Конспект урока иррациональные уравнения

Обновлено: 07.07.2024

Иррациональное уравнение – это уравнения, в которых неизвестное находится под знаком корня.

Свойство: при возведении обеих частей уравнения в натуральную степень получается уравнение – следствие данного.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Иррациональное уравнение – это уравнения, в которых неизвестное находится под знаком корня.

Рассмотрим виды иррациональных уравнений

В этом случае мы можем воспользоваться определением квадратного корня.

Из него следует, что а≥0, тогда

Для нашего случая получим

или

Мы знаем, что сумма положительных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю.
Т.е.

По определению квадратного корня f(x) > 0. Таким образом, чтобы найти такие значения неизвестной, при которых выполняются следующие условия:

следовательно, решений нет

Ответ: решений нет

Определение. Неравенство, содержащие переменную под знаком корня, называется иррациональным.

Иррациональное неравенство, как правило, сводится к равносильной системе (или совокупности систем) неравенств.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

Возведем в квадрат обе части уравнения, получим:

, которое не будет равносильно исходному уравнению, потому что у этого уравнения два корня , а у первоначального уравнения только один корень х=4.

Подчеркните корни данного уравнения

Решим данное уравнение.

Получаем три корня из последнего уравнения: -1;0;1

Решите уравнение:

Рассмотрим область определения функций:

х=-2, но -2 не входит в область определения функций, следовательно, решений нет.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Открытый урок по алгебре и началам анализа в 11-м классе. Тема: "Иррациональные уравнения"

Тип урока: урок ознакомления с новым материалом и первичное его закрепление.

Цель урока: ввести понятие иррациональных уравнений и показать способы их решения.

Время проведения: два урока по 40 минут.

Задачи:

Образовательные : сформировать у учащихся умение решать иррациональные уравнения различными способами, отработать навыки решения иррациональных уравнений.

развитие алгоритмического мышления, памяти, внимательности;

развитие операционного мышления, направленного на выбор оптимальных решений;

развитие у учащихся умения излагать мысли, делать выводы, обобщения;

развитие познавательного интереса, логического мышления.

Воспитательные :

воспитывать умение преодолевать трудности при решении задач;

усиление познавательной мотивации осознанием ученика свей значимости в образовательном процессе;

воспитание у учащихся самостоятельности, умение достойно вести спор, находчивость.

Материал разработан применительно к учебнику “Алгебра и начала анализа, 10-11” под редакцией А.Н. Колмогорова.

I. Актуализация (10 мин.)

Проверка домашнего задания.

Повторение пройденного материала.

II. Объяснение нового материала (15 мин.)

Постановка целей и задач.

Рассмотреть некоторые способы решения иррациональных уравнений.

III. Закрепление изученного (30 мин.)

IV. Подведение итогов (2 мин.)

V. Домашнее задание (2 мин.)

VI. Самостоятельная работа (20 мин.)

Оборудование:

Ноутбук, проектор, удлинители, переходник.

Указка, магниты, маркеры.

Карточки с уравнениями:

Карточки с условиями

графический способ решения;

I. Актуализация.

Учитель: Здравствуйте ребята! Садитесь!

– Начнем урок с проверки домашнего задания. ( Домашнее задание оформлено на перемене перед уроком, на боковой доске ). Рассмотрим решение № 410 (б). (Решить уравнение, с помощью подстановки ).

Отвечающий рассказывает и показывает свое решение, учащиеся внимательно слушают, задают вопросы отвечающему и оценивают его, аргументируя оценку.

– На дом было задано еще дополнительное задание. Поднимите, пожалуйста, руки, кто с этим заданием справился? Внимание на доску.

Отвечающий объясняет, как найти значение следующего выражения :

Объяснение : чтобы вычислить значение данного выражения избавимся от квадратного корня. Для этого воспользуемся свойством:

Представим подкоренные выражения в виде полного квадрата суммы или разности.

Раскроем модуль, учитывая его определение.

Вопросы к отвечающему:

В данном задании ты использовал(а) свойство корня квадратного из квадрата, а чему равен квадрат корня квадратного?

– Спасибо, садись, оценка.

Учитель: Какую тему мы рассматривали с вами на прошлых уроках?

Ответ: “Корень n-ой степени и его свойства”.

Дать определение корня n-ой степени.

Являются ли числа 3 и –3 корнями четвертой степени из числа 81? Если да, то почему?

Являются ли числа 2 и –2 корнями пятой степени из числа -32? Если да, то почему?

Дайте определение арифметического корня n-ой степени.

При каких условиях равенство будет верным?

Сделать карточки и при ответах их прикрепить к доске.

Они должны висеть до конца урока.

Как вы думаете, а каким по знаку может быть число а? Почему?

Найти значение арифметического корня:

Найти область определения функции

Найдите значение переменной х при котором:

II. Объяснение нового материала .

На магнитной доске висят карточки с уравнениями.

Учитель: Прошу вашего внимания на доску. Здесь расположены карточки, на которых записаны уравнения. Посмотрите внимательно и определите, какие уравнения вы уже умеете решать, а какие у вас вызывают затруднения?

– Кто из вас может выйти к доске убрать карточки с уравнениями, которые вы можете решить и назвать их тип?

Вывод : Остались карточки с уравнениями, которые вы еще не умеете решать.

– Чем отличается запись этих уравнений от тех, которые мы убрали?

Ответ: Неизвестное находится под знаком корня.

– Верно! Такие уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называются иррациональными уравнениями.

Итак, тема нашего урока: “Иррациональные уравнения”.

Цель урока : Отработать алгоритм решения простейших иррациональных уравнений, рассмотреть некоторые способы решения более сложных иррациональных уравнений.

Записываем число и тему урока в тетрадь.

Объясняю алгоритм решения и оформления иррациональных уравнений.

Беру первую карточку с уравнением, прикрепляю к основной доске и решаю его.

Основной метод решения иррациональных уравнений – это метод возведения в квадрат обеих частей уравнения. Но при этом мы можем получить неравносильное уравнение, поэтому в конце обязательно нужно сделать проверку.

3. Следовательно, числа –3 и 3 являются решениями данного иррационального уравнения.

Учитель: А как бы вы решали вот такое уравнение

2. Выходит учащийся к доске и решает второе уравнение этим же способом.

Возведем обе части уравнения в квадрат, получим х + 2 = х 2 ; х 2 – х – 2 = 0; х ₁ = -1, х ₂ = 2.

– Давайте проверим, являются ли полученные значения переменной решениями данного уравнения? Пишем ПРОВЕРКА!

Следовательно, число 2 является решением данного уравнения.

Итак, ребята, мы получили, что только одно значение переменной является решением данного уравнения. Это число 2. Число –1 в данном случае называется посторонним конем.

Вопрос к отвечающему: Скажи, важна ли проверка в иррациональных уравнениях, решаемых таким способом и почему?

Ответ: Да, так как могут появиться посторонние корни.

Учитель : Возможность появления посторонних корней обязывает нас быть очень внимательными при решении иррациональных уравнений.

Мы рассмотрели один из способов решения иррациональных уравнений. Это возведение обеих частей уравнения в квадрат. А если переменная находится под знаком корня 3-ей, 4-ой и т.д. степени. Тогда как быть?

Ответ: Возвести обе части уравнения в 3-ю, 4-ю и т.д. степень.

Учитель : Кто попытается сформулировать общий способ решения иррациональных уравнений?

Выслушать все высказывания и в завершении подвести итог.

Учитель: Значит одним из способов решения иррациональных уравнений является возведение обеих частей уравнения в степень, равную показателю степени корня. И не забыть, при этом сделать проверку, отсеяв, возможные посторонние корни.

III. Закрепление нового материала.

Решить следующие уравнения:

Ответ: нет корней.

Ответ : -3; 1.

Ответ : нет решений.

Ответ : 0; 2.

Учащиеся первые два уравнения решают у доски, третье уравнение на местах, один ученик проговаривает решение, четвертое уравнение устно, а пятое – для хорошо успевающих детей.

Учитель: На следующем уроке я покажу вам другой способ оформления решения иррациональных уравнений, используя равносильные переходы. А сегодня я бы хотела показать вам еще один способ решения иррациональных уравнений. Это графический способ. Так как этот способ дает нам не точные значения переменной, то его используют реже. Однако встречаются уравнения, которые можно и легче решить именно этим способом. Посмотрите, как это делается. Внимание на экран.

Показываю презентацию (слайды № 1-5)

Решить уравнение (рис. 1, 2, 3).

Учитель : Существует ее один способ решения иррациональных уравнений. Этот способ вы рассмотрели самостоятельно, выполняя домашнее задание № 410 (б). Посмотрите еще раз на это уравнение.

– Какое вам нужно было решить уравнение?

– Каким способом вы его решали?

Ответ: Способом замены переменной.

Учитель: Итак, существует несколько способов решения иррациональных уравнений. Мы сегодня рассмотрели только некоторые из них. Давайте, перечислим, какие это способы?

Ответ: Возведение обеих частей уравнения в степень, равную показателю степени корня, графический способ, способ замены переменной.

Учитель: Расскажите алгоритм решения уравнений каждого из способов.

Учащиеся очень быстро проговаривают три алгоритма.

Учитель: Молодцы! А теперь прошу внимание на экран.

Высвечиваются уравнения через проектор по одному (презентация, слайд №5)

Учитель: Как решить первое уравнение?

Ответ: уравнение не имеет решения.

Высветить второе уравнение. Учащиеся дают свои варианты решения. Учитель их внимательно выслушивает, корректирует, задает наводящие вопросы, если это необходимо. И все вместе делают вывод, что уравнение не имеет корней.

Ответ: нет корней.

Высветить третье уравнение. Все необходимые рассуждения высвечиваются на экран. Решаем это уравнение с помощью области определения уравнения. В итоге получаем систему

которая не имеет решений. Следовательно, и уравнение не имеет решений.

Ответ : нет решений.

IV. Подведение итогов.

Итак, ребята! Какие уравнения мы сегодня на уроке рассмотрели?

– Дать определение иррациональных уравнений.

– Какая особенность существует при решении иррациональных уравнений?

– Какие способы решения иррациональных уравнений мы рассмотрели?

– Молодцы! Запишите домашнее задание. (Н а экран высветить слайд № 7).

V. Домашнее задание.

Пока ребята записывают домашнее задание, учитель проговаривает оценки за урок, обосновывая каждую оценку.

Обучающая: Ввести понятие иррационального уравнения и показать способ решения через проверку корней способом подставки в исходное уравнение.

Развивающая: Способствовать развитию навыка решения иррациональных уравнений.

Воспитательная: Воспитывать навыки аккуратности и правильности оформления уравнения в тетрадях.

Ход урока

I. Организационный момент

II. Проверка домашнего задания

III. Устно (можно использовать доску, карточки, презентацию).

Преподаватель математики: Берговина Ирина Анатольевна

Развивающая: Способствовать развитию навыка решения иррациональных уравнений.

Воспитательная: Воспитывать навыки аккуратности и правильности оформления уравнения в тетрадях.

I. Организационный момент

II. Проверка домашнего задания

III. Устно (можно использовать доску, карточки, презентацию).

Преобразуйте выражение (представьте в виде многочлена)

а) (а-5) 2 ; (а 2 +4в) 2 ; (2а-3) 2 ; (-х-7) 2

25х 2 +40х+4 = (5х+2) 2

4х 2 +1-2х = (2х-1) 2;

в) Решить уравнение

Уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня, называются иррациональными.

Какие из следующих уравнений являются иррациональными?

А сейчас самостоятельно изучаем теорию, решения иррациональных уравнений используя различную литературу и учебник. Для большей заинтересованности учащихся при наличии компьютерного класса можно использовать электронный учебник.

При решении иррациональных уравнений почти всегда необходимо избавиться от радикалов.

Один из возможных методов состоит в том, что корень из выражения с переменой переносится в одну из частей равенства, а все остальные выражения в другую (уединение радикала).

После уединения выполняется возведение в квадрат, в куб или в другую степень.

При решении уравнения переходим к уравнению-следствию, проверка должна входить в решение как обязательная часть.

Проверка может осуществляться различными способами:

Каждый из найденных корней уравнения-следствия подставить в исходное уравнение и проверить, является ли он корнем исходного уравнения.

“Вспомнить” все неравенства, которые надо было включать в систему, чтобы переходы были равносильными, и проверить выполняются ли для найденных “корней” эти неравенства.

(Проверить выполнение неравенства иногда бывает значительно проще, чем выполнение точного равенства).

Сегодня мы разбираем только уравнения первого способа.

IV. Переходим к записям в тетрадь

Число. Тема: Иррациональные уравнения.

У каждого на парте карточка с уравнениями:

Далее сильные учащихся разбирают решение более сложного уравнения по шаблону (или использовать компьютер):

Остальные самостоятельно решают уравнение (на доске и в тетрадях объясняет решение учитель):

Проверка усвоения учащимися материала на оценку “3” - ученики остаются на местах и решают уравнения (по выбору 2):

Проверка усвоения учащимися материала на оценку “4” и “5”: учащиеся решают за компьютером уравнения по выбору из предложенных уравнений. Компьютер проверяет (с записью в тетрадь) или на местах (проверка по шаблону).

Оценка “5” - решены 5,6 уравнения, если нет решения 5,6 уравнения, то оценка “4”.

V. ИТОГ По окончании урока каждый ученик получает оценку и соответствующие домашнее задание.

Домашнее задание :

Для тех, кто усвоил материал на оценку “4”: 1). Решить уравнение:

2). № 417(в), № 422(в), № 425(б).

Для тех, кто усвоил материал на оценку “5”: 1). Решить уравнение:

Учебник: Алгебра и начала анализа: Учеб. Для 10-11 кл. общеобразоват. Учреждений/ Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. – 10-е изд. – М.: Просвещение, 2004. – 384 с.: ил.

Оборудование: мультимедийный проектор, ноутбук, презентация.

Структура:

1) организационный момент (1-2 мин.);
2) проверка домашнего задания (1-2 мин.);
3) актуализация знаний и умений (2-3 мин.);
4) изучение нового материала (15-20 мин.);
5) первичное закрепление полученных знаний (10 мин.);
6) подведение итогов (5 мин.);
7) домашнее задание (1 мин.).

Приложение 1. Слайд 1. Подумайте и скажите, равносильны ли следующие уравнения:

2 3х + 1 = 2 – 3 и 3х + 1 = –3

I. Решение уравнений вида = a

В этом случае мы должны воспользоваться определением квадратного корня. Из него следует, что
1) а > 0, тогда
2) () 2 = а
Для нашего случая получим
() 2 = а 2 или f(x) = a 2
Слайд 8. Рассмотрим пример. Запишите его в тетрадь.
= 2
х = 2 2 , х = 4
Приложение 1. Слайд 9.

II. Решение уравнений вида + = a

Рассмотрим решение на примере

Решение: Сумма положительных чисел равна 0 тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно 0.
,

III. Решение уравнений вида = .

Приложение 1. Слайд 11. Рассмотрим пример.
= .
Это уравнений можно решить с помощью ООФ и применив проверку.
Решение (I способ):
ООФ:
,

Читайте также: