Конспект по теме множества и его элементы
Обновлено: 07.07.2024
I. Множество представляет собой совокупность некоторых предметов или чисел, составленных по каким-либо общим свойствам или законам (множество букв на странице, множество правильных дробей со знаменателем 5, множество звезд на небе и т.д.).
Примеры.
2. Записать множество всех правильных дробей со знаменателем 5.
Решение. Вспоминаем: правильной называют обыкновенную дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Обозначим через В искомое множество. Тогда:
Множество В состоит из четырех элементов.
II. Множества состоят из элементов и бывают конечными или бесконечными. Множество, которое не содержит ни одного элемента, называют пустым множеством и обозначают Ø.
III. Множество В называют подмножеством множества А, если все элементы множества В являются элементами множества А.
3. Какое из двух данных множеств В и С является подмножеством множества К,
Решение. Все элементы множества С являются также элементами множества К, поэтому, множество С является подмножеством множества К. Записывают:
IV. Пересечением множеств А и В называется множество, элементы которого принадлежат и множеству А и множеству В.
4. Показать пересечение двух множеств М и F с помощью кругов Эйлера.
Решение.
V. Объединением множеств А и В называется множество, элементы которого принадлежат хотя бы одному из данных множеств А и В.
5. Показать с помощью кругов Эйлера объединение множеств Т и Р.
2) повторить смысл арифметических действий, взаимосвязь между частью и целым, приемы устного и письменного сложения и вычитания, решение уравнений на сложение и вычитание, решение текстовых задач на смысл арифметических действий, разностное и кратное сравнение, правило порядка действий в выражениях.
Мыслительные операции, необходимые на этапе проектирования: анализ, сравнение, обобщение, классификация.
1) таблицы для повторения смысла арифметических действий и взаимосвязи между ними (этап 2);
2) таблицы для повторения задач на разностное и кратное сравнение (этап 8);
4) карточки с шагами плана:
1. Решить примеры в таблице и отгадать слово.
2. Соотнести с учебником.
3. Сделать вывод.
5) алгоритм ответа по задаче:
6) заготовки схем к задачам № 10 (а-г), 11, стр . 3:
7) табличка с девизом урока:
1) листки для этапов актуализации и реализации проекта:
8 + 7 = 16 + 14 = 39 + 21 = 92 + 28 =
15 – 8 = 30 – 16 = 60 – 39 = 120 – 92 =
2) набор треугольников зелёного, жёлтого и красного цвета.
1. Мотивация к учебной деятельности.
1) организовать актуализацию требований к ученику со стороны учебной деятельности;
2) создать мотивацию к изучению математики в 3 классе, и в частности, на данном уроке;
3) определить содержательные рамки урока: объединение предметов в группы, повторение.
Организация учебного процесса на этапе 1:
- Ребята! Вам нравится эта песня? Как вы понимаете — о чем она? (Да, нравится, это песня о дружбе …)
- На уроках математики тоже важно, чтобы было весело и интересно, чтобы вы все время шагали вперед.
- Давайте пожелаем друг другу успеха!
- С чего вы всегда начинали работать на уроке? (Мы повторяем то, что уже изучили и то, что нам сегодня поможет открыть новое.)
2. Актуализация знаний и фиксация затруднения в пробном действии.
1) повторить смысл арифметических действий и взаимосвязь между ними (между сложением и вычитанием, между умножением и делением);
2) тренировать мыслительные операции: анализ, сравнение, обобщение, классификация;
3) организовать затруднение в индивидуальной деятельности и его фиксацию учащимися в громкой речи.
Организация учебного процесса на этапе 2:
1) Повторение смысла арифметических действий и взаимосвязь между ними.
– Кто помнит, какие виды заданий вы выполняли? (Учились считать, решать задачи и уравнения, составлять и сравнивать выражения и т.д.)
– Какие арифметические действия вы знаете? (Сложение, вычитание, умножение и деление.)
- Покажите руками, что значит — сложить? Объясните словами. (Сложить — значит, объединить, взять вместе . )
- Назовите компоненты сложения в равенстве: a + b = c. ( a — первое слагаемое, b — второе слагаемое, c — сумма.)
- Какие еще равенства можно составить с числами a , b и c ?
Вычитание — операция, обратная сложению
Вычесть — это значит, взять часть и найти оставшуюся часть.
При вычитании из числа a числа b получается такое
число с , которое при сложении с b дает a .
- Как найти целое? Как найти часть? (Чтобы найти целое, части надо сложить; чтобы найти часть, надо из целого вычесть другую часть.)
Аналогично повторяется смысл умножения и деления, компоненты этих действий и взаимосвязь между ними, однако для иллюстрации вместо отрезка используется прямоугольник
Умножить число b на число c — это значит найти сумму с
слагаемых, каждый из которых равен b .
Деление ― операция, обратная умножению.
Разделить число a на число b — это значит, найти такое
число с , которое при умножении на b дает a .
2) тренинг мыслительных операций.
Работа ведется фронтально в быстром темпе: учитель задает вопросы, а ученики по очереди отвечают. Те, кто ответил правильно, записывают соответствующие слова на доске.
- Как назвать людей, которые объединились, чтобы вместе : петь (хор), танцевать (ансамбль), играть в футбол (команда), работать (бригада)?
- Как назвать собранные вместе : книги (библиотека), марки (коллекция), цветы (букет)?
- Как назвать летящих вместе птиц (стая), пчел (рой)?
- Как назвать пасущихся вместе овец (отара), лошадей (табун)?
- Вы видите, и в речи много слов, имеющих собирательное значение. Приведите свои примеры таких слов. (Класс, сервиз и т.д.)
- А можно ли эти слова применять к разным группам? Например, можно ли сказать: бригада цветов, отара учеников, рой книг? (Нет.)
- Что вы сейчас повторили? (Смысл арифметических действий, взаимосвязь между ними, разные слова, имеющие собирательное значение.)
- Очень хорошо. Для чего вы это повторили?
- Что я вам сейчас предложу? (Вы нам предложите задание, которое мы никогда не делали и мы попробуем с ним справится.)
3) Задание для пробного действия.
- Сами математики говорят о математике, что это искусство называть разные вещи одним именем . На чистой стороне листка, который лежит у вас на столе, попробуйте в течение одной минуты записать свой вариант общего, универсального слова, которое может заменить любое из написанных на доске слов.
На столах у детей листки Р–1, одна сторона которых чистая, а на второй — примеры с таблицами. Дети записывают на чистой стороне свои версии и через минуту озвучивают их.
- У кого нет слова? – В чём ваше затруднение? (Я не смог подобрать универсальное слово.)
- У кого разные варианты (перечислить)? Обоснуйте своё мнение.- В чём ваше затруднение? (Мы не можем обосновать свой выбор слова.)
3. Выявление места и причины затруднения .
1) создать условия для проведения учащимися пошагового анализа своих действий;
2) организовать фиксацию учащимися шага, на котором возникло затруднение;
3) организовать выявление учащимися причины затруднения.
Организация учебного процесса на этапе 3:
- Какое задание вы выполняли? (Мы подбирали универсальное слово, которым можно назвать любую группу собранных вместе предметов.)
- Где возникло затруднение? (В выборе слова.)
- Почему оно возникло? (Много вариантов: мы смогли подобрать нужное слово для группы одушевлённых предметов или, наоборот, для группы неодушевлённых предметов. Не знаем какой вариант выбрать.)
- Так что же вам нужно сделать? (Остановиться и подумать.)
4. Построение проекта выхода из затруднения.
1) организовать фиксацию образовательной цели урока и темы урока;
2) построить проект выхода из затруднения.
Организация учебного процесса на этапе 4:
- Какова же тема урока? (варианты детей)
- Нужное слово - тема урока - спряталось на обратной стороне листа. Чтобы его открыть, нужно потрудиться.
- Вы любите загадки?
- Сегодня в честь начала учебного года я приготовила для вас подарок: составила для вас загадку – это слово зашифровано на обратной стороне ваших листков с примерами и таблицей.
- Какой первый шаг будет в нашем плане?
1. Решить примеры в таблице и отгадать слово (шаг фиксируется на доске).
- Где вы можете согласовать название математических терминов, проверить себя? (по учебнику или справочнику).
- Значит, какой 2 пункт плана?
2. Проверить себя по учебнику. (шаг фиксируется на доске )
- Что вы сделаете потом?
3. Сделать вывод. (шаг фиксируется на доске )
5. Реализация построенного проекта .
1) организовать коммуникативное взаимодействие с целью реализации построенного проекта, направленного на приобретение новых знаний;
2) организовать согласование способов и фиксацию построенного способа действия в речи и знаково (с помощью опорного конспекта);
3) организовать уточнение общего характера.
Организация учебного процесса на этапе5:
- Учащиеся в течение 1 минуты решают примеры на листках Р–1 и расшифровывают слово. В результате в таблице появляется термин: множество . При необходимости здесь же на листках вычисления ведутся в столбик.
При проверке задания проговариваются приемы прибавления и вычитания по частям, правильная запись примеров в столбик. Дополнительно можно разобрать вопросы:
- Что интересного в примерах каждого столбика? (Одинаковые части и целое.)
- Как можно легко найти ответы во второй строчке? (Записать второе слагаемое первой строки.)
- Прочитайте ответы второй строки. (7, 14, 21, 28.) Что вы наблюдаете? (Числа увеличиваются на 7, таблица умножения на 7.)
- Продолжите присчитывать по 7 до 70. (35, 42, 49, 56, 63, 70.)
- Назовите ответы первой строки. (15, 30, 60, 120.) Что в них интересного? (Числа увеличиваются в 2 раза.) Какое число следующее? (120 · 2 = 240.)
В завершение, результаты работы обсуждаются по учебнику:
- Откройте страницу 1 нашего учебника. Проверьте по учебнику — правы ли вы?
Итог обсуждения можно зафиксировать в тетради в форме опорного конспекта:
- Найдите в учебнике название для каждого предмета, входящего в множество. (Элемент множества.)
- Как вы понимаете — что значит, элемент множества?
Учащиеся высказывают свои версии, а затем читают по тексту учебника в рамке на стр . 1 и стр . 2, выделяя маркером главные мысли о понятиях множества и элемента множества.
- Итак, справились вы со своей задачей? (Да.) Молодцы!
6. Первичное закрепление во внешней речи.
Организация учебного процесса на этапе 6:
- Что вам теперь нужно? (Потренироваться.)
1) Невозможность повторения элементов множества в списке.
- Назовите 3 элемента множества деревьев, 3 элемента множества плодов.
- Как назвать одним словом множество детей, которые учатся вместе ? (Класс.)
- Является ли элементом этого множества портфель ученика? (Нет.) А его рука? (Тоже нет.) Почему? (Дети высказываются.)
- Верно! Части элемента не принадлежат множеству. А теперь скажите, может ли встретиться в списке класса дважды имя одного и того же ученика? (Нет.)
- Обратите внимание, в слове 10 букв, а в множестве — 5, без повторов!
2) Выделение группы предметов, образующих множество, замкнутой линией. № 6, стр . 2.
- На рисунке изображена семья Ивановых. Обведите на этом рисунке множество детей.
- Теперь обведите множество взрослых.
- Определите, сколько элементов содержат эти множества. (2 и 4.)
Теперь в парах перечислите друг другу элементы множества членов вашей семьи. Принадлежит ли этому множеству ученики класса? А стол, который стоит в вашей квартире?
- Всегда ли в букете много цветов? (Нет.) Важно ли для множества, чтобы предметов было много? (Нет.) А что важно? (То, что они объединены вместе .) Молодцы!
7. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.
1) организовать самостоятельное выполнение учащимися типовых заданий на применение нового способа действий;
2) организовать самопроверку учащимися своих решений по эталону для самопроверки;
3) создать (по возможности) ситуацию успеха для каждого ребёнка.
Организация учебного процесса на этапе 7:
- Ребята, вы открыли новое знание, потренировались. Что теперь нужно сделать?
(Выполнить самостоятельную работу.)
- Хотите проверить себя? (Да.)
8. Включение в систему знаний и повторение.
- повторить алгоритм решения текстовых задач, правило порядка действий в выражения.
Организация учебного процесса на этапе 8:
1) Повторение на разностное и кратное сравнение.
На доске выставляются опорные схемы Р–2.
- Как найти, на сколько одно число меньше или больше другого? Меньшее число? Большее число?
- Как найти, во сколько раз одно число меньше или больше другого? Меньшее число? Большее число?
2) Анализ и решение текстовых задач № 10 (а–г), 11, стр . 3.
Для анализа и решения № 11 по желанию вызывается один ученик. На доске — заготовка схемы для этой задачи.
Пока ученик готовится к ответу, класс работает над задачами № 10 (а–в). Каждому предлагается в течение 1–2 минут решить ту из задач, с которой он работал на предыдущем этапе. Те, кто закончат решать свою задачу раньше, записывают решение на скрытой доске.
Попутно обсуждаются соответствующие вычислительные приемы, при необходимости выставляются готовые схемы.
Перед обсуждением задач целесообразно вспомнить с учащимися алгоритм ответа по задаче, известный им со 2-го класса и вывесить опорную таблицу Д–4.
- Кто хочет проанализировать и решить у доски задачу, в которой говорится о множестве деревьев? Она сформулирована в косвенной форме – будьте внимательны!
– Известно, что сосна живет 400 лет. Это на 250 лет больше, чем живет липа. Надо узнать, сколько лет живет липа. Мы ищем меньшую величину, поэтому из 400 лет надо вычесть 250 лет. (Чтобы найти меньшую величину, надо из большей вычесть разность.)
- Кто хочет решить задачу, в которой говорится о множестве птиц?
– Известно, что ласточка пролетает в час 40 км, а стриж — в 3 раза больше. Надо узнать, сколько километров в час пролетает стриж. Мы ищем большую величину, значит, 40 км надо умножить на 3.
- Сформулируйте задачу в косвенной форме. (Ласточка пролетает в час 40 км. Это в 3 раза меньше, чем стриж. Сколько километров в час пролетает стриж?)
- Решите задачу, в которой говорится о множестве рыб.
– Известно, для одной склярии требуется 3 л воды. Надо узнать, сколько склярий могут жить в 24 л воды. Чтобы ответить на вопрос задачи, надо узнать, сколько раз по 3 л содержится в 24 л. Для этого 24 л надо разделить по 3 л.
- Чем похожи все три задачи? (Они простые, решаются в одно действие.)
- Прочитайте задачу (г). Можно ли сразу ее решить? (Для ответа на первый вопрос достаточно сложить части, а чтобы ответить на второй вопрос, надо выполнить несколько действий.)
Учитель выставляет готовую схему к этой задаче:
- Верно, это составная задача. Обозначьте на схеме, какие величины надо сравнить? (Весь отрезок на схеме обозначает массу всей пингвиньей семьи, а части отрезка — массу папы, мамы и детеныша. Надо сравнить массу мамы и детеныша с массой папы.)
- Как это сделать? (Надо сложить массу мамы и детеныша, а потом полученное число вычесть из 42 кг.)
- Дома сами составьте схему и решите эту задачу. О каком множестве в ней идет речь?
Далее ученик, работавший у доски, анализирует задачу № 11 и объясняет решение, которое он выполнил на доске.
– Известно, что в кладе было 900 монет. Пират унес в шапке 186 монет, а в кармане, во рту и ладонях — 215, 74, 125 и 68 монет. Надо узнать, сколько монет он не смог унести. Чтобы это узнать, надо из всех монет вычесть монеты, которые он унес. Поэтому сначала надо найти сумму всех унесенных монет, а затем полученное число вычесть из 900.
1) 1 8 6 2) 9 0 0
6 6 8 (м.) Ответ : пират не смог унести 232 монеты.
- О каком множестве идет речь в этой задаче? (О множестве монет.)
3) Анализ заданий № 12–13, стр . 3.
- А какие множества вы видите в заданиях № 12–13? (Множество уравнений и множество примеров на порядок действий.)
а)– Сколько элементов содержит множество уравнений? (Три элемента.) А множество примеров на порядок действий? (Два элемента.)
- Что неизвестно в уравнениях — целое или часть? (В первом уравнении неизвестна часть, во втором — тоже часть, а в третьем — целое.)
- Как найти целое? Как найти часть?
- Готовы вы решить такие уравнения?
б)– Как определить порядок действий в выражениях? Вспомнили, как решаются такие примеры? Посмотрите внимательно, что нужно повторить, чтобы их решить? (Таблицу умножения.)
Если позволит время, один из примеров на порядок действий или одно из уравнений можно решить в классе.
9. Рефлексия учебной деятельности на уроке.
2) зафиксировать затруднения, которые остались, и способы их преодоления;
оценить собственную деятельность на уроке.
- Какую цель вы ставили на уроке?
- Достигли вы этой цели? Докажите. (Мы работали самостоятельно, по плану …)
- Как вы поняли – что такое множество? Элемент множества?
- Что мы сегодня повторили? В чем было затруднение?
- Над чем еще надо поработать?
- Ребята, у каждого из вас в конверте множество из 3 элементов: треугольники зелёного, жёлтого, красного цвета. Оцените свою работу на уроке по следующим критериям:
1) если вам было сложно, вы не справились с самостоятельной работой и трудности остались в конце урока – покажите треугольник красного цвета;
2) если в процессе самостоятельной работы вы смогли преодолеть свои затруднения- треугольник желтого цвета;
3) если вам всё ясно и понятно, а самостоятельная работа не вызвала никаких затруднений – треугольник зелёного цвета.
повторить таблицу умножения;
№ 10 (г); одно из заданий № 11 и № 12;
Изобразить некоторое множество предметов или живых существ, дать
ему название, которое используется в речи, и в математике (например,
набор — множество карандашей, стая — множество птиц и т.д.)
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Конспект лекции Основы теории множеств
Элементы и множества
Понятие множества принадлежит к числу фундаментальных неопределяемых понятий математики. О множестве известно, как минимум, что оно состоит из элементов. Можно сказать:
Определение1: Множеством называется любая совокупность каких-либо объектов, обладающим общим для всех характеристическим свойством.
Определение2: Множество – это неопределяемое понятие, которое задается перечислением предметов, входящих в него, либо их свойствами.
Определение3: Объекты, из которых составлено множество, называются его элементами.
Элементы, составляющие множество, обозначаются строчными латинскими буквами: a , b , m , x , y …; множество часто обозначают прописными латинскими буквами А, В, М, Х, У… .
Существует два способа задания множества:
перечисление элементов (только для конечных множеств):
указание характеристических свойств:
- Множество М состоит из таких элементов х, обладающих свойством х≤6, где х – натуральное число.
– множество натуральных чисел;
Z – множество целых чисел;
R – множество вещественных чисел;
Множество студентов в группе.
Определение 4: Множество называется конечным , если оно одержит конечное число элементов. Все остальные множества называются бесконечными .
Перечислением можно задавать только конечные. Бесконечные множества задаются характеристическим свойством (предикатом) или порождающей процедурой.
Определение 5: Множества, не содержащие элементы, называются пустыми множествами . Пустое множество обозначают символом или <>.
Определение 6: Универса́льное мно́жество (универсум) — в математике множество , содержащее все объекты и все множества. В тех аксиоматиках, в которых универсальное множество существует, оно единственно.
Универсальное множество обычно обозначается U (от англ. universe, universal set), реже E.
Определение 7. Множество А называется подмножеством множества В, если всякий элемент из А является элементом В. Обозначают.
Пример: 1)В=, A =, то ; 2) Принято считать, что пустое множество является подмножеством любого множества, А , где А – любое множество; 3) само множество А является своим подмножеством,
т.е. А А; 4) Универсальное множество U обладает свойством: все рассматриваемые множества являются его подмножеством А U, где А – любое множество.
Определение 8. Множества А и В считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
Равенство множеств обозначают так: А = В.
Для того, чтобы доказать равенство множеств А и В нужно:
1) доказать, что каждый элемент множества А является элементом множества В;
2) доказать, что каждый элемент множества В является элементом множества А.
То есть, м ножества А и В считаются равными , если
Определение 9: В случае, когда и , то это записывают и говорят, что А есть собственное подмножество В.
Определение 10: Мощность множества А обозначается | А |.
Для конечных множеств мощность – это число его элементов.
Пример: 1) В=, | В |=3; 2) | Z |= ; 3) | |=0.
Определение 11: Равные множества являются равномощными. Если А=В, то .
Определить все подмножества множества В=
Приведите примеры бесконечного множества.
Конспект лекции Операции над множествами
1. Операции над множествами
Диаграммы Эйлера-Венна – геометрические представления множеств. Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри его – кругов (или каких-нибудь других замкнутых фигур), представляющих множества.
Для получения новых множеств из уже существующих, используют операции над множествами. Рассмотрим основные из них.
Определение: Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В без повторения:
Определение: Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно как множеству А, так и множеству В:
Определение: Разностью множеств А и В называется множество всех тех и только тех элементов А, которые не содержатся в В (рис. 3):
Определение: Дополнением множества А называется множество (или А ’ ) всех тех элементов универсума , которые не принадлежат множеству А :
Определение: Симметрической разностью (или кольцевой суммой) множеств А и В называется множество элементов этих множеств, которые принадлежат либо только множеству А, либо только множеству В (рис. 4):
2. Основные тождества алгебры множеств
Для произвольных множеств А, В, и С справедливы следующие соотношения (табл. 1):
1. Коммутативность объединения
1’. Коммутативность пересечения
2. Ассоциативность объединения
2’. Ассоциативность пересечения
3. Дистрибутивность объединения относительно пересечения
3’. Дистрибутивность пересечения относительно объединения
4. Законы действия с пустым и универсальным множествами
4’. Законы действия с пустым и универсальным множествами
5. Закон идемпотентности объединения
5’. Закон идемпотентности пересечения
6. Закон де Моргана
6’. Закон де Моргана
7. Закон поглощения
7’. Закон поглощения
8. Закон склеивания
8’. Закон склеивания
9. Закон Порецкого
9’. Закон Порецкого
10. Закон двойного дополнения
Одним из важных понятий теории множеств является понятие декартова произведения множеств.
Определение: Декартовым (прямым) произведением множеств X и Y называется множество упорядоченных пар вида ( x , y ), таких что x и .
Две пары ( x , y ) и ( u , v ) считаются равными тогда и только тогда, когда x = u и y = v
Планируемые результаты: учащиеся научатся выделять элементы множеств; группировать предметы по общему признаку; задавать множества перечислением; выполнять мыслительные операции анализа и синтеза и делать умозаключения; оценивать себя, границы своего знания и незнания; работать в паре и группе; слушать собеседника и вести диалог.
Дидактические моменты
Деятельность учителя
Деятельность обучающихся
Организационный момент
- Звенит школьный звонок,
Собирает нас всех на урок.
Предо мной сидите – Вы,
Неповторимые ученики мои.
- Ребята, покажите мне, пожалуйста, с каким настроением вы начинаете урок математики?
- Я желаю вам, чтобы ваше настроение в конце урока осталось или стало хорошим, так как с этого урока вы унесёте с собой новые знания.
Слушают. Садятся правильно, готовясь слушать учителя.
Показывают смайлик.
Актуализация знаний
Устный счет
- А сейчас немного посчитаем…
- Я вам буду читать стишки, а вы внимательно слушайте и на числовом веере показывайте то число, которое у вас получилось.
Читайте также: