Опорный конспект методика обучения первообразной

Обновлено: 07.07.2024

Методической целью урока является использование инновационных форм и методов на занятиях, анализ дидактической эффективности использования ТС обучения, обобщение приемов научной организации и контроля учебного процесса. Повышение мотивации к обучению с помощью методической редукции, основанной на схемо-знаковой визуализации учебного материала с использованием ИКТ. Повышать интерес к предмету, упрощение восприятие объемного материала посредством использования схем и таблиц. Также для эффективности образовательного процесса используются опорные конспекты, дискуссия, презентация, видеофрагменты.

Структура урока
Технологическая карта урока
Результаты апробации
Литература

Организационный момент
Постановка учебной проблемы
Формулирование проблемы, планирование деятельности
Открытие новых знаний
Первичная проверка понимания материала
Закрепление полученных знаний
Рефлексия учебной деятельности
Задание на дом

Технологическая карта урока

Изучение и закрепление нового материала

Фронтальная и индивидуальная.

Введение понятия первообразной и обучение нахождению первообразной,как действию,обратному нахождению производной.

2. Развивающие: развитие у учащихся умений анализировать, устанавливать связи, причины и следствия;развитиевнимания,мышления,самостоятельности,позновательного интереса. ;формирование приемов обобщения, алгоритмизации.

3. Воспитательные: формирование у студентов ответственного отношения к учению; воспитывать умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие, воспитывать ответственность и аккуратность.

Основные термины, понятия

Дифференцирование,первообразная,производная,физический смысл производной

определение первообразной
первообразная определяется неоднозначно

находить первообразные функции в простейших случаях
проверять, является ли функция F(x) первообразной для функции f(х) на данном промежутке

- независимость и критичность мышления;

- воля и настойчивость в достижении цели.

сформированность представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, идеях и методах математики;
понимание значимости математики для научно-технического прогресса, сформированность отношения к математике как к части общечеловеческой культуры через знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей;
развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для будущей профессиональной деятельности, для продолжения образования и самообразования;
овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для освоения смежных естественно-научных дисциплин и дисциплин профессионального цикла, для получения образования в областях, не требующих углубленной математической подготовки;

умение самостоятельно определять цели деятельности и составлять планы деятельности; самостоятельно осуществлять, контролировать и корректировать деятельность; использовать все возможные ресурсы для достижения поставленных целей и реализации планов деятельности; выбирать успешные стратегии в различных ситуациях;
умение продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции других участников деятельности, эффективно разрешать конфликты;
владение навыками познавательной, учебно-исследовательской и проектной деятельности, навыкам^ разрешения проблем; способность и готовность к самостоятельному поиску методов решения практических задач, применению различных методов познания;
готовность и способность к самостоятельной информационно-познавательной деятельности, включая умение ориентироваться в различных источниках информации, критически оценивать и интерпретировать информацию, получаемую из различных источников;
владение языковыми средствами: умение ясно, логично и точно излагать свою точку зрения, использовать адекватные языковые средства;

Дидактические задачи этапов урока

Этапы урока

Дидактические задачи

(этап мотивации)(2 мин)

Постановка учебной проблемы

Формулирование проблемы, планирование деятельности (15 мин)

Открытие новых знаний (15 мин)

Первичная проверка понимания материала

Закрепление полученных знаний

мин)

Создать условия для применения теоретических знаний при решении задач.
Самостоятельное выполнение заданий учащимися с помощью построенного проекта;
Групповое выполнение более сложных заданий учащимися с помощью построенного проекта.

Рефлексия учебной деятельности

Задание на дом (1 мин)

- самостоятельно прогнозировать свою деятельность, умение настраиваться на занятие

- уметь слушать и вступать в диалог.

Мотивация на изучение новой темы.

Приветствуют преподавателя, проверяют свою готовность к уроку (наличие тетрадей, ручек)

Постановка учебной проблемы.Формулирование проблемы, планирование деятельности

знать : определение,производной,понятия приращения функции и аргумента,физический и геометрический смыслы производной; производные элементарных и сложных функций

первообразная определяется неоднозначно

находить первообразные функции в простейших случаях

проверять, является ли функция F(x) первообразной для функции f(х) на данном промежутке

уметь применять полученные знания к решению практических задач.

- уметь самостоятельно определять цели в деятельности в ходе применения понятия производной функции к определению понятия первообразной

– анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты и явления;

- искать и выделять необходимую информацию.

– самостоятельно обнаруживать и формулировать проблему в классной и индивидуальной учебной деятельности;

– самостоятельно организовывать учебное взаимодействие в группе (определять общие цели, договариваться друг с другом и т.д.);

- уметь слушать и вступать в диалог.

1. Определение производной функции

2. Физический смысл производной

Из курса физики вспомним ,что такое скорость и ускорение и по каким формулам их находим.

3 .Есть путь,есть время-можем найти скорость.

4. Задача 1. Материальная точка движется прямолинейно по закону

s(t) = t 3 +2t 2 – 5t.

Найти функцию, выражающую закон изменения скорости движения v(t)

5.Решить обратную задачу.Найти путь.

Задача 2 . Скорость прямолинейно движущейся точки изменяется по закону

v ( t)= 3 t 2 +4t – 5.

Найти функцию s(t), выражающую зависимость перемещения точки от времени.

Какую функцию S(t) надо продифференцировать?

(Вспомнить таблицу и формулы производных)

1. Производной функции в данной точке

называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

2. Производная функции y = f(x) в точке x₀ – это скорость изменения функции f (х) в точке x₀ x'(t). = n (t)

v ( t)=S / (t) -скорость есть производная пути по времени.

3.Быстрота изменения положения тела в пространстве с течением времени ; V= S t , где S зависимая переменная переменная, t -независимая переменная.

4. v ( t)=S / (t) =3 t 2 +4t – 5.

5. v ( t)=S / (t) -скорость есть производная пути по времени. Скорость это результат производной пути по времени. S – это первоначальная величина.Так как,

v ( t)=S / (t) =3 t 2 +4t – 5- требуется восстановить функцию S(t) -найти такую функцию,производная которой равняется данной функции.

s(t) = t 3 +2t 2 – 5t.

Открытие новых знаний

Знать: производные элементарных и сложных функций

первообразная определяется неоднозначно

находить первообразные функции в простейших случаях

проверять, является ли функция F(x) первообразной для функции f(х) на данном промежутке

уметь применять полученные знания к решению практических задач.

– анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты и явления;

- искать и выделять необходимую информацию.

– самостоятельно обнаруживать и формулировать проблему в классной и индивидуальной учебной деятельности;

- уметь слушать и вступать в диалог.

3.Как проверить результат?

4. Как можно изменить первообразную функции,чтобы ее производная оставалась постоянной?

5.Сколько первообразных может иметь функция?

6. Основное свойство первообразных:

7. Используя таблицу производных элементарных функций и основное свойство первообразных,заполните таблицу первообразных

2.Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке Х, если для всех х из этого промежутка F / (x)= f(x)

3. Найти производную s(t) = t 3 +2t 2 – 5t

S / (t) =3 t 2 +4t – 5

4. Если вспомнить таблицу производных,то производная константы равна нулю.Если к первообразной функции прибавть константу.

s(t) = t 3 +2t 2 – 5t+С, где С любое действительное число.

6. если F(x) – первообразная функции f(x) на

некотором промежутке, то F(x)+C – первообразная функции f(x) на этом промежутке.

Первичная проверка понимания материала

первообразная определяется неоднозначно

находить первообразные функции в простейших случаях

проверять, является ли функция F(x) первообразной для функции f(х) на данном промежутке

уметь применять полученные знания к решению практических задач.

– анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты и явления.

– самостоятельно обнаруживать и формулировать проблему в классной и индивидуальной учебной деятельности.

– самостоятельно организовывать учебное взаимодействие в группе (определять общие цели, договариваться друг с другом и т.д.).

1) Например, функция F(х) = sin x является первообразной функции f (x) = cos x

так как (sin x ) ′ = cos x

3)Функция: f(x) = 3х 2

В данном примере производная от F(x) = х 3 + С будет равна (как в определении):

1. Выяснить, является ли функция F (x) = х 3 – 3х + 1 первообразной для функции f(x) = 3(х 2 – 1).

2. Найти все первообразные функции f(x) :

а) f(x) = х 4 + 3х 2 + 5

б ) f(x) = sin(3x – 2)

3. Для функции f(x) = 4 – х 2 найти первообразную, график которой проходит через точку (-3; 10).

Решение примеров к таблице:найти первообразные

2) F(x)=x 4 f(x) = 4x 3

где С - любое действительное число

F´(x) = (х 3 + С)´ = 3х 2 + 0 = 3х 2 = f(x) (производная от С = 0, т. к. С — число)

1.Решение: F'(x) = (х 3 – 3х + 1)′ = 3х 2 – 3 = 3(х 2 – 1) = f(x), т.е. F'(x) = f(x), следовательно, F(x)является первообразной для функции f(x).

а)Решение: Используя таблицу и правила нахождения первообразных, получим:

1) Найдем все первообразные функции f(x):

2) Найдем число С , такое, чтобы график функции проходил через точку (-3; 10). Подставим х = – 3, y = 10 , получим:

Закрепление новых знаний

первообразная определяется неоднозначно

находить первообразные функции в простейших случаях

проверять, является ли функция F(x) первообразной для функции f(х) на данном промежутке

уметь применять полученные знания к решению практических задач.

– анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты и явления.

– выдвигать версии решения проблемы, осознавать конечный результат, выбирать средства достижения цели из предложенных или их искать самостоятельно;

– подбирать к каждой проблеме (задаче) адекватную ей теоретическую модель.

– отстаивая свою точку зрения, приводить аргументы, подтверждая их фактами;

- уметь слушать и вступать в диалог.

Найти все первообразные функции:

1. Функция f (x) = x 5

6. f (x) = e - 3x + 5

7. f (x) = sin (6 — 7x)

8. f (x) = cos (6x — 5)

2. F (x) = 3 ln x + C

6. F (x) = e - 3x + 5 + C

7. F (x) = ·(- cos (6 - 7x)) + C = cos (6 - 7x) + C

8. F (x) = ·sin (6x — 5) + C

Рефлексия учебной деятельности

первообразная определяется неоднозначно

находить первообразные функции в простейших случаях

проверять, является ли функция F(x) первообразной для функции f(х) на данном промежутке

уметь применять полученные знания к решению практических задач.

– классифицировать и обобщать факты и явления;

– строить логически обоснованное рассуждение, включающее установление причинно-следственных связей.

– осознавать конечный результат решения проблемы.

- уметь слушать и вступать в диалог.

- Что вы сегодня узнали нового?

- Какова была цель вашей деятельности?

- Вы достигли поставленной цели?

- Что вы использовали, и что вам помогло в достижении цели?

-Все, кто отвечал на уроке будут оценены.

определение первообразной
первообразная определяется неоднозначно

находить первообразные функции в простейших случаях
проверять, является ли функция F(x) первообразной для функции f(х) на данном промежутке

Определение производной функции,ее физический смысл.

3. Результаты апробации работы.
3.1 Оценка актуальности и значимости методической разработки.
В настоящее время постоянно встает вопрос о применении новых технологий в обучении. Данная методическая разработка рассчитана на использование ИКТ, сочетание фронтальной, групповой и индивидуальной форм работы со студентами, использования проблемного обучения. Обозначенные идеи стандарта нового поколения реализуются через
осуществление деятельностного подхода в обучении общеобразовательным дисциплинам.

развитие личностных качеств студента;
развитие внимания, мышления, логики, памяти;
развитие познавательных способностей, овладение умением взаимодействовать группе;
повышение финансовой грамотности и мотивации к активной познавательной деятельности;
развитие умений систематизировать полученные знания.

Результаты апробированных уроков позволили сделать следующие выводы:
1) использование ИКТ вызывает у студентов повышенный интерес, способствует повышению активности на уроке и лучшему освоению материала;
3) сочетание индивидуальной, групповой и фронтальной работы позволяет задействовать на уроках всех студентов .

Литература и источники информации

1.Алгебра и начала анализа: учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений/ Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. М.: Просвещение, 2007.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Таблица первообразной, правила нахождения первообразной

Функцию y = F(x) называют первообразной для функции y = f(x) на промежутке Х, если для выполняется равенство F'(x) = f(x).

Таблица первообразных

Правила вычисления первообразных:

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№ 1. Для функции y = f(x) найдите множество всех первообразных. Выполните проверку. f(x) = 2sin x + 3x 3

f(x) = 2sin x + 3x 3

Найдем производную функции F(x).

Ответ:

№ 2. Значение первообразной функции F(x) функции f(x) = 10cosx в точке равно -4. Найдите .

Решение. Сначала найдем первообразную

Затем подставляя значения точки х, найдем число с

Далее получаем уравнение первообразной в этой точке

F(x) = 10sin x – 14

И находим значение первообразной в другой точке

№ 3. По графику первообразной функции y = F(x) определите числовые промежутки, на которых функция y = f(x) имеет отрицательный знак.

Так как F’(x) = f(x)- по определению первообразной, то числовые промежутки, на которых функция f(x) (производная функции F(x)) имеет отрицательный знак – это промежутки убывания функции F(x). Таких промежутков на данном графике 3. Это (-7; -6); (-3; -1); (3;6)

№ 4 . Значение первообразной функции F(x) функции f(x) = 5x 3 – 3x 2 + 7x – 2 в точке х = 0 равно 5. Найдите F(2).

Найдем множество всех первообразных для данной функции.

Так как в точке х = 0 значение первообразной функции равно 5, то нам необходимо найти такое значение С, для которого выполняется условие F(0) = 5.

Решим уравнение:

Из полученного уравнения находим С = 5.

Следовательно, первообразная для функции f(x) = 5x 3 – 3x 2 + 7x – 2 при заданном условии F(0) = 5 имеет вид:

Тогда

№ 5 : f ( x ) = 5 x 2 + 2х М (3;1)

Решение: F ( x ) = + + c , F(3) = + + c =1, F (3)= 45+ 9 + c =1, 54+ c =1, c = -53

Ответ: F ( x ) = + -53

Самостоятельная работа:

1) Найти первообразную F ( x ) для функции f(x):

а) f ( x )= 3 x 2 -2

в) f ( x ) = (3х-2) 10 (По правилу № 3)

г) f ( x ) = 200 x 19

и) f ( x ) = cos (5 x -) (По правилу № 3)

к) f ( x )= 2 х – 2 sin 12 x (По правилу № 3)

2) Найти первообразную функции, график которой проходит через точку с координатами:

а) f ( x ) = 3 x 2 + 6 М (-2;1) (Пример № 5)

б) f ( x )= - x 3 + 3 x M (2;1)

(Здесь сначала найдите первообразную по таблице и с помощью правил. Потом в нее подставьте значение первой координаты точки М, приравняйте ко второй координате точки М. Полученное уравнение решите относительно неизвестного значения с. Запишите ответ. Это та же самая первообразная, которую вы нашли, но вместо с подставьте найденное его значение)

Краткое описание документа:

Опорный конспект по теме Первообразная можно использовать для самостоятельного изучения темы, а также при дистанционном обучении. он предназначен для студентов 1 курса Групп НПО и СПО различных специальностей и профессий. В конце есть раздел Самостоятельная работа для закрепления изученного материала.

подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
по всем предметам 1-11 классов

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Сейчас обучается 933 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Сейчас обучается 683 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Инструменты онлайн-обучения на примере программ Zoom, Skype, Microsoft Teams, Bandicam

Курс добавлен 31.01.2022
Сейчас обучается 24 человека из 17 регионов

ЗП до 91 000 руб.
Гибкий график
Удаленная работа

Дистанционные курсы для педагогов

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 610 739 материалов в базе

Материал подходит для УМК

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

15.09.2020 743
DOCX 102.1 кбайт
23 скачивания
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Тихонова Надежда Владимировна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

40%

Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
Для учеников 1-11 классов

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

Время чтения: 2 минуты

Отчисленные за рубежом студенты смогут бесплатно учиться в России

Время чтения: 1 минута

Минтруд предложил упростить направление маткапитала на образование

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор предложил дать возможность детям из ДНР и ЛНР поступать в вузы без сдачи ЕГЭ

Время чтения: 1 минута

Школы граничащих с Украиной районов Крыма досрочно уйдут на каникулы

Время чтения: 0 минут

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

В соответствии со сделанным выводом таблица первообразных будет иметь вид:

(Слайд 7-таблица "Общий вид первообразных некоторых функций")

4. Геометрический смысл первообразной

Примеры решение задач по теме

Вариант 9 №5 (Сборник для подготовки и проведения письменного экзамена за курс средней школы)

Найдите первообразную функции, график которой проходит через точку (3;4)

Найдём все первообразные для функции :

Через точку (3;4) проходит график первообразной . Решив уравнение относительно С, получим: С=10, т.е., через точку с координатами (3; 4) проходит график первообразной

Цель – ознакомление с понятием первообразной, обучение нахождению первообразной степенной функции.

I. Математический диктант.

Учащиеся в рабочие тетради вкладывают копировальные листы, сверху кладут контрольные листы.

Учитель читает задания дважды.

X3+2X2-1 sin 2x 3X3-X2+2 cos (x/3)

cosx+ex (5-2x)3 sinx+lnx (1-5x)4

log2x-tgx 2x-ctg x

Найдите движения по закону S=S(t). Задайте закон, по которому изменяется скорость точки, если

Вычислите скорость материальной точки в момент времени t0, если

Сдайте контрольные листы.

Проверим ответы. Поменяйтесь тетрадями.

1) 3x2+4x 2cos 2x 1) 9x2-2x - 1/3 sin (x/3)

-sin x+ex -6(5-2x)2 cos x+1/x -20 (1-5x)3

2) V(t) = 4t3-6t+1 2) V(t) = 6t2-10t

Оцените ответ. Продиктуйте свои оценки.

II. Изучение нового материала.

Пусть материальная точка движется по закону S=S(t)

Вопрос: Как найти закон, по которому изменяется скорость точки?

Вопрос: Можно ли по заданной скорости V=V(t) найти закон движения?

S(t) – первообразная для функции V(t).

Определение: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке, если для всех x из этого промежутка F’(x) = f(x).

Примеры: 1) F(x)=sin x f(x) = cos x

Вопрос: Как проверить, является ли функция F(x)=0,5sin 2x первообразной для функции f(x) = cos2x

Ответ: F’(x)=(0,5sin 2x)’ = cos2x=f(x)

Вопрос: Выведите формулу первообразной степенной функции.

Вопрос: Найдите первообразные функций: f(x)=x2; f(x)=; f(x)=

Вопрос: Сколько первообразных может иметь функция?

Ответ: Множество, т.к. (F(x)+C)’=F’(x)=f(x)

Основное свойство первообразных: если F(x) – первообразная функции f(x) на некотором промежутке, то F(x)+C – первообразная функции f(x) на этом промежутке.

Читайте также: