Конспект урока двугранный угол 10 класс

Обновлено: 05.07.2024

Цель деятельности учителя

Создать условия для: формирования представлений о линейном угле двугранного угла; формирования умений распознавать и строить линейный угол; овладения навыками решения геометрических задач на нахождение его величины; развития пространственного мышления; развития умения обобщать и систематизировать теоретические знания, приемы решения задач

Методы обучения

Расширение представления обучающихся об углах через ознакомление с новым понятием – двугранный угол

создать условия для формирования наглядного представления о двугранном угле;

познакомить с понятием линейного угла двугранного угла;

развивать навыки построения перпендикуляра к прямой в плоскости;

формировать конструктивный навык нахождения угла между плоскостями, применяя ТТП;

воспитывать умение самостоятельно осуществлять, контролировать и корректировать свою деятельность

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Умеют объяснять, что такое двугранный угол, линейный угол двугранного угла; умеют находить линию пересечения плоскостей; выполняют построение линейного угла; умеют вычислять его величину.

Познавательные: умеют ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи; воспринимают устную речь, проводят информационно-смысловой анализ текста, ориентируются на разнообразие способов решения задач, осмысливают ошибки и устраняют их.

Регулятивные: понимают смысл поставленной задачи, различают способ и результат действия, оценивают свою деятельность и деятельность одноклассников,

Коммуникативные: выстраивают аргументацию, участвуют в диалоге, стремятся к координации различных позиций в сотрудничестве, работают в команде, приводят примеры,

Личностные: выражают интерес к изучению предметного курса, проявляют готовность и способность к саморазвитию, имеют мотивацию к обучению и познанию

Основные понятия

Двугранный угол, линейный угол двугранного угла

Организация пространства

Межпредметные связи

Формы работы

работа в парах, индивидуальная, самостоятельная

Ход урока (с методическим обоснованием)

Технология проведения урока

(Этап урока, его цель)

Деятельность учителя

Деятельность ученика

Используемые ресурсы, приемы

1. Мотивирование к учебной деятельности Организационный момент – выработать на индивидуально значимом уровне у ученика внутренней готовности к выполнению установленных нормативов создание благоприятной, творческой атмосферы в аудитории.

Я желаю вам на уроке творчества и вдохновения, чтобы все задачи сегодня были красивыми и решаемыми

- обучающиеся настраиваются психологически на работу.

2. Актуализация опорных знаний – глубоко и всесторонне проверить знания обучающихся, выявив причины обнаруженных пробелов.

-учитель организует работу, задает вопросы, повторяя основные теоретические сведения, обращает внимание детей на полные математически грамотные ответы.

Вспомните, какая фигура называется углом на плоскости?

Что называется углом между прямыми в пространстве?

Классифицируйте углы по градусной мере

Как называются углы изображены на рисунках

Что общего на следующих рисунках?

Назовите одним словом. В чем различие?

Как вы думаете, какие вопросы будут следующими?

- обучающиеся отвечают на вопросы

Углом на плоскости называют фигуру, образованную двумя лучами, исходящими из одной точки

Т.к. через 2 пересекающиеся прямые можно провести плоскость, то углом между прямыми в пространстве называют такую же фигуру как и угол на плоскости

Острые, тупые, прямые

Смежные вертикальные, вписанные, центральные

Угол между прямыми, скрещивающими прямыми, угол между прямой и плоскостью, угол между плоскостями

Анализируют представленные на слайде чертежи, делают выводы, планируют свою деятельность

Дети выстраивают диалог, задавая вопросы самостоятельно друг другу

Какой угол называется углом между скрещивающимися прямыми? (Если построить прямые, параллельные данным, проходящим через одну точку, то получится угол с соноправленными сторонами, равный данному)

Какой угол называется углом между прямой и плоскостью? (Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней, называется угол между прямой и её проекцией на плоскостью)

Какой угол называется углом между плоскостями? (Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащим одной плоскости)

3. Выявление места и причин затруднения – стимули-ровать обучающихся к овладению рациональными приемами учения и самообразования.

-учитель предлагает решить задачи по готовым чертежам, используя слайды презентации

Назовите двугранные углы

Вспомните основные теоремы, соотношения, которые позволяют находить различные углы?

Учитель следит за речью учащихся

Можно ли данные теоремы, соотношения использовать для нахождения двугранного угла?

Постановка проблемной ситуации:

Каким образом можно измерить двугранный угол?

Найдите ответ на этот вопрос, работая в парах по учебнику стр. 47-49.

Выяснение проблемы в ходе работы и подведение к мысли, что требуется ввести понятие линейного угла данного двугранного угла.

Обучающиеся анализируют чертежи, высказывают свое мнение, обосновывая его

АВС, А 1 АВС, МВСА, В 1 ВСА

Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника, теорема синусов, теорема косинусов, теорема о вписанном угле, свойство центрального угла

Знакомство с понятием двугранного угла и его линейного угла, обучение построению линейного угла данного двугранного угла. Развитие навыков построения перпендикуляра к плоскости, формирование конструктивного навыка нахождения угла между плоскостями, применение ТТП. Воспитание усидчивости, внимания, взаимоуважения.

Целеполагание и постановка учебных задач Слайд 6

Фронтальная работа с классом:

- Вспомните, что называется углом на плоскости? ( Углом на плоскости называют фигуру, образованную двумя лучами, исходящими из одной точки).

- Что называется углом между прямыми в пространстве? (Т.к. через 2 пересекающиеся прямые можно провести плоскость, то углом между прямыми в пространстве называют такую же фигуру как и угол на плоскости.)

- Что называется углом между прямой и плоскостью? ( углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней, называется угол между прямой и её проекцией на плоскостью)

а) Рассмотреть Слайд 7 Слайд 7

Изобразить в тетрадях и сделать записи:

– ребро двугранного угла

Б) Примеры двугранного угла в жизни рассмотрим на слайде Слайд 8

-Приведите самостоятельно ещё примеры.

В) -Посмотрите другое обозначение двугранного угла Слайд 9

Г) Рассмотреть модель двугранного угла.

Постановка проблемной ситуации:

- Каким образом измерять двугранный угол?

Выяснение проблемы в ходе совместной беседы и подведение к мысли, что требуется ввести понятие линейного угла данного двугранного угла.

Д) Рассмотри алгоритм построения линейного угла Слайд 10

Е) Построение в тетрадях:

∠ (α;β) – двугранный угол

m – ребро двугранного угла

С , CO ⊥ m, CO , OD ⊥ m, OD β

∠ COD – линейный угол двугранного угла

Ж) А можно ли здесь построить ещё один линейный угол?

Устное доказательство равенства линейных углов одного и того же двугранного угла

З) Подытожим ответ на нашу проблему (Как измеряются двугранные углы?):

Градусная мера двугранного угла – это градусная мера его линейного угла Слайд 12

Физкультминутка Слайд 13
Первичное закрепление

Работа в парах по рядам:

Задание: Треугольник АВС расположен таким образом, что сторона АС лежит в плоскости , а вершина В не лежит в плоскости . Построить линейный угол двугранного угла (АВС; ), если

1 ряд: треугольник АВС – тупоугольный,

2 ряд: треугольник АВС –равнобедренный,

3 ряд: треугольник АВС –прямоугольный.

Затем проверка с совместным обсуждением. Слайд 14-16

Базовый уровень: 1) В кубе A…D 1 найдите угол между плоскостями ABC и CDD 1

2)В кубе A…D 1 найдите угол между плоскостями ABC и CDA 1

3) В кубе A…D 1 найдите угол между плоскостями ABC и BDD 1 .

4)В кубе A…D 1 найдите угол между плоскостями ACC 1 и BDD 1 . Слайд 17

Повышенный уровень: №171 (учебник)

Ученики, решающие задачи базового уровня, работают несколько минут самостоятельно. В это время обсуждаются особенности построения чертежа к задаче №171 и идеи решения. Ученики повышенного уровня заканчивают свою работу самостоятельно, а с остальными учениками идет проверка решения с помощью слайдов 18, 19 Слайд 18,19

№ 171 Гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника лежит в плоскости , а катет наклонён к этой плоскости под углом 30 0 . Найти угол между плоскостью и плоскостью треугольника.

Дано: треугольник ABC, ∠ C=90 0 ,

CB=CA, AB C , ∠ (CB, ) = 30 0 .

Построим линейный угол двугранного угла (α; АВС).

Т.К. треугольник АВС – равнобедренный, то высота СЕ является медианой. СЕ – наклонная, СЕ⊥АВ, точка D- проекция точки С, СD⊥α по теореме о трёх перпендикулярах DЕ⊥АВ, т.е. ∠СЕD –линейный угол двугранного угла.

Из треугольника СВЕ (∠СЕB=90 0 ) sin∠СBE= CЕ=ВС ∙ sin45 0 , СЕ=а∙ .

Из треугольника СDВ (∠СDВ=90 0 , т.к. СD⊥α, то СD⊥DB, DB C ) CD – катет, лежащий против угла 30 0 , значит, СD= .

Из треугольника СDE ( ∠СDE=90 0 ) sin∠CED = , sin∠CED = : = = , т.е. ∠CED=45 0 .

А т.к. градусная мера двугранного угла равна градусной мере соответствующего ему линейного угла, то ∠(α; АВС) =45 0 .

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ конспект.docx

Урок геометрии в 10 классе по теме двугранный угол

Цели урока:

• Ввести понятие двугранного угла и его линейного угла

• Сформулировать алгоритм построения линейного угла для данного двугранного

• Рассмотреть задачи на построение линейного угла

• Развивать умение работать самостоятельно

• Воспитывать математическую грамотность, внимание, взаимопонимание

Оборудование:

компьютер, проектор, экран (для демонстрации презентации по данному уроку).

Тип урока: изучение нового материала.

Организационный момент.

Устная работа

Актуализация знаний учащихся

Фронтальная работа с классом:

- Вспомните, что называется углом на плоскости? (Углом на плоскости называют фигуру, образованную двумя лучами, исходящими из одной точки)

- Что называется углом между прямой и плоскостью? (углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней, называется угол между прямой и её проекцией на плоскостью)

- Какой угол мы еще не рассматривали? (угол между плоскостями)

Изучение нового материала

Изобразите две пересекающиеся плоскости.

Понятие двугранного угла: Двугранным углом называется фигура, образованная прямой a и двумя полуплоскостями с общей границей a, не принадлежащими одной плоскости.

Две полуплоскости – грани двугранного угла, прямая а – ребро двугранного угла.

Двугранный угол ‹(α;β)=(α^β).

α∩β=а, Прямая а – ребро двугранного угла. Две полуплоскости – грани двугранного угла.

- Вокруг нас достаточно много предметов с элементами в виде двухгранного угла. Примеры двугранного угла в жизни рассмотрим на слайде.

Постановка проблемной ситуации:

- Двугранный угол, как и линейный угол можно назвать, построить, измерить.

- Каким образом измерять двугранный угол?

-Двугранный угол тоже измеряется в градусах или радианах.

-Рассмотри алгоритм построения линейного угла.

- На чертеже для нахождения двухгранного угла на его ребре отмечается точка В. Из этой точки проводятся два луча ВА и ВС перпендикулярно ребру угла. Образованный этими лучами угол АВС называется линейным углом двугранного угла.

Градусная мера двугранного угла равна градусной мере его линейного угла. Измерим угол АОВ.

-Линейных углов для двугранного угла можно провести бесконечное количество, все они равны.

-Рассмотрим два линейных угла АОВ и А ₁ О ₁ В ₁ . Лучи ОА и О ₁ А ₁ лежат в одной грани и перпендикулярны к прямой ОО ₁ , поэтому они сонаправлены. Лучи ОВ и О ₁ В ₁ так же сонаправлены. Поэтому угол АОВ равен углуА ₁ О ₁ В ₁ как углы с сонаправленными сторонами.

Первичное закрепление изученного материала.

1 вариант: Построить линейный угол двугранного угла ВАСК.

Треугольник АВС – равнобедренный.

2 вариант: Построить линейный угол двугранного угла ВАСК.

Треугольник АВС – прямоугольный.

Равнобедренный треугольник АВС и правильный треугольник АDB не лежат в одной плоскости. Отрезок CD является перпендикуляром к плоскости ADB. Найдите двугранный угол DABC, если AC=CB=2 см, АB= 4см.

Решение: Двугранный угол DABC равен его линейному углу. Построим этот угол.

Проведем наклонную СМ АВ, так как ΔАСВ-равнобедренный, то точка М совпадёт с серединой ребра АВ.

Прямая СD по условию (ADB), значит перпендикулярна прямой DM лежащей в этой плоскости. А отрезок МD является проекцией наклонной СМ на (АDВ).

Прямая АВ наклонной СМ по построению, значит по теореме о трех перпендикулярах проекции MD.

Итак к ребру АВ найдены два перпендикуляра СМ и DМ. Значит они образуют линейный угол СMD двугранного угла DАВС. И нам останется его найти из прямоугольного треугольника СDM.

Так отрезок СМ медиана и высота равнобедренного треугольника АСВ, то по теореме Пифагора катет СМ=4 см.

Из прямоугольного треугольника DMB по теореме Пифагора катет DM равен=2.

Косинус угла из прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета МD к гипотенузе СМ и =3. Значит угол СМD=30° .

Дополнительная задача №173

Ребро CD тетраэдра ABCD перпендикулярно к плоскости ABC, АВ = ВС = АС = 6, BD = 3√7. Найдите двугранные углы DACB, DABC, BDCA.

Обучающие:
ввести понятие двугранного угла;
рассмотреть задачи на применение этих понятий;
сформировать конструктивный навык нахождения угла между плоскостями.

Развивающие:
развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить;
развитие интеллектуальных умений;
развитие умения принимать решения;
развивать умение математически и графически оформлять результаты деятельности.

Воспитательные:
воспитание познавательного интереса к геометрии;
воспитание самостоятельности при решении учебных задач;
воспитание дисциплинированности и организованности.

Подготовил: Попов Дмитрий Сергеевич.

I. Организационный момент

Проверяю готовность к уроку.

– Кто сегодня в классе дежурный?

Продолжаю диалог с дежурным:

– Кто сегодня отсутствует?

II. Проверка домашнего задания

– Возникли ли у вас вопросы по выполнению домашнего задания? Если да, тогда какие?

Учитель берёт на проверку 2 – 3 тетради.

III. Подготовка к изучению нового материала. Актуализация опорных знаний

Провожу фронтальный опрос:

– Что называется углом на плоскость?
– Что называется углом между прямыми в пространстве?
– Что называется углом между прямой и плоскостью.

IV. Постановка темы и целей урока

Слушаю ответы учеников.

V. Изучение нового материала

1. Понятие двугранного угла

Посмотрите на рисунки!

Мы видим, что прямая а разделяет плоскость на две полуплоскости. Исходя из этого двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости.

Полуплоскости – грани, прямая а – ребро двугранного угла.

– Какие предметы в обыденной жизни имеют форму двугранного угла? (Примерные ответы учащихся: полускрытая папка, стена комнаты совместно с полом, двускатные крыши зданий и т.д.)

2. Изображение двугранных углов

Пусть О а, АО а, ВО а, АОВ – линейный угол двугранного угла.

3. Равенство линейных углов двугранного угла

Говорят, что все линейные углы двугранного угла равны.

Рассмотрим два линейных угла АОВ и НМК. Лучи АО и МН лежат в одной грани и перпендикулярны ОМ, значит, они сонаправлены. Аналогично лучи ОВ и МН сонаправлены. Значит, АОВ = НМК (как углы с сонаправленными сторонами).

4. Градусная мера двугранного угла

Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.

острый ( 90°) прямой ( = 90°) тупой (90° 180°)

5. Обозначение двугранного угла.

Двугранный угол с ребром МК, на разных гранях которого отмечены точки Р и Н, называется двугранным углом РМКН.

VI. Закрепление изученного материала

1. Построение чертежей к задачам

Работа в группах

– Ребята, сейчас вам предстоит поработать в командах. Вас три ряда. Каждый ряд это отдельная команда. Каждой команде потребуется сделать чертёж к своей задаче.

Дано: ΔАВС, АС = ВС, АВ лежит в плоскости ,
CD .

Построить линейный угол двугранного угла CABD, СМ АВ, DС АВ,
CMD – искомый.

Дано: АВС, C = 90°, ВС лежит в плоскости , АО , А .

Построить ABСО, АВ ВС, АО ВС, значит ОС ВС.
АСО – искомый.

Дано: ΔАВС,
C = 90°,
АВ лежит в плоскости ,
CD , С ∉ .

Построить DABC, СК АВ, DС АВ, DК АВ, значит, DКС – искомый.

Рисунки, которые должны получится:

2. Решение задач

№ 171

Дано:
ΔАВС, ∠С = 90°, АС=ВС, АВ лежит в
плоскости , угол между СВ и 30°.

Найти:
угол между плоскостью и плоскостью
треугольника АВС.

1) Проведём СО . Тогда ∠СВО = 30°. Пусть ΔСОВ СО = а, тогда СВ = 2а.
2) Проведём CD АВ, тогда АВ DO по теореме, обратной теореме о трёх перпендикулярах. ∠CDO – искомый угол.
3) Из ΔCDB, ∠CBD = 45°, CD = CB ∙ sin 45°, CD = а .
4) Из ΔCDО: sin ∠CDО = = = , ∠CDO = 45°.
Ответ: 45°.

№175 (решается устно).

VII. Рефлексия учебной деятельности

Заполните пропуски на карточках:

Тема сегодняшнего урока была _______________________________.

Сегодня я узнал ____________________________________________________
__________________________________________________________________.

Двугранным углом называется ________________________________________
__________________________________________________________________.

Все линейные углы двугранного угла __________________.

Градусной мерой двугранного угла называется __________________________
______________________.

VIII Подведение итогов урока
Учитель выставляет оценки, тем самым подводит итоги урока.

В данном файле представлена разработка урока по геометрии.

Содержимое разработки

Двугранный угол. Решение задач.

Точки А и В лежат на ребре данного двугранного угла, равного 120°.

Отрезки АС и ВD проведены в разных гранях и перпендикулярны к ребру двугранного угла.

Найдите отрезок СD, если АВ = АС = ВD = а.

Дано: ∠САВD= 120°,

Здесь дан тупой двугранный угол, ∠САВD= 120°.

АВ – ребро двугранного угла, точка С лежит в одной полуплоскости, точка D лежит в другой полуплоскости. В одной полуплоскости проведена прямая АС, перпендикулярная АВ. В другой полуплоскости проведена прямая ВD, перпендикулярная АВ.

Проведем АК перпендикулярно АВ и DК параллельно АВ (рис. 2). Тогда угол САК – линейный угол двугранного угла, а значит, ∠САК = 120°.

Так как прямые АК и ВDперпендикулярны одной и той же прямой АВ, то прямые АК и ВD – параллельны. В четырехугольнике АКDВ противоположные стороны параллельны (AK∥BD, AB∥ DK), значит, АКВD– параллелограмм. Значит, АК=BD = а.

Рассмотрим треугольник АКС. Найдем с помощью теоремы косинусов:

Прямая АВ перпендикулярна плоскости линейного угла (по свойству 1), значит, и параллельная ей прямая DКперпендикулярна плоскости линейного угла. А значит, прямая DК перпендикулярна прямой СК, лежащей в плоскости линейного угла, то есть угол СКD прямой.

Из прямоугольного треугольника СКD по теореме Пифагора находим гипотенузу СD.

Найдите двугранный угол АВСD тетраэдра АВСD, если углы DАВ, DАС и АСВ прямые, АС = СВ = 5 DВ = .

Дано: АВСD – тетраэдр.

∠DАВ = ∠DАС = ∠АСВ = 90°.

АС = СВ = 5, DВ = .

Найти: ∠ (АВСD)

Прямая DA перпендикулярна пересекающимся прямым АВ и АС из плоскости АВС. Значит, прямая DA перпендикулярна плоскости АВС.

Тогда АС - это проекция DС на плоскость АВС. Проекция АС перпендикулярна прямой ВС из плоскости по условию, значит, и наклонная DС перпендикулярна прямой ВС (по теореме о трех перпендиулярах). Получаем, что угол АСD – линейный угол искомого двугранного угла.

Рассмотрим прямоугольный треугольник DСВ. Найдем DС по теореме Пифагора.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АСD. Выразим косинус угла АСD.

Тогда

Ответ: .

№ 171 Гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника лежит в плоскости , а катет наклонён к этой плоскости под углом 30 0 . Найти угол между плоскостью и плоскостью треугольника.

Дано: треугольник ABC, ∠C=90 0 ,

CB=CA, AB C , ∠(CB, ) = 30 0 .

С Найти: ∠(α; АВС)

Построим линейный угол двугранного угла (α; АВС).

Из треугольника СВЕ (∠СЕB=90 0 ) sin∠СBE= CЕ=ВС ∙ sin45 0 , СЕ=а∙.

Из треугольника СDВ (∠СDВ=90 0 , т.к. СD⊥α, то СD⊥DB, DB C ) CD – катет, лежащий против угла 30 0 , значит, СD=.

Из треугольника СDE (∠СDE=90 0 ) sin∠CED = , sin∠CED =: = = , т.е. ∠CED=45 0 .

-75%

Читайте также: