Обратная матрица конспект кратко

Обновлено: 06.07.2024

Факт 1. [math]x \cdot z \cdot y=(x \cdot z) \cdot y=e \cdot y=y[/math] , но [math]x \cdot z \cdot y=x \cdot (z \cdot y)=x \cdot e=x \Rightarrow x=y[/math] , тогда по определению [math]z^=x=y[/math] .

Факт 2. Пусть [math]\exists z^, \ \tilde^[/math]

Квадратная матрица [math]A[/math] обратима (имеет обратную матрицу) тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть [math]\det A \neq 0[/math] .

Шаг 1. Если матрица [math]A[/math] обратима, то [math]AB = E[/math] для некоторой матрицы [math]B[/math] . Тогда, если квадратные матрицы одного и того же порядка, то [math]\det AB = \det A \cdot \det B[/math] :

[math]1 = \det E = \det AB = \det A \cdot \det B[/math] , следовательно, [math]\det A \neq 0, \det B \neq 0[/math] .

Шаг 2. Докажем обратное утверждение. Пусть [math]\det A \ne 0[/math] .

1) Докажем существование правой обратной матрицы [math]B[/math] .

Предположим [math]\exists B: AB=E[/math] , где [math]A=\Vert \alpha_^ \Vert, \ B=\Vert \beta_^ \Vert, \ E=\Vert \delta_^ \Vert[/math]

[math]AB=E: \sum\limits_^ \alpha_^ \beta_^=\delta_^, \ (i,k=1..n)[/math] , фиксируем [math]k[/math] , тогда:

[math](\beta_^. \beta_^)^T \rightarrow (\xi^1. \xi^n)^T[/math] , тогда получим, что [math]\sum\limits_^ \alpha_^ \xi^=\delta_^ \Rightarrow A=\Vert \alpha_^ \Vert [/math] — матрица системы уравнений, так как [math]\det A \ne 0[/math] , то по Крамеру [math]\exists! (\xi^1. \xi^n)^T[/math]

В итоге для всех [math]k[/math] получим матрицу [math]B[/math] , что и требовалось.

2) Докажем существование левой обратной матрицы [math]C[/math] .

Предположим [math]\exists C: CA=E \Rightarrow \sum\limits_^ \gamma_^\alpha_^=\delta_^[/math]

Фиксируем [math]i[/math] , тогда [math](\gamma_^. \gamma_^) \rightarrow (\xi_1. \xi_n)[/math] ,получаем заполнение по строчкам, аналогично первому пункту показываем [math]\exists C[/math] .

• [math]\det A^ = \frac[/math]
• [math]\ (AB)^ = B^A^[/math]
• [math]\ (A^T)^ = (A^)^T[/math]
• [math]\ (kA)^ = k^A^[/math]

Возьмём две матрицы: саму [math]A[/math] и [math]E[/math] . Приведём матрицу [math]A[/math] к единичной матрице методом Гаусса. После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица окажется равной [math]A^-1[/math] .

Найдем обратную матрицу для матрицы

• 1) Для начала убедимся, что ее определитель не равен нулю(она невырожденная).

• 2) Справа от исходной матрицы припишем единичную.

• 3) Методом Гаусса приведем левую матрицу к единичной, применяя все операции одновременно и к левой, и к правой матрицам.

• 4) [math]A^ = B[/math]

Алгебраическим дополнением элемента [math]\ a_[/math] матрицы [math]\ A[/math] называется число

где [math]\ M_[/math] — дополнительный минор, определитель матрицы, получающейся из исходной матрицы [math]\ A[/math] путем вычёркивания i -й строки и j -го столбца.

[math]M_ = det\begin a_ & a_ & \cdots & a_ & a_ & \cdots & a_ \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_ & a_ & \cdots & a_ & a_ & \cdots & a_ \\ a_ & a_ & \cdots & a_ & a_ & \cdots & a_ \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_ & a_ & \cdots & a_ & a_ & \cdots & a_ \\ \end[/math]

Тогда:

Пример: . Найти A -1 и сделать проверку.

1) Алгебраические дополнения:

2) Определитель матрицы A: ;

3) Обратная матрица: ;

4) Проверка:

- значит, обратная матрица найдена верно.

1) Найти обратную матрицу и сделать проверку: ;

2) Доказать, что :

1)Вычислить определитель:

Ответы: 1) -35 2) -24 3) 12 4) -30

2)Найти обратную матрицу и сделать проверку:

для которой справедливо равенство

Для существования обратной матрицы " width="32" height="16" />
необходимо и достаточно, чтобы матрица была невырожденной, то есть, чтобы Пусть задана квадратная матрица a_ & a_ & \ldots & a_ \\ a_ & a_ & \ldots & a_ \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_ & a_ & \ldots & a_ \\ \end \right) ," width="235" height="90" />
тогда обратную к ней матрицу " width="32" height="16" />
можно вычислить по формуле

где =<<\left( -1 \right)>^>_>" width="143" height="24" />
– алгебраическое дополнение к элементу ." width="26" height="14" />

Примеры вычисления обратной матрицы

соответствующих элементов матрицы :

составленную из алгебраических дополнений элементов матрицы

получим

Метод Гаусса для нахождения обратной матрицы

методом Гаусса необходимо:

1) построить вспомогательную матрицу приписав к столбцам матрицы справа столбцы единичной матрицы того же порядка, что и матрица :

2) элементарными преобразованиями строк привести матрицу к матрице, в левой части которой стоит единичная матрица:

3) матрица, стоящая в правой части полученной матрицы и будет обратной матрицей

и приведем её, с помощью элементарных преобразований, к матрице, в которой единичная матрица будет слева. Переставим местами первую и вторую строки

Прибавим ко второй строке первую строку, умноженную на а к третьей строке первую, умноженную на

Прибавим ко второй строке третью, умноженную на

Умножим вторую строку на

Прибавим к первой строке вторую, умноженную на а к третьей вторую, умноженную на

Разделим третью строку на 3

К первой строке прибавим третью, умноженную на

Эта тема является одной из самых ненавистных среди студентов. Хуже, наверное, только определители.

Фишка в том, что само понятие обратного элемента (и я сейчас не только о матрицах) отсылает нас к операции умножения. Даже в школьной программе умножение считается сложной операцией, а уж умножение матриц — вообще отдельная тема, которой у меня посвящён целый параграф и видеоурок.

Сегодня мы не будем вдаваться в подробности матричных вычислений. Просто вспомним: как обозначаются матрицы, как они умножаются и что из этого следует.

Повторение: умножение матриц

Прежде всего договоримся об обозначениях. Матрицей $A$ размера $\left[ m\times n \right]$ называется просто таблица из чисел, в которой ровно $m$ строк и $n$ столбцов:

Чтобы случайно не перепутать строки и столбцы местами (поверьте, на экзамене можно и единицу с двойкой перепутать — что уж говорить про какие-то там строки), просто взгляните на картинку:

Определение индексов для клеток матрицы

Почему система координат размещена именно в левом верхнем углу? Да потому что именно оттуда мы начинаем читать любые тексты. Это очень просто запомнить.

А почему ось $x$ направлена именно вниз, а не вправо? Опять всё просто: возьмите стандартную систему координат (ось $x$ идёт вправо, ось $y$ — вверх) и поверните её так, чтобы она охватывала матрицу. Это поворот на 90 градусов по часовой стрелке — его результат мы и видим на картинке.

В общем, как определять индексы у элементов матрицы, мы разобрались. Теперь давайте разберёмся с умножением.

Определение. Матрицы $A=\left[ m\times n \right]$ и $B=\left[ n\times k \right]$, когда количество столбцов в первой совпадает с количеством строк во второй, называются .

Именно в таком порядке. Можно сумничать и сказать, мол, матрицы $A$ и $B$ образуют упорядоченную пару $\left( A;B \right)$: если они согласованы в таком порядке, то совершенно необязательно, что $B$ и $A$, т.е. пара $\left( B;A \right)$ — тоже согласована.

Умножать можно только согласованные матрицы.

Определение. $A=\left[ m\times n \right]$ и $B=\left[ n\times k \right]$ — это новая матрица $C=\left[ m\times k \right]$, элементы которой $_>$ считаются по формуле:

\[_>=\sum\limits_^>>\cdot _>\]

Другими словами: чтобы получить элемент $_>$ матрицы $C=A\cdot B$, нужно взять $i$-строку первой матрицы, $j$-й столбец второй матрицы, а затем попарно перемножить элементы из этой строки и столбца. Результаты сложить.

Да, вот такое суровое определение. Из него сразу следует несколько фактов:

1. Умножение матриц, вообще говоря, некоммутативно: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
2. Однако умножение ассоциативно: $\left( A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left( B\cdot C \right)$;
3. И даже дистрибутивно: $\left( A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
4. И ещё раз дистрибутивно: $A\cdot \left( B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

Дистрибутивность умножения пришлось отдельно описывать для левого и правого множителя-суммы как раз из-за некоммутативности операции умножения.

Если всё же получается так, что $A\cdot B=B\cdot A$, такие матрицы называются перестановочными.

Среди всех матриц, которые там на что-то умножаются, есть особые — те, которые при умножении на любую матрицу $A$ снова дают $A$:

Определение. Матрица $E$ называется , если $A\cdot E=A$ или $E\cdot A=A$. В случае с квадратной матрицей $A$ можем записать:

\[A\cdot E=E\cdot A=A\]

Единичная матрица — частый гость при решении матричных уравнений. И вообще частый гость в мире матриц.:)

А ещё из-за этой $E$ кое-кто придумал всю ту дичь, которая будет написана дальше.

Что такое обратная матрица

Поскольку умножение матриц — весьма трудоёмкая операция (приходится перемножать кучу строчек и столбцов), то понятие обратной матрицы тоже оказывается не самым тривиальным. И требующим некоторых пояснений.

Ключевое определение

Что ж, пора познать истину.

Казалось бы, всё предельно просто и ясно. Но при анализе такого определения сразу возникает несколько вопросов:

Насчёт алгоритмов вычисления — об этом мы поговорим чуть позже. Но на остальные вопросы ответим прямо сейчас. Оформим их в виде отдельных утверждений-лемм.

Основные свойства

Что ж, уже неплохо. Мы видим, что обратимыми бывают лишь квадратные матрицы. Теперь давайте убедимся, что обратная матрица всегда одна.

Приведённые рассуждения почти дословно повторяют доказательство единственность обратного элемента для всех действительных чисел $b\ne 0$. Единственное существенное дополнение — учёт размерности матриц.

Впрочем, мы до сих пор ничего не знаем о том, всякая ли квадратная матрица является обратимой. Тут нам на помощь приходит определитель — это ключевая характеристика для всех квадратных матриц.

На самом деле это требование вполне логично. Сейчас мы разберём алгоритм нахождения обратной матрицы — и станет совершенно ясно, почему при нулевом определителе никакой обратной матрицы в принципе не может существовать.

Определение. — это квадратная матрица размера $\left[ n\times n \right]$, чей определитель равен нулю.

Таким образом, мы можем утверждать, что всякая обратимая матрица является невырожденной.

Как найти обратную матрицу

Сейчас мы рассмотрим универсальный алгоритм нахождения обратных матриц. Вообще, существует два общепринятых алгоритма, и второй мы тоже сегодня рассмотрим.

Тот, который будет рассмотрен сейчас, очень эффективен для матриц размера $\left[ 2\times 2 \right]$ и — частично — размера $\left[ 3\times 3 \right]$. А вот начиная с размера $\left[ 4\times 4 \right]$ его лучше не применять. Почему — сейчас сами всё поймёте.

Алгебраические дополнения

Начнём с главного. Пусть имеется квадратная матрица размера $A=\left[ n\times n \right]$, элементы которой именуются $>$. Тогда для каждого такого элемента можно определить алгебраическое дополнение:

Ещё раз. Алгебраическое дополнение к элементу матрицы с координатами $\left( i;j \right)$ обозначается как $>$ и считается по схеме:

1. Сначала вычёркиваем из исходной матрицы $i$-строчку и $j$-й столбец. Получим новую квадратную матрицу, и её определитель мы обозначаем как $M_^$.
2. Затем умножаем этот определитель на $<<\left( -1 \right)>^>$ — поначалу это выражение может показаться мозговыносящим, но по сути мы просто выясняем знак перед $M_^$.
3. Считаем — получаем конкретное число. Т.е. алгебраическое дополнение — это именно число, а не какая-то новая матрица и т.д.

Таким образом сегодня мы используем слегка упрощённое определение. Но как мы увидим в дальнейшем, его окажется более чем достаточно. Куда важнее следующая штука:

Определение. Союзная матрица $S$ к квадратной матрице $A=\left[ n\times n \right]$ — это новая матрица размера $\left[ n\times n \right]$, которая получается из $A$ заменой $>$ алгебраическими дополнениями $>$:

Что ж, всё это очень мило, но зачем это нужно? А вот зачем.

Основная теорема

Вернёмся немного назад. Помните, в Лемме 3 утверждалось, что обратимая матрица $A$ всегда не вырождена (т.е. её определитель отличен от нуля: $\left| A \right|\ne 0$).

Так вот, верно и обратное: если матрица $A$ не вырождена, то она всегда обратима. И даже существует схема поиска $>$. Зацените:

. Пусть дана квадратная матрица $A=\left[ n\times n \right]$, причём её определитель отличен от нуля: $\left| A \right|\ne 0$. Тогда обратная матрица $>$ существует и считается по формуле:

\[>=\frac<\left| A \right|>\cdot ^>\]

А теперь — всё то же самое, но разборчивым почерком. Чтобы найти обратную матрицу, нужно:

1. Посчитать определитель $\left| A \right|$ и убедиться, что он отличен от нуля.
2. Составить союзную матрицу $S$, т.е. посчитать 100500 алгебраических дополнений $>$ и расставить их на месте $>$.
3. Транспонировать эту матрицу $S$, а затем умножить её на некое число $q=/<\left| A \right|>\;$.

Как видите, в конце каждого примера мы выполняли проверку. В связи с этим важное замечание:

Не ленитесь выполнять проверку. Умножьте исходную матрицу на найденную обратную — должна получиться $E$.

Выполнить эту проверку намного проще и быстрее, чем искать ошибку в дальнейших вычислениях, когда, например, вы решаете матричное уравнение.

Альтернативный способ

Но не переживайте: есть альтернативный алгоритм, с помощью которого можно невозмутимо найти обратную хоть для матрицы $\left[ 10\times 10 \right]$. Но, как это часто бывает, для рассмотрения этого алгоритма нам потребуется небольшая теоретическая вводная.

Элементарные преобразования

Среди всевозможных преобразований матрицы есть несколько особых — их называют элементарными. Таких преобразований ровно три:

1. Умножение. Можно взять $i$-ю строку (столбец) и умножить её на любое число $k\ne 0$;
2. Сложение. Прибавить к $i$-й строке (столбцу) любую другую $j$-ю строку (столбец), умноженную на любое число $k\ne 0$ (можно, конечно, и $k=0$, но какой в этом смысл? Ничего не изменится же).
3. Перестановка. Взять $i$-ю и $j$-ю строки (столбцы) и поменять местами.

Почему эти преобразования называются элементарными (для больших матриц они выглядят не такими уж элементарными) и почему их только три — эти вопросы выходят за рамки сегодняшнего урока. Поэтому не будем вдаваться в подробности.

Важно другое: все эти извращения нам предстоит выполнять над присоединённой матрицей. Да, да: вы не ослышались. Сейчас будет ещё одно определение — последнее в сегодняшнем уроке.

Присоединённая матрица

Наверняка в школе вы решали системы уравнений методом сложения. Ну, там, вычесть из одной строки другую, умножить какую-то строку на число — вот это вот всё.

Определение. Пусть дана матрица $A=\left[ n\times n \right]$ и единичная матрица $E$ такого же размера $n$. Тогда $\left[ A\left| E \right. \right]$ — это новая матрица размера $\left[ n\times 2n \right]$, которая выглядит так:

\[\left[ A\left| E \right. \right]=\left[ \begin> & > & . & > & 1 & 0 & . & 0 \\> & > & . & > & 0 & 1 & . & 0 \\. & . & . & . & . & . & . & . \\> & > & . & > & 0 & 0 & . & 1 \\\end \right]\]

Короче говоря, берём матрицу $A$, справа приписываем к ней единичную матрицу $E$ нужного размера, разделяем их вертикальной чертой для красоты — вот вам и присоединённая.:)

В чём прикол? А вот в чём:

Теорема. Пусть матрица $A$ обратима. Рассмотрим присоединённую матрицу $\left[ A\left| E \right. \right]$. Если с помощью элементарных преобразований строк привести её к виду $\left[ E\left| B \right. \right]$, т.е. путём умножения, вычитания и перестановки строк получить из $A$ матрицу $E$ справа, то полученная слева матрица $B$ — это обратная к $A$:

\[\left[ A\left| E \right. \right]\to \left[ E\left| B \right. \right]\Rightarrow B=>\]

Вот так всё просто! Короче говоря, алгоритм нахождения обратной матрицы выглядит так:

1. Записать присоединённую матрицу $\left[ A\left| E \right. \right]$;
2. Выполнять элементарные преобразования строк до тех пор, пока права вместо $A$ не появится $E$;
3. Разумеется, слева тоже что-то появится — некая матрица $B$. Это и будет обратная;
4. PROFIT!:)

Конечно, сказать намного проще, чем сделать. Поэтому давайте рассмотрим парочку примеров: для размеров $\left[ 3\times 3 \right]$ и $\left[ 4\times 4 \right]$.

Читайте также:

  
• Переход прилагательных в существительные конспект
  
• Культурные традиции буддизма конспект
  
• Режим дня первоклассника конспект
  
• Организация эксплуатации электроустановок конспект мчс
  
• Виды музыки в современном мире конспект