Конспект урока теорема виета 8 класс макарычев фгос

Обновлено: 07.07.2024

Оборудование: мобильный кабинет информатики (12 ноутбуков).

Ход урока

2. Проверка домашнего задания: № 568, 574 - два ученика у доски записывают составленные уравнения по условию задач и объясняют их происхождение.

3. Актуализация опорных знаний:

х 2 – 13х + 12 = 0;
9 – 2х 2 – 3х = 0;
х 2 + 8х + 7 = 0;
3х 2 – 2х = 4;
6х 2 – 2 = 6х;
х 2 = - 9х – 20.

Назовите номер уравнения записанного в стандартном виде (1;3)
Назовите номер уравнения, не приведенного к виду ax 2 + bx+ c= 0 (2,4,5,6)
Назовите номер уравнения, в котором коэффициент b – четное число (3,4,5)
Назовите номер уравнения, в котором коэффициент b – нечетное число (1,2,6)
Назовите номер уравнения, у которого коэффициент а = 1 (1,3,6)
Как называется квадратное уравнение, у которого коэффициент а = 1. (приведенное)

4. Изучение нового материала.

Заполните таблицу, для этого в первой колонке выпишите приведенные квадратные уравнения, затем найдите сумму и произведение их корней, а результат запишите соответственно во вторую и третью колонки.

Приведенные квадратные уравнения, а=1	х₁+ х₂	х₁х₂
х 2 – 13х + 12 = 0	13	12
х 2 + 8х + 7 = 0	- 8	7
х 2 + 9х + 20 = 0	- 9	20

1) х 2 – 13х + 12 = 0, D = 169 – 48 = 121,

2) х 2 + 8х + 7 = 0, D = 64 - 28 = 36,

3) х 2 + 9х + 20 = 0, D = 81 - 80 = 1,

Слова учителя:

Посмотрите внимательно в таблицу и постарайтесь увидеть зависимость коэффициентов уравнения от суммы и произведение корней. Сумма корней уравнения равна числу, противоположному второму коэффициенту b, произведение корней равно свободному члену с. Итак мы сформулировали теорему Виета. Запишите ее формулировку.

Теорема Виета: Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Мы с вами теорему не доказали, а только увидели закономерность на примерах. А теперь попробуем доказать теорему Виета при совместном исследовании.

Дано: ax 2 +bx+c=0, где а=1, х₁ и х₂ - корни квадратного уравнения.

Доказательство. Уравнение ax 2 +bx+c=0 имеет два корня х₁ и х₂, D > 0 и D = b 2 – 4c. По формуле корней квадратного уравнения

Найдем сумму корней квадратного уравнения

№ 580 (устно) – 1 ряд по цепочке.

Вопрос: Между чем устанавливает зависимость теорема Виета?

(зависимость значений коэффициентов от корней квадратного уравнения).

Решая следующую задачу, постарайтесь увидеть другие закономерности.

Задача: Пары чисел являются решением квадратного уравнения. Определите знаки b и c.

Запись на доске:

В каком случае c>0? (корни одного знака)
В каком случае c 0? (корни отрицательные или корни имеют разные знаки)
Почему в случае, когда корни разных знаков, b может быть больше нуля и может быть меньше нуля? (все зависит от знака числа, у которого модуль больше)

5. Закрепление изученного материала.

Решение задач с краткой записью в тетради.

Определите знаки корней уравнения:

а) х 2 – 22х + 120 = 0; (х₁х₂=120, значит знаки корней одинаковые; х₁+х₂=22, значит оба корня положительные)

б) х 2 + 15х +56 = 0 (х₁х₂=56, значит знаки корней одинаковые; х₁+х₂=-15, значит оба корня отрицательные)

Пользуясь теоремой Виета составьте квадратное уравнение, имеющее корни:

а) 5 и -2 (х 2 – 3х – 10 = 0)

б) -4 и 1 (х 2 + 3х – 4 = 0)

в) 4 и -1 (х 2 – 3х – 4 = 0)

Работа в парах с использованием ЭОР “Составление квадратных уравнений по его корням” - 10 мин.

Данный урок позволит:

- организовать процесс обучения на основе компетентностного и деятельностного подходов, что является основным требованием новых стандартов;

- стимулировать рост самостоятельности и ответственности обучающихся за результаты обучения;
- согласовывать цели обучения с индивидуальными потребностями обучающихся;
- обеспечивать приобретение обучающимися не только предметных знаний, но и жизненно важных навыков и качеств;
- воспитывать уважительное отношение всех участников образовательного процесса друг к другу.

Выбор нетрадиционной формы проведения урока позволит сделать его интересным для обучающихся.

Цель: способствовать усвоению обучающимися содержания теоремы Виета для приведённого квадратного уравнения и для квадратного уравнения общего вида; сформировать умение воспроизводить изученные утверждения, использовать их при решении задач, предусмотренных программой по математике.

Образовательная: организовать деятельность обучающихся по изучению теоремы Виета, содействовать закреплению имеющихся и формированию новых навыков решения квадратных уравнений.

Развивающая: способствовать развитию умений находить устно подбором корни приведённого квадратного уравнения, проявлению самостоятельности в поиске новых знаний.

Воспитательная: создать условия для формирования ответственного отношения к учебному труду, повышения мотивации достижения результатов деятельности.

Тип урока: усвоение знаний и умений.

Дидактическое обеспечение: тестовые задания для работы в парах, задания для контроля усвоения знаний и навыков.

I. Организационный этап (слайд 1)

Создание позитивной и комфортной атмосферы, настрой на рабочий лад. Учитель проговаривает инструкцию в виде релаксации с улыбкой на лице, обучающиеся слушают с интересом, получая заряд позитива.

Коммуникативные УУД: умение взаимодействовать в группе.

Регулятивные УУД: умение мобилизоваться, настраиваться на рабочий процесс.

Личностные УУД: умение уважительно относится к окружающим людям.

Социальная компетентность: умение сотрудничать, способность уважать себя и других.

Обучающиеся получают эмоционально-доброжелательный, позитивный настрой и с уверенностью погружаются в образовательный процесс.

II. Актуализация опорных знаний и способов деятельности (работа в парах, подводящий диалог)

Для успешного восприятия учебного материала урока следует активизировать знания и умения обучающихся: определение квадратного уравнения, неполных квадратных уравнений и приведённых квадратных уравнений, определение коэффициентов квадратного уравнения, формул для решения квадратных уравнений (дискриминанта и корней), выполнение арифметических действий с действительными числами.

1. Выполнение устных упражнений (слайд 2)

а) Решите уравнения: а) х 2 - 25 = 0; б) а 2 - 5а = 0; в) у 2 + 9 = 0; г) n 2 - 19 = 0;

б) Назовите первый, второй коэффициенты и свободный член квадратного уравнения:

а) а 2 + 4а - 1 = 0; б) у 2 - 3 = 0; в) 2b 2 - 5b = 0; г) 3 - 2х 2 - х = 0; д) 3с 2 = 0.

в) Найдите значения выражений: ;

2. Самостоятельная работа (по карточкам)

Зафиксировать у обучающихся мотивы предыдущих достижений.

а) х 2 + 5x - 14 = 0;

б) у 2 - 8у - 9 = 0;

в) х 2 + 6х + 36 = 0;

г) х 2 + 3х – 40 = 0;

а) х 2 - 14х + 40 = 0;

б) х 2 + 5х + 6 = 0;

в) х 2 + 4х + 5 = 0;

Обучающиеся выполняют самостоятельную работу, после выполнения обсуждают в парах, при необходимости корректируют ответы.

III. Формулировка темы, цели и задач урока (слайд 3)

Для создания положительной мотивации учебной деятельности обучающихся после проведения самостоятельной работы предложить обучающимся выполнить следующее задание: зафиксировать вид квадратных уравнений (которые были в самостоятельной работе), для каждого из тех квадратных уравнений, что имеют корни, найти их сумму и произведение. На этапе коррекции, проверяя правильность выполнения заданий, следует предложить ученикам не просто сравнить свои ответы с правильными, но и сравнить полученные ответы (суммы и произведения корней) с коэффициентами квадратных уравнений. Если ученики заметят определенные закономерности сами, учителю достаточно сформулировать проблему: необходимо исследовать существование общих свойств корней любого квадратного уравнения и выразить эти свойства в виде формул, сформировать умение применять эти свойства при решении типовых задач.

По окончании рассмотрения утверждений зафиксировать у учащихся мотивы предыдущих достижений. Далее предоставить учащимся возможность сформулировать тему урока, цели урока и задачи самостоятельно.

Личностные УУД: смыслообразование.

Регулятивные УУД: умение целепологать.

Коммуникативные УУД: умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.

Информационная компетентность: умение вести наблюдение, упорядочивать и интерпретировать данные.

Учебно-познавательная компетентность: иметь опыт восприятия картины мира.

IV. Усвоение знаний (слайд 4)

Это способствует концентрации внимания, обеспечению ответственности за результат обучения, созданию психологически комфортной обстановки.

План изучения нового материала

1. Теорема Виета для приведённого квадратного уравнения: формулировка.

2. Теорема Виета для квадратного уравнения общего вида: формулировки.

3. Теорема, обратная теореме Виета.

4. Примеры применения изученных теорем.

Теорема Виета

Для приведённого квадратного уравнения:

Если х 2 + рх + q = 0 имеет корни х 1 и х 2 (D >= 0), то

х 1 + х 2 = -р; х 1 · х 2 = q

Для квадратных уравнений общего вида:

Если ах 2 + bх + с =0 имеет корни х 1 , и х 2 (D >=0), то

3. Обратная теорема:

Если числа m и n такие, что m + n = - p, mn = q, то

m и n - корни уравнения х 2 + px + q = 0

х 1 + х 2 = 2, х 1 · х 2 = -3 х 1 = 3, х 2 = -1.

б) составьте приведённое квадратное уравнение, если его корни х 1 = 4, х 2 = -3

б) решение квадратных уравнений ах 2 + bх + с = 0, где

VI. Формирование умений

Каждой группе раздаётся задание с инструкцией выполнения задания. Например:

Найти подбором корни квадратного уравнения

1. Найти значения p и q. Если это приведённое квадратное уравнение, то второй коэффициент – это p, а свободный член – это q. Если это полное квадратное уравнение, то второй коэффициент делённый на первый – это p, а свободный коэффициент делённый на первый – это q.

2. Подобрать два числа, чтобы их произведение равнялось q.

3. Сложить эти числа и проверить, чтобы сумма была равна -p. Если условие выполняется, то перейти к пункту 4, иначе продолжить подбор.

4. Записать ответ Х1 = первому числу, Х2 = второму числу.

Найдите подбором корни уравнения:

а) х 2 - 9х + 20 = 0; б) 2х 2 - 5х - 3 = 0;

в) х 2 + 11х - 12 = 0; г) 5х 2 + 9х + 4 = 0;

д) х 2 + х - 56 = 0; е) 2х 2 - 3х + 1 = 0.

Обучающиеся, подчиняясь правилам работы в группе, выполняют задания группы и отчитываются перед всем классом о выполнении своей работы. В течение 1 минуты в группах обсуждаются поставленные вопросы и записываются ключевые моменты. После этого каждая группа презентует результаты работы по своему вопросу. Выслушав все группы, учитель обобщает сказанное группами, при необходимости вносит коррективы.

Во время выполнения этого задания обучающиеся могут проявлять творческую инициативу. Комментируя, они учатся выражать свои мысли, тем самым развиваются регулятивные и коммуникативные УУД.

Познавательные, включая общеучебные и логические УУД: выбор наиболее эффективных способов решения задач.

Регулятивные УУД: способность к самоконтролю.

Коммуникативные УУД: взаимодействие в группе.

Учебно-познавательная компетентность: самостоятельно заниматься обучением.

Коммуникативная компетентность: владение способами совместной деятельности в группах.

VII. Эмоциональная разрядка (физкультминутка) (слайд 5)

Учитель просит обучающихся встать и по его команде под музыку изобразить одно из состояний – воздух, землю, огонь, воду. Учитель сам принимает участие, помогая стеснительным выполнять упражнения.

Коммуникативные УУД: умение сотрудничать в группе. Регулятивные УУД: умение расслабляться, мобилизовать свои силы. Коммуникативная компетентность: владение способами совместной деятельности в группе.

Обучающиеся расслабляются, снимают возникшие перенапряжение и усталость.

VIII. Закрепление изученного на уроке

Учитель сообщает обучающимся, что работать будут с взаимопроверкой в парах. Каждой паре выдаются карточки. Учащиеся решают эти задания, озвучивают решение с объяснением. Проводится взаимопроверка между парами. Члены других пар высказывают своё мнение по поводу решения, задают вопросы. В процессе может возникнуть спор между парами, но каждая пара должна защитить свой проект решения или принять замечания.

А) Выполнение устных упражнений

1. Составьте приведённое квадратное уравнение, в котором сумма и произведение его корней равны:

а) р = - 5; q = 4; б) г = 15; q = -6; в) р = - 5; q = 0; г) p = 0; q = -2.

2. Один из корней квадратного уравнения х 2 + 4х - 21 = 0 равен - 7. Найдите второй корень (решить задачу разными способами).

Б) Выполнение письменных упражнений

Для реализации дидактической цели урока следует решить задачи следующего содержания:

1. Являются ли данные числа корнями квадратного уравнения с заданными коэффициентами.

а) х 2 - 2,5 х + 1 = 0, числа 2 и 0,5; б) х 2 + 20х - 125 = 0, числа -5 и 25.

2. Найдите по формуле корни уравнения и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:

а) х 2 - 13х + 40 = 0;

б) х 2 + 6х + 5 = 0.

3. Каждое из уравнений имеет корни. Найдите сумму и произведение этих корней:

а) 10х 2 + х - 3 = 0;

б) х 2 - 37х + 27 = 0;

4. Найдите корни уравнения по теореме Виета (подбором):

а) х 2 - 3х + 2 = 0;

б) х 2 - 5х + 6 = 0.

5. Нахождение неизвестного корня и неизвестного коэффициента квадратного уравнения, если известен второй корень и два коэффициенты квадратного уравнения.

1) Найдите свободный член q приведённого квадратного уравнения

х 2 + px + q = 0, если его корнями являются числа: -5; 3.

2) В уравнении х 2 + рх - 35 = 0 один из корней уравнения равен 7. Найдите второй корень и коэффициент р.

6. Логические упражнения и задачи повышенного уровня сложности для учащихся, имеющих достаточно высокий уровень знаний.

Докажите, что уравнение 7х 2 + bх - 23 = 0 при любых значениях b имеет один положительный и один отрицательный корень.

Познавательные, включая общеучебные и логические УУД : умение осуществлять логические действия анализ, синтез, обобщение.

Коммуникативная компетентность: владение способами совместной деятельности в паре.

Учебно-познавательная компетентность: умение задавать вопросы к наблюдаемым фактам, отыскивать причины явлений, обозначать свое понимание или непонимание по отношению к изучаемой проблеме; ставить познавательные задачи и выдвигать гипотезы; описывать результаты, формулировать выводы.

Информационная компетентность: организовывать взаимосвязь своих знаний.

IX. Итоги урока (слайд 6)

В любом из случаев правильно ли выполнено действие?

1) Сумма корней уравнения 5х 2 - 9х - 2 = 0 равна: а) -9; б) 1,8; г) -1,8; д) ;

2) произведение корней уравнения 5х 2 + 3x - 2 = 0 равно: а) -2; б) 2; в) 0,4; г) другой ответ.

Затем учащиеся рассказывают, применяя плакаты на магнитной доске, сбылись ли их ожидания от урока и ликвидированы ли опасения.

Учитель предлагает учащимся высказаться, что усвоили хорошо, а на что необходимо обратить внимание.

Коммуникативные УУД: умение выражать свои мысли в монологической и диалогической речи.

Личностные УУД: понимание ценности знания.

Регулятивные УУД: умение оценивать результат своей деятельности (в группе или на уроке в целом).

Учебно-познавательная компетентность: формирование навыков учебной деятельности.

Социальная компетентность : способность к анализу.

X. Домашнее задание (слайд 7)

1. Изучить содержание и схемы доказательства теоремы Виета и обратной теоремы п.24 стр.134, конспект.

2. Решить упражнения на применение изученных теорем №№ 580,582(а,б,в),583.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

обучающая : раскрытие связей между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами (теорема Виета); формирование способа конструирования квадратных уравнений по заданным корням (обратная теорема Виета); рассмотреть различные задания на применение теоремы Виета.
развивающая: способствовать выработке у школьников умения обобщать изучаемые факты, формулировать выводы; развивать исследовательские навыки и самостоятельность путем составления ими уравнений;
воспитывающая: научить преодолевать трудности, настраиваться на успех в любом деле; формировать навыки сотрудничества.

Тип урока : урок усвоения новых знаний.

I . Целеполагание.

Давайте попробуем определить цели нашего сегодняшнего урока, что мы уже

умеем делать, чему должны или можем научиться. Итак…

О квадратных уравнениях

Что я знаю

Что не знаю

Решать по формуле полные квадратные уравнения

Решать неполные квадратные уравнения

Решать задачи с помощью квадратных уравнений

Новый способ решения квадратных уравнений

Выслушать предложения ребят, скорректировать ответы, сделать выводы и сформулировать цели урока.

Напишите в тетрадях дату, классная работа, тему урока: Теорема Виета.

II . Объяснение.

1 этап. Обзор. Мотивация.

От чего зависит наличие или отсутствие корней квадратного уравнения? (от дискриминанта)

Из чего составляется дискриминант квадратного уравнения?

(из коэффициентов a , b , c )

В зависимости от того, какие коэффициенты квадратного уравнения, можно определять корни неполных квадратных уравнений.

Как ещё связаны между собой корни и коэффициенты квадратного уравнения? Чтобы раскрыть эти связи, наверное, будет полезно понаблюдать за коэффициентами и корнями различных квадратных уравнений.

Дома вы решали квадратные уравнения. Проверку осуществим следующим образом: вы называете мне любое уравнение, я записываю его на доске и мгновенно называю его корни.

Проверяя домашнюю работу, ученики приходят в недоумение: каким образом учителю удается угадывать корни всех уравнений?

Учащиеся высказывают предположение о существовании особых свойств либо новой формулы корней приведенного квадратного уравнения. Ученики ставят проблемный вопрос:

“Существует ли связь между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения? Если существует, то какова эта связь?”

При поиске закономерностей исследователи часто фиксируют свои наблюдения в таблицах, которые помогают обнаружить эти закономерности.

Сейчас мы проведём небольшое исследование, а результаты исследования занесём в таблицу.

2 этап. Исследование – поиск путей решения проблемы.

1. х 2 + 7х + 12 = 0

2. х 2 - 9х + 20 = 0

3. х 2 – х – 6 = 0

4. х 2 + х – 12 = 0

5. х 2 + 13х + 30 = 0

6. х 2 – 6х + 8 =0

Заполните рабочий лист.
Сравните результаты колонок №2 и №5 по каждому уравнению, найдите закономерность, сделайте вывод.
Сравните результаты колонок №3 и №6 по каждому уравнению, найдите закономерность, сделайте вывод.
Ответьте на вопрос урока.
Подготовьте отчет.

3 этап. Обмен информацией .

На доске вычерчена заготовка таблицы “Рабочий лист”. Первая группа при отчете записывает в эту таблицу только первое уравнение из своего списка, вторая группа - только второе уравнение из своего списка, третья – третье уравнение и т.д. После отчета всех групп на доске появляется заполненная таблица:

Давайте попробуем определить цели нашего сегодняшнего урока, что мы уже

умеем делать, чему должны или можем научиться. Итак…

О квадратных уравнениях

Решать по формуле полные квадратные уравнения

Решать неполные квадратные уравнения

Решать задачи с помощью квадратных уравнений

Новый способ решения квадратных уравнений

Выслушать предложения ребят, скорректировать ответы, сделать выводы и сформулировать цели урока.

Напишите в тетрадях дату, классная работа, тему урока: Теорема Виета.

1 этап. Обзор. Мотивация.

От чего зависит наличие или отсутствие корней квадратного уравнения? ( от дискриминанта )

Из чего составляется дискриминант квадратного уравнения?

( из коэффициентов a , b , c )

“ Существует ли связь между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения? Если существует, то какова эта связь?”

Сейчас мы проведём небольшое исследование, а результаты исследования занесём в таблицу.

2 этап. Исследование – поиск путей решения проблемы.

х 2 + 7х + 12 = 0
х 2 - 9х + 20 = 0
х 2 – х – 6 = 0
х 2 + х – 12 = 0
х 2 + 13х + 30 = 0
х 2 – 6х + 8 =0

Заполните рабочий лист.
Сравните результаты колонок №2 и №5 по каждому уравнению, найдите закономерность, сделайте вывод.
Сравните результаты колонок №3 и №6 по каждому уравнению, найдите закономерность, сделайте вывод.
Ответьте на вопрос урока.
Подготовьте отчет.

3 этап. Обмен информацией .

Читайте также: