Квадрат разности 7 класс никольский конспект урока
Обновлено: 07.07.2024
| Вложение | Размер |
|---|---|
| Конспект урока | 66.59 КБ |
| презентация к уроку | 772.8 КБ |
Предварительный просмотр:
Тема : "Квадрат суммы и квадрат разности"
Тип урока: открытие новых знаний.
Образовательные технологии: технология деятельностного метода.
Основные цели (для ученика):
-знать формулы квадрата суммы и квадрата разности двух выражений;
-уметь вывести формулы;
-знать формулировки формул квадрата суммы и квадрата разности двух выражений, уметь применять их при преобразованиях выражений, вычислениях.
Основные цели (для учителя):
1) способствовать открытию учащимися алгоритма возведения в квадрат двучлена;
2) сформировать умение пользоваться алгоритмом возведения в квадрат суммы и разности двух выражений;
3) повторить и закрепить понятие степени числа, навыки вычисления площади прямоугольника.
- развивать умение слушать; ясно, точно излагать свои мысли в устной и письменной речи;
- формировать представления о математике как способе познания.
Метапредметные: развивать умение видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации в другом разделе математики; формироватьумение работать в группах.
Предметные: развивать умение работать с математическим текстом (анализировать, извлекать необходимою информацию).
Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная, групповая, коллективная.
Оборудование: доска магнитная, компьютер, мультимедийный проектор, экран, портрет Евклида, набор геометрических фигур, раздаточный материал.
Демонстрационные материалы: шаги алгоритма.
Раздаточный материал: наборы из четырёх фигур на каждую парту: два разных квадрата со стороной a и со стороной b, два одинаковых прямоугольника со сторонами a и b.
- Организационный момент.
- Актуализация опорных знаний (устная работа).
- Изучение нового материала (исследовательская работа)
- Первичное закрепление материала.
- Геометрический смысл формул квадрата суммы двух выражений.
- Физминутка.
- Закрепление изученного материала.
- Проверка усвоения изученного материала (первичный контроль знаний).
- Домашнее задание.
- Подведение итога урока.
Мотивация и самоопределение к учебной деятельности
-Вспомните, какую последнюю тему мы с вами изучали в курсе алгебры?
-Скажите, а всегда ли вам удаётся быстро и без ошибок выполнить умножение многочленов?
-А хотели бы научиться делать это быстрее и легче?
-В некоторых случаях это действительно возможно и сегодня вы этому научитесь.
Откройте тетради. Запишем число, классная работа. И на время отложим тетради.Работаем устно или записываем ответы маркером на планшетах.
Актуализация и фиксирование
индивидуального затруднения в пробном действии.
Повторим те знания и умения, которые окажутся на сегодняшнем уроке актуальными, т.е.
1) Упражнение по чтению математических выражений.
2) Запишите следующие словосочетания на математическом языке:
квадрат числа семь
квадрат выражения 2у
произведение a и 3b
удвоенное произведение 7n и 3k
квадрат суммы выражений 5x и 4y
квадрат разности выражений 3х и 1.
3) Как найти площадь прямоугольника?
-Запишите выражение для нахождения его площади прямоугольника со сторонами a и b.
-Как найти площадь квадрата?
-Запишите выражение для нахождения площади квадрата со стороной а, (a+b). (a-b)?
4) Как умножить многочлен на многочлен? Что является результатом такого умножения?
-Что особенного в последних двух произведениях?
-Как я могла бы записать эти произведение короче?
-Как правильно их прочитать?
-Попробуйте через 10 секунд сказать, чему будет равно следующее выражение:(5x 2 – 7y) 2
Работают на планшетках маркерами. Показывают результат учителю.
- Надо его длину умножить на ширину.
-Умножить сторону квадрата на саму себя. Возвести сторону во вторую степени.
Работают на планшетках маркерами. Показывают результат учителю.
Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.
-Квадрат суммы a и 8. Квадрат разности 4 и х.
3.Выявление места и причины затруднения
-А что не получилось?
Возведите двучлены в квадрат, не используя правила умножения многочленов:
а) ( а + b ) 2 ; б) ( а − b ) 2
-Быстро возвести в квадрат разность выражений
4.Построение проекта выхода из затруднения
Почему возникло затруднение?
-Значит, какова будет цель нашего урока?
-Как мы поймем, что цель урока достигнута?
-Мы не знаем как это делать.
-Узнать правило быстрого возведения в квадрат суммы и разности.
-Научиться применять это правило при решении задач.
- Сможем сформулировать это правило (произнести, записать), сможем быстро возвести двучлены в квадрат.
5.Реализация построенного проекта
Тогда давайте попробуем вместе вывести это правило.
Можно выбрать два пути.
1) геометрический. Здесь вам пригодится умение находить площадь прямоугольника, площадь квадрата, применять свойство площадей.
2)алгебраический. Здесь вам пригодится умение умножать многочлены, замечать закономерности.
Предлагаю работу в группах (конверт2) или в парах (конверт 1). Выбираем один из конфертов с материалами для исследования и работаем. Необходимые записи делаем в тетрадях. Распределите работу в группе и не забудьте выбрать того, кто будет знакомить с результатами исследования вашей группы класс. Через 5 минут обсудим результаты
2) На слайдах фиксируем выводы.
-Какое название можно дать каждой из этих формул?
Тема урока: "Квадрат разности". 7-й класс
УМК: С.М. Никольский, Алгебра 7 класс.
Нуждина Алёна Владимировна, учитель математики
1. Познавательная цель:
1) формировать: знания о формулах сокращённого умножения: (a+b) 2 ,
(a-b) 2 , умения применять данные формулы к преобразованию выражений;
2) учить каждого ученика самостоятельно добывать знания;
3) формировать навыки, умения, которые обеспечивают успешное выполнение деятельности.
2. Развивающая цель: способствовать развитию математического кругозора, мышления: умения анализировать, выделять главное, сравнивать, обобщать и систематизировать, развивать устную и письменную речи, внимание и память; продолжить работу по развитию умения самостоятельно приобретать новые знания; использование для достижения поставленной задачи уже полученных знаний.
3. Воспитывающая цель: содействовать воспитанию интереса к математике, активности, дисциплинированности, честности, ответственности за свой труд и труд одноклассника, воспитание навыков самоконтроля и взаимоконтроля.
Ход урока:
Известный русский писатель Л.Н.Толстой однажды заметил:
Но сначала давайте проведём разминку:
2. Актуализация опорных знаний: (слайд 2)
3 2 9 6
4а 2 16а 2 (4а) 2
(а + b) 2 (a + b)(a + b) a 2 + b 2
(c – d) 2 (c – d)(c + d) (c – d)(c – d)
(7 – 3) 2 16 40
(– a) 2 a 2 – a 2
Устно: прочитайте записи. а+3, m-n, (x+y) 2 , (a-b) 2
Преобразовать данные выражения, не производя умножения многочлена на многочлен:
(x+3) 2 ; (m+n) 2 ; (а-5) 2 ; (k-l) 2 . (квадрат суммы решают, квадрат разности нет) (слайд 3)
- Как называются данные выражения? (квадрат суммы двух чисел, ?квадрат разности двух чисел)
- Какую формулу вы уже изучили на прошлом уроке? (квадрат суммы)(слайд 4)
- Сформулируйте формулу квадрата суммы.
Как вы знаете с прошлого урока, формула квадрата суммы входит в группу формул сокращённого умножения. Как вы думаете, есть ли в математике формула для квадрата разности? (Да, нет, возможно)
(СЛАЙД 5)
Цель нашего урока: познакомиться с новой формулой сокращенного умножения и учиться применять её к преобразованию выражений. При этом вы должны быть наблюдательны, аккуратны, внимательны и настойчивы.
Работая в паре с соседом по парте преобразуйте выражения, которые вы не смогли сделать (а-5) 2 ; (k-l) 2 ; (а-б) 2 (слайд 6) знакомым для вас способом, после чего поменяйтесь тетрадями и проверьте работу соседа. (перемножают два многочлена, выполняют в тетради, на экране открывается слайд 7 с решением – производят взаимопроверку).
Внимательно рассмотрите полученные ответы, сравните их и ответьте на вопросы изложенные на Листе 2 вопросы, ответьте на них :
- Что общего в записях решений?
- Какую закономерность вы заметили?
- Какой вывод можно сделать?
- Имеет ли смысл выполнять подробную запись решения подобных заданий?
(Провести обсуждение полученных результатов). Вывод: результатом умножения двух одинаковых выражений является многочлен, состоящий из квадрата первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе число плюс квадрат второго числа. Говорили на прошлом уроке, многочлен состоит из скольких членов? (трёх) ещё его называют трёхчленом. (слайд 8)
Действительно, ещё в древности было подмечено, что два одинаковых числа можно перемножить короче. Так появились формулы квадрат суммы (разности) двух выражений (ещё их называли - квадрат двучлена). Эти формулы называются формулами сокращённого умножения. (слайд 9). Есть и другие формулы сокращенного умножения, которые вы будете изучать на следующих уроках.
Кстати, эти формулы интересовали ещё много лет назад древнегреческих ученых: Пифагора, жившего в 6 веке до н.э., Евклида, жившего в 3 веке до н.э. и др.. Они устанавливали и доказали ряд математических тождеств в геометрическом истолковании. (слайд 10)
Откройте учебник на странице 102 и проверьте, к правильному ли выводу мы с вами пришли? (Да, правильно. Читают правило). Видим, что так же как и для квадрата суммы есть формула и текстовая формулировка. Причём формула справедлива как слева направо, так и справа налево. Часть цели достигнута? Узнали формулу квадрат разности? Есть такая?
Разберём пример из учебника, как используя формулу квадрат разности вычислить 49 2 ?
49 2 =(50-1) 2 =50 2 -2*50*1+1 2 =2500-100+1=2401
(Далее предложить учащимся сделать вывод): чем отличается формула квадрат суммы от формулы квадрат разности (проговариваются знаки перед удвоенным произведением). (слайд 11)
Выполните №351 из учебника. Записать и прочитать формулу квадрата разности, (спросить несколько учеников), остальные проговаривают обе формулы соседу (работа в паре, сосед выставляет баллы, за правила по 1 баллу).
Перейдем ко второй части цели нашего урока – учиться использовать эту формулу.
4. Первичное закрепление изученного материала (1 балл за 1 правильно выполненное задание, самооценка в конце всех заданий, по слайдам 12,13,14 ). Задания на карточках.(лист №3)
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Цели урока:
Образовательные : Организовать деятельность учащихся по выводу формулы (а-в) 2 = а 2 + 2ав + в 2 . вывести формулу квадрата разности.
Развивающие : Способствовать формированию навыков применения формул квадрата суммы и квадрата разности двух одночленов для преобразования выражений; вычисления значения выражения, развитию памяти, мышления, внимания.
развивать умение работать в группе, формировать умение наблюдать, подмечать закономерности, обобщать, проводить рассуждения по аналогии.
Воспитательные : Содействовать воспитанию чувства ответственности, взаимопомощи, критического отношения к своей работе, умения самостоятельно ее анализировать и оценивать, побуждать учеников к самоконтролю, взаимоконтролю.
Тип урока: получение новых знаний.
Формы: индивидуальная, групповая, проблемная ситуация, исследование,
Оборудование: карточки, интерактивная доска, учебные листы, листы оценивания
Этапы работы
Содержание этапа
Организационный момент :
Цель: Создать положительный эмоциональный настрой, условия для эффективной работы на уроке.
- Здравствуйте, ребята! Давайте улыбнемся друг другу.
От улыбки краше наша жизнь.
От улыбки в небе радуга проснется.
Поделись улыбкою своей
И она к тебе не раз еще вернется!
Сегодня мы продолжим с вами изучение формул сокращенного умножения. Эти ф ормулы имеют широкое применение в математике. Их используют при решении уравнений, раскрытии скобок, разложении многочленов на множители, нахождении значений выражений.
Устная работа :
Цель: Создать проблемную ситуацию для выхода на тему урока.
I Актуализация знаний:
Повторение формулы квадрата суммы двух выражений:
-формула : ( a + b ) 2 = a ²+2 ab + b ²
-правило : Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого на второй плюс квадрат второго выражения.
а)х 2 +2ху+у 2 = (х+у) 2
б)(2х+3) 2 =4х 2 +12х+9
в)4с 2 +12с+9= (2с+3) 2
г) (5+у) 2 =25+10у+у 2
Последний пример для создания проблемной ситуации.
Учитель: что дано в примере?
Ответ: квадрат разности двух выражений.
Учитель: тогда, что мы должны сделать на уроке?
Ответ: научиться находить квадрат разности двух выражений.
Учитель: сформулируйте тему урока и запишите в тетради.
Изучение нового учебного материала:
Цель : вывести формулу квадрата разности двух выражений, научиться применять формулы при решении примеров
1.Изучение новой темы: Исследовательская работа в группах.
Учитель предлагает доказать правильность этого предположения или же опровергнуть. Выяснив пути решения проблемы, учащиеся делятся на две группы
Первая группа: заменив выражение на произведение многочленов
Вторая группа: геометрическое доказательство( по аналогии с формулой квадрата суммы двух выражений).
I часть.
Возведем многочлен во вторую степень, т.е. умножим многочлен на многочлен .
Обратите внимание, что каждый раз можно не перемножать многочлены, а можно использовать формулу.
ФОРМУЛА: квадрат разности
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
План – конспект урока алгебры в 7 классе по теме:
Выполнила: Темникова А.Е.
Познакомить учащихся с формулами сокращенного умножения (a+b)2=a2+2ab+b2 и (a-b)2=a2-2ab+b2 и доказать их справедливость с помощью геометрической иллюстрации и аналитически, используя умножение многочлена на многочлен.
Формировать умения и навыки самостоятельно проводить доказательства справедливости формул сокращенного умножения, правильно читать эти формулы, называть их компоненты; применять полученные формулы к преобразованию выражений.
Развивать математическое мышление, познавательную деятельность, умение ставить перед собой задачу, находить ее решение, проверять правильность своих действий и объективно оценивать их.
Развивать правильную математическую речь, умение слушать, сравнивать, делать выводы.
Воспитывать культуру общения, культуру речи, умение работать в группе и паре.
Воспитание интереса к предмету.
Структура урока
1. Организационный момент
Проверка готовности учащихся к уроку, положительный эмоциональный настрой.
Подготовка к восприятию.
Беседа по теме “Формулы сокращенного умножения”
2. Ход урока
Актуализация опорных знаний. Устная работа.
Изучение нового материала.
Работа в группах.
Анализ полученных результатов работы в группах.
Первичное закрепление знаний. Проверка уровня обучаемости.
Самостоятельная работа в группах, самоконтроль и взаимоконтроль.
3. Закрепление .
Подведение итогов урока.
4. Итог урока. Рефлексия. Домашнее задание .
1. Мотивационно-ориентировочный этап
Учитель: “Математику называют “царицей наук”, ей больше, чем какой– либо другой науке, свойственны красота, изящность и точность. Одно из замечательных качеств математики – любознательность. Мы продолжаем изучать тему “Умножение многочленов”. Ещё в глубокой древности было замечено, что некоторые многочлены можно умножать короче, быстрее, чем остальные. Так появились формулы сокращенного умножения. (слайд 1)
Их несколько. А сегодня на уроке нам предстоит сыграть роль исследователей и “открыть” две из них. Попробуйте сформулировать тему нашего сегодняшнего урока”.
Ученики: тема урока “Формулы сокращенного умножения”. (слайд 2)
Учитель: “Давайте поставим перед собой цели урока”
Ученики: “Узнаем формулы сокращённого умножения, научимся их записывать, читать, проговаривать и пользоваться ими.
Учитель: “Правильно, на сегодняшнем уроке мы научимся умножать некоторые многочлены быстрее и короче, чем мы уже умеем делать. Продолжим работу над правильной математической речью, культурой общения друг с другом, умением работать в парах, в группе”
Для достижения целей урока мы:
Выполним устную работу.
Объединимся в группы и проведем два исследования, сравним полученные результаты, сделаем вывод и запишем получившиеся формулы.
Научимся пользоваться этими формулами.
Сделаем компьютерный тест, который позволит вам оценить, на каком уровне вы усвоили новую тему и поняли данный материал.
Начать наше занятие мне бы хотелось со слов замечательной женщины – великого математика Софьи Васильевны Ковалевской “ У математиков существует свой язык– это формулы”. (слайд 3)
2. Подготовка к восприятию новой темы.
Задача: выполнив устные задания, сделаем выводы о том, что надо знать и уметь для того, чтобы “открыть” формулы сокращённого умножения.
2. Устная работа: (слайд 4)
3. Изучение новой темы
1) Для исследовательской работы учащиеся по своему желанию объединяются в группы, которые были определены до урока. Всего пять групп, в которые вошли учащиеся с разными учебными возможностями. Каждая группа имеет свой номер и получает своё задание, соответствующее номеру задания в левом столбце таблицы. Задания представлены на слайде в виде таблицы. Средняя и правая части пустые. (слайд 5)
Объединитесь в группы;
Получите задание, оно соответствует номеру группы;
Выполните умножение двучленов.
Озвучьте (старший группы) и сравните свой результат с результатом в правой части таблицы (слайд 6)
Когда правая часть открылась, учитель привлекает учащихся к фронтальному обсуждению результатов.
Вопросы: Что общего в условиях? В ответах? Можно ли выражение в левом столбце записать короче?
Получив ответы, открывается средняя часть таблицы (слайд 7)
Учитель обращает внимание детей на то, что они фактически уже приступили к исследованию темы урока, поскольку находили произведение двух одинаковых двучленов (левый столбик таблицы), то есть возводили в квадрат сумму двух выражений (средний столбик).
Класс переходит к обсуждению получившихся результатов в правом столбце.
Учитель задает вопросы:
– Что общего в полученных результатах? Как называются выражения, получившиеся в правой части таблицы (трехчлены)
– Что представляет первый, второй и третий члены трехчлена? (первый – квадрат первого слагаемого (выражения), второй – удвоенное произведение первого и второго слагаемых (первого и второго выражений), третий – квадрат второго слагаемого (выражения).
Задача: результаты умножения рассматриваются в пяти различных вариантах и каждый вариант “проговаривается”.
Итак, мы открыли формулу квадрат суммы двух выражений: (а + b)2 = а2 + 2аb + b2 (слайд 8)
Учащиеся записывают формулу и проговаривают вслух.
2) Применение формулы “квадрат суммы двух выражений” (шифрограммы) (слайд 9)
Предлагается учащимся нарисовать свои индивидуальные шифрограммы.
3) Учитель: “Продолжаем исследование. Изменится ли результат, если будем возводить в квадрат не (а + b), а выражение (а – b)? ”.
Учащиеся выдвигают предположения, которые учитель предлагает проверить на практике.
Задача группам: замените в выражениях левого столбца плюс на минус, выполните вычисления. (Cлайд 10)
Озвучьте и сравните ваши результаты с результатами на слайде (слайд 11)
Учитель привлекает учащихся к совместному обсуждению результатов. В итоге выясняется, что новые произведения отличаются от ранее записанных – знаком перед удвоенным произведением. (Слайд 12)
Итак, мы открыли вторую формулу сокращенного умножения – формулу квадрат разности двух выражений: (а – b)2 = а2 – 2аb + b2. (слайд 13)
Учащиеся записывают формулу и проговаривают вслух. Учитель подчеркивает, что эта формула в дальнейшем будет применяться для возведения в квадрат разности двух выражений.
4) Применение формулы “квадрат разности двух выражений” (шифрограммы) (слайд 14)
5) Первичное закрепление знаний. (слайд 15)
6) Геометрическое обоснование формул сокращенного умножения. (выступление ученика) (слайды 16,17)
Первые общие утверждения о тождественных преобразованиях встречаются у древнегреческих математиков, начиная с шестого века до н.э. Среди математиков Древней Греции было принято выражать все алгебраические утверждения в геометрической форме.
Вместо сложения чисел говорили о сложении отрезков, произведение двух чисел истолковывали как площадь прямоугольника. Отказ от геометрической трактовки наметился у Диофанта Александрийского, жившего в 3 веке. В его работах появляются зачатки буквенной символики и специальных обозначений. Формулы квадрата суммы и разности двух выражений знали еще в Древнем Вавилоне, а древнегреческие математики знали ее геометрическое истолкование.
4. Закрепление изученного:
На слайде 18 учитель представляет учащимся 7заданий. Задача: индивидуально или в паре выберите и выполните любые три задания. Обоснуйте свои ответы и сравните их правильность с ответами на слайде.
Аналогично выполняются задания со слайда 19.
Подведение итога урока, рефлексия, выставление оценок. (слайд 20)
Учащимся можно предложить заполнить небольшую анкету (выбранный ответ учение подчеркивает). Можно попросить учеников аргументировать свой выбор.
Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого и второго чисел, плюс квадрат второго числа.
Основная литература:
- Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.
Дополнительная литература:
Теоретический материал для самостоятельного изучения:
Для того чтобы выяснить, как выглядит формула квадрата разности, выполним возведение в степень. Возвести выражение во вторую степень, значит умножить его само на себя. Выполнив необходимые действия, получим формулу квадрата разности.
Сформулируем правило: квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого и второго чисел, плюс квадрат второго числа.
Эта формула также используется для упрощения вычислений.
Девяносто восемь можно представить в виде разности сто минус два. И далее использовать формулу квадрата разности.
Такое разложение делает возведение в квадрат двузначного числа доступным для устного вычисления.
Представьте многочлен в виде квадрата разности:
Теперь, используя формулу, можем записать квадрат разности:
Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида.
Первым действием всегда выполняется возведение в степень. Поэтому сначала разложим квадраты разностей по формуле. Затем выполняем умножение, внимательно определяя знак каждого произведения. Выполним приведение подобных слагаемых и получим многочлен стандартного вида.
Справа мы видим трехчлен, напоминающий нам разложение разности квадратов.
Рассмотрим слагаемые этого трёхчлена.
Но слева у нас сумма, а не разность, значит, одночлен 4у нужно взять со знаком минус. И одночлен b является квадратом одночлена a.
Читайте также: