Косинус разности и косинус суммы двух углов конспект урока 10 класс

Обновлено: 07.07.2024

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цели урока: на основе полученных ранее знаний, вывести формулы для вычисления косинуса суммы и разности двух аргументов; выработать умения и навыки применения данных формул к упрощению выражений, решению уравнений.

1.Организационный этап. Учитель приветствует учащихся, объясняет тему урока, цели и задачи урока.

2. Повторение (подготовка учащихся к активному усвоению нового материала). Необходимо повторить с учащимися следующие понятия и формулы: вектор, скалярное произведение векторов, определение координат данного вектора, формула скалярного произведения в координатах, определения косинуса и синуса.

3. Изучение нового материала. ДЕМОНСТРАЦИЯСЛАЙДОВ 2-5

Вывод формулы косинуса суммы и разности двух аргументов:

Рис.1 Рис.2
Повернем радиус ОА, равный R, около точки О на угол α и на угол β (рис.1). Получим радиусы ОВ и ОС. Найдем скалярное произведение векторов и . же координаты имеют Пусть координаты точки В равны х₁ и y_1, координаты точки С равны х₂ и y_2. Эти соответственно и векторы и . По определению скалярного произведения векторов:
= х₁х_{2 +} y₁y₂. (1)
Выразим скалярное произведение через тригонометрические функции углов α и β . Из определения косинуса и синуса следует, что
х₁ = R cos α, y₁ = R sin α, х₂ = R cos β , y₂ = R sin β .
Подставив значения х₁, х₂, y₁, y₂ в правую часть равенства (1), получим:
= R 2 cos α cos β + R 2 sin α sin β = R 2 (cos α cos β + sin α sin β ).
С другой стороны, по теореме о скалярном произведении векторов имеем:
= cos BOC = R 2 cos BOC.
Угол ВОС между векторами и может быть равен α - β (рис.1), - (α - β ) (рис.2) либо может отличаться от этих значений на целое число оборотов. В любом из этих случаев cos BOC = cos (α - β ). Поэтому
= R 2 cos (α - β ).
Т.к. равно также R 2 ( cos α cos β + sin α sin β ), то
cos ( α - β ) = cos α cos β + sin α sin β .

cos (α + β ) = cos (α - (- β )) = cos α cos (- β ) + sin α sin (- β ) = cos α cos β - sin α sin β .
Значит, cos (α + β ) = cos α cos β - sin α sin β .

4. Закрепление изученного материала.

1. Вычислить: 1) cos 75 0 , 2) cos 15 0 . СЛАЙДЫ 6 и 7

Решение: 1) Воспользуемся тем, что 75 0 = 45 0 + 30 0 ;

cos75 0 = cos( 45 0 + 30 0 ) = cos45 0 ·cos30 0 – sin45 0 ·sin30 0 = ;

2) Воспользуемся тем, что 15 0 = 45 0 - 30 0 ;

cos15 0 = cos(45 0 - 30 0 ) = cos45 0 ·cos30 0 + sin 45 0 ·sin30 0 = .

2. Вычислить: , если известно, что . СЛАЙД 8

Решение:

. По условию аргумент y принадлежит второй четверти, а в ней синус положителен. Поэтому из равенства находим, что .

3. Вычислить : СЛАЙД 9

1) cos37 0 cos8 0 – sin37 0 sin8 0 ; 2) cos107 0 cos17 0 + sin107 0 sin17 0 .

Решение : 1) cos37 0 cos8 0 – sin37 0 sin8 0 = cos(37 0 + 8 0 ) = cos45 0 =

2) cos107 0 cos17 0 + sin107 0 sin17 0 = cos(107 0 - 17 0 ) = cos90 0 = 0.

4. Подведение итогов урока (выставление отметок, ответы на вопросы учащихся).

5. Домашнее задание. СЛАЙД 10

§21, вывод формул косинуса суммы и разности двух аргументов, № 399 (б), 402 (б, г), 403 (б, г), 409 (б, в), 410 (б).

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Конспект урока Косинус суммы и разности.doc

Тема: Косинус разности и косинус суммы двух углов.

План урока.

4. Исследовательская работа в группах.

5. Представление аналитического решения поставленных задач.

6. Анализ результатов и выводы.

Тип урока: урок изучения и первичного закрепления новых знаний;

Цели урока:

познакомить учащихся с выводом формулы для вычисления косинуса суммы и разности двух аргументов; обеспечить овладение основными алгоритмическими приемами применения формулы для вычисления косинуса суммы и разности двух аргументов при упрощении выражений; формирование умения переносить знания в новую ситуацию;

развивать логическое мышление, математическую речь, вычислительные навыки;

формирование умения работать в группе.

Ход урока.

1. Организационный момент. (Слайд 1)

Здравствуйте, друзья! Этот урок алгебры у Вас проведу я. Меня зовут Владимир Владимирович Тюпин. Я учитель математики гимназии №19.

Анатоль Франс (1844–1924)

2. Мотивация урока. (Слайд 2)

Как вы понимаете это высказывание?

Таким образом, мы сегодня будем размышлять, искать простые и красивые решения, развивать логическое мышление, правильно и последовательно рассуждать, тренировать память, внимание.

3. Актуализация опорных знаний.

Ребята, давайте вспомним основные понятия, изученные в этом разделе (Слайд 3)

Рассмотрим т. В на единичной окружности, соответствующую углу

Что называется синусом произвольного угла через единичную окружность?

Число, равное ординате точки единичной окружности, соответствующей углу , называют синусом угла

Что называется косинусом произвольного угла через единичную окружность?

Число, равное абсциссе точки единичной окружности, соответствующей углу , называют косинусом угла

А сейчас давайте с Вами повторим некоторые табличные значения для синуса и косинуса (Слайд 4)

Замечательно! Мы с Вами повторили определения тригонометрических функций, таблицу значений тригонометрических функций некоторых углов.

А как Вы сможете вычислить, например, . (Слайд5)

Давайте найдем данное значение в таблице Брадиса.

Мы видим, что значение содержит 4 цифры после запятой, следовательно данное значение точным считать нельзя.

А через какие табличные значения углов мы можем выразить ?

(Возможные варианты: или ,)

Как вы думаете, как найти значение данного выражения?

Т.е чтобы найти значения косинусов этих углов мы должны представить их в виде или

Давайте вместе попытаемся сформулировать тему нашего урока

(Косинус разности и суммы двух углов)

Запишите в тетради сегодняшнее число 12.03.2013. (Слайд 6)

Давайте с Вами повторим некоторые понятия, которые потребуются для работы над новой темой (Слайд 7)

Что называется радиусом-вектором точки? (Это вектор, конец которого совпадает с данной точкой, а начало – с началом координат)

Как вычислить координаты вектора? (надо из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты начала)

Как найти угол между двумя векторами? (Надо построить им равные, имеющие общее начало)

И углом между векторами будет считаться меньший из получившихся углов

Далее Вам необходимо в кабинете найти формулу, относящуюся к тому или иному утверждению, прикрепить на магниты её к доске и сформулировать данное утверждение.

4. Чему равна длина вектора?

5. Чему равно скалярное произведение векторов

1. Назовите четные тригонометрические функции

2. Назовите нечётные тригонометрические функции

Замечательно! Эти формулы нам потребуются при изучении нового материала и выполнении самостоятельной работы в группах

4. Изучение нового материала.

Дорогие ребята! А теперь перейдем к изучению нового материала. (Слайд 8)

Обратимся к рисункам, которые лежат у Вас на столах

Рис.1 Рис.2
Повернем радиус ОА, равный R, около точки О на угол α и на угол β (рис.1). Получим радиусы ОВ и ОС. Отметим на рисунке 1 координаты точек А, В, С.

(Слайд 9) Рассмотрим векторы и

Найдем скалярное произведение векторов и .

По определению скалярного произведения векторов:
= х₁х_{2 +} y₁y₂. (1)
Выразим скалярное произведение через тригонометрические функции углов α и β . Из определения косинуса и синуса следует, что
х₁ = R cos α, y₁ = R sin α, х₂ = R cos β , y₂ = R sin β .
Подставив значения х₁, х₂, y₁, y₂ в правую часть равенства (1), получим:
= R 2 cos α cos β + R 2 sin α sin β = R 2 (cos α cos β + sin α sin β ).

(Слайд 10)
С другой стороны, по теореме о скалярном произведении векторов имеем:
= cos BOC = R 2 cos BOC.
Угол ВОС между векторами и может быть равен α - β (рис.1) или (рис.2) за угол ВОС примем наименьший из образовавшихся углов - (α - β ).

В любом из этих случаев cos BOC = cos (α - β ).

(Слайд 11) Поэтому = R 2 cos (α - β ).
Т.к. равно также R 2 ( cos α cos β + sin α sin β ), то
cos ( α - β ) = cos α cos β + sin α sin β .

cos (α + β ) = cos (α - (- β )) = cos α cos (- β ) + sin α sin (- β ) = cos α cos β - sin α sin β .
Значит, cos (α + β ) = cos α cos β - sin α sin β .

4. Закрепление изученного материала.

Ребята, давайте вернёмся к тому примеру, с которого мы начали свою работу (Слайд 12)

1. Вычислить: 1) cos 15 0 .

2) Воспользуемся тем, что 15 0 = 45 0 - 30 0 ;

cos 15 0 = cos (45 0 - 30 0 ) = cos 45 0 · cos 30 0 + sin 45 0 · sin 30 0 = .

2. Вычислить: (Слайд 13)

1) cos 37 0 cos 8 0 – sin 37 0 sin 8 0 ;

Решение : 1) cos37 0 cos8 0 – sin37 0 sin8 0 = cos(37 0 + 8 0 ) = cos45 0 =

2) cos107 0 cos17 0 + sin107 0 sin17 0 .

2) cos 107 0 cos 17 0 + sin 107 0 sin 17 0 = cos (107 0 - 17 0 ) = cos 90 0 = 0.

5. Самостоятельная работа. (Слайд 14)

А теперь поработаем в группах. На столах у каждой группы в конвертах лежит задание. Каждое задание состоит из двух частей. Вам предстоит вычислить значение косинуса одного из не табличных углов, а во втором задании упростить выражение и выбрать правильный вариант ответа, предложенный ниже. После чего один представитель от каждой группы должен внести эти результаты в компьютер, тем самым проверить правильность выполнения задания. Каждый учащийся в группе получит отметку, зависящую от того, насколько удачно сработает его группа.

Вычислите, не пользуясь таблицей или калькулятором .

Упростите выражение и выберите правильный вариант ответа из ниже приведённых.

Вычислите, не пользуясь таблицей или калькулятором .

Упростите выражение и выберите правильный вариант ответа из ниже приведённых.

6. Результаты самостоятельной работы

7. Домашнее задание. Подведение итогов урока. (Слайд 15)

Выучить п.9.1,теорема 1 и 2 с выводом Решить № 9.3, № 9.10(а), № 9.12 (в,г)

Комфортно ли Вам было сегодня на уроке?

Мне тоже, потому что я старался лететь вместе с Вами!

Давайте вместе с Вами подведём итоги нашего урока.

а) Сегодня на уроке мы повторили…

б) Сегодня на уроке мы изучили…

И в качественного беспристрастного помощника у нас сегодня выступал компьютер.

Я надеюсь, что сегодня на уроке вы насыщались новыми знаниями с аппетитом! Спасибо за урок!

Тема урока: Косинус разности и косинус суммы двух углов.

Цель урока: вывести формулы косинуса суммы и разности двух углов; научиться применять их при упрощении выражений.

2.Анализ контрольной работы.

3.Изучение нового материала.

Актуализация знаний – 10 мин.

1. Устная работа – 5 мин.

а)cos (3π/2 + α) = ; б) tg(3600 – α) = ;

в) sin (π – α) = ; г) sin( π/2 + α) = ;

д) tg ( 2π + α) = ; е) cos ( π/2 – α) = ;

ж) ctg ( π/2 + α ) = ; з) tg ( π + α) = .

а) cos 30o = б) – 2 tg2 450 =

в) а sin 1800 = г) 2sin 300 =

д) sin 1350 = е) sin 750 =

ж) sin 150 = з) cos 1050 = .

Используя скалярное произведение векторов, введем формулу косинуса разности аргументов

В плоскости XOY с единичным вектором возьмем угол ( [0A) [0x)) = α и ( [0С) [0у) ) = β

Формула косинуса суммы аргументов:

cos(α + ß) = cosα ? cosß – sinα ? sinß

cos (α – ß) = cosα ? cosß + sinα ? sinß

В учебнике стр.261 – 269 найдите, как формулируются доказанные теоремы. Зачитайте.

3.Формирование знаний – 20 мин.

1.Вычислите ( один ученик у доски, другие в тетрадях):

= cos( 600 + 4 cos1050 50) =

5. Итог урока – 1 мин.

1) Д/з п.9.1,№№ 9.4; № 9.5; 9.8; 9.11,9.14.

2)Подведение итогов урока .

– Какую тему изучили на уроке?

– Результаты самостоятельной работы (решение и ответы заранее подготовлены).

– Комментирование и выставление оценок.

9.7. Докажите справедливость равенства:

а) cos ( – ) = sin ; г) cos ( + ) = sin .

Тема урока: Косинус разности и косинус суммы двух углов.

2.Анализ контрольной работы.

3.Изучение нового материала.

Актуализация знаний – 10 мин.

1. Устная работа – 5 мин.

а)cos (3π/2 + α) = ; б) tg(3600 – α) = ;

в) sin (π – α) = ; г) sin( π/2 + α) = ;

д) tg ( 2π + α) = ; е) cos ( π/2 – α) = ;

ж) ctg ( π/2 + α ) = ; з) tg ( π + α) = .

а) cos 30o = б) – 2 tg2 450 =

в) а sin 1800 = г) 2sin 300 =

д) sin 1350 = е) sin 750 =

ж) sin 150 = з) cos 1050 = .

Используя скалярное произведение векторов, введем формулу косинуса разности аргументов

В плоскости XOY с единичным вектором возьмем угол ( [0A) [0x)) = α и ( [0С) [0у) ) = β

Формула косинуса суммы аргументов:

cos(α + ß) = cosα ∙ cosß – sinα ∙ sinß

cos (α – ß) = cosα ∙ cosß + sinα ∙ sinß

В учебнике стр.261 – 269 найдите, как формулируются доказанные теоремы. Зачитайте.

3.Формирование знаний – 20 мин.

1.Вычислите ( один ученик у доски, другие в тетрадях):

= cos( 600 + 4 cos1050 50) =

5. Итог урока – 1 мин.

1) Д/з п.9.1,№№ 9.4; № 9.5; 9.8; 9.11,9.14.

2)Подведение итогов урока .

– Какую тему изучили на уроке?

– Результаты самостоятельной работы (решение и ответы заранее подготовлены).

– Комментирование и выставление оценок.

9.7. Докажите справедливость равенства:

а) cos ( – ) = sin ; г) cos ( + ) = sin .

Здесь надо доказать формулы, аналогичные формулам для дополнительных углов из п. 9.2, поэтому способ доказательства, основанный на применении формул (1) – (2), должен быть усвоен учащимися.

а) cos ( – ) = cos cos + sin sin = cos 0 + sin 1 = sin ;

г) cos ( + ) = cos cos – sin sin = 0cos – (–1)sin = sin .

9.12. Вычислите: а) cos 1350; б) cos 150.

Решение. а) cos 1350 = cos (900 + 450) = cos 900cos 450 – sin 900sin 450 =

б) cos 150 = cos (450 – 300) = cos 450cos 300 + sin 450sin 300 =  +  =

9.13. Вычислите: а) cos 750 + cos 150.

Решение. cos 750 + cos 150 = cos (450 + 300) + cos (450 – 300) = cos 450cos 300 –

– sin 450sin 300 + cos 450cos 300 + sin 450sin 300 = 2cos 450cos 300 = 2  =

9.14. Упростите выражение:

а) cos (450 + )cos (450 – ) – sin (450 – )sin (450 + );

б) cos + cos + cos ;

в) cos2 (600 + ) + cos2 (600 + ) + cos2 ;

Решение. а) cos (450 + )cos (450 – ) – sin (450 – )sin (450 + ) =

= cos (450 + + 450 – ) = cos 900 = 0;

б) cos + cos + cos = cos cos – sin sin +

+ cos cos + sin sin + cos = 2 cos cos + cos = 2 cos +

в) cos2 (600 + ) + cos2 (600 + ) + cos2 = (cos 600cos – sin 600sin )2 +

+ (cos 600cos + sin 600 sin )2 + cos2 = 2 cos2 600 cos2 + 2 sin 2 600 sin 2 +

+ cos2 = cos2 + sin 2 + cos2 = (sin 2 + cos2 ) = .

9.18. Найдите наибольшее и наименьшее значение выражения:

Сначала преобразуем данное выражение:

cos – sin = 2( cos – sin ) = 2(cos cos – sin sin ) =

Так как наибольшим и наименьшим значением выражения cos ( + ) являются числа 1 и –1 соответственно, то наибольшим и наименьшим значением выражения cos – sin являются числа 2 и –2 соответственно.

9.2. Формулы для дополнительных углов

В этом пункте доказаны две формулы

которые очень часто используются в дальнейшем.

Решения и комментарии

9.22. Упростите выражение: а) sin (900 – 130); б) sin (–900 + 240).

Решение. а) sin (900 – 130) = cos 130;

б) sin (–900 + 240) = –sin (900 – 240) = –cos 240.

9.23. Выразите число через синус или косинус положительного угла, не превышающего 450: е) sin 18590; ж) cos 4440.

Решение. е) sin 18590 = sin (53600 + 590) = sin 590 = sin (900 – 310) = cos 310;

ж) cos 4440 = cos (3600 + 840) = cos 840 = cos (900 – 60) = sin 60.

9.24. Выразите число через синус или косинус положительного угла, не превышающего :

е) cos = cos = cos = sin = sin = –sin ;

ж) sin = sin = sin = –sin = –cos =

- воспитывать ответственное отношение к своей деятельности, высокой познавательной активности и самостоятельности.

Задачи урока:

а) Создать условия для мотивации обучающихся в изучении формул косинуса суммы и разности аргументов.

б) Способствовать формированию умений в применении нового и ранее изученного материала, при выполнении различных преобразований тригонометрических выражений.

в) Умение работать с математическим текстом, давать определения, выделять главное, систематизировать и обобщать, сравнивать.

Познавательные УУД: формулирование проблемы, анализ с целью выделения признаков, построение логической цепи рассуждений. С пособствовать развитию у обучающегося поиска и распознавания полезной информации (на основе наблюдения и оценки выявленных закономерностей).

Регулятивные УУД: принимать участие в обсуждении и формулировании темы и цели урока, конкретного задания, полученного результата, выполнять работу в соответствии с заданным планом; способствовать развитию у обучающегося самоконтроля учебной деятельности .

Коммуникативные УУД: излагать свое мнение, участвовать в диалоге;

способствовать развитию у обучающегося оценивания ситуаций

взаимодействия в соответствии с правилами поведения и этики.

Личностные УУД: понимать и оценивать свой вклад в решении задач,

быть толерантным к чужим ошибкам и другому мнению, не бояться

собственных ошибок; создавать позитивное эмоциональное отношение

обучающегося к уроку и предмету; способствовать развитию у

обучающегося осознания осваиваемого на уроке приема учебной

деятельности, как ценности.

Оборудование: компьютер , электронная тетрадь, интерактивная доска.

Планируемые результаты:

- Умение слушать и вступать в диалог.

- Участие в коллективном обсуждении проблем.

- Воспитание ответственности и аккуратности.

Метапредметные:

- Умение принимать и сохранять цель урока.

- Умение находить способы решения поставленной цели.

- Умение планировать, контролировать и оценивать свои действия.

- У мение выделять главное, анализировать, делать выводы.

- Умение провести рефлексию своих действий на уроке.

- Формирование знания вычислять косинус суммы и разности двух углов

- Умение применять полученные знания в решении задач.

Действия учителя

Деятельность обучающихся

1. Организационный и мотивация учебной деятельности

Создание условий для возникновения внутренней потребности к деятельности

Приветствие, проверка подготовленности к учебному занятию, организация внимания обучающего; пожелание успеха.

Включается в деловой ритм урока.

Настраивается на веру в себя, свои знания, успех.

Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем.

Регулятивные: организация своей учебной деятельности.

Личностные: мотивация учения.

2. Актуализация знаний

Цель этапа: Актуализация опорных знаний и способов действий; вовлечени е обучающихся в

-Сегодня самостоятельно предстоит открыть новые знания. Перед тем как совершить открытие, давайте проверим себя, всё ли было понятно и усвоено на предыдущих уроках, имеются ли слабые места. Для этого проведём разминку

1) Какой раздел математики мы сейчас изучаем?

2) Какие единицы измерения углов вы знаете?

3) В каких четвертях единичной окружности синус принимает положительное значение?

4) Какая тригонометрическая функция является четной?

- С какими трудностями встретились при выполнении этой работы?

- Почему мы не можем вычислить задание в)?

-Предположили можно угол разложить на другие углы.

- Через какие известные нам значения мы могли бы выразить 15 градусов?

-Т.е у нас возникла проблема.

cos 15 o = cos ( 45 0 -30 0 )

- Как прочитать получившееся выражение?

- Как же можно вычислить косинус разности ?

-А зачем это нужно знать ?

Участвуют в работе по повторению, в беседе с учителем, отвечают на поставленные вопросы.

Автор: Ценнер Юлия Владимировна

Организация: МАОУ СОШ №36

Населенный пункт: Челябинская область, г. Златоуст

Цели урока:

- создать условия для потребности в новых тригонометрических формулах - косинус суммы и разности двух углов при вычислении тригонометрических выражений;

- способствовать развитию умений применять новые формулы при решении тригонометрических выражений;

-способствовать развитию математического и общего кругозора, мышления и речи, внимания и памяти;

-воспитывать ответственное отношение к своей деятельности, высокой познавательной активности и самостоятельности.

Задачи урока:

а) Создать условия для мотивации обучающихся в изучении формул косинуса суммы и разности аргументов.

Познавательные УУД: формулирование проблемы, анализ с целью выделения признаков, построение логической цепи рассуждений. Способствовать развитию у обучающегося поиска и распознавания полезной информации (на основе наблюдения и оценки выявленных закономерностей).

Регулятивные УУД: принимать участие в обсуждении и формулировании темы и цели урока, конкретного задания, полученного результата, выполнять работу в соответствии с заданным планом; способствовать развитию у обучающегося самоконтроля учебной деятельности.

Коммуникативные УУД: излагать свое мнение, участвовать в диалоге;

способствовать развитию у обучающегося оценивания ситуаций

взаимодействия в соответствии с правилами поведения и этики.

Личностные УУД: понимать и оценивать свой вклад в решении задач,

быть толерантным к чужим ошибкам и другому мнению, не бояться

собственных ошибок; создавать позитивное эмоциональное отношение

обучающегося к уроку и предмету; способствовать развитию у

обучающегося осознания осваиваемого на уроке приема учебной деятельности, как ценности.

Оборудование: компьютер, проектор, тетрадь, доска.

Планируемые результаты:

Личностные:

- Умение слушать и вступать в диалог.

- Участие в коллективном обсуждении проблем.

Предметные:

- Формирование знания вычислять косинус суммы и разности двух углов

Читайте также: