , то

Промежутки монотонности.

Монотонная функция — это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.

Теорема. Точка делит числовую ось на два промежутка, на каждом из которых квадратичная функция монотонна. Характер монотонности зависит от знака старшего коэффициента a. При a 0 квадратичная функция убывает на промежутке ( ] и возрастает на промежутке [ ).

Наибольшее и наименьшее значения.

Функция , заданная на всей числовой оси, принимает в точке свое наименьшее значение, равное . Наибольшего значения y не имеет. При a происходит обратное: при y принимает наибольшее значение, а наименьшего значения у нее нет.

Закрепление новых знаний.

Как видно из графика , он симметричен относительно оси Оу. Ось Оу называется осью симметрии параболы. Это значит, что если провести на графике прямую параллельную оси Ох выше это оси. То она пересечет параболу в двух точках. Расстояние от этих точек до оси Оу будет одинаковым.

Ось симметрии разделяет график параболы как бы на две части. Эти части называются ветвями параболы. А точка параболы которая лежит на оси симметрии называется вершиной параболы. То есть ось симметрии проходит через вершину параболы. Координаты этой точки (0;0).

Построим для примера график функции .

Вспомним линейные преобразования графиков функций. Чтобы построить график функции , нужно сначала построить график функции , затем ординаты всех точек графика умножить на 2, затем сдвинуть его вдоль оси ОХ на 1 единицу вправо, а затем вдоль оси OY на 4 единицы вверх:

Используя шаблон параболы , постройте график функции:

а) f(x)= x² - 3; б) f(x)= - x²+4; в) f (х) = (х-2)²; г) f(x) =(х-2)²-4.

План исследования функции

1. Определить вид функции, если возможно.

Дана функция вида

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как a0.

2. Найти область определения функции.

D(y)  (-∞;+∞)

3. Найти область значения функции

E(y)  (-4;+∞)

4. Найти нули функции (точки пресечения с осью х), если возможно.

x₁=0 или x+4 =0

5. Определить, при каких значениях аргумента х значения функции у0, при каких значениях аргумента у .

у0 при х

у при х0

6. Определить, является ли функция возрастающей (убывающей) или указать промежутки возрастания (убывания).

Вершина параболы имеет координаты (-2; -4). Следовательно, функция убывает на промежутке

(-∞; -2], возрастает на промежутке [-2; +∞)

7. Начертить график.

Подведение итогов урока.

Информация о домашнем задании.

Карточки с заданиями.

1.Построить график функции у= 0,5 (х-1) 2 и описать ее свойства.

2.Определить область значений функций:

3.Построить график у=-2х 2 +8х-5, определить ООФ и найти наименьшее и наибольшее значение функции.

Урок: как построить параболу или квадратичную функцию?

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Парабола — это график функции описанный формулой ax 2 +bx+c=0.
Чтобы построить параболу нужно следовать простому алгоритму действий:

1 ) Формула параболы y=ax 2 +bx+c,
если а>0 то ветви параболы направленны вверх,
а 2 +bx+c=0;

Виды уравнений:

a) Полное квадратное уравнение имеет вид ax 2 +bx+c=0 и решается по дискриминанту;
b) Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0:
ax 2 +bx=0,
х(ax+b)=0,
х=0 и ax+b=0;
c)Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a);

4) Найти несколько дополнительных точек для построения функции.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

И так теперь на примере разберем все по действиям:
Пример №1:
y=x 2 +4x+3
c=3 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=3. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4-8+3=-1 вершина находится в точке (-2;-1)
Найдем корни уравнения x 2 +4x+3=0
По дискриминанту находим корни
a=1 b=4 c=3
D=b 2 -4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x₁=(-4+2)/2=-1
x₂=(-4-2)/2=-3

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=-2

х -4 -3 -1 0
у 3 0 0 3

Подставляем вместо х в уравнение y=x 2 +4x+3 значения
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=-2

Пример №2:
y=-x 2 +4x
c=0 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=0. Ветви параболы смотрят вниз так как а=-1 -1 2 +4*2=-4+8=4 вершина находится в точке (2;4)
Найдем корни уравнения -x 2 +4x=0
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0.
х(-x+4)=0, х=0 и x=4.

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=2
х 0 1 3 4
у 0 3 3 0
Подставляем вместо х в уравнение y=-x 2 +4x значения
y=0 2 +4*0=0
y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=2

Пример №3
y=x 2 -4
c=4 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=4. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 вершина находится в точке (0;-4)
Найдем корни уравнения x 2 -4=0
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a)
x 2 =4
x₁=2
x₂=-2

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=0
х -2 -1 1 2
у 0 -3 -3 0
Подставляем вместо х в уравнение y= x 2 -4 значения
y=(-2) 2 -4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=0

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE, чтобы быть в курсе всех новинок и готовится с нами к экзаменам.

Читайте также:

  
• Конспект занятия на тему дом и его части в старшей группе
  
• Иррациональные неравенства конспект кратко
  
• Внешняя политика во время дворцовых переворотов конспект
  
• Ковалентная полярная химическая связь конспект
  
• Конспект нод в гости к бабушке загадушке