Конспект тела вращения конус

Обновлено: 06.07.2024

Тип урока: повторение, обобщение и систематизация знаний.

Цель: осмысление полученных ранее знаний по данной теме, выработка умений и навыков по их применению.

Обучающая: закрепление и обобщение знаний по данной теме.
Развивающая: развитие логического и пространственного мышления.
Воспитательная: воспитание потребности в знаниях, аккуратности и точности в работе.

Оборудование урока: компьютерный класс, файлы-задания для построения сечений.

Тела вращения – тела, ограниченные поверхностью вращения, либо поверхностью вращения и плоскостью.

При сечении прямого кругового конуса плоскостью, проходящей через его вершину или его ось, получается равнобедренный треугольник (Приложение 1)
Если секущая плоскость проходит через вершину конуса и его основание, а также наклонна к оси, то в сечении получается также равнобедренный треугольник (Приложение 2)
Если секущая плоскость перпендикулярна оси конуса, то в сечении получается окружность (Приложение 3)
В сечении плоскостью, расположенной под углом к оси конуса, получается эллипс (Приложение 4)
Если секущая плоскость пересекает его образующие и основание и параллельна оси конуса, то в сечении получается лекальная кривая – гипербола (Приложение 5)
Если секущая плоскость пересекает его образующие и основание и наклоннак оси конуса, то в сечении получается тоже гипербола (Приложение 6)
Если секущая плоскость пересекает его образующие и основание и параллельна одной из образующих, то в сечении получается лекальная кривая – парабола (Приложение 7)
Сечение конуса несколькими произвольными секущими плоскостями (Приложение 8)

Все эти задания 1 – 8 учащиеся выполняют на компьютерах, используя файлы- задания и графический редактор 3D LT V8+ (программа должна быть установлена на компьютерах).

Коническая поверхность – это поверхность, образованная прямыми, проходящими через все точки окружности, и точку, не лежащую в плоскости этой окружности.

Эти прямые – образующие конической поверхности.

Прямая, проходящая через центр окружности, перпендикулярно к плоскости – ось конической поверхности.

Конус– тело, ограниченное конической поверхностью, точкой и кругом.

Круг – основание конуса; точка - вершина конуса, отрезки образующих, заключённые между основанием и вершиной – образующие конуса; образованная ими часть конической поверхности – боковая поверхность конуса.

Ось конической поверхности называется осью цилиндра.

Расстояние от вершины до основания конуса называется высотой конуса, а радиус основания – радиусом конуса.

Сечение – изображение фигуры, образованной рассечением тела плоскостью.

Осевое сечение – вариант сечения, при котором плоскость проходит через ось тела.

Развёртка боковой поверхности конуса – сектор, радиус которого - образующая конуса, а длина дуги - длина окружности основания конуса.

Основная литература:

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М. : Просвещение, 2014. – 255, сс. 130-133.

Дополнительная литература:

Шарыгин И.Ф. Геометрия. 10–11 кл. : учеб. для общеобразоват. Учреждений – М.: Дрофа, 2009. – 235, : ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 77-79.

Открытые электронные ресурсы:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Основные определения

В плоскости 𝛂 построю окружность L с центром в точке О. Проведу прямую ОР перпендикулярно плоскости 𝛂. Соединю точку Р со всеми точками окружности L прямыми линиями. Поверхность, состоящую из этих прямых, называют конической поверхностью, сами прямые называют образующими конической поверхности, точку Р называют вершиной, а прямую ОР – осью конической поверхности.

Ввожу новые понятия конуса, основания конуса, вершины конуса, образующих конуса, боковой поверхности конуса, оси конуса и высоты конуса.

Определение

Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом.

Определение

Круг называют основанием конуса.

Определение

Вершину конической поверхности называют вершиной конуса.

Определение

Отрезки образующих, заключённые между вершиной и основанием называют образующими конуса, а образованная ими часть конической поверхности – боковой поверхностью конуса.

Определение

Ось конической поверхности называют и осью конуса, а её отрезок, заключённый между вершиной и основанием называют высотой конуса.

Отмечу, что все образующие конуса равны друг другу. Это легко доказать, если рассмотреть различные прямоугольные треугольники, в которых один катет – это высота конуса, а вторыми катетами являются радиусы основания конуса. Тогда образующие, являясь гипотенузами этих прямоугольных треугольников с равными катетами, также будут равны.

Конус можно получить ещё одним способом - вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Тогда этот катет (вокруг которого происходит вращение) будет совпадать с осью конуса и будет его высотой, гипотенуза станет образующей и будет образовывать боковую поверхность, а оставшийся катет образует основание, одновременно являясь его радиусом.

2. Сечения конуса различными плоскостями

Пусть секущая плоскость проходит через ось конуса. Такое сечение называют осевым. Оно представляет собой равнобедренный треугольник, боковые стороны которого – образующие конуса, а его основанием является диаметр основания конуса.

Если секущая плоскость перпендикулярна оси конуса, то сечение представляет собой круг с центром, расположенном на оси.

Это два основных вида сечения конуса, которые изучаются в средней школе на базовом уровне. Следует упомянуть, что существуют и другие сечения конусов, вид которых зависит от расположения секущей плоскости относительно оси.

3. Основные формулы

Формула для вычисления площади боковой поверхности конуса: S_бок=𝛑RL.

Площадь полной поверхности конуса: S_полн=𝛑R(R+L).

4. Усеченный конус

Если взять произвольный конус и провести секущую плоскость перпендикулярно его оси, то исходный конус разделится на две части. Верхняя часть представляет собой конус меньших размеров, а оставшуюся часть называют усечённым конусом.

Определение

Основание исходного конуса и круг, получившийся в сечении, называют основаниями усечённого конуса.

Определение

Отрезок, соединяющий центры оснований, называют высотой усечённого конуса.

Определение

Часть конической поверхности, ограничивающая усечённый конус, называется боковой поверхностью усечённого конуса.

Определение

Отрезки образующих, заключённые между основаниями, называются образующими усечённого конуса. Отмечу, что все образующие усечённого конуса равны друг другу.

Усечённый конус можно получить ещё одним способом - вращением прямоугольной трапеции вокруг той боковой стороны, которая перпендикулярна основанию.

Тогда эта сторона (вокруг которой происходит вращение) будет совпадать с осью конуса и будет его высотой, другая боковая сторона станет образующей и при вращении будет образовывать боковую поверхность, а основания трапеции станут соответственно радиусами верхнего и нижнего оснований усечённого конуса.

5. Формула для вычисления площадей поверхностей усеченного конуса

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. Найти высоту конуса, если площадь его осевого сечения равна 6, а площадь основания равна 8.

Его высота SO является высотой конуса.

OB - радиус основания.

Его найдем из равенства: S_осн=πR 2 .

R===OB.

Теперь найдем высоту:

6=SO·OB=SO·.

Ответ: 3.

2. Прямоугольная трапеция с основаниями 4 и 7 и меньшей боковой стороной 4 вращается вокруг меньшей стороны. Найдите элементы усеченного конуса.

Радиус меньшего основания

Радиус большего основания

Площадь боковой поверхности конуса

Площадь осевого сечения

Площадь полной поверхности конуса

Трапеция ABCD вращается вокруг стороны AD.

AD – высота усеченного конуса, AD=4.

АВ – радиус меньшего основания, AB=4.

DC – радиус большего основания, DC=7.

Площадь боковой поверхности конуса вычислим по формуле: S_{бок.пов.ук}=π(r+R)L.

Для того чтобы найти площадь боковой поверхности, нужно найти образующую.

Ее найдем из треугольника BHC: BC=5 (это египетский треугольник).

Теперь найдем площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности равна 55π.

Осевое сечение представляет собой равнобедренную трапецию с основаниями 8 и 14 и высотой, равной 4.

Для того чтобы найти площадь полной поверхности, нужно к площади боковой поверхности прибавить площади ее оснований.

Конус — тело вращения, которое получается в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг его катета.

Сектор имеет длину дуги, равную длине окружности в основании конуса 2 π R , угол развёртки боковой поверхности α .

В конусе нельзя обозначить угол развёртки.
На развёртке конуса нельзя обозначить высоту и радиус конуса.

Длина дуги также является частью длины полной окружности с радиусом \(l\), но в то же время длина дуги — это длина окружности основания конуса с радиусом \(R\).

Получаем ещё одну формулу боковой поверхности конуса; не используется угол развёртки боковой поверхности:

Если провести сечение конуса плоскостью, перпендикулярной оси конуса, то эта плоскость разбивает конус на две части, одна из которых — конус, а другую часть называют усечённым конусом .

Также усечённый конус можно рассматривать как тело вращения, которое образовалось в результате вращения прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны (которая перпендикулярна к основанию трапеции) или в результате вращения равнобедренной трапеции вокруг высоты, проведённой через серединные точки оснований трапеции.

На этом уроке мы познакомимся с понятием конус. Дадим определение конуса. Рассмотрим, какими элементами он обладает. А также разберемся, как находят объем, площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности конуса.

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока "Конус"

На этом уроке мы познакомимся с понятием конуса. Дадим определение конуса. Рассмотрим, какими элементами он обладает. А также разберемся, как находят объем, площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности конуса.

Итак, рассмотрим понятие конуса. Вокруг нас существует множество предметов, имеющих форму конуса. Вафельные рожки для мороженного имеют форму конуса, дорожный конус, шляпа ведьмочки для хэлоуина, колпак у Буратино, колпаки для дня рождения, некоторые архитектурные сооружения, декоративным растениям, придают форму конуса и многое другое.

Конус – это один из видов тел вращения. Итак, если взять прямоугольный треугольник, например, треугольник ABC и вращать его вокруг катета AB, то в результате получится тело, которое называется конусом.

Прямая AB называется осью конуса. А отрезок AB – его высотой.

При вращении катета AC образуется круг, он называется основанием конуса.

Иногда радиус этого круга называют радиусом конуса.

При вращении гипотенузы BC образуется поверхность, состоящая из отрезков с общим концом B. Ее называют конической поверхностью или боковой поверхностью конуса.

Отрезки, из которых она составлена, называются образующими конуса.

Точка B называется вершиной конуса.

Определение. Конус – это тело, ограниченное кругом и конической поверхностью.

Пользуясь принципом Кавальери, можно доказать, что объем конуса
, где r – радиус основания конуса, h – его высота.

На рисунке изображен конус, у которого радиус равен r, а образующая равна l. Боковую поверхность конуса, как и боковую поверхность цилиндра, можно развернуть на плоскость, разрезав ее по одной из образующих.

Давайте представим, что боковую поверхность конуса разрезали по образующей AB и развернули таким образом, что получился круговой сектор ABB’. Стороны AB и A’B которого являются двумя краями разреза боковой поверхности конуса.

Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор. Обратите внимание, радиус сектора равен образующей конуса, т.е. l. А длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса, т.е. равна 2πr.

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки. Выразим площадь боковой поверхности конуса через его образующую l и радиус основания r.

Площадь кругового сектора – развертки боковой поверхности конуса – равна , где α – градусная мера дуги сектора.

Длина дуги окружности с градусной мерой α и радиусом l равна пи эль альфа деленное на сто восемьдесят. С другой стороны, длина этой дуги равна два пи эр, т.е. . Отсюда, площадь боковой поверхности конуса
. Т.е. площадь боковой поверхности конуса с образующей l и радиусом основания r выражается формулой: .

Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания. Отсюда видим,
.

Задача. Радиус основы конуса метра, высота метра. Найдите площади боковой и полной поверхностей конуса.

– прямоугольный.

(м)

(м 2 )

Ответ: , .

Задача. Радиус основы конуса см, высота см. Найдите объем конуса, .

(см 3 )

Ответ: .

Подведем итоги. На этом уроке мы познакомились с понятием конуса. Узнали, что конус – это тело, ограниченное кругом и конической поверхностью. Рассмотрели, какими элементами он обладает. А также разобрались, как находят объем, площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности конуса.

Читайте также: