Конспект урока равносильные уравнения 10 класс алимов

Обновлено: 05.07.2024

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Образовательная: ввести определение равносильности, следствия уравнения, записать теоремы равносильности.

Развивающая: развивать память, наблюдательность, логическое мышление, математическую речь учащихся, умение анализировать и сравнивать, развивать познавательный интерес к предмету, развивать умение выделять главное, логически излагать мысли .

Воспитательная: воспитывать коммуникативную культуру учащихся, навыки коллективной деятельности, сотрудничества, взаимопомощи , воспитание дисциплинированности, аккуратности записей в тетради, внимательности, активизировать деятельность учащихся на уроке.

Тип урока: изучение нового материала.

Оборудования: учебники, блокноты, интерактивная доска, карточки с заданиями.

Формулирование новой темы, определение основных целей.

Объяснение нового материала.

Закрепление нового материала.

а) Решение примеров.

б) Работа в группах.

в) Самостоятельная работа.

Организационный момент.

Приветствие, проверка отсутствующих в группе. Проверка выполнения домашнего задания. Как справились с домашним заданием? Что вызвало затруднение?

Формулирование новой темы, определение основных целей.

Актуализация знаний .

Давайте вместе с вами посмотрим на слайд и распознаем, какие из этих примеров являются уравнениями, какие неравенствами и системами.

е) Система неравенства

Объяснение нового материала.

Изучая курс алгебры, мы постоянно решали уравнения и неравенства с одной переменной, системы уравнений с двумя переменными, системы неравенств с одной переменной. В сегодняшней теме мы снова обращаемся к уравнениям, чтобы рассмотреть их с самых общих позиций.

Определение 1. Два уравнения с одной переменной f(х) = g(х) и р(х) =h(х) называют равносильными, если множества их корней совпадают.

Иными словами, два уравнения называют равносильными, если они имеют одинаковые корни или если оба уравнения не имеют корней.

Теорема 1. Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному.
Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному.

Закрепление нового материала.

а) Решение примеров.

№ 1663, № 1665(а, б), № 1667, № 1673 (а, б, в), № 1674 (а, г), № 1675(б, в)

Организационный момент (2 минуты);

Проверка домашней работы;

Актуализация знаний (5 минут);

Решение задач (34 минуты);

Подведение итогов (2 минуты);

Домашнее задание (2 минуты).

Организационный момент (2 минуты).

Приветствие учеников. Проверка готовности учащихся к уроку: проверка наличия тетрадей, учебников. Проверка отсутствующих на уроке.

Проверка домашней работы.

Проверка домашней работы происходит в том случае, если у многих учеников возникли вопросы при ее решении.

Актуализация знаний (5 минут).

Учитель. На прошлых уроках мы познакомились с понятием показательной функции, научились решать показательные уравнения, неравенства и системы показательных уравнений и неравенств, так давайте вспомним, что называется показательной функцией?

Ученик. Показательной функцией называется функция y=ах, где а заданное число, а > 0, а ≠ 1.

Учитель. Какова область определения функции y=0,3x?

Ученик. Область определения данной функции все действительные числа.

Учитель. Каково множество значения функции y=3x?

Ученик. Множество значений данной функции – действительные положительные числа.

Учитель. При каком условии показательная функция является возрастающей?

Ученик. Функция будет являться возрастающей, если а > 1.

Учитель. При каком условии показательная функция является убывающей?

Ученик. Функция будет являться убывающей, если 0

Учитель. Возрастает или убывает функция у=0,5 х и почему?

Ученик. Даная функция убывает, так как основание данной функции меньше единицы.

Учитель. Возрастает или убывает функция у=2 х и почему?

Ученик. Даная функция возрастает, так как основание данной функции больше единицы.

Учитель. Определите при каком значении а функция у=а х проходит через точку А(1; 2)?

Ученик. Функция у=а х будет проходить через точку А(1; 2) при а = 2.

Учитель. Какие способы решения показательных уравнений вы знаете?

Ученик. Приведение к одному основанию, вынесение общего множителя за скобки, введение новой переменной.

Учитель . Какие методы мы использовали для решения показательных уравнений и неравенств?

Ученик . Для решения показательных уравнений и неравенств мы использовали графический и аналитический методы.

Учитель . Что означает решить систему уравнений?

Ученик . Решить систему уравнений – значит найти все те значения неизвестной при которых каждое уравнение этой системы обращается в верное равенство.

Учитель . Что означает решить систему неравенств?

Ученик . Решить систему неравенств – значит найти все те значения которые удовлетворяют каждому неравенству этой системы.

Решение задач (34 минут).

Учитель . Запишите в тетради число, классная работа, тема урока – решение систем показательных уравнений и неравенств.

Запись на доске и в тетрадях:

Решение систем показательных уравнений и неравенств

На прошлом уроке вы научились решать системы показательных уравнений и неравенств, сегодня мы постараемся укрепить ваши знания, умения и навыки по этой теме. Поэтому сразу приступим к решению упражнений по теме. Решим систему из номера №241 под цифрой 2. Прочитайте задание.

Ученик. Решите систему уравнений.

Запись на доске и в тетрадях

Что необходимо для того чтобы решить систему уравнений?

Для того, чтобы решить систему уравнений необходимо найти все те значения неизвестных при которых каждое уравнение этой системы обращается в верное равенство.

Каким способом будем решать показательные уравнения?

Для того чтобы решить показательные уравнения приведем обе части уравнений к одинаковым основаниям.

В левой части второго уравнения мы имеем произведение степеней с одинаковым основанием, как можно преобразовать это выражение?

По свойству степеней левую часть второго уравнения можно представить в виде 3 6х+у .

И левая и правая части наших уравнений имеют в основании одно и то же число, в соответствии с этим, как можно преобразовать систему?

Так как и в левой и в правой части уравнений степени с одинаковым основанием, то мы имеем право избавиться от оснований степеней, и приравнять их показатели.

Мы получили систему уравнений с двумя переменными. Каким методом будем решать данную систему?

Для решения данной системы уравнений необходимо воспользоваться методом подстановки.

Как применим этот метод к нашей системе уравнений?

Для того чтобы решить систему уравнений методом подстановки необходимо:

Ответ записывается парой чисел (х; у).

Учитель. Решим систему из номера №242 под цифрой 2. Прочитайте задание.

Ученик. Решите систему уравнений.

Запись на доске и в тетрадях

Что необходимо для того чтобы решить систему уравнений?

В обоих уравнениях степени с одинаковыми основаниями и показателями, но разными знаками. Каким способом будем решать данную систему?

Для того чтобы решить данную систему необходимо сложить оба уравнения.

У нас получилось показательное уравнение, в правой части которого сумма степеней с одинаковым основанием. Каким способом следует воспользоваться для решения этого уравнения?

Так как получилось показательное уравнение в правой части которого сумма степеней с одинаковыми основаниями, необходимо вынести общий множитель за скобки.

Далее задание решается по аналогии.

Остальные задачи решаются по аналогии.

Учитель. Решим систему из номера №244 под цифрой 1. Прочитайте задание.

Ученик. Решите систему.

Запись на доске и в тетрадях

Что необходимо для того чтобы решить систему?

Для того, чтобы решить систему необходимо найти все те значения неизвестных которые удовлетворяют неравенству и при которых уравнение этой системы обращается в верное равенство.

Так как данная система содержит как уравнение, так и неравенство, то применить какой-либо известный способ решения систем мы не можем, а значит что мы должны сделать для решения данной системы?

Для решения данной системы мы должны отдельно решить уравнение и неравенство, а затем выделить те значения неизвестной, которые удовлетворяют как уравнению, так и неравенству или установить что их нет.

Для начало давайте решим неравенство. В левой части неравенства мы имеем степень с основанием 5, а в правой – число 625, можем ли мы выразить число 625 в виде степени с основанием 5?

Да, можно. 625 можно представить как 5 4

В основании степеней число 5, а 5 > 1. Как данный факт применим к решению нашего неравенства?

Так как 5 > 1, то по свойству показательных функций у = 5 2х + 1 будет являться возрастающей функцией, то решением неравенства 5 2х + 1 > 5 4 будут являться числа удовлетворяющие неравенству 2х + 1 > 4.

Показательное уравнение входящие в состав нашей системы и в правой и в левой части имеет одно и тоже основание – 11. Как данный факт применим к решению нашего уравнения?

Так как и в левой и в правой части показательного уравнения находятся степени с одинаковым основанием, то от оснований можно избавиться и приравнять их показатели. Далее решаем полученное квадратное уравнение.

6х 2 – 10х = 9х – 15

6х 2 – 19х + 15 = 0

Какие числа удовлетворяют решению данной системы?

Так как 3,(3) > 1,5 и 3 > 1,5, то оба эти числа будут являться решением системы.

Ответ: х 1 = 3,(3) и х 2 = 3

Подведение итогов (2 минуты).

Учитель. Сегодня мы с вами продолжили решать системы показательных уравнений и неравенств. Вспомнили, как решаются отдельно друг от друга показательные уравнения и неравенства. Вспомнили, как решать системы. На следующем уроке мы вспомним материал по изученной главе, подготовимся к контрольной работе.

Все кто сегодня работал молодцы.

Домашнее задание (2 минуты).

Учитель. Дома вам необходимо повторить параграф 14, решить №243-244 (нечетные).

Запись на доске и в дневниках:

Параграф 14, №243-244 (нечетные).

Учитель. Урок окончен, можете быть свободны.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

План-конспект урока по алгебре 7 класс по теме:Решение задач с помощью систем уравнений

Открытый урок для 7 класса по алгебре по теме "Решение задач с помощью систем уравнений" подготовленный для методической недели в школе № 1462 на 19 апреля 2013 года.

План-конспект урока по алгебре в 7 классе по теме: "Решение систем линейных уравнений"

Методическая разработка урока по алгебре в 7 классе с использованием ЭОР и ссылками на мультимедийные ресурсы.

Конспект урока алгебры в 7 классе на тему "Решение систем линейных уравнений способом подстановки"

Урок изучения нового материала с применением новых обучающих структур.

открытый урок по алгебре 8 класс на тему "Решение систем неравенств с одной переменной"

открытый урок по алгебре 8 класс на тему "Решение систем неравенств с одной переменной" Урок полностью соответствует ФГОС+ презентация к уроку.

Два уравнения называют равносильными, если они имеют одинаковые корни или если оба уравнения не имеют корней.

Если при переходе от одного уравнения к другому потери корней не происходит, то второе уравнение называет следствием первого уравнения. Иначе, если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнения называется следствием первого уравнения.

Неравенства, имеющие одно и то же множество решений, называют равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также являются равносильными.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Определение. Два уравнения с одной переменной

f(х) = g(х) и р(х) = h(х) называют равносильными, если множества их корней совпадают.

1) Уравнения равносильны, т.к. каждое из них имеет только один корень х=3.

2) Уравнения также равносильны, т.к. у них одни и те же корни .

3) А вот уравнения не равносильны, потому что у первого уравнения корень х=2, а у второго уравнения два корня х=2 и х=-2.

Из определения равносильности следует, что два уравнения равносильны, если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, и наоборот.

Решение уравнения осуществляется в три этапа.

Первый этап — технический. На этом этапе осуществляют преобразования по схеме (1) → (2) → (3)→ (4) → . и находят корни последнего (самого простого) уравнения указанной цепочки.

Второй этап — анализ решения. На этом этапе, анализируя проведенные преобразования, отвечают на вопрос, все ли они были равносильными.

Третий этап — проверка. Если анализ, проведенный на втором этапе, показывает, что некоторые преобразования могли привести к уравнению-следствию, то обязательна проверка всех найденных корней их подстановкой в исходное уравнение.

Как узнать, является ли переход от одного уравнения к другому равносильным преобразованием?
Какие преобразования могут перевести данное уравнение в уравнение-следствие?
Если мы в конечном итоге решили уравнение-следствие, то как сделать проверку в случае, когда она сопряжена со значительными вычислительными трудностями?
В каких случаях при переходе от одного уравнения к другому может произойти потеря корней и как этого не допустить?

Из курса средней школы мы знаем, что можно сделать следующие преобразования уравнений: любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный.

Обе части уравнения можно умножить или разделить на одной и то же число, не равное нулю.

Из этого определения и определения равносильности уравнений следует, что:

если ва уравнения равносильны, то каждое из них является следствием другого;
если каждое из двух уравнений является следствием другого, то эти уравнения равносильны.

При решении уравнений главное- не потерять корни, а наличие посторонних корней можно установить проверкой. Поэтому важно следить за тем, чтобы при преобразовании уравнения каждое следующее уравнение было следствием предыдущего.

Стоит отметить, что посторонние корни могут получиться при умножении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное; а вот потеря корней может произойти при делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное.

Итак, сформулируем основные теоремы, которые используются при решении равносильных уравнений:

Определение. Областью определения уравнения f(х) = g(х) или областью допустимых значений переменной (ОДЗ) называют множество тех значений переменной х, при которых одновременно имеют смысл выражения

f(х)и g(х).

Теорема 1. Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну и туже нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному.

равносильно уравнению f(x) = g(х).

Теорема 4. Если обе части уравнения f(x) = g(х) умножить на одно и то же выражение h(х), которое:

а) имеет смысл всюду в области определения (в области допустимых значений) уравнения f(x) = g(х)

б) нигде в этой области не обращается в 0, то получится уравнение f(x)h(x) = g(x)h(x), равносильное данному в его ОДЗ.

Следствием теоремы 4: если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 5. Если обе части уравнения f(x)=g(х) неотрицательны в ОДЗ уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же четную степень n получится уравнение равносильное данному в его ОДЗ.

Краткая запись теорем 4, 5.

4. f(x) = g(x) ⇔h(x)f(x) = h(x)g(x), где h(x) ≠0

и h(x) имеет смысл в ОДЗ данного уравнения.

и n=2k (чётное число).

Например, х – 1 = 3; х = 4

Умножим обе части на (х – 2):

(х – 2)(х – 1) = 3(х – 2); х = 4 и х = 2 – посторонний корень⇒ проверка!

Равносильность неравенств с неизвестным определяется аналогично.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

Решим уравнение:

Возведем в квадрат обе части уравнения, получим:

, которое не будет равносильно исходному уравнению, потому что у этого уравнения два корня , а у первоначального уравнения только один корень х=4.

Неравенства и x-3 x-1 не равносильны, так как решениями первого являются числа x 1, а решениями второго- числа x>-1. При решении неравенств обычно данное неравенство преобразуется в ему равносильное.

Тип урока: урок комплексного применения знаний.

Оборудование: компьютеры, проектор,

Образовательные: актуализация опорных знаний при решении показательных уравнений, обобщение знаний и способов решения; контроль и самоконтроль знаний и способов действий.

Развивающие: развитие умений в применении знаний в конкретной ситуации;

развитие навыков реализации теоретических навыков в практической деятельности;

развитие умения сравнивать, обобщать, правильно формулировать и излагать мысли;

развитие интереса к предмету через содержание учебного материала

Воспитательные:

Воспитание навыков самоконтроля и взаимоконтроля;

Воспитание культуры общения, умения работать в коллективе, взаимопомощи;

Воспитание качеств характера таких как, настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемных ситуациях.

- научиться решать простейшие показательные уравнения по заданному алгоритму;

- решать показательные уравнения, самостоятельно выбирая нужный метод решения;

- применять полученные знания в нестандартных ситуациях.

Тип урока: комбинированный.

Методы обучения.

показательно - иллюстративные с применением мультимедийных технологий: словесный, практический, контролирующий.

Формы: фронтальная, индивидуальная, групповая, самостоятельная работа, работа с банком заданий ЕГЭ, работа в парах, работа над проектом.

I.Актуализация опорных знаний.

Найти значение выражений

1. (3 0 - ) - 1 ( ответ: 1,25)

2. ( 7 + 2 -3 ) 0 (ответ: 8)

3. (ответ: 1/3)

4. (ответ: 9)

5. (ответ: 1)

II.Устный фронтальный опрос

Дайте определение показательной функции

2.Какие из перечисленных ниже функций являются показательными?

1) у = 2 х 2) y = x 2 3) у = ( ) x

4) у = x 5) у = (x - 2) 3 6) у = 7) у = 3 -x

3.Назовите основные свойства показательной функции?

4.Выберите возрастающие функции:

2)у=( ) Х 7)у=( Х

4)у=(0,1) Х 9) у=( Х

5)у=( ) - Х 10) у=( ) Х

5 . Из предложенных функций выберите ту, график которой изображён на рисунке.

6. Какая из функций будет ближе располагаться к оси ОУ?

1) у=3 х 2) у=4 х 3) у=5 х 4) у=10 х

III.Формирование новых знаний.

“Уравнения – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы”. С.Коваль.

Уравнения для меня важнее, потому что политика - для настоящего, а уравнения - для вечности. А.Эйнштейн.

1) Что называется уравнением?

Равенство, содержащее неизвестную переменную, называют уравнением.

2) Что значит решить уравнение?

Решить уравнение - означает найти все его корни или установить, что их нет.

3) Какие из данных уравнений вы знаете? Назовите виды данных уравнений.

5) 3 х +1 - 2 3 х = 9

6) 2х 4 + х 2 – 1 = 0

7) 9 х - 4 3 х – 45 = 0

VI.Откройте тетради. Запишите число и тему урока.

Мотивация изучаемой темы.

Способы решения показательных уравнений:

1.Приведение обеих частей уравнений к одному и тому же основанию.

3 х = 27

каждую часть уравнения представим в виде степени с основанием 3

3 х =3 3 3 1/2

Т.к. основания равны, то приравниваем и показатели

х=

2. Замена переменной.

9 х - 4

3.Вынесение общего множителя за скобки.

3 х+1 - 2

V.Первичное закрепление изученного материала.

2.3 х-1 -3 х + 3 х+1 = 63

3.7 2х – 6 7 х –7 = 0

Разработка состоит из теоретической и практической части. Теоретическая включает в себя определения равносильных уравнений и уравнений-следствий, следствия из этих определений, примеры, в которых отражены случаи появления посторонних корней и потери корней. Практическая часть содержит большой объём заданий для определения равносильности и решения уравнений.

Равносильные уравнения.

Равносильными уравнениями называются уравнения, имеющие одинаковое множество корней, или не имеющие корней.

а) каждое из уравнений имеет один корень, равный . Значит, эти уравнения равносильны;

б) каждое из уравнений не имеет корней. Значит, эти уравнения равносильны.

В процессе решения уравнений необходимо, по возможности, совершать преобразования, сохраняющие равносильность. Перечислим эти преобразования.

Если в уравнении перенести слагаемое из одной части уравнения в другую, поменяв при этом его знак, то получится уравнение, равносильное данному.

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится уравнение, равносильное данному.

Если к обеим частям уравнения прибавить (или отнять) один и тот же многочлен, то получится уравнение, равносильное данному.

Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечётную степень, то получится уравнение, равносильное данному.

Если невозможно совершить равносильные преобразования, то необходимо следить за областью допустимых значений уравнения. К таким уравнениям относятся иррациональные, дробно рациональные, логарифмические. Приведём примеры.

ОДЗ:

(Т.к. подкоренное выражение равно выражению в квадрате, то оно не будет отрицательным, именно поэтому включать подкоренное выражение в ОДЗ нет необходимости).

ОДЗ, значит, это посторонний корень.

ОДЗ:

ОДЗ, значит, этот корень посторонний.

ОДЗ:

ОДЗ, значит, это посторонний корень.

Если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого уравнения. При этом, второе уравнение может иметь корни, которые не являются корнями первого уравнения. Их называют посторонними корнями, которые необходимо выявить и отбросить.

Например, уравнение является следствием уравнения . Эти уравнения имеют один общий корень, но при этом первое уравнение имеет два корня: , а второе один корень: Это произошло вследствие расширения области определения исходного уравнения (возвели в квадрат).

Чтобы уравнения получались равносильными, необходимо определять область допустимых значений и отсеивать посторонние корни.

Посторонние корни появляются вследствие расширения области определения.

Потеря корней может произойти вследствие деления обеих частей уравнения на выражение, содержащее переменную.

Следствия из определений равносильных уравнений и уравнений-следствий:

Если два уравнения равносильны, то каждое из них является следствием другого.

Если каждое из уравнений является следствием другого, то эти уравнения равносильны.

Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого.

Читайте также: