Непрерывность функции в точке и на промежутке свойства непрерывных функций конспект

Обновлено: 07.07.2024

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Тема учебного занятия Исследование функций на непрерывность.

Цели учебного занятия

Образовательные: формировать умение находить предел функции, исследовать функцию на непрерывность и находить асимптоты графиков функций; развивать логическое мышление, познавательную активность, самостоятельность.

Развивающие: Способствовать развитию навыков вычисления пределов числовой последовательности и функции.

Воспитательные : Способствовать воспитанию самостоятельности и аккуратности при выполнении чертежей.

Тип учебного занятия обобщение и систематизация знаний повторение и закрепление знаний

Вид учебного занятия практическое занятие

Материально-техническое оснащение тетрадь для выполнения письменных заданий

Задания для самостоятельной (внеаудиторной) работы студентов, контрольные сроки выполнения ___________________________________________________________________

План занятия

Организационный момент (  5 минуты)

Повторение ранее изученного материала (  20 минут)

Закрепление (  20 минут)

Обучающая самостоятельная работа (40 минут)

Итог урока (5 минуты)

Ход занятия

Организационный момент

Повторение ранее изученного материала

А) Что такое односторонние пределы?

Предел слева - это односторонний предел функции, когда последовательность значений аргумента х _n→x₀ слева от точки x₀, т.е. х _n

Предел справа - это односторонний предел функции, когда последовательность значений аргумента х _n→x₀ справа от точки x₀, т.е. х _n > x₀, т.е. В =

Теорема. Функция y = f ( x ) имеет в точке x₀ предел тогда и только тогда, когда в этой

точке существуют левый и правый пределы и они равны. В таком случае предел функции в точке равен односторонним пределам

Функция называется непрерывной в точке, если существует предел функции в этой точке, и он равен значению функции в этой точке, т.е. С = f ( x ) = f ( x ₀)

Функция y = f ( x ) непрерывна на промежутке ( a , b), если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Все основные элементарные функции – постоянная, показательная,

логарифмическая, степенная, тригонометрическая, обратные тригонометрические непрерывные

на своих областях определения.

Теорема. Пусть функции f ₁( x ) и f ₂( x ) непрерывны в точке х₀. Тогда функции f ₁( x ) + f ₂( x ), f ₁( x ) · f ₂( x ) и f ₁( x )/ f ₂( x ) будут также непрерывны в точке х₀(для дроби при f ₂( x ₀) ≠ 0)

В) Классификация точек разрыва

Точки разрыва функции – это точки, в которых функция не является непрерывной.

Пусть А = - предел справа для функции у = f ( x ), В = - предел слева, С

f ( x ) = f ( x ₀) – значение функции в точке x ₀ .

Точка х₀ называется точкой устранимого разрыва функции f ( x ), если функция f ( x ) в этой точке имеет равные друг другу односторонние пределы, но в точке х₀ функция f ( x ) не определена, либо ее значение в этой точке f(х₀) не равно пределу функции в этой точке, т.е .А=В, АС,ВС

Точка х₀ называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке функция f ( x ) имеет

конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы, т.е. АВ. Модуль разности (А-В)

называется скачком функции в точке х₀_.

Точка х₀ называется точкой разрыва второго рода функции f ( x ), если в этой точке не

существует хотя бы одного из односторонних пределов функции f ( x ) или хотя бы один из

односторонних пределов бесконечен, т.е. либо

Точка х₀ является точкой непрерывности, если функция f ( x ) определена в этой точке и если в этой точке функция f ( x ) имеет равные друг другу односторонние пределы, т.е. А=В=С

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки (включая саму эту точку).

$\underset<x\to a> Функция называется непрерывной в точке , если существует предел <\mathop<\lim >>\,f\left( x \right)$
, равный значению функции в этой точке: непрерывна при

$x=a\Leftrightarrow \underset<x\to a> <\mathop<\lim >>\,f\left( x \right)=f\left( a \right)$

Задание	Доказать непрерывность функции
Доказательство	Пусть – некоторая произвольная точка. Найдем предел заданной функции при стремлении аргумента к точке :

$\underset <\mathop<\lim >>\,f\left( x \right)=\underset<\mathop<\lim >>\,\left( ^>-2x+11 \right)=<^>-2a+11$

Далее находим значение функции в точке :

$y\left( a \right)=<^<2> >-2a+11$

$\underset<x\to a> <\mathop<\lim >>\,f\left( x \right)=f\left( a \right)$

непрерывна в точке . Так как точка – произвольная точка, то доказано, что функция непрерывна для всех значений .

Что и требовалось доказать.

$\Delta y=\Delta f\left( x \right)=f\left( x \right)-f\left( a \right)$

Пусть — , а – соответствующее этому приращению аргумента приращение функции.

(Необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке). Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда

$\underset<\Delta x\to 0> <\mathop<\lim >>\,\Delta f\left( x \right)=0$

$\underset<\Delta x\to 0> То есть, функция называется непрерывной в точке , если она определена в точке и ее окрестности и выполняется равенство <\mathop<\lim >>\,\Delta f\left( x \right)=0$
(бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции).

Задание	Исследовать на непрерывность функцию
Решение	Заданная функция определена при всех . Возьмем произвольную точку и найдем приращение функции :

$\Delta y=\Delta f\left( x \right)=f\left( x+\Delta x \right)-f\left( x \right)=\sin \left( x+\Delta x \right)-\sin x$

$\sin x-\sin y=2\sin \frac<x-y> \cos \frac$

$\Delta y=2\sin \frac \cos \left( x+\frac \right)$

Находим предел приращения функции при условии, что приращение аргумента стремится к нулю:

$\underset <\mathop<\lim >>\,\Delta y=\underset<\mathop<\lim >>\,2\sin \frac\cos \left( x+\frac \right)=2\underset<\mathop<\lim >>\,\sin \frac\cos \left( x+\frac \right)$

Поскольку аргумент синуса стремится к нулю, то его можно заменить его аргументом (так как эти функции являются эквивалентными бесконечно малыми функциями):

$\underset <\mathop<\lim >>\,\Delta y=\underset<\mathop<\lim >>\,2\sin \frac\cos \left( x+\frac \right)=2\underset<\mathop<\lim >>\,\frac\cos \left( x+\frac \right)=2\cdot \frac\cdot \cos x=0$

Тогда, согласно определению, функция непрерывна в произвольной точке .

Непрерывность функции справа и слева в точке

Рассмотрим функцию , которая определена в полуинтервале .

Функция называется непрерывной справа в точке , если существует односторонний предел

$f\left( a+0 \right)=\underset<x\to a+0> <\mathop<\lim >>\,f\left( x \right)=f\left( a \right)$

Пусть функция определена в полуинтервале .

Функция называется непрерывной слева в точке , если существует левый предел в этой точке

$f\left( a-0 \right)=\underset<x\to a-0> <\mathop<\lim >>\,f\left( x \right)=f\left( a \right)$

Если функции непрерывны в точке , то в этой точке непрерывными будут также функции

$f\left( x \right)\pm g\left( x \right),\ f\left( x \right)\cdot g\left( x \right),\ \frac<f\left( x \right)> <g\left( x \right)>,\ g\left( a \right)\ne 0$

$<<t> Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в соответствующей точке _>=f\left( a \right)$
, то и сложная функция непрерывна в точке .

(Ограниченность непрерывной функции). Если функция непрерывна в точке , то существует окрестность этой точки, в которой заданная функция ограничена.

(Про устойчивость знака непрерывной функции). Если функция непрерывна в точке , то существует окрестность этой точки, в которой , причем знак функция в этой окрестности совпадает со знаком .

Непрерывность функции на промежутке

Функция называется непрерывной на интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна на интервале , непрерывна справа в точке и непрерывна слева в точке .

Замечание. Функция, непрерывная на отрезке может быть разрывной в точках a и b.

(Об ограниченности непрерывной на отрезке функции). Если функция непрерывна на отрезке , то она и ограничена на этом отрезке, то есть существует такое число , что для любого выполняется неравенство .

(Теорема Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.

(О существовании нуля на отрезке непрерывности). Если функция непрерывна на отрезке и на концах отрезка принимает ненулевые значения разных знаков, то на интервале найдется по крайней мере одна точка , в которой .

(Теорема Больцано-Коши). Если функция непрерывна на отрезке , то она принимает на интервале все промежуточные значения между и .

$x=<<f> (О существовании непрерывной обратной функции). Пусть функция определена, строго монотонна и непрерывна на отрезке . Тогда на отрезке , где , существует обратная функция ^>\left( y \right)$
также строго монотонная и непрерывная на отрезке .

1 Определение: Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, принадлежащей области определения функции, если для любого положительного числа ε существует такое положительное δ, что для всех х, удовлетворяющих условию , будет выполнено неравенство

2 Определение: Пусть функция у=ƒ(х) определена в точке х_о и в некоторой окрестности этой точки. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х₀, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т.е. . Равенство означает выполнение трех условий:

1) функция ƒ (х) определена в точке x₀ и в ее окрестности;

2) функция ƒ(х) имеет предел при х→х_о;

3) предел функции в точке х_о равен значению функции в этой точке.

Условие непрерывности функции в точке: если односторонние пределы функции в точке х₀ существуют и равны между собой, то существует предел функции в точке х₀, следовательно, функция в точке х₀ будет непрерывна.

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Если х=х₀ — точка разрыва функции у=ƒ(х), то в ней не выполняется по крайней мере одно из условий первого определения непрерывности функции, а именно:

Случаи появления разрывов

1. Функция определена в окрестности точки х₀, но не определена в самой точке х₀.

2. Функция определена в точке х₀ и ее окрестности, но не существует предела ƒ(х) при х→х₀.

3. Функция определена в точке х₀ и ее окрестности, предел функции в точке х₀ существует, но этот предел не равен значению функции в точке x₀.

2. Точки разрыва. Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

- Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва второго рода функции у=ƒ(х), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности. График функции в этой точке устремляется в бесконечность.

Функция называется непрерывной в точке x₀, если она удовлетворяет следующим условиям:

1. Функция определена в точке .

2. Функция имеет конечный предел при и этот предел равен значению функции в точке , т.е. .

Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если при ∆х→0 и ∆у→0, то есть бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции: .

В противном случае х₀ – точка разрыва.

Функция, непрерывная в каждой точке некоторого интервала, называется непрерывной в этом интервале.

Свойства непрерывной функции

1. Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке и достигает на этом отрезке наибольшего значения М и наименьшего значения m.

2. Если f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и на концах принимают значение разных знаков, то имеется a

Классификация точек разрыва

Точка х называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) в точке х₀ не является непрерывной.

Точки разрыва можно разделить на два типа:

1. Разрыв 1 рода. Если функция f(x) имеет в точке х₀ конечные пределы слева и справа , не равные между собой, то в точке будет разрыв первого рода, т.е. , , но .

2. Разрыв 2 рода. В точке нет одного из односторонних пределов или если хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.

–точка разрыва 2 –го рода.

Глава 7. Производная и дифференциал

Физический и геометрический смысл производной

– тангенс угла наклона секущей.

, если , то секущая переходит в касательную: . Производная равна угловому коэффициенту касательной.

Пусть - закон движения математической точки, т.е. зависимость пути y от времени t. За время t пройден путь , а за .

Отношение – средняя скорость движения; мгновенная скорость .

В общем, для любой функции – средняя скорость изменения y относительно изменения x, – мгновенная скорость изменения y при некотором x. С помощью производной можно оценить скорость изменения связанных величин.

Функция называется непрерывной в точке x₀, если она удовлетворяет следующим условиям:

1. Функция определена в точке .

2. Функция имеет конечный предел при и этот предел равен значению функции в точке , т.е. .

Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если при ∆х→0 и ∆у→0, то есть бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции: .

В противном случае х₀ – точка разрыва.

Функция, непрерывная в каждой точке некоторого интервала, называется непрерывной в этом интервале.

Свойства непрерывной функции

1. Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке и достигает на этом отрезке наибольшего значения М и наименьшего значения m.

2. Если f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и на концах принимают значение разных знаков, то имеется a

Классификация точек разрыва

Точка х называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) в точке х₀ не является непрерывной.

Точки разрыва можно разделить на два типа:

1. Разрыв 1 рода. Если функция f(x) имеет в точке х₀ конечные пределы слева и справа , не равные между собой, то в точке будет разрыв первого рода, т.е. , , но .

2. Разрыв 2 рода. В точке нет одного из односторонних пределов или если хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.

–точка разрыва 2 –го рода.

Глава 7. Производная и дифференциал

Физический и геометрический смысл производной

– тангенс угла наклона секущей.

, если , то секущая переходит в касательную: . Производная равна угловому коэффициенту касательной.

Пусть - закон движения математической точки, т.е. зависимость пути y от времени t. За время t пройден путь , а за .

Отношение – средняя скорость движения; мгновенная скорость .

В общем, для любой функции – средняя скорость изменения y относительно изменения x, – мгновенная скорость изменения y при некотором x. С помощью производной можно оценить скорость изменения связанных величин.

Читайте также:


Взаимное расположение прямой и окружности 6 класс дорофеев конспект урока

Права и обязанности обучающихся конспект

Конспект урока язык разметки гипертекста html

Конспект київ столиця україни

Конспект урока печенье осеева