Лекальные кривые инженерная графика конспект

Обновлено: 06.07.2024

точки до двух точек фокусов есть величина постоянная, равная большей оси эллипса. Построить эллипс можно несколькими способами. Например, можно построить эллипс по его большой АВ и малой CD осям (рис. 37, а). На осях эллипса как на диаметрах строят две окружности, которые можно разделить радиусами на несколько частей. Через точки деления большой окружности проводят прямые, параллельные малой оси эллипса, а через точки деления малой окружности — прямые, параллельные большой оси эллипса. Точки пересечения этих прямых и являются точками эллипса.

Можно привести пример построения эллипса по двум сопряженным диаметрам (рис. 37,б) MN и KL. Сопряженными два диаметра называют, если каждый из них делит пополам хорды, параллельные другому диаметру. На сопряженных диаметрах строят параллелограмм. Один из диаметров MN делят на равные части; на такие же части делят и стороны параллелограмма, параллельные другому диаметру, нумеруя их, как показано на чертеже. Из концов второго сопряженного диаметра KL через точки деления проводят лучи. В пересечении одноименных лучей получают точки эллипса.

Параболой называют незамкнутую кривую второго порядка, все точки которой равно удалены от одной точки — фокуса и от данной прямой — директрисы.

Рассмотрим пример построения параболы по ее вершине О и какой-либо точке В (рис. 38, а). С этой целью строят прямоугольник ОABC и делят его стороны на равные части, из точек деления проводят лучи. В пересечении одноименных лучей получают точки параболы.

Можно привести пример построения параболы в виде кривой, касательной прямой с заданными на них точками А и В (рис. 38, б). Стороны угла, образованного этими прямыми, делят на равные части и ну-

меруют точки деления. Одноименные точки соединяют прямыми. Параболу вычерчивают как огибающую этих прямых.

Гиперболой называют плоскую незамкнутую кривую второго порядка, состоящую из двух веток, концы которых удаляются в бесконечность, стремясь к своим асимптотам. Гипербола отличается тем, что каждая точка ее обладает особым свойством: разность ее расстояний от двух данных точек-фокусов есть величина постоянная, равная расстоянию между вершинами кривой. Если асимптоты гиперболы взаимно перпендикулярны, она называется равнобокой. Равнобокая гипербола широко применяется для построения различных диаграмм, когда задана своими координатами одна точка М (рис. 38, в). В этом случае через заданную точку проводят линии АВ и KL параллельно координатным осям. Из полученных точек пересечения проводят линии, параллельные координатным осям. В их пересечении получают точки гиперболы.

Циклоидой называют кривую линию, представляющую собой траекторию точки А при перекатывании окружности (рис. 39). Для построения циклоиды от исходного положения точки А откладывают отрезок АА], отмечают промежуточное положение точки А. Так, в пересечении прямой, проходящей через точку 1, с окружностью, описанной из центра О₁, получают первую точку циклоиды. Соединяя плавной прямой построенные точки, получают циклоиду.

Синусоидой называют плоскую кривую, изображающую изменение синуса в зависимости от изменения его угла. Для построения синусоиды (рис. 40) нужно разделить окружность на равные части и на такое же количество равных частей разделить отрезок прямой АВ = 2лR. Из одноименных точек деления провести взаимно перпендикулярные линии, в пересечении которых получают точки, принадлежащие синусоиде.

Эвольвентой называют плоскую кривую, являющуюся траекторией любой точки прямой линии, перекатываемой по окружности без скольжения. Построение эвольвенты выполняют в следующем порядке (рис. 41): окружность делят на равные части; проводят касательные к окружности, направленные в одну сторону и проходящие через каждую точку деления; на касательной, проведенной через последнюю точку деления окружности, откладывают отрезок, равный длине окружности 2лR, который делят на столько же равных частей. На первой касательной откладывают одно деление 2лR/n , на второй — два и т. д.

Полученные точки соединяют плавной кривой и получают эвольвенту окружности.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

План урока по черчению

Тема: Построение овала, эллипса.

Образовательная: сформировать знания учащихся по новой теме, научиться строить овал и эллипс;

Развивающая: развивать аккуратность, эстетический вкус, развивать познавательный интерес и интеллект у учащихся, а так же навыки черчения;

Воспитательная: воспитывать бережное отношение к предметам и приспособлениям, воспитывать чувство взаимопомощи, дисциплинированность, воспитывать усидчивость, прилежность и самостоятельность.

Тип урока: комбинированный

Программное дидактическое оснащение : учебник по черчению, чертежные инструменты, доска.

Структура урока:

1. Организационный момент (2-3 мин);

2. Повторение пройденного материала (3 мин);

3. Изучение нового материала (10 мин);

4. Практическая работа (20 мин);

5. Подведение итогов. Рефлексия (3 мин);

6. Домашнее задание (2 мин).

Приветствие. Проверка отсутствующих, наличия учебных принадлежностей.

Повторение пройденного материала.

Прежде чем мы начнем изучать новую тему, давайте повторим тему прошлых уроков. Ответьте на следующие вопросы:

1.)Что такое сопряжение? (Сопряжение - плавный переход одной линии в другую)

2)Что такое касательная к окружности? (Прямая называется касательной к окружности, если она имеет только одну общую точку с этой окружностью).

Изучение нового материала.

Некоторые детали машин, инструменты для обработки металлов имеют контуры, ограниченные замкнутыми кривыми линиями, состоящими из взаимносопрягающихся дуг окружностей различных диаметров.

Коробовыми кривыми называются кривые, образованные сопряжением дуг окружностей. К таким кривым относятся овалы, овоиды, завитки.

Овал- замкнутая коробовая кривая, имеющая две оси симметрии.

Построение овала.

Построить овал можно двумя способами, в зависимости от изначально заданных параметров.

1 способ: когда задается ширина и высота овала.

2 способ: когда задается только ширина овала.

Рассмотрим 1 способ построения овала

Построение овала по двум заданным осям симметрии (большей и меньшей) выполняется в следующей последовательности:

1. Проводим две оси симетрии, пересекающиеся под прямым углом.

2. На вертикальной оси отложим заданный нам размер ширины овала СD (по половине размера вверх и вниз из точки О). На горизонтальной оси таким же образом отложим длину овала АВ.

3. Соединяем прямой линией точки С и В.

4. Из центра О соединяем горизонтальную и вертикальную ось радиусом ОВ (намечаем точку е)

5. Из точки С проводим дугу радиусом Се до пересечения с наклонной прямой СВ (намечаем точку f).

6. Участок между точками f и B наклонной прямой делим на две равные части. Для этого из точки f проводим дугу радиусом fВ, затем из точки В проводим дугу того же радиуса, до пересечения с дугой, построенной ранее.

7. Соединяем точки пересечения дуг. Эта линия будет являться перпендикуляром к отрезку fВ и будет делить его пополам. Отмечаем точки пересечения построенной линии с горизонтальной и вертикальной осями симетрии (l и k).

8. Строим точку m симметричную точке l.

9. Строим точку n симметричную точке k.

10. Из точки k проводим прямую через точку m. Из точки n проводим прямые мерез точки m и l.

11. Радиусом равным расстоянию kC из точки k проводим дугу, соединяющую наклонные линии, исходящие из точки k. Тем же радиусом из точки n, как из центра, проводим дугу соединяющую наклонные линии исходящие из точки n.

12. Из точек m и l, как из центров, проводим дуги радиусом mA и замыкаем ими ранее проведенные дуги.

На этом построение овала можно считать за к онченым.

Овоид - замкнутая коробовая кривая,имеющая только одну ось симметрии.

Завиток - плоская спиральная кривая, вычерчиваемая циркулем путем сопряжения дуг окружностей.

Построение завитков выполняют при вычерчивании таких деталей, как пружины и спиральные направляющие.

Построение завитков выполняется из двух, трех и более центров и зависит от формы и размеров “глазка”, который может быть окружностью, правильным треугольником, шестиугольником и т.п.

При выполнении чертежей часто приходится прибегать к вычерчиванию кривых, состоящих из ряда сопряженных частей, которые невозможно провести циркулем. Такие кривые строят обычно по ряду принадлежащих им точек, которые затем соединяют плавной линией сначала от руки карандашом, а затем обводят при помощи лекал.

Рассматриваемые лекальные кривые располагаются в одной плоскости и называются поэтому плоскими.

Лекальные кривые широко применяются в машиностроении для очертания различных технических деталей, например: кронштейнов, ребер жесткости, кулачков, зубчатых колес, фасонного инструмента и т.п.

К лекальным кривым относят эллипс, параболу, гиперболу, циклоиду, эпициклоиду, эвольвенту, синусоиду, спираль Архимеда и др.

Построение эллипса.

Эллипс - замкнутая плоская кривая, сумма расстояний каждой точки которой до двух данных точек(фокусов), лежащих на большой оси, есть величина постоянная и равная длине большой оси.

Широко применяемый в технике способ построения эллипса по большой(АВ) и малой(СD) осям.

Проводят две перпендикулярные осевые линии. Затем от центра О откладывают вверх и вниз по вертикальной оси отрезки, равные длине малой полуоси, а влево и вправо по горизонтальной оси-отрезки, равные длине большой полуоси.

Из центра О радиусами ОА и ОС проводят две концентрические окружности и ряд лучей-диаметров. Из точек пересечения лучей с окружностями проводят линии, параллельные осям эллипса, до взаимного пересечения в точках, принадлежащих эллипсу. Полученные точки соединяют от руки и обводят по лекалу.

Построение эллипса вписанного в ромб

Вначале строят ромб со стороной, равной диаметру изображаемой окружности. Для этого через точку О проводят изометрические оси x и y .

На них от точки О откладывают отрезки, равные радиусу изображаемой окружности. Через точки а, b , с, d проводят прямые параллельные осям; получают ромб.

Большая ось овала располагается на большой диагонали ромба.

После этого вписывают в ромб овал. Для этого из вершин тупых углов (точек А и В) описывают дуги.

Их радиус R равен расстоянию от вершины тупого угла (точек А и В) до точек а, b или с,d соответственно.

Через точки B и a , B и b проводят прямые. В пересечении прямых Ba и В b с большей диагональю ромба находятся точки C и D . Эти точки будут центрами малых дуг. Их радиус R , равен С a (или Db ).

Дугами этого радиуса плавно соединяют большие дуги овала.

Практическая работа

Для решения некоторых проблем не всегда достаточно глубокого анализа. Иногда умную мысль легче выловить в бушующем море идей, нежели из ровной поверхности размеренной задумчивости. В этом случае оправдано применение техники мозгового штурма, цель которой – быстро найти верное решение.

Упражнение 1. Циркульные кривые.

Работаем в паре с соседом по парте, задание: найти другие способы построения овалов.

Упражнение 2. Лекальные кривые.

Цель задания. Научиться чертить лекальную кривую – эллипс (со сторонами 60мм;30мм)

Подведение итогов. Рефлексия.

Учесть правильность и качество выполненной работы.

д/з: Откройте дневники и запишите домашнее задание: §1.11+ построение в тетради (Выполнить чертеж предмета, форма которого образована на основе циркульных и лекальных кривых (машиностроительной детали, плоской игрушки, ювелирного изделия и т.п.).)

Рассматриваемые лекальные кривые располагаются в одной плоскости и называются поэтому плоскими.

Пространственные кривые здесь не рассматриваются.

Чтобы начертить плавную лекальную кривую, необходимо иметь набор из нескольких лекал. Выбрав подходящее лекало, надо подогнать кромку части лекала к возможно большему количеству заданных точек кривой. На рис. 71 участок кривой между точками 1—6 уже обведен. Чтобы обвести следующий участок кривой, нужно приложить кромку лекала, например, к точкам 5—10, при этом лекало должно касаться части уже обведенной кривой (между точками 5 и 6). Затем обводят кривую между точками и 9, оставляя участок между точками 9 и 10 необведенным, что позволит получить кривую между точками 9 и 72 более плавной.

Ниже рассмотрены способы построения кривых, наиболее часто встречающихся в технике.

КРИВЫЕ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ

При сечении прямого кругового конуса плоскостями, различно расположенными по отношению к осям конуса, получаются контуры сечения, образующие эллипс, параболу и гиперболу.

При пересечении плоскостью P_v всех образующих конуса получается эллипс (рис. 72, а и б).

При пересечении конуса плоскостью P_v параллельной одной из образующих конуса (рис. 72, в), получается парабола (рис. 72, г).

При пересечении конуса плоскостью P_v параллельной оси конуса, получается гипербола (рис. 72, и Если плоскость P_v параллельна оси конуса и проходит через вершину конуса, в сечении получается треугольник.

Эллипс — замкнутая плоская кривая, сумма расстояний каждой точки которой до двух данных точек (фокусов), лежащих на большой оси, есть величина постоянная и равная длине большой оси.

Широко применяемый в технике способ построения эллипса по большой (АВ)и малой (CD) осям представлен на рис. 72, б.

Проводят две перпендикулярные осевые линии. Затем от центра О откладывают вверх и вниз по вертикальной оси отрезки, равные длине малой полуоси, а влево и вправо по горизонтальной оси — отрезки, равные длине большой полуоси.

Из центра О радиусами О А и ОС проводят две концентрические окружности и ряд лучей-диаметров. Из точек пересечения лучей с окружностями проводят линии, параллельные осям эллипса, до взаимного пересечения в точках, принадлежащих эллипсу. Полученные точки соединяют от руки и обводят по лекалу.

На рис. 73, а показан резервуар, контурное очертание днища которого имеет форму части эллипса.

Построение очертания днища (половины эллипса) приведено на рис. 73, б. Большой осью эллипса является диаметр D цилиндрической части резервуара, а малой полуосью эллипса — наибольшее расстояние по вертикали от большой оси до днища.

Парабола — плоская кривая, каждая точка которой равноудалена от директрисы DD₁ прямой, перпендикулярной к оси симметрии параболы, и от фокуса F — точки, расположенной на оси симметрии параболы (см. рис. 72, г).

Расстояние KF между директрисой и фокусом называется параметром р параболы. Точка О, лежащая на оси симметрии, называется вершиной параболы и делит параметр р пополам.

Для построения параболы по заданной величине параметра р проводят ось симметрии параболы (на рисунке вертикально) и откладывают отрезок KF=p. Через точку К перпендикулярно оси симметрии проводят директрису DD₁ Отрезок делят пополам и получают вершину О параболы. От вершины О вниз на оси симметрии намечают ряд произвольных точек l— VI с постепенно увеличивающимся расстоянием между ними. Через эти точки проводят вспомогательные прямые, перпендикулярные оси симметрии. На вспомогательных прямых из фокуса F делают засечки радиусом, равным расстоянию от прямой до директрисы. Например, из точки F на вспомогательной прямой.

проходящей через точки делают засечку дугой R₁=KV; полученная точка 5 принадлежит параболе.

Если требуется построить параболу по заданной вершине О, оси ОС и точке В (рис. 74, а), то строят вспомогательный прямоугольник ABCO. Стороны прямоугольника А В и АО делят на равные части и точки делений нумеруют. Горизонтальный ряд делений соединяют лучами с вершиной О, а через точки делений, расположенные на АО, проводят прямые линии, параллельные оси параболы. Точки пересечения горизонтальных прямых 1₁, 2 ₁,3₁, с лучами 01, 02, 03, . принадлежат параболе.

В станкостроении и других отраслях машиностроения часто применяются детали, контурные очертания которых выполнены по параболе, например, стойка и рукав радиально-сверлильного станка (рис. 74, б).

Построение параболы для контурного очертания рукава радиально-сверлильного станка приведено на рис. 74, в. Данными для построения являются две точки параболы А и В и направление касательных, проходящих через эти точки и пересекающихся в точке С.

Гипербола — плоская кривая, состоящая из двух разомкнутых, симметрично расположенных ветвей (см. рис. 72, е). Разность расстояний от каждой точки гиперболы до двух данных точек (фокусов F и F₁) есть величина постоянная и равная расстоянию между вершинами гиперболы А и В.

Рассмотрим прием построения гиперболы по заданным вершинам А и В и фокусному расстоянию FF₁ (рис. 72, е).

Разделив фокусное расстояние пополам, получают точку О, от которой в обе стороны откладывают по половине заданного расстояния между вершинами А и В. Вниз от фокуса F намечают ряд произвольных точек 1, 2, 3, 4 . с постепенно увеличивающимся расстоянием между ними. Из фокуса F описывают дугу вспомогательной окружности радиусом R , равным, например, расстоянию от вершины гиперболы В до точки 3. Из фокуса F₁ проводят вторую дугу вспомогательной окружности радиусом r, равным расстоянию от вершины А до точки 3. На пересечении этих дуг находят точки С и C₁, принадлежащие гиперболе. Таким же способом находят остальные точки гиперболы.

Вторую ветвь гиперболы строят аналогичным образом.

На рис. 75 показана проушина с конической поверхностью, срезанной двумя плоскостями, параллельными оси конуса, контур среза ограничен гиперболой.

СИНУСОИДА

Синусоида — плоская кривая, изображающая изменение синуса в зависимости от изменения угла (рис. 76, a).

Для построения синусоиды проводят горизонтальную ось и на ней откладывают заданную длину волны А В (рис. 76, а). Отрезок А В делят на несколько равных частей, например, на 12. Слева вычерчивают окружность, радиус которой равен величине амплитуды, и делят ее также на 12 равных частей; точки деления нумеруют и через них проводят горизонтальные прямые. Из точек деления отрезка AВ восставляют перпендикуляры к оси синусоиды и на их пересечении с горизонтальными прямыми находят точки синусоиды.

Полученные точки синусоиды a₁ , a₂,a₃. соединяют по лекалу кривой.

При выполнении чертежей деталей или инструментов, поверхности которых очерчены по синусоиде (рис. 76, б и в), величину длины волны обычно выбирают независимо от размера амплитуды г. Например, при вычерчивании шнека (рис. 76. б) длина волны L меньше размера 2πr. Такая синусоида называется сжатой. Если длина волны больше размера 2πr то синусоида называется вытянутой.

СПИРАЛЬ АРХИМЕДА

Спираль Архимеда — плоская кривая, которую описывает точка, движущаяся равномерно от центра О по равномерно вращающемуся радиусу (рис. 77).

Для построения спирали Архимеда задают ее шаг Р, из центра О проводят окружность радиусом, равным шагу Р спирали, и делят шаг и окружность на несколько равных частей (рис. 77, Точки деления нумеруют.

Из центра О проводят радиальные прямые, проходящие через точки деления окружности.

Из центра О радиусами 01, 02 и т. д. проводят дуги до пересечения с соответствующими радиальными прямыми. Например, дуга радиуса 03 пересекается с прямой 03₁ в точке III. Полученные точки II. VIII, принадлежащие спирали Архимеда, соединяют плавной кривой по лекалу.

ЭВОЛЬВЕНТА

Эвольвента окружности — траектория любой точки прямой линии, перекатываемой без скольжения по окружности.

Пусть неподвижный диск диаметром D огибает шнур длиной πВ (рис. 78, а). Один конец шнура закреплен в точке А, а другой при развертывании по направлению стрелок (в натянутом положении) опишет траекторию в виде плоской кривой линии — эвольвенты.

В машиностроении профили зубьев колес и зуборезный инструмент — пальцевую фрезу — выполняют по эвольвенте (рис. 78, b).

Для построения эвольвенты заданную окружность диаметра D делят на несколько равных частей (на рис. 78, в — на 12 частей), которые нумеруют. Из конечной точки (72) проводят касательную к окружности и на ней откладывают отрезок, равный длине окружности πD. Длину окружности делят также на равные части.

Из точек делений окружности 1, 2,3. 12 проводят

касательные к окружности и на них откладывают отрезки; на первой касательной — отрезок 12 на второй — 12 2' на третьей — 12 3 и т. д. Соединив точки I—XII по лекалу, получают эвольвенту окружности.

ПD. Длину окружности делят также на равные части. Из точек делений окружности 1, 2, 3, проводят касательные к окружности и на них откладывают отрезки; на первой касательной — отрезок 12 1' , на второй — 12 2' ,на третьей — и т. д. Соединив точки I—X11 по лекалу, получают эвольвенту окружности.

ЦИКЛОИДАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ

Циклоида — плоская кривая, которую описывает точка А, лежащая на окружности, которая катится без скольжения по прямой CD (рис. 79, а).

Эпициклоида — плоская кривая, которую описывает точка А, лежащая на окружности, которая катится без скольжения, снаружи по направляющей окружности (рис. 79, б).

Гипоциклоида — плоская кривая, которую описывает точка А, лежащая на окружности, которая катится без скольжения внутри по направляющей окружности (рис. 79, в).

Построение циклоиды. На направляющей прямой ВС (рис. 79, а) откладывают длину производящей окружности диаметра D, равную nD. Окружность диаметра D и отрезок АA 12 ВС делят на равные части, например, на 12. Из точек делений прямой ВС (1',2',3'. 12') восставляют перпендикуляры до пересечения с продолжением горизонтальной оси окружности в точках 0₁ ,0₂ . 0₁₂, а из точек делений окружности (1, 2, 3, . 12) проводят горизонтальные прямые. Из точек Ov 02, . Ol2, как из центров, проводят окружности диаметра D, которые пересекаясь с горизонтальными линиями, образуют точки А₁ ,A₂,A₃. A₁₂ , принадлежащие циклоиде.

Построение эпициклоиды. Производящую окружность диаметра D и направляющую окружность радиуса R проводят так, чтобы они касались (рис. 79, ). Производящую окружность диаметра D делят на 12 равных частей. Из центра 0О радиусом, равным R+0,5D, проводят вспомогательную дугу.

Коробовые кривые и овалы состоят из нескольких дуг различного радиуса. Это значит, что на всем протяжении каждой дуги кривизна кривой остается постоянной. Но есть много кривых, кривизна которых изменяется непрерывно на каждом элементе кривой, для их выполнения существуют так называемые лекала, поэтому и кривые называются лекальными кривыми. Для построения такой кривой сначала находят несколько точек (не менее трех), по которым проводят плавную линию.

К лекальным кривым, вычерчиваемым по точкам, относятся кривые различных диаграмм и так называемые плоские кривые второго порядка:

Эллипсом называется замкнутая кривая, сумма расстояний каждой точки которой от двух данных точек, называемых фокусами, постоянна (Рисунок 1) 1F₁+1F₂=2F₁+2F₂=. nF₁+nF₂=const.

Рисунок 1 - Эллипс

Рисунок 2 - Построение эллипса по заданному расстоянию между фокусами F₁ и F и его большой оси АВ

Рисунок 3 - Построение эллипса по заданным осям

Рассмотрим пример построения эллипса по заданному расстоянию между фокусами F₁ и F и его большой оси АВ (Рисунок 2). Для этого откладываем от точек А и В по половине расстояния между фокусами и получаем точки Е и Е₁(таким же образом можно использовать любую точку, взятую на АВ между фокусами). Через точку О перпендикулярно АВ проводим линию, на которой будет расположена малая ось эллипса СD. Для этого делаем засечки на этой прямой из точки F₁ или F радиусом, равным половине длины большой оси, и получаем малую ось эллипса CD.

Чтобы получить одну точку, принадлежащую эллипсу, необходимо из фокуса F₂ провести дугу R=AE, а из фокуса F₁ провести дугу R=BE, в пересечении дуг получим точку I, принадлежащую эллипсу, так как AE+BE=AB. Таким же способом определяют любую точку эллипса, например точку II, для чего на АВ надо взять точку К.

Построим эллипс по заданным осям большой АВ и малой CD (Рисунок 3). Из точки О чертим две концентрические окружности, диаметры которых равны заданным осям эллипса. Обе окружности делим на произвольное, но равное число частей, например двенадцать. Через точки деления 1, 2, 3, 4 и т.д. на большой окружности проводим прямые, параллельные CD, а через точки деления на малой окружности - прямые, параллельные АВ. От взаимного пересечения этих прямых получим ряд точек: I, II, III, iV и т.д., это и будут искомые точки эллипса, которые соединим плавной кривой по лекалу.

Параболой называется плоская кривая, каждая точка которой расположена на одинаковом расстоянии от заданной прямой, называемой директрисой, и от точки, называемой фокусом параболы (Рисунок 4): BK=KF, B₁K₁=K₁F и т.д. Расстояние между фокусом и директрисой называется параметром параболы, от которого и зависит очертание этой кривой. С изменением параметра изменяется и парабола: чем меньше параметр, тем она уже, чем больше, тем парабола шире.

Рисунок 4 Парабола

Рисунок 5 Построение параболы по заданному параметру р

Построим параболу по заданному параметру р (Рисунок 5). Для этого проводим горизонтальную ось параболы и на ней откладываем заданный параметр, после чего определяем точку А - вершину параболы, фокус и директрису. Вершина параболы находиться в середине отрезка OF, т.е. на расстоянии р/2 от точек О и F. Через точку О проводим прямую CD перпендикулярную АВ. Вправо от вершины А отмечаем ряд произвольных точек 1, 2, 3, 4, 5, 6. Через намеченные точки проводим прямые, параллельные CD, а на них из фокуса F как из центра радиусом 0-1, 0-2, 0-3, . 0-6 делаем засечки, пересекающие прямые в точках 1'=1; 2'=2 и т.д. Соединяя полученные по точки с вершиной и между собой по лекалу, получим кривую линию, называемую параболой.

Гиперболой называется плоская кривая, у которой разность расстояний любой точки от фокусов F₁ и F постоянна и равна расстоянию между вершинами (Рисунок 6), т.е. F₁B - FB=F₁B₁ - FB₁=. F₁n - Fn=const=AA₁. Гипербола состоит из двух ветвей, симметрично расположенных относительно точки О. Обе ветви стремятся приблизиться к линиям, называемым асимптотами. Точка пересечения асимптот называется центром. Расстояние между вершинами ветвей гиперболы называется параметром гиперболы: АА₁=2а.

Рисунок 6 Гипербола

Рисунок 7 Построение гиперболы

Рассмотрим построение гиперболы по данной действительной оси АА₁=2а и фокусами F₁ и F (Рисунок 7). На горизонтальной прямой откладываем заданный параметр гиперболы АА₁=2а и фокусы внутри гиперболы. Из точки F₁ как из центра проводим ряд дуг произвольными радиусами r₁, r₂, r₃ и т.д., затем из точки F₁ засекаем эти дуги радиусами R₁=r₁+2a, R₂=r₂+2a, R₃=r₃+2a и т.д. Точки пересечения дуг будут принадлежать одной из ветвей гиперболы. Симметричную ветвь гиперболы строим подобным же образом или по известным уже точкам первой ветви. Для проведения мнимой оси отрезок АА₁ делим пополам. Это будет центр О, через который проводим линию, перпендикулярную АА₁. Для построения асимптот гиперболы описываем из точки О радиусом ОF₁ окружность, а через вершины А и А₁ проводим прямые, параллельные мнимой оси ОY. Точки пересечения проведенных прямых с окружностью определяют направление асимптот.

Рисунок 8 Построение циклоиды

Циклоидой называется плоская кривая, описываемая точкой, которая катится без скольжения по прямой линии (Рисунок 8). Для построения циклоиды проводим прямую СВ и на ней отмечаем точку А - начало движения окружности заданного диаметра. В точке А восставляем перпендикуляр и на нем откладываем радиус или заданный диаметр данной окружности. Из полученной точки О заданным радиусом описываем окружность, которую делим делим на равные части, например на 12. На прямой СВ от точки А откладываем длину окружности πD, которую делим на то же число равных частей.

Через точки деления 1, 2, 3, . 12 на окружности проводим линии, параллельные СВ. Линия, проходящая через центр окружности О, будет центровой линией ОО₁₂. Из точек деления 1, 2, 3, . 12 на прямой СВ восставляем перпендикуляры до центровой линии, точки пересечения О₁, О₂, . О₁₂ - положение центров окружности в различные моменты движения. Из этих точек описываем окружности заданного радиуса. В точках пересечения этих окружностей с линиями, проведенными из точек деления окружности в первоначальном ее положении, параллельными СВ, получим точки, принадлежащие кривой циклоиды, соединив которые между собой по лекалу, получим кривую, называемую циклоидой.

Гипоциклоидой (Рисунок 9) называется кривая, описываемая точкой окружности, которая катится без скольжения по внутренней стороне дуги неподвижной окружности. Катящаяся окружность называется производящей, а дуга - направляющей.

Рисунок 9 Построение гипоциклоиды

Построим гипоциклоиду - по заданному радиусу R, направляющей дуги и диаметру D производящей окружности. Из точки О как из центра радиусом R проводим направляющую дугу. Определяем произвольный центральный угол â=180d/R и из точки О проводим два луча ОА и ОВ. Из точки О₀ проводим центральную линию производящей окружности радиусом R=ОО₀. Эта линия пересечет лучи, проходящие через точки А и В, в точках О₀ и О₁₂. Из центра О₀ проводим производящую окружность диаметром D и делим ее, например на двенадцать частей, отмечая точки деления. Дугу АВ делим на такое же число равных частей и тоже отмечаем все точки. Из точки О через точки деления О₁, . О₁₂ проводим лучи до пересечения с линией центров, а через точки деления 1. 12 производящей окружности проводим вспомогательные дуги.

Пересечения вспомогательных дуг с производящей окружностью при ее движении дадут искомые точки, соединив которые плавной кривой по лекалу, получим кривую, называемую гипоциклоидой.

Рисунок 10 Построение эпициклоиды

Эпициклоидой (Рисунок 10) называется плоская кривая, которую описывает точка окружности при ее качении без скольжения по наружной стороне дуги неподвижной окружности. Если обозначить диаметр производящей окружности через D, радиус направляющей дуги через R, а центральный угол охвата эпициклоиды через â, то â=180D/R. Построение эпициклоиды производиться аналогично построению гипоциклоиды.

Спиралью называется плоская кривая, описываемая точкой, удаляющейся от центра, совершая круговое движение в плоскости чертежа около центра спирали. В практике различают спирали с постоянным и постепенно возрастающим расстоянием между завитками. Обычно спирали строят по точка и вычерчивают с помощью лекала.

Спираль Архимеда (Рисунок 11) – плоская кривая, описываемая точкой, движущейся по радиусу-вектору, который вращается в плоскости вокруг неподвижной точки О.

Рисунок 11 Спираль Архимеда

Построим спираль Архимеда по заданному шагу. Шаг спирали А8 делим на несколько частей, например на 8. Из точки О как из центра проводим окружность радиуса R, равного шагу, и делим ее тоже на восемь частей и проводим радиусы-векторы 01’, 02’, 03’, …, 08’. Дугами, проведенными из центра О, переносим точку 1 с шага на радиус-вектор 01’, точку 2 на 02’, точку 3 на 03’ и т.д. Через полученные точки А₁, А₂, А₃,…, А₈ проводим кривую линию-спираль Архимеда (один оборот).

Эвольвента круга (Рисунок 12) – это плоская кривая, образуемая точкой на прямой, которая перемещается без скольжения по неподвижной окружности заданного радиуса. Эта кривая иногда называется разверткой окружности.

Рисунок 12 Эвольвента круга

Построение эвольвенты начинается с деления заданной окружности на произвольное число равных частей, например двенадцать. В точках 1,2,3 и т.д. проводим касательные к окружности. На каждой из этих касательных последовательно откладываем длину окружности, равную πD/12, в точке 1,затем 2 πD/12 – в точке 2 и т.д. На касательной к точке 12 откладываем длину окружности, равную πD. Соединяя последовательно плавной кривой по лекалу полученные точки 1’, 2’, 3’ и т.д., получим кривую, называемую эвольвентой.

Синусоида (Рисунок 13) - это кривая, образуемая точкой, которая совершает одновременно два движения: равномерно поступательное и возвратно поступательное в направлении, перпендикулярном к направлению первого движения.

Рисунок 13 Синусоида

Для построения синусоиды заданную окружность радиуса R делим на произвольное число равных частей, например двенадцать. Проводим прямую АВ, которая должна равняться длине окружности 2πR , и делим ее на такое же число частей. Восставляя перпендикуляры к прямой АВ из точек деления 1, 2, 3 и т.д. и пересекая их прямыми, проведенными через точки деления окружности, получим при пересечении искомые точки синусоиды А₁, А₂,

В очертаниях отдельных элементов деталей машин, механизмов, конструкций различных строительных сооружений, а также деталей швейных изделий встречаются кривые линии.

В геометрическом черчении кривые делят на две группы в зависимости от инструментов, которыми выполняется их построение.

Кривые, состоящие из дуг окружностей, графическое построение которых производят циркулем, называются циркульными кривыми . К ним относят: овал, овоид, завитки.

Кривые, которые строят по точкам, и графическое построение которых выполняется с помощью лекал, называются лекальными кривыми . К ним относят: эллипс, парабола, гипербола, эвольвента, спираль Архимеда, синусоида.

Если все точки кривой линии лежат в одной плоскости, такие кривые называют плоскими кривыми . Если точки кривой не лежат в одной плоскости, такие кривые называют пространственными кривыми .

Построение циркульных кривых

Овал – плавная замкнутая симметричная кривая, состоящая из четырех сопрягающихся дуг. Для его построения нужно найти четыре центра дуг и четыре точки сопряжения.

Овал имеет две оси: большую и малую. Они делят его на симметричные части.

Алгоритм построения овала по двум заданным осям:

1.Проводят 2 взаимно перпендикулярные линии с точкой пересечения О и на них откладывают размеры заданных осей;

2. Точки А и С соединяют прямой линией;

3.Из точки О радиусом ОА проводят дугу до пересечения с вертикальной линией в точке Е;

4. Отрезок СЕ является разностью полуосей;

5. Этот отрезок откладывают на отрезке АС от точки С, получают точку F;

6. Через середину отрезка AF проводят серединный перпендикуляр (способом деления отрезка пополам циркулем), который пересекает большую ось в точке 1, а малую – в точке 2. Точка 1 – центр левой малой дуги, точка 2 – центр верхней большой дуги;

7. Так как овал – фигура симметричная,

то справа от точки О находится (R=О1) точка 3 – центр правой малой дуги и точка 4 – центр нижней большой дуги

8. Поскольку точки сопряжения лежат на прямых, соединяющих центры дуг, точки 1 и 4, 3 и 4, 1 и 2, 2 и 3 соединяют прямыми. Эти прямые ограничивают длину дуг и на них будут находиться точки сопряжения;

9. Для построения овала из центров 1 и 3 проводят дуги радиусом R=1А до пересечения с прямыми в точках 5,6,7 и 8 (это точки сопряжения);

10. Из центра 2 радиусом R=2С проводят дугу от точки 5 до точки 8;

11. Из центра 4 радиусом R=4D проводят дугу от точки 6 до точки 7.

Построение лекальных кривых

Лекальные кривые называются так потому, что она обводятся по лекалу. Принадлежащие им точки не лежат на окружностях или дугах, их строят по определенным законам, соединяют тонкой плавной линией от руки и обводят по лекалу небольшими участками.

При вычерчивании лекальных кривых сначала находят точки, принадлежащие этой кривой. Затем точки соединяют плавной тонкой линией от руки. Полученную линию обводят по лекалу. Чтобы при обводке не нарушалась плавность линии, необходимо подбирать лекало так, чтобы захватывать не менее трех точек кривой. Обводить линии нужно так, чтобы обводка каждого участка заканчивалась на предпоследней точке этого участка. Последняя точка в обводке не участвует, так как в этой точке лекало начинает отходить от проведенной кривой. Затем лекало подбирают так, чтобы две последние точки предыдущего участка входили в число точек вновь подобранного участка. Это обеспечивает плавность перехода от одной части кривой к другой.

К лекальным кривым относят: парабола, гипербола, эллипс, эвольвента, спираль Архимеда и др.

Эллипс – это плоская кривая линия, у которой сумма расстояний от любой точки этой кривой до двух ее фокусов (F 1 и F 2 ), расположенных на большой оси, есть величина постоянная, равная большой оси эллипса. Эллипс всегда имеет две взаимно перпендикулярные оси (большую и малую).

Алгоритм построения эллипса по заданным осям:

1.Проводят две окружности в центром в точке

О заданными радиусами R=ОА=ОВ и R=ОС=ОD;

2. Делят большую окружность на 12 равных частей;

3. Точки деления соединяют прямыми с центром окружностей;

4. Из точек пересечения прямых с окружностями проводят параллельные осям эллипса;

5. При взаимном пересечении этих линий получают точки, принадлежащие эллипсу, которые соединив предварительно от руки тонкой плавной кривой, обводят с помощью лекала.

Спираль Архимеда – кривая, образованная движением точки, равномерно движущейся по прямой, которая в свою очередь, равномерно вращается в плоскости вокруг неподвижной точки, принадлежащей этой прямой. Характер спирали Архимеда определяется шагом t, то есть расстоянием, которое пройдет точка по прямой за один полный оборот этой прямой на 360 ° . Вращение прямой может происходить как по часовой стрелке, так и против.

Алгоритм построения спирали Архимеда с шагом t и вращением прямой по часовой стрелке:

1.Исходную окружность и ее радиус поделить на одинаковое количество равных частей. Через точки деления на окружности (1, 2, …) провести из центра О лучи, последовательно откладывая на каждом из них соответствующее число делений радиуса: на первом – О 1 , на втором – О 2 и т.д.

2. Полученный ряд точек соединить плавной кривой и обвести ее по лекальной линейке.

Эвольвента окружности – это плоская кривая линия, представляющая собой траекторию точки окружности при ее развертывании.

Эвольвенту окружности можно получить, если поверхность цилиндра обернуть упругой проволокой в один полный оборот и закрепить один ее конец. Отпущенный второй конец, развертываясь (распрямляясь в отрезок), опишет в пространстве кривую, которая и будет эвольвентой. При этом длина проволоки будет равна длине окружности основания данного цилиндра (2ПR).

Если окружность разделить на любое число равных дуг и представить развертывание и выпрямление каждой дуги в отрезок прямой линии, то полученные отрезки будут касательными к заданной окружности. Точки касания будут точками окончания каждой дуги, которые будут одновременно начальными точками следующих дуг.

Алгоритм построения эвольвенты окружности:

1.Заданную окружность делят на равное (любое) число дуг;
2. Каждую точку деления соединяют с центром окружности (точка О);\
3. Из точки 8 проводят касательную к окружности и откладывают на ней длину окружности (2ПR). Этот отрезок будет развернутой окружностью. Точка 8 ′ принадлежит эвольвенте;
4. Полученный отрезок делят на то же число равных частей, для определения длины каждой развернутой дуги;
5. Из точек 1-8 проводят касательные и откладывают отрезки, равные длине соответствующей дуги. От точки 1 откладывают отрезок, равный длине развернутой дуги О ′ 1 ′ . От точки 2 – отрезок, равный длине развернутой дуги
О ′ 2 ′ и т.д. Получают точки К 1 - К 8 , принадлежащие эвольвенте.
6. Полученные точки соединяют плавной кривой линией, которую обводят по лекалу.

ОП.01 Инженерная графика

Тема 1.4. Циркульные и лекальные кривые

Практическое занятие №10. Циркульные и лекальные кривые

- приобретение навыков оформления циркульных и лекальных кривых;

- закрепление знаний стандартов “Линии”, “Основные надписи”, “Шрифты’.

На формате А4 выполните:

1.Построение эллипса по двум заданным осям R=ОА=ОВ=3,0см и R=ОС=ОD=2,0см.

2.Построение спирали Архимеда шагом t=4,0см и вращением по часовой стрелке.

Читайте также: