Монотонность четность нечетность ограниченность периодичность конспект урока

Обновлено: 05.07.2024

Формировать умения и навыки функции определять свойства любой функции.

развивать логическое мышление, навыки анализа и синтеза;

развивать навыки установки причинно-следственных связей между изучаемыми объектами;

развивать устную и письменную культуру речи..

содействовать осознанию учащимися ценности изучаемого предмета;

формировать навыки умственного труда – поиск рациональных путей выполнения работы.

Ожидаемые результаты освоения темы

Учащиеся должны знать: свойства функции.

Учащиеся должны уметь: читать графики, по графику определить нужные свойства и значения.

изучение новой темы

словесные, наглядные, постановки учебной проблемы, практические (самостоятельная работа).

Формы организации учебной деятельности учащихся

фронтальная работа, индивидуальная, работа в группах.

Используемые интерактивные методы обучения

проблемное обучение, обучение в сотрудничестве, личностно-ориентированное обучение, коммуникативные и здоровьесберегающие технологии.

Обучение тому, как обучаться, Обучение критическому мышлению, Оценивания для обучения, Использование ИКТ в преподавании и обучения, . Обучение талантливых и одарённых детей. Преподавание и обучение в соответствии с возрастными особенностями.

Оборудование и материалы

Учебник, интерактивная доска, проектор, ПК, презентация, памятки

I . Организация начала занятия.

2. Проверка отсутствующих.

4. Распределить роли.

5. Знакомство с темой урока, совместное целеполагание.

Что такое функция?

Что называют аргументом функции?

Как обозначают область определения?

Как обозначают множество значений?

Как называют переменную х ?

Как называют переменную у ?

Назовите виды преобразований над графиками функций

Задание. Какие преобразования необходимо выполнить для построения графиков функций?

параллельный перенос по оси ОУ на 1,5 вниз

растяжение по оси ОХ в 2 раза

растяжение по оси ОХ в -3 раза

растяжение по оси ОХ в -2 раза и параллельный перенос по оси ОУ на 3,5 вверх

растяжение по оси ОУ в 4 раза и параллельный перенос по оси ОУ на 1 вниз

сжатие по оси ОУ в 2 раза

III . Изучение новой темы.

Рассмотрим свойства функции (Работа по памятке)

1. Чётность и нечётность

Функция четная, если

Св-во: График четной функции симметричен относительно оси 0y

Функция нечетная, если
f(-x) = –f(x)

Св-во: График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Функция f(x) периодическая, если f(x) = f(x+Т) = f(x-Т), ,

График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.

3. Монотонность (возрастание, убывание)

Функция f(x) возрастает , если x 1 2 и f(x 1 ) 2 ).

Функция f(x) убывает , если x 1 2 и f(x 1 ) > f(x 2 ).

Функция f(x) не возрастает ,

если x 1 2 и f(x 1 ) ≥ f(x 2 ).

Функция f(x) не убывает ,

если x 1 2 и f(x 1 ) ≤ f(x 2 ).

4. Промежутки знакопостоянства

Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

Промежуток, на котором y >0, график находится выше оси ОХ.

Промежуток, на котором y Y

5.Ограниченность и неограниченность.

Функция называется ограниченной, если, |f(x)| ≤ b , b >0

Если b >0 не существует, то функция - неограниченная.

X min , Х max – точки экстремума
Y min , У max – экстремумы.

Х max - точка максимума , если f(х) f(X max ).

Y max =f(X max ) - максимум функции.

Х min - точка минимума , если f(х) f(X min ).

Y min =f(X min ) - минимум функции.

Пример 1. Исследовать на четность и нечетность функцию:

функция f(x) – чётная

функция f(x) – не чётная

функция не является ни чётной, ни нечётной.

Пример 2. Найти период функции y = cos (3 x +2)

y = cos (3 x +2) , a=3

Пример 3. Определить промежутки знакопостоянства функции y =4 x -2

Пример 4. По графику определите промежутки монотонности функции

Функция убывает на промежутках:

Функция возрастает на промежутках:

Пример 5. По графику определите экстремумы функции

Y max =3, X max = 1,8

Y min = -2, X min = 0

IV . Закрепление нового материала

Работа по группам

Задания из учебника

1 группа № 29, 25

V . Подведение итогов урока.

1. Как найти точки пересечения графика функции с осями координат?

2. Какая функция является возрастающей?

3. Какая функция является убывающей?

4. Что значит экстремумы функции?

5. Как определить чётность или нечётность функции?

На цветных стикерах написать своё отношение к уроку

VII . Домашнее задание.

стр. 25 №35, 37, выучить памятку (ЕМН)

стр. 22 №32, 33, выучить памятку (ОГН)

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено!

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако команда проекта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом на электронную почту службы поддержки сайта.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

3.4 СВОЙСТВА ФУНКЦИИ: ЧЁТНОСТЬ, НЕЧЁТНОСТЬ, ПЕРИОДИЧНОСТЬ. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ.

Содержание учебного материала:

Ознакомление с доказательными рассуждениями некоторых свойств функций, построение их графиков.

1.Чётная функция, определение и графическая интерпретация.

2.Нечётная функция, определение и графическая интерпретация.

3.Периодическая функция, определение и графическая интерпретация.

4.Наименьший положительный период функции.

5. Наименьшее и наибольшее значения функции.

Функцию у = f(x) называют чётной , если для любого значения х из множества Д(х) выполняется равенство f (- x ) = f ( x ).

Функцию у = f(x) называют нечётной , если для любого значения х из множества Д(х) выполняется равенство f(-x) = - f(x).

Функция у = f(x) не является ни чётной, ни нечётной , если хотя бы в одной точке из множества Д(х) не выполняются эти равенства.

Если график функции симметричен относительно оси ординат Оу , то функция чётная.

Если график функции симметричен относительно начала координат , то функция нечётная.

Если график функции не симметричен , то функция не является ни чётной, ни нечётной .

Периодическая функция ― функция, повторяющая свои значения через некоторый регулярный интервал, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу х некоторого фиксированного ненулевого числа (периода функции) на всей области определения.

Функция называется периодической, если существует такое число T≠0 (период), что на всей области определения функции Д(х) выполняется равенство f(x) = f(x + T ).

График периодической функции состоит из повторяющихся одинаковых кусков, каждый из которых получается параллельным переносом вправо или влево на Т единиц.

Непрерывность функции на отрезке Д(х) – означает, что график функции на данном промежутке не имеет точек разрыва. График непрерывной функции представляет собой сплошную неразрывную линию.

Число m называют наименьшим значением функции у = f(x) на множестве Д(х), если:

1) во множестве Д(х) существует такая точка x ₀ , что f(x ₀ ) = m

2) для любого значения х из множества Х выполняется неравенство f(x) >= f(x ₀ ).

Число m называют наибольшим значением функции у = f(x) на множестве Д(х), если:

1) во множестве Д(х) существует такая точка, что f(x ₀ ) = m

2) для любого значения х из множества Д(х) выполняется неравенство f(x) ₀ ).

Если у функции существует y _наиб ., то она ограничена сверху.

Если у функции существует y _наим , то она ограничена снизу.

Точку x ₀ называют точкой максимума функции у = f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x) ₀ ).

Точку x ₀ называют точкой минимума функции у = f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x) > f(x ₀ ).

Точки максимума и минимума объединяют общим названием – точки экстремума.

Функция - это одно из важнейших математических понятий. Функция - зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у. Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Все значения независимой переменной (переменной x) образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная (переменная y), образуют область значений функции.

Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции, тоесть по оси абсцисс откладываются значения переменной x, а по оси ординат откладываются значения переменной y. Для построения графика функции необходимо знать свойства функции. Основные свойства функции будут рассмотрены далее!

Для построения графика функции советуем использовать нашу программу - Построение графиков функций онлайн. Если при изучении материала на данной странице у Вас возникнут вопросы, Вы всегда можете задать их на нашем форуме. Также на форуме Вам помогут решить задачи по математике, химии, геометрии, теории вероятности и многим другим предметам!

Основные свойства функций.

1) Область определения функции и область значений функции.

Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция y = f(x) определена. Область значений функции - это множество всех действительных значений y, которые принимает функция.

В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.

2) Нули функции.

Значения х, при которых y=0, называется нулями функции. Это абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох.

3) Промежутки знакопостоянства функции.

Промежутки знакопостоянства функции – такие промежутки значений x, на которых значения функции y либо только положительные, либо только отрицательные, называются промежутками знакопостоянства функции.

4) Монотонность функции.

Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

5) Четность (нечетность) функции.

Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого хиз области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любогох из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Четная функция обладает следующими свойствами: 1) Область определения симметрична относительно точки (0; 0), то есть если точка a принадлежит области определения, то точка -a также принадлежит области определения. 2) Для любого значения x, принадлежащего области определения , выполняется равенство f(-x)=f(x) 3) График четной функции симметричен относительно оси Оу.

Нечетная функция обладает следующими свойствами: 1) Область определения симметрична относительно точки (0; 0). 2) для любого значения x, принадлежащего области определения , выполняется равенство f(-x)=-f(x) 3) График нечетной функции симметричен относительно начала координат (0; 0).

Не всякая функция является четной или нечетной. Функции общего вида не являются ни четными, ни нечетными.

6) Ограниченная и неограниченная функции.

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.

7) Периодическость функции.

Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).

Функция f называется периодической, если существует такое число , что при любом x из области определения выполняется равенство f(x)=f(x-T)=f(x+T). T - это период функции.

Всякая периодическая функция имеет бесконечное множество периодов. На практике обычно рассматривают наименьший положительный период.

Значения периодической функции через промежуток, равный периоду, повторяются. Это используют при построении графиков.

Задание №1. Изобразите схематически график и опишите свойства функции: y = x 2 .

Функция f возрастает на множестве Р, если для любых х₁ и х₂ из множества Р, таких, что х₂>х₁, выполнено неравенство f(x₂)>f(x₁).

Функция f убывает на множестве Р, если для любых х₁ и х₂ из множества Р, таких, что х₂>х₁, выполнено неравенство f(x₂)

Пример 1. Докажите, что функция f(x)=1/x является убывающей.

Контрольные вопросы:

1. Как построить сумму (произведение) двух функций?

2. Как построить модуль функции, модуль аргумента?

Практическое занятие

Обратные функции. Область определения и область значений обратной функции . График обратной функции

Вариант 1	Вариант 2
1. Найдите область определения функции.	1. Найдите область определения функции.
2.Найдите обратную функцию к заданной функции у=2х+5	2.Найдите обратную функцию к заданной функции у=6-2х
3. Найдите наименьший положительный период функции f(x)=sin	3. Найдите наименьший положительный период функции f(x)=tg(1-3x)

Практическое занятие

Примеры зависимостей между переменными в реальных процессах из смежных дисциплин. Определение функций.

Читайте также: