Конспект урока применение производной к исследованию функций 10 класс

Обновлено: 06.07.2024

Оборудование: Оборудование кабинета информатики: ПК, проектор, экран.

Тип урока: Урок формирования новых знаний. Лабораторная работа-исследование.

Задачи:

Дать представление о связи свойств функции с её производной, учить чтению и анализу графиков функций.
Развивать умение анализировать, сопоставлять, сравнивать, формулировать выводы по результатам собственной деятельности.
Развивать навыки использования компьютера и мультимедийных учебных программ для организации собственной познавательной деятельности.
Развивать такие качества личности, как ясность и точность мысли, логическое мышление, алгоритмическая культура, интуиция, критичность.
Воспитывать средствами математики культуру личности: умения выслушать и принимать во внимание взгляды других людей, умение справляться с неопределённостью и сложностью.

Структура урока:

Ход урока

1. Организационный момент

После приветствия и фронтального повторения правил поведения в кабинете информатики, учащиеся рассаживаются за компьютеры группами по 2-3 человека. Для создания наиболее комфортных условий, группы формируются по желанию учеников.

2. Актуализация опорных знаний и фиксация затруднений в деятельности

Повторение определений возрастающей, убывающей функций, точек минимума и максимума, наибольшего и наименьшего значений функции (§8 учебника). Устная работа (слайды 2, 3, приложение 1):

№1. По графику функции y=f(x) ответьте на вопросы:

Сколько точек максимума имеет эта функция?
Назовите точки минимума функции.
Сколько промежутков возрастания у этой функции?
Назовите наименьший из промежутков убывания этой функции.

№2. (Задание В5 ЕГЭ по математике) По графику функции y=f ´(x) ответьте на вопросы:

Сколько точек максимума имеет эта функция?
Назовите точки минимума функции.
Сколько промежутков возрастания у этой функции?
Найдите длину промежутка убывания этой функции.

По результатам работы на данном этапе урока учащиеся констатируют: задание №2 для них является невыполнимым.

3. Постановка учебной задачи

Составить (создать, разработать) правило (алгоритм), с помощью которого можно исследовать функции на монотонность и экстремумы по её производной.

4. Выполнение лабораторной работы и фиксация результатов деятельности

Работа выполняется за компьютерами в группах по 2-3 человека.

План проведения лабораторной работы:

Представители групп представляют результаты своей деятельности (слайды 5,6 приложения 1).

Учитель формулирует Теоремы 1, 2 и Теоремы 3, 4 (§44 учебника), иллюстрируя их слайдами приложения 1.

В ходе обсуждения выводов учащихся, необходимо отметить, что для того, чтобы исследовать функцию на монотонность и экстремумы, необязательно строить график производной, достаточно определить знаки производной на промежутках, на которые стационарные и критические точки разбивают область определения функции. Фактически составляется алгоритм исследования непрерывной функции на монотонность и экстремумы:

Найти производную функции y=f(x).
Найти стационарные и критические точки.
Отметить эти точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках.
Сделать выводы о монотонности функции и о её точках экстремума.

6. Первичное закрепление

На этом этапе урока целесообразно выполнить несколько заданий такого вида (слайды 11-14 приложения 1):

№1. Непрерывная функция y=f(x) задана на [-10;11]. На рисунке изображён график её производной. Укажите количество промежутков возрастания функции.

№2. Непрерывная функция y=f(x) задана на (-10;6). На рисунке изображён график её производной. Укажите количество точек графика этой функции, в которых касательная параллельна оси ОХ.

№3. Непрерывная функция y=f(x) задана на (-6;8). На рисунке изображён график её производной. Укажите длину промежутка убывания этой функции.

№4. Непрерывная функция y=f(x) задана на (-4;10). На рисунке изображён график её производной. Укажите число точек экстремума этой функции.

7. Включение в систему знаний и повторение

Учащиеся пересаживаются за столы. Для выполнения им предлагаются задания из задачника №44.9 б, в; 44.20 б; 44.49 в; 44.50 г.

Образцы оформления заданий учитель заранее готовит на доске.

Рефлексия деятельности (итог урока)

На этом этапе проговариваются выводы, сделанные учащимися в ходе лабораторной работы, отмечаются позитивные моменты урока, и, обязательно, надо отметить то, что каждый ученик на уроке занимался исследовательской деятельностью, создавая свой интеллектуальный продукт.

Домашнее задание

§44, пункт 1, 2, выучить формулировки теорем и алгоритм исследование функции на монотонность и экстремумы, №44.2, 44.22 б, 44.50 б, 44.56 в.

Цели урока: сформировать навыки исследования и построения графиков функции с помощью производной. Развивать алгоритмическое мышление, память. Воспитывать у учащихся требовательность к себе, критическое отношение к результатам своей работы, настойчивость в достижении цели.

Содержимое разработки

Тема урока: Применение производной к исследованию функции

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Методы обучения: объяснительно-иллюстративный, проблемный, эвристический.

Форма обучения: наглядная, практическая, словесная

Оборудование: мультимедийный проектор, презентация, карточки с заданием для групп, ватманы и маркеры для групп.

Структура урока

Актуализация опорных знаний учащихся

Первичное восприятие и осознание учащимися нового материала

Первичное применение приобретённых знаний

Подведение итогов урока

Ход урока

ӏ Организационный момент:

- отметить отсутствующих на уроке;

- записать дату урока, классная работа в тетради.

Учитель записывает на доске, а ученики в тетради: Применение производной при исследовании функции.

Цель нашего урока: научиться исследовать функцию и строить её график с использованием производной. Эта тема в дальнейшем упростит нахождение свойств функции и построение графиков функций.

Задача урока: научиться пользоваться алгоритмом исследования функции.

ӏӏӏ Актуализация опорных знаний учащихся.

(Фронтальный опрос учащихся).

Что называется функцией?

Если каждому значению переменной Х из некоторого множества D соответствует единственное значение переменной У, то такое соответствие называется функцией. При этом Х называют независимой переменной, или аргументом, а У -зависимой переменой, или функцией.

Что называется областью определения и областью значения функции?

Множество всех значений, которые может принимать аргумент, называют областью определения данной функции и обозначают D. Множество значений, которые может принимать функция, называют областью значений и обозначают буквой Е.

Какая функция называется чётной (нечётной)?

Функция называется чётной (нечётной), если область её определения симметрична относительно числа 0 и для каждого значения Х из области определения f(-x)=f(x), (f(-x)=-f(x) ).

Какие точки называются критическими?

Внутренние точки области определения, в которых производная равна нулю или не существует, называют – критическими точками функции.

Дать определение, на каком промежутке функция возрастает, убывает, постоянная.

Если производная функции в каждой точке некоторого промежутка положительная, то функция на этом промежутке возрастает. Если производная функции в каждой точке некоторого промежутка отрицательная, то функция на этом промежутке убывает. Если производная функции в каждой точке промежутка тождественно равна нулю, то на этом промежутке функция постоянная.

Как можно определить промежутки возрастания и убывания функции f(x)?

ӏ способ: нужно решить неравенства f᾽(x)0 и f᾽(x)

ӏӏ способ: найти все критические точки функции, разбить ими область определения функции на промежутки, а потом исследовать, на каких из них функция возрастает, а на каких убывает.

Что называется точкой минимума (максимума) функции?

Точка х₀ называется точкой минимума функции f(x), если для всех х (х≠х₀) из некоторой окрестности точки х₀ выполняется неравенство f(x₀)f(x) (f(x₀)f(x)).

Как, одним словом назвать точки максимума и минимума функции?

Как определить точки экстремума?

ӏv Восприятие и первичное осознание учащимися нового материала.

Итак, теперь переходим к изучению новой темы.

Исследовать функцию – это значит установить её свойства: указать D(f), E(f), промежутки возрастания и убывания, промежутки на которых функция принимает положительные значения, на которых принимает отрицательные, выяснить, не является ли данная функция чётной или нечётной и т.д.

На слайде представлен график функции

Функция ни чётная и ни нечётная

Нули функции: (-2;0) и (2;0)- с осью ОХ, (0;-8)-с осью ОУ

Функция возрастает на (-∞;-2] и [1;+∞), и убывает на [-2;1]

Точки экстремума Xmax =-2, Xmin=1. Экстремумы функции Ymax=0, Ymin=9,5

Учитель продолжает объяснять новую тему: в данном случае, если нам известен график функции, то перечислить все свойства этой функции не составит труда.

Решим обратную задачу: по известному аналитическому заданию функции перечислим все её свойства.

Пусть функция задана в виде y=f(x), тогда необходимо выполнить исследование функции по следующей схеме (схема перед глазами учащихся на слайде презентации):

Найти область определения функции

Исследовать функцию на чётность, нечётность и периодичность

Найти нули функции (точки пересечения графика функции с осями координат)

Исследовать функцию на монотонность (найти промежутки возрастания и убывания функции)

Найти точки экстремума и экстремальные значения функции

Найти дополнительные точки (если нужно)

Построить график функции

Учитель на доске показывает образец выполнения задания. (Учащиеся активно берут участие в исследовании функции и записывают решение в тетради).

Исследовать функцию и построить её график f(x)=x 3 -3x 2 +2

f(-x)=(-x) 3 -3(-x) 2 +2=-x 3 -3x 2 +2 f(-x)≠f(x);

f(-x)≠-f(x) функция ни чётная и ни нечётная

а) с осью ОХ: у=0 x 3 -3x 2 +2=0;

х 3 -х 2 -2х 2 +2=0;

(х 3 -х 2 )-2(х 2 -1)=0;

х-1=0 или х 2 -2х-2=0;

х₂= =1+, х₃= =1-;

А(1;0), В(1+;0), С(1-;0).

б) с осью ОУ: х=0 f(х)=0 3 -2*0 2 +2=2 D(0;2)

4. Монотонность функции

f᾽(x)=0 3х 2 -6х=0;

f᾽(3)=3*3 2 -6*3=27-18=9, 90

Точки экстремума. Экстремальные значения функции.

x _max=0 y_max=0 3 -3*0 2 +2=2 E(0;2)

v Первичное применение приобретённых знаний

Ученики заранее поделены на пять групп, каждая из которых получает карточку с заданием. В каждой группе назначается ответственный за выполнение задания и ходом его решения. Как только в группе будет найден ответ на первый пункт схемы исследования своей функции, сразу один из учеников выходит к доске и записывает его и так далее до конца (в ходе выполнения задания все учащиеся группы выйдут к доске минимум один раз). Каждой группе выдан ватман и маркер, на котором ученики строят график своей функции с целью экономии времени и места на доске, так как одновременно все пять групп записывают исследование своей функции на заранее разделенной на пять частей доске.

Задание группы №1

Исследовать функцию и построить её график f(x)=x 3 -2х 2

f(-x)=(-x) 3 -2(-x) 2 =-x 3 -2x 2 =-(х 3 +2х 2 ) f(-x)≠f(x);

f(-x)≠-f(x) функция ни чётная и ни нечётная

а) с осью ОХ: у=0 x 3 -2x 2 =0;

х₁=0, Х₂=2 А(0;0), В(2;0)

б) с осью ОУ: х=0 f(х)=0 3 -2*0 2 =0 А(0;0)

4. Монотонность функции

f᾽(x)=0 3х 2 -4х=0;

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Конспект урока по алгебре в 10 классе

Предмет : математика

УМК: А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов и др.

Тип урока : урок изучения нового материала

Оборудование: компьютер, проектор, презентация, карточки

Цель: рассмотреть применение производной для исследования функций и уравнений.

Структура урока:

Актуализация опорных знаний и фиксация затруднений в деятельности.

Постановка учебной задачи.

Изучение нового материала.

Рефлексия деятельности (итог урока)

1.Организационный момент

2.Актуализация знаний

Вспомните, что мы изучали на прошедших уроках? (Перечисляют понятия, с которыми знакомились на прошлых уроках)

Работа по рисунку

Сколько точек максимума имеет эта функция?

Назовите точки минимума функции.

Сколько промежутков возрастания у этой функции?

Назовите наименьший из промежутков убывания этой функции.

№ 2 Функция у = f ( x ) задана на промежутке [–6; 4]. Укажите

промежуток, которому принадлежат все точки экстремума

№ 3 Функция у = f ( x ) задана на отрезке [ a ; b ]. На рисунке изображен график ее производной у = f ( x ).

Укажите количество промежутков, на которых функция возрастает.

№ 4 Функция определена на промежутке
(–3; 7). График ее производной изображен на рисунке.

Укажите число точек минимума функции на промежутке (–3; 7). Укажите количество промежутков убывания функции.

№ 5 По графику функции y=f ´(x) ответьте на вопросы:

Сколько точек максимума имеет эта функция?

Назовите точки минимума функции.

Сколько промежутков возрастания у этой функции?

Найдите длину промежутка убывания этой функции.

1)Назовите критические точки

2) Назовите промежутки возрастания и убывания функции

3) Назовите точки максимума и точки минимума

4) Постройте график функции

П.4 для учащихся является невыполнимым. Возникает проблема.

3. Постановка учебной задачи

Работа в группах. Составить правило (алгоритм) построения графика.

4. Изучение нового материала

Повторить общую схему исследования функции

1) область определения;

2) исследование на четность, нечетность, периодичность;

3) точки пересечения графика с осями координат;

4) промежутки знакопостоянства;

5) промежутки возрастания и убывания;

6) точки экстремума и значение ƒ в этих точках;

Работа с учебником

Разобрать примеры 1, 2 стр. 152-153

б) функция не является ни четной, ни нечетной, не периодической;

в) найдем точки пересечения графика с осью ОХ (т. е. нули функции):

х 2 (3 – х) = 0; х ₁ = 0; х ₂ = 3.

Пересечение с осью ОУ: если х = 0, то ƒ(0) = 0;

г) находим производную:

ƒ’( x ) = 0, при х ₁ = 0, х ₂ = 2;

д) найденные критические точки разбивают числовую прямую на три промежутка: ( - ∞; 0), (0; 2), (2; + ∞).

5.Первичное закрепление

№ 297 (а) – первая группа, №297 (в) – вторая группа

б) функция не является ни четной, ни нечетной, не периодической;

в) найдем точки пересечения графика с осью ОХ (т. е. нули функции):

- х 3 + х + 2х – 2 = 0,

(- х 3 + х) + (2х – 2) =0,

-х (х 2 – 1) + 2(х – 1) = 0,

-х (х – 1)(х + 1) + 2(х – 1) = 0,

(х – 1) (-х 2 – х + 2) = 0,

Пересечение с осью ОУ: если х = 0, то ƒ(0) = - 2;

г) находим производную:

ƒ’( x ) = -3х 2 + 3 = - 3(х 2 – 1)

ƒ’( x ) = 0, при х ₁ = 1, х ₂ = - 1;

д) найденные критические точки разбивают числовую прямую на три промежутка: ( - ∞; -1), (-1; 1), (1; + ∞).

б) функция не является ни четной, ни нечетной, не периодической;

в) найдем точки пересечения графика с осью ОХ (т. е. нули функции):

Пересечение с осью ОУ: если х = 0, то ƒ(0) = 2;

г) находим производную:

ƒ’( x ) = 3х 2 + 3 = 3(х 2 + 1)

ƒ’( x ) = 0, критических точек нет;

Производная больше 0 на всей области определения, значит функция возрастает на R .

f (-1) = -20, f (0) = 20 – функция имеет корень на [-1; 0].

Выступления групп. Проверка заданий.

В конце учебного занятия обучающимся предлагается устно или письменно закончить следующие предложения.

"На сегодняшнем уроке я понял, я узнал, я разобрался…";

"Я похвалил бы себя…";

"Особенно мне понравилось…";

"После урока мне захотелось…";

"Сегодня мне удалось…";

"Я почувствовал, что…";

"Меня удивило…" и т. п.

"Каким было общение на уроке?.

Краткое описание документа:

Конспект урока по алгебре в 10 классе на тему "Примеры применения производной к исследованию функций". УМК: А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын, Б. М. Ивлев, С. И. Шварцбурд. Тип урока: урок изучения нового материала. Цель: рассмотреть применение производной для исследования функций и уравнений.

подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
по всем предметам 1-11 классов

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Сейчас обучается 682 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Инструменты онлайн-обучения на примере программ Zoom, Skype, Microsoft Teams, Bandicam

Курс добавлен 31.01.2022
Сейчас обучается 24 человека из 17 регионов

ЗП до 91 000 руб.
Гибкий график
Удаленная работа

Дистанционные курсы для педагогов

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 608 249 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

08.05.2018 454
DOCX 97.2 кбайт
6 скачиваний
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Мордовских Надежда Васильевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

40%

Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
Для учеников 1-11 классов

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Отчисленные за рубежом студенты смогут бесплатно учиться в России

Время чтения: 1 минута

Академическая стипендия для вузов в 2023 году вырастет до 1 825 рублей

Время чтения: 1 минута

В Россию приехали 10 тысяч детей из Луганской и Донецкой Народных республик

Время чтения: 2 минуты

Минобрнауки и Минпросвещения запустили горячие линии по оказанию психологической помощи

Время чтения: 1 минута

В приграничных пунктах Брянской области на день приостановили занятия в школах

Время чтения: 0 минут

Минтруд предложил упростить направление маткапитала на образование

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Тема урока: Примеры применения производной к исследованию функции.

Цели урока: 1) Закрепить знания нахождения промежутков возрастания и убывания функции, экстремумов функции с помощью производной;

2) Способствовать выработке навыка построения графика функции исследованием с помощью производной.

Учебная: Повторить:

1) Признаки возрастания и убывания функции;

2) Определение критических точек, точек экстремума;

3) Признаки максимума и минимума

4) Теорему о монотонности функции.

Развивающая: Учить осуществлять исследовательскую деятельность.

Воспитательная: Формировать навыки умственного труда.

Тип урока: Урок комплексного применения ЗУН учащихся.

Методы обучения: Частично – поисковый , работа по обобщающей схеме, системные обобщения, самопроверка.

Формы организации урока: Индивидуальная, фронтальная.

Оборудование и источники информации: Учебник, рисунки.

1. Информационный ввод.

Учитель сообщает тему урока, цель и ставит задачи.

2. Актуализация ЗУН.

1) Признаки возрастания и убывания функции:

Если в каждой точке интервала , то функция f возрастает на .

Если в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.

2) Определение критических точек:

Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции.

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – экстремумами.

3) Признаки максимума и минимума:

Если функция f непрерывна в точке х₀ , а на интервале (а;х₀) и на интервале (х₀;в), то х₀ является точкой максимума функции f.

Если функция f непрерывна в точке х₀ , а на интервале (а;х₀) и на интервале (х₀;в), то х₀ является точкой минимума функции f.

4) Если производная функции на некотором промежутке I, то функция на этом промежутке монотонно возрастает (монотонно убывает).

Задание: Даны графики производной. Назовите точки экстремума.

-3 -2 -1 0 1 2 3 x -2 0 2 х

-2 0 2 x 0 1 x

1) х=-3, х=1 – точки максимума; х=-1, х=3 – точки минимума.

2) х=2 – точка максимума, х=-2 точка минимума.

3) х=2 – точка максимума.

4) точек экстремума нет.

5) х=1 – точка максимума, х=-5, х=3 – точки минимума.

3. Работа с учебником.

Автор А. Н. Колмогоров, стр. 153, пример 1, рис. 111.

Значит, при построении графика функции с помощью производной полезно придерживаться такого плана: (Учащиеся записывают в тетрадь).

1) Найти область определения функции.

2) Выяснить, является ли функция четной или нечетной, периодической.

3) Определить точки пересечения графика функции с координатными осями, если это возможно.

4) Найти критические точки функции.

5) Определить промежутки монотонности и экстремумы функции.

6) Используя результаты исследования, соединить полученные точки плавной кривой.

Иногда для большей точности находят несколько дополнительных точек; их координаты вычисляют, пользуясь уравнением кривой.

Этот план исследования функции и построения ее графика является примерным, его не всегда надо придерживаться пунктуально: можно менять порядок пунктов, некоторые совсем опускать, если они не подходят к данной функции. В частности, если нахождение точек пересечения с осями координат связано с большими трудностями, то это можно не делать.

Если функция четная, то ее график симметричен относительно оси Оy, поэтому достаточно построить график для положительных значений аргумента, принадлежащих области определения и так далее.

4. Устная работа.

Назовите по следующим данным промежутки возрастания, убывания и точки максимума и минимума.

Читайте также: