Логические выражения конспект урока

Обновлено: 05.07.2024

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме: основные законы алгебры логики, преобразование логических выражений, логические функции, построение логического выражения с данной таблицей истинности и его упрощение, дизъюнктивная и конъюнктивная нормальная форма, совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ), совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ).

Глоссарий по теме: основные законы алгебры логики, логические функции, дизъюнктивная и конъюнктивная нормальная форма, совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ), совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ)

Основная литература по теме урока:

Л. Л. Босова, А. Ю. Босова. Информатика. Базовый уровень: учебник для 10 класса

— М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2017 (с.197—209)

Открытые электронные ресурсы по теме:

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Способ определения истинности логического выражения путем построения его таблицы истинности становится неудобным при увеличении количества логических переменных, т.к. за счет существенного увеличения числа строк таблицы становятся громоздкими. В таких случаях выполняются преобразования логических выражений в равносильные. Для этого используют свойства логических операций, которые иначе называют законами алгебры логики.

Основные законы алгебры логики

Справедливость законов можно доказать построением таблиц истинности.

Пример 1. Упростим логическое выражение

Последовательно применим дистрибутивный закон и закон исключенного третьего:

В общем случае можно предложить следующую последовательность действий:

Заменить операции строгая дизъюнкция, импликация, эквиваленция на их выражения через операции конъюнкция, дизъюнкция, инверсия;
Раскрыть отрицания сложных выражений по законам де Моргана.
Используя законы алгебры логики, упростить выражение.

Здесь последовательно использованы замена операции импликация, закон де Моргана, распределительный закон, закон противоречия и операция с константой, закон идемпотентности и поглощения.

Аналогичные законы выполняются для операции объединения, пересечения и дополнения множеств. Например:

Пример 3. На числовой прямой даны отрезки B = [2;12] и C = [7;18]. Каким должен быть отрезок A, чтобы предикат становился истинным высказыванием при любых значениях x.

Преобразуем исходное выражение, избавившись от импликации:

A, B, C — множества. Для них можно записать (U — универсальное множество).

Будем считать, что.

Тогда , причем это минимально возможное множество А.

Так как множество B — это отрезок [2;12], а множество — это промежутки и, то пересечением этих множеств будет служить промежуток . В качестве ответа мы можем взять этот промежуток, а также любой другой, его включающий.

Пример 4. Для какого наименьшего неотрицательного целого десятичного числа а выражение

тождественно истинно (т. е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении десятичной переменной х)? Здесь & — поразрядная конъюнкция двух неотрицательных целых десятичных чисел.

Перепишем исходное выражение в наших обозначениях и преобразуем его:

Рассмотрим предикат . В числе 28₁₀=11100₂ 4-й, 3-й и 2-й биты содержат единицы, а 1-й и 0-й — нули. Следовательно, множеством истинности этого предиката являются такие числа х, у которых хотя бы один из битов с номерами 4, 3 или 2 содержит единицу. Если и 4-й, и 3-й, и 2-й биты числа х нулевые, то высказывание будет ложным.

Рассмотрим предикат . В числе 45₁₀=101101₂ 5-й, 3-й, 2-й и 0-й биты содержат единицы, 4-й и 1-й — нули. Следовательно, множеством истинности этого предиката являются такие числа х, у которых хотя бы один из битов с номерами 5, 3, 2 или 0 содержит единицу. Если и 5-й, и 3-й, и 2-й, и 0-й биты числа х нулевые, то высказывание будет ложным.

По условию задачи надо, чтобы .

Запишем это выражение для рассмотренных множеств истинности:

Так как , примем .

Объединением множеств M и N являются все двоичные числа, у которых хотя бы один из битов с номерами 5, 4, 3, 2, 0 содержит единицу. Пересечением этого множества с множеством K будут все двоичные числа, у которых биты с номерами 4 и 0 будут заняты нулями, т.е. такие двоичные числа, у которых хотя бы один из битов с номерами 5, 3, 2 содержит 1. Все эти числа образуют множество А.

Искомое число a должно быть таким, чтобы при любом неотрицательном целом значении переменной х: , и, кроме того, оно должно быть минимальным из возможных. Этим условиям удовлетворяет число 101100₂ = 44₁₀.

Значение любого логического выражения определяется значениями входящих в него логических переменных. Тем самым логическое выражение может рассматриваться как способ задания логической функции.

Совокупность значений n аргументов удобно интерпретировать как строку нулей и единиц длины n. Существует ровно различных двоичных строк длины n. Так как на каждой такой строке некая функция может принимать значение 0 или 1, общее количество различных булевых функций от n аргументов равно .

Для n=2 существует 16 различных логических функций. Рассмотрим их подробнее.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Конспект урока информатики

Урок 22 Логические операции и выражения

Цель: ознакомление с понятиями простые и составные условия, научить записывать условие логической задачи в виде системы логических выражений, воспитание информационной культуры.

Тип урока: изучение нового учебного материала

И. Организационный момент.

ИИ. Преподавание нового материала.

1. Логические выражения. Вычисление значений логических выражений

Кроме арифметических выражений, у Pascal существует еще один тип выражений-логический.

Со стандартным типом переменных Boolean, которые могут приобретать только два значения True или False, вы уже ознакомились. Следовательно, именно такой тип и имеют результаты вычисления логических выражений.

Логические выражения делятся на простые и составные.

Простым логическим выражением называется выражение, которое записывается с помощью знаков соотношений , =, =, и <>.

Примеры простых логических выражений могут показаться вам простыми:

а + b > С + d, п > т, х = у.

Приведем примеры. По математике вам известны следующие записи:

х  [а, b] и х  [a, b].

Попробуем записать их в виде логических выражений

При записи составленных логических выражений простые логические выражения обязательно следует брать в круглые скобки!

Можно ли записать простое логическое выражение n m в виде составного? Оказывается, можно:

Определим правила, по которым вычисляются значения составленных логических выражений. Для этого существуют табли-цы истинности, в которых цифра 0 означает false, а цифра 1 - true. Приведенные таблицы можно перефразировать следующим образом.

Логическая операция and дает результат true тогда и только тогда, когда оба операнда имеют значение true.

Логическая операция or дает результат true тогда, когда хотя бы один операнд имеет значение true.

Логическая операция not всегда дает результат, противоположный значению ее операнда.

Выражение Значения Выражение Значения

not true false not false true

true and true true true or true true

true and false false true or false true

false and true false false or true true

false and false false false or false false

Пример. Пусть x=3, y= -9. Рассмотрим некоторые логические выражения и их значения.

Простые выражения значения составные выражения значения

x=3 true not ( в - 50) true

х > в true (1 х ) and (x

7 mod 3=1 true ( х >4) or ( в

в div 2=4 false ( х >4) or (y>-15) true

Двойное неравенство 1 5 — так: (х 5). Простые логические выражения, которые входят в составные, всегда берут в скобки.

2. Логические переменные

Логические переменные. Значение логических выражений можно придавать

логическим переменным. Это сокращает текст программы.

Для работы с логическими переменными есть тип данных boolean. Напомним, что логических устойчивых есть лишь две: true и false.

Логические переменные нужно описывать в разделе объявления переменных так:

Например, var z, z1, z2: boolean.

Пусть х = 2. Какое значение приобретет переменная z2 после выполнения таких трех команд присваивания:

z: = x > 5; z1:= not z; z2: = z or z1 ?

Ответ: здесь z=false, a zl=true, поэтому переменная z2 будет иметь значение "ИСТИНА" (true).

Справка. Логическим переменным нельзя придавать значение в диалоговом режиме командой read, однако их можно выводить на экран командой write.

Задача. Пусть А, b, с-коэффициенты квадратного уравнения ax2 + bх+с=0. Ответить на вопрос: выражение "квадратное уравнение имеет два действительных разных корня" есть истинное или ложное?

Рассмотрим программу Lohika.

var a, b, с : real; L: boolean;

write (' Введите числа a,b,c: '); readln (a, b, c); L :== b*b-4*a*c> 0;

writeln ('квадратное уравнение имеет два действительных разных корня -', L)

Если во время выполнения программы ввести три числа, например, 2.5 8.1 -2.9, то на экране получим:

Квадратное уравнение имеет два действительных разных корня-TRUE.

Таблица приоритетов арифметических и логических операций имеет следующий вид:

1 () - сначала выполняются действия в скобках

2 функции, логическая операция not

3 *, /, div, mod, and

Условием безошибочного выполнения таких операторов является совпадение типов, то есть переменные в левой части этих опера-ТОРов должны быть описаны типом boolean.

III. Закрепление теоретического материала

Ответьте на вопросы

И. Для чего используют логические выражения?

2. Что такое простое логическое выражение?

3. Какие есть символы отношений между величинами?

4. Что такое составное логическое выражение?

5. Какие есть логические операции?

6. Дайте определение логической операции not.

7. Дайте определение логической операции and.

8. Дайте определение логической операции or.

9. Каков приоритет логических операций?

IV. Формирование практических навыков

Розвязати упражнения и задачи

1. Устно. Истинно ли простое логическое выражение х > 10, если:

а) х=0 (ответ: нет); б) х=2; в) х=10; г) х=5; д) х=15?

2. Устно. Будет ли ложным выражение х >= 10, если:

а) х=1 (ответ: да); б) х=3; в) х=10; г) х=12; д) х=25?

3. Или истинный составлен логическое выражение (x > 1) and (x

а) х=0 (ответ: нет); б) х=2; в) х=10; г) х=5; д) х=15?

4. Или истинный составлен логическое выражение (х 3), если:

а) х=0 (ответ: нет); б) х=2; в) х=10; г) х=5; д) х=15?

5. Значение (true или false) приобретет выражение (х 5), если:

а) х=0 (ответ: true); б) х=2; в) х=10; г) х=5; д) х=15?

6. Запишите логические выражения для неравенств:

а) 0 =0) and (x 9; д) х≤2, x>12; е) х≤0 и в0.

Изучить теоретический материал урока.

1. Запишите логическое выражение для определения, принадлежит ли точка х отрезку:

Образовательная: познакомить учащихся с оператором ветвления на Паскале, с типами ветвления; с формой записи оператора ветвления на Паскале.

Развивающая: сформировать умение записи оператора ветвления в среде программирования Паскаль; развить логическое мышление.

Воспитательная: повысить мотивацию к изучению предмета информатики.

Тема урока: Логические величины и выражения, программирование ветвлений.

Тип урока: урок усвоения новых знаний

Воспитательная: повысить мотивацию к изучению предмета информатики.

Задачи урока:

Обучающие: формирование ЗУН составления алгоритмов ветвления на АЯ, выполнения трассировки ветвящихся алгоритмов, составления блок-схем.

Развивающие: развитие алгоритмического мышления, познавательных интересов, навыков работы на компьютере.

Воспитательные: воспитание информационной культуры учащихся, внимательности, аккуратности, дисциплинированности, усидчивости.

Оборудование: компьютеры.

1. Организационный момент

2. Актуализация опорных знаний

- Два учащихся у доски оформляют следующую задачу в виде программы на языке Паскаль и блок - схем: Даны три стороны треугольника а,b,c. Найти его площадь S.

- Остальные учащиеся выполняют следующее задание на карточке:

var a,b,s,p:integer;

writeln ('введите 2 стороны прямоугольника');

writeln ('периметр 2 сторон=s');

writeln ('площадь 2 сторон=p');

3. Восприятие и первичное осознание нового материала, осмысление связей и отношений в объектах изучения.

Условный оператор используется для выполнения одного из двух возможных вариантов программы.

Формат записи оператор ветвления:

if логическое_условие если логическое_условие верно

then оператор_1 то выполняется оператор_1 ,

else оператор_2; иначе оператор_2;

Перед else точка с запятой не ставится!

Формат полного оператора ветвления: Формат неполного оператора ветвления:
if if

Логическое выражение:

Простой формой логического выражения является операция отношения:

= больше или равно,

Сложные формы логических выражений составляются с использованием логических операций:

not логическое отрицание (НЕ),

and логическое умножение (И),

or логическое сложение (ИЛИ),

xor исключающее ИЛИ

Отрицание, умножение, сложение, операции отношений.

Операторные скобки:

Если после слов then или else нужно выполнить не один оператор, а несколько, то эти операторы заключают в операторные скобки: begin … end

Конструкция такого вида:

относится к составным операторам.

Операторы ветвления могут быть вложены друг в друга, необходимо только следить за тем, чтобы then и else одного и того же оператора располагались друг под другом.

В качестве примера рассмотрим следующую задачу:

Из двух заданных целых чисел выбрать наибольшее.

Если x=5, y=8, то max=8

Если x=6, y=1, то max=6

Если x=5, y=5, то max=5

Программа: Блок-схема:

Program Vetv1en;

Var x, y, max: integer;

Writeln (‘Введите два числа’);

if x =y then max:=x
else max:=y;

Writeln (‘наибольшее = ’,max);

4. Первичная проверка понимания усвоенного, первичное закрепление усвоенного.

1.Дано целое число. Если оно является положительным то прибавить к нему 1, в противном случае вычесть из него два. Вывести полученное число.

2. Даны три стороны одного треугольника и три стороны другого треугольника. Определить, будут ли эти треугольники равновеликими, т. е. имеют ли они равные площади.

Возьмите альбомные листы, изобразите на них 2-3 эскиза вашего будущего дома, определяя местонахождение, форму вашего дома согласно заполненной анкете. Не забывайте о возможности выбора вертикального и горизонтального формата рисунка.

В практической работе вы сегодня попробуете поработать с данными эффектами.

Загрузить презентацию (624 кБ)

Проверка домашнего задания на уроке осуществляется с помощью авторского теста, разработанного в тестирующей оболочке MyTest (Приложение 1), где проверка теста происходит автоматически (результаты теста сразу отправляются на компьютер учителя).

В изучении новой темы дается определение простых и сложных высказываний, а также рассматриваются логические операции Объяснение нового материала осуществляется с помощью интерактивной презентации. В целях закрепления умений и навыков учащимся предлагаются карточки для заполнения (Приложение 2).

В конце урока ученикам предлагается оценить степень удовлетворённости процессом и результатом своей работы и выдаются карточки для выполнения домашнего задания (Приложение 3).

Цель:

Тип урока: комбинированный урок.

Формы работы: фронтальная.

Наглядность и оборудование:

План урока:

Организационный момент (1 мин.)
Проверка изученного материала (10 мин.)
Изучение нового материала (20 мин.)
Закрепление изученного материала (устная работа, 5 мин.)
Подведение итогов урока (2 мин.)
Домашнее задание (2 мин.)

Ход урока

1. Организационный момент.

Цель: подготовить учащихся к уроку.

Объявляется тема урока. Перед учащимися ставится задача: показать, как они научились решать задачи по теме.

2. Повторение изученного материала.

3. Изучение нового материала.

Вопросы для изучения:

Простые и сложные выражения.
Основные логические операции.

При объяснении нового материала используется компьютерная презентация (презентация.PPT)

Логические выражения могут быть простыми и сложными.

Сложное логическое выражение содержит высказывания, объединенные логическими операциями. По аналогии с понятием функции в алгебре сложное логическое выражение содержит аргументы, которыми являются высказывания.

По ходу объяснения нового материала ученики заполняют в тетради таблицу следующего вида.

Название логической операции	Обозначение логической операции	Результат выполнения логической операции	Таблица истинности	Примеры
Отрицание
Дизъюнкция
Конъюнкция
Импликация
Эквиваленция

В качестве основных логических операций в сложных логических выражениях используются следующие:

НЕ (логическое отрицание, инверсия);
ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция);
И (логическое умножение, конъюнкция)

Операция НЕ — логическое отрицание (инверсия)

Логическая операция НЕ применяется к одному аргументу, в качестве которого может быть и простое, и сложное логическое выражение. Результатом операции НЕ является следующее:

если исходное выражение истинно, то результат его отрицания будет ложным;
если исходное выражение ложно, то результат его отрицания будет истинным.

Для операции отрицания НЕ приняты следующие условные обозначения: НЕ, ‾, ˥ not А. Результат операции отрицания НЕ определяется следующей таблицей истинности.

Операция ИЛИ — логическое сложение (дизъюнкция, объединение)

Логическая операция ИЛИ выполняет функцию объединения двух высказываний, в качестве которых может быть и простое, и сложное логическое выражение. Высказывания, являющиеся исходными для логической операции, называют аргументами.

Результатом операции ИЛИ является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинно будет хотя бы одно из исходных выражений.

Результат операции ИЛИ определяется следующей таблицей истинности:

А	В	A v В
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Применяемые обозначения: А или В; A v В; А ог В. При выполнении сложных логических преобразований для наглядности условимся пользоваться обозначением А + В, где А, В — аргументы (исходные высказывания).

Операция И — логическое умножение (конъюнкция)

Логическая операция И выполняет функцию пересечения двух высказываний (аргументов), в качестве которых может быть и простое, и сложное логическое выражение.

Результатом операции И является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинны оба исходных выражения.

Результат операции И определяется следующей таблицей истинности:

А	В	А^ В
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Применяемые обозначения: А и В; А ^ В; А & В; A and В.

Условимся пользоваться при выполнении сложных логических преобразований обозначением A-В, где А, В — аргументы (исходные высказывания).

Эта операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием, а второе — следствием из этого условия.

Результат операции следования (импликации) ложен, только тогда, когда предпосылка А истинна, а заключение В (следствие) ложно.

А	В	Если А, то В
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Применяемое обозначение: А ~В.

Результат операции эквивалентность истинен только тогда, когда А и В одновременно истинны или одновременно ложны.

Читайте также: