Основные свойства четырехугольников конспект по видам

Обновлено: 05.07.2024

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Параллелограмм

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.

Если в условии задачи дано, что АВСD – параллелограмм, то можно использовать его свойства:

АВ || CD , ВС || АD

АВ = CD , ВС = АD

А = C , В = D

А + В = 180° и т. д. ( сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;)

АО = ОC , ВО = ОD

АВСD –параллелограмм

Если в задаче необходимо доказать, что АВСD – параллелограмм, то применяют один из признаков:

АВ || СD и ВС || СD

АВСD – параллелограмм

АВ || СD и АВ = СD

АВСD – параллелограмм

АВ = СD и АD = ВС

АВСD – параллелограмм

АО = ОС и ВО = ОD

АВСD – параллелограмм

Свойства равнобокой трапеции

( АВСD – равнобокая трапеция, боковые стороны =)

3) АВМ = DСN

Признаки равнобокой трапеции. АВСD – трапеция.

А = D или В = С

АВСD – равнобокая трапеция

Прямоугольник

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства прямоугольника

Любой прямоугольник является параллелограммом, значит, обладает всеми его свойствами:

АВСD – прямоугольник

АВ || CD , ВC || АD ,

АВ = СD , ВС = АD ,

АО = ОС , ВО = ОD

Кроме того, у прямоугольника имеются свои свойства:

АВСD – прямоугольник

а) А = В = C = D = 90 (все углы прямые)

б) АС = ВD (диагонали равны)

Признаки прямоугольника

АВСD – параллелограмм

А = В = C = D = 90°

АВСD –прямоугольник

АВСD – параллелограмм и АС = ВD

АВСD –прямоугольник

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба

АВСD – ромб

АВ || CD , ВC || АD ,

А = С , В = D ,

АО = ОС , ВО = ОD

АВСD – ромб

АВ = ВC = CД = АD

АС ВD

АС – биссектриса А

ВD – биссектриса В

все стороны равны

каждая диагональ – биссектриса углов ромба

Признаки ромба

АВ = ВС = СD = АD

АВСD – ромб

АВСD – параллелограмм АС ВD

АВСD – ромб

АВСD – параллелограмм

и АС – биссектриса А

АВСD – ромб

Свойства квадрата

АВСD – квадрат

АВ || CD , ВC || АD

АВ = ВC = CD = АD

все стороны равны

А = В = C = D = 90°

все углы прямые

АО = ВО = CО = DО

отрезки диагоналей равны

АС ВD

диагонали перпендикулярны

АС , ВD , СА , DВ – биссектриса угла

каждая диагональ является биссектрисой угла

подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
по всем предметам 1-11 классов

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Сейчас обучается 933 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Сейчас обучается 683 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Инструменты онлайн-обучения на примере программ Zoom, Skype, Microsoft Teams, Bandicam

Курс добавлен 31.01.2022
Сейчас обучается 24 человека из 17 регионов

ЗП до 91 000 руб.
Гибкий график
Удаленная работа

Дистанционные курсы для педагогов

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 610 359 материалов в базе

Материал подходит для УМК

Глава 5. Четырехугольники

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

19.02.2018 1118
DOCX 154 кбайт
20 скачиваний
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Губанова Ирина Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

40%

Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
Для учеников 1-11 классов

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Школы граничащих с Украиной районов Крыма досрочно уйдут на каникулы

Время чтения: 0 минут

Время чтения: 2 минуты

Минтруд предложил упростить направление маткапитала на образование

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор предложил дать возможность детям из ДНР и ЛНР поступать в вузы без сдачи ЕГЭ

Время чтения: 1 минута

Отчисленные за рубежом студенты смогут бесплатно учиться в России

Время чтения: 1 минута

В приграничных пунктах Брянской области на день приостановили занятия в школах

Время чтения: 0 минут

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Свойства четырехугольников. Виды четырехугольников. Свойства произвольных четырехугольников. Свойства параллелограмма. Свойства ромба. Свойства прямоугольника. Свойства квадрата. Свойства трапеции.

Виды четырехугольников:

Свойства произвольных четырехугольников:

Свойства параллелограмма:

Свойства ромба:

Свойства прямоугольника:

Свойства квадрата:

Свойства трапеции:

Дополнительная информация от Инженерного cправочника DPVA, а именно - другие подразделы данного раздела:

Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста.
Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.

Образовательная: закрепить и систематизировать знания о параллелограмме, трапеции, ромбе, прямоугольнике, квадрате.
Развивающая: развивать коммуникативные способности учащихся, математически грамотную речь, познавательный интерес.
Воспитывающая: воспитывать аккуратность письма, стремление к самосовершенствованию, настойчивость в достижении поставленной цели.

Методическое оснащение урока:

материально-техническая база:

кабинет математики
компьютер
мультимедийный проектор
интерактивная доска

дидактическое обеспечение:

карточки для рефлексии
карточки для самостоятельной работы
карточки для письменных задач у доски
карточки для домашнего задания

словесные: беседа
наглядные
практические: упражнения

Формы организации познавательной деятельности учащихся:

фронтальная работа с классом
работа в группах
самостоятельная работа

Планируемые образовательные результаты:

- устанавливать связь между целью учебной деятельности и ее мотивом;

- устанавливать связь между целью деятельности и ее результатом;

- оценивать усваиваемое содержание;

- стремиться развивать внимание, память, логическое мышление.

- уметь использовать изученный материал при решении задач;

- уметь отвечать на устные вопросы по данной теме.

- определять и формулировать цель деятельности на уроке;

- высказывать свое предположение на основе учебного материала;

- прогнозировать результат деятельности, контролировать и оценивать собственную деятельность и деятельность одноклассников, при необходимости вносить корректировки.

- ориентироваться в учебнике;

- ориентироваться в своей системе знаний (определять границы знания/незнания);

- проводить анализ учебного материала;

- слушать и понимать речь других;

- уметь с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли;

- аргументируют свою точку зрения, при возникновении спорных ситуаций не создавать конфликтов.

Методы и формы обучения: частично-поисковый; индивидуальная, групповая. фронтальная, самостоятельная.

Ход урока время

1. Организационный момент 2 мин

3. Сегодня на уроке 1 мин

4. Повторение ранее изученного материала 25 мин

4.1 Работа в группах

4.2. Устный опрос

4.3. Решение письменных задач

5. Самостоятельная работа 8 мин

6. Рефлексия 2 мин

7. Подведение итогов урока 5 мин

Староста (готовность класса к уроку, отсутствующие, наличие домашнего задания)

- Добрый день ребята. Сегодня у нас с вами урок необычный, у нас на уроке присутствуют гости. Я бы очень хотела бы вас попросить, чтобы вы не стеснялись, работали в полную силу: правильно и быстро отвечали на вопросы, правильно и с объяснением (грамотно) решали бы задания. Договорились. Посмелее. Я вам желаю удачи.

Ребята как вы думаете почему я выбрала эпиграфом к нашему уроку именно эти слова? Какие знания, мы с вами должны применить сегодня наделе? (знания об четырёхугольниках).

Мы с вами изучили большую главу: Четырёхугольники и их свойства.

Как вы думаете, чем мы с вами займёмся сегодня? Какова цель нашего урока?

(Систематизация и обобщение знаний об четырёхугольниках)

(Повторение: Что такое многоугольник, что такое четырёхугольник, виды четырёхугольников и их свойства).

Учитель: Посмотрим, как ваши знания о четырёхугольниках помогут вам сегодня на уроке отвечать на устные вопросы и решать задачи.

3. Актуализация знаний

Сегодня на уроке:

Работа в группах
Устные упражнения
Письменные задания
Самостоятельная работа

Повторение ранее изученного материала

Класс разбивается на группы. Все 5 групп выбирают себе четырёхугольник (параллелограмм, трапеция, ромб, прямоугольник, квадрат), про который они должны будут рассказать: определение, свойства, если есть признаки, виды, т. е. всё что знают о данной фигуре. Какая фигура достанется группе заранее неизвестно. Название фигур напечатано на листах, дети выбирая 1 лист из 5 не видят название (листы перевёрнуты).
Пока мы работаем устно, 2 человека работают у доски (решить задачу). После чего задачи разбираются устно и записываются в тетрадь.

Задача 1: Найдите угол AOD прямоугольника ABCD, если диагонали прямоугольника пересекаются в точке О.

Задача 2: Найдите тупой угол ромба, если высота, проведённая из этого угла к соседней стороне, делит этот угол на два, один из которых равен 20º.

Какие из следующих утверждений верны:

В прямоугольнике противоположные стороны попарно параллельны.+
Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся в отношении 1:2.
Стороны прямоугольника равны.
Если один из углов параллелограмма прямой, то он является прямоугольником.+
Если у четырёхугольника стороны равны, то диагонали тоже равны.
Если диагонали четырёхугольника перпендикулярны, то он является ромбом.
Если диагонали параллелограмма равны, то он является прямоугольником. +
Существует трапеция, у которой три стороны равны.+

Вставьте пропущенное слово:

1) Если у четырёхугольника все углы равны, то они …(прямые)

2) Четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны, называется ……… ( трапецией )

3) если диагонали ромба равны, то он является ….( квадратом );

4) отрезок, соединяющий две несоседние вершины n-угольника, называется …..( диагональю )

5) Четырёхугольник, у которого диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, является ……..( параллелограммом )

6) параллельные стороны трапеции называются …….( основаниями )

7) Параллелограмм, у которого диагонали равны, является… ( прямоугольником)

8) сумма длин всех сторон n-угольника называется …..( периметром )

Ответами на следующие задания будут числа.

1) Стороны параллелограмма 3 и 4. Найти его периметр. ( 14)

2) Сумма двух углов параллелограмма = 120°. Найти больший угол параллелограмма ( 120°)

3) Диагональ квадрата = 5. Чему равна вторая его диагональ? ( 5)

4) Периметр ромба = 30. Найти его сторону (7,5 )

Работа на готовых чертежах:

Задача 1: Найдите периметр параллелограмма

ABCD, изображенного на рисунке.

Задача 2: Найдите больший угол

Задача 3: Найдите углы трапеции.

Задача 4: Найдите углы ромба.

Задача 5: Найдите углы параллелограмма.

Проверяем задачи, решённые на доске (переписываем в тетради)

Найдите боковые стороны равнобедренной трапеции ABCD , если её основания BC и AD равны соответственно 6 см и 12 см, а угол B равен 120º.

2.Периметр параллелограмма MNKP равен 30 см, а периметр треугольника MNK равен 26 см. Найдите длину MK.

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек (вершин) и четырех отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

Четырехугольники бывают выпуклые ( A B C D ) и невыпуклые ( A 1 B 1 C 1 D 1 ) .

В задачах ОГЭ встречаются выпуклые четырехугольники, поэтому подробно изучим их.

Смежные стороны – соседние стороны, которые выходят из одной вершины. Пары смежных сторон: A B и A D , A B и B C , B C и C D , C D и A D .

Противолежащие стороны – несмежные стороны (соединяют разные вершины). Пары противолежащих сторон: A B и C D , B C и A D .

Противолежащие вершины – вершины, не являющиеся соседними (лежат друг напротив друга). Пары противолежащих вершин: A и C , B и D .

Диагонали четырехугольника – отрезки, соединяющие противолежащие вершины. A C и B D – диагонали четырехугольника A B C D .

Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются в одной точке.

Площадь произвольного выпуклого четырехугольника можно найти по формуле:

S = 1 2 d 1 d 2 ⋅ sin φ

где d 1 и d 2 – диагонали четырехугольника, φ – угол между диагоналями (острый или тупой – не важно).

Рассмотрим более подробно некоторые виды выпуклых четырехугольников.

Класс параллелограммов : параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат.

Класс трапеций : произвольная трапеция, прямоугольная трапеция, равнобокая (равнобедренная) трапеция.

Параллелограмм – четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

Противолежащие стороны равны.
Противоположные углы равны.
Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180 ° .
Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон. d 1 2 + d 2 2 = 2 ( a 2 + b 2 )

Площадь параллелограмма можно найти по трём формулам.

Как произведение стороны и высоты, проведенной к ней.

Поскольку стороны имеют разные длины, то высоты, которые к ним проведены, тоже будут иметь разные длины.

Как произведение двух смежных (соседних) сторон на синус угла между ними.

Как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.

Ромб – параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба:

Диагонали пересекаются под прямым углом.
Диагонали являются биссектрисами углов, из которых выходят.
Сохраняются все свойства параллелограмма.

Площадь ромба можно найти по трём формулам.

Как произведение стороны ромба на высоту ромба.

Как квадрат стороны ромба на синус угла между двумя сторонами.

Как полупроизведение диагоналей ромба.

Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы равны 90 ° .

Свойства прямоугольника:

Диагонали прямоугольника равны.
Сохраняются все свойства параллелограмма.

Площадь прямоугольника можно найти по двум формулам:

Как произведение двух смежных (соседних) сторон прямоугольника.

Как полупроизведение диагоналей (так как они обе равны, обозначим их буквой d ) на синус угла между ними.

Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата:

Сохраняет свойства ромба.
Сохраняет свойства прямоугольника.

Площадь квадрата можно вычислить по двум формулам:

Как квадрат стороны.

Как полупроизведение квадратов диагоналей (диагонали в квадрате равны).

Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет.

Стороны, которые параллельны друг другу называются основаниями , другие две стороны называются боковыми сторонами .

B C и A D – основания, A B и C D – боковые стороны трапеции A B C D .

Свойства трапеции:

сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180 ° .

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Средняя линия параллельна основаниям. Её длина находится по формуле: m = a + b 2

Площадь трапеции можно найти по двум формулам:

Как полусумму оснований на высоту. Поскольку полусумма оснований есть средняя линия трапеции, можно найти площадь трапеции как произведение средней линии на высоту.

Как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.

Виды трапеций

Прямоугольная трапеция – трапеция, у которой два угла прямые.

Равнобокая (равнобедренная) трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны.

Читайте также: