Конспект по геометрии движения 11 класс

Обновлено: 06.07.2024

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

"Движения". Геометрия. 11-й класс

Вспомнить основные виды движений: центральную, осевую симметрии и параллельный перенос.

Рассмотреть новый вид: зеркальную симметрию.

Решить максимально возможное число задач на уроке за счет работы по группам.

Оборудование

доска, мел, чертежные инструменты

Дидактические средства

Геометрия: Учебник для 10-11 кл. ср. шк./ Л.С. Атанасян – М.: Просвещение, 2006;

карточки с заданиями на печатной основе.

Тип урока: закрепление материала и решение задач

Перед уроком класс разбит на 4 группы по 2 человека (в каждой группе есть ''продвинутые'' и слабые ученики).

Учитель В курсе планиметрии мы познакомились с движениями плоскости. Движение – это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния между точками. В пространстве рассматриваем отображение пространства на себя. Это значит, что каждой точке М пространства поставлена в соответствие некоторая точка М ₁ , причём любая точка М ₁ пространства оказывается поставленной в соответствие какой-то точке М.

А движение пространства – это такое отображение пространства на себя, при котором сохраняется расстояние между точками.

Какие виды движений вы помните из курса планиметрии?

Ученики Центральная симметрия, параллельный перенос, осевая симметрия, поворот.

На карточках указаны задания по определенному типу движения, которые должны быть разобраны на уроке.

Пока ученики готовятся, учитель консультирует более слабую группу по непонятным ей вопросам. Ученики разбирают доказательство факта, что та или иная симметрия и параллельный перенос есть движения.

Центральная симметрия – отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей точку М ₁ относительно данного центра О.

Докажем, что центральная симметрия является движением .

Обозначим точку О – центр симметрии и введем прямоугольную систему координат Оxyz с началом в точке О. Установим связь между координатами двух точек:

Если М=0, то х = х ₁ = у = у ₁ = z = z ₁ = 0,

т. е. формулы (1) верны.

Осевой симметрией с осью а называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей точку М ₁ относительно оси а .

Докажем, что осевая симметрия есть движение .

Введем прямоугольную систему координат Оxyz, совместим ось Оz с осью симметрии и установим связь между координатами точек M(x; y; z) и M ₁ (x ₁ ; y ₁ ; z ₁ ), если S _oz (М) = М _1.

Если М О _z , то Оz ММ ₁ и проходит через середину.

Т. к. Оz ММ ₁ , то z = z _1. Т. к. Оz проходит через середину ММ _{1 ,} то х = -х _1, у = -у ₁ .

Если точка М лежит на оси Оz, то х ₁ = х = 0, у ₁ = у = 0, z ₁ = z = 0.

Зеркальной симметрией называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей точку М ₁ относительно плоскости a .

Докажем, что зеркальная симметрия есть движение .

Введем прямоугольную систему координат Оxyz, совместим плоскость Оxy с плоскостью симметрии и установим связь между координатами точек M(x; y; z) и M ₁ (x ₁ ; y ₁ ; z ₁ ), где S _a (М) = М ₁ .

Если М не лежит в плоскости Оху, то х =х ₁ , у =у ₁ , z = -z ₁ .

Если М I Оху , то , , .

Параллельный перенос на вектор р - это такое отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в такую точку М ₁ , что вектор ММ ₁ равен вектору р.

Докажем, что параллельный перенос есть движение .

Пусть параллельный перенос переводит: А—> А _1, В—> В ₁ , тогда

По правилу треугольника

Тогда . Это значит, что АВ = А ₁ В _1.

Учитель: Подведем итоги: центральная симметрия, параллельный перенос, осевая симметрия, зеркальная симметрия в пространстве являются движениями. Также справедливы утверждения о том, что при движении отрезок переходит в отрезок, прямая – в прямую, плоскость – в плоскость.

Рассмотрим теперь № 480.

Докажем, что при центральной симметрии:

а) плоскость, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей плоскость;

б) плоскость, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.

Доказать : a || a ₁

А a , В a , С a , точки А, В, С не лежат на одной прямой, А—> А _1, В—> В ₁ , С—> С _1, А ₁ , В ₁ , С ₁ , не лежат на одной прямой, тогда (А ₁ , В ₁ , С ₁ ) = a ₁ .

Аналогично ВС||В ₁ С ₁ , тогда a || a ₁ по признаку.

Теперь вы сможете решить задачи на доказательство, которые получили в начале урока, но сначала послушаем решение задачи № 478

Ученики I, II, III групп (по 1 из группы) объясняют решение задач.

а) При центральной симметрии относительно точки О (0;0;0) х ₂ = -х ₁ ; у ₂ = -у ₁ ; z ₂ = -z _1.

б) При осевой симметрии относительно оси Ох х ₂ = х ₁ ; у ₂ = -у ₁ ; z ₂ = -z _1.

(Для S _oy и S _oz рассмотреть дома).

в) При зеркальной симметрии относительно Ozy х ₂ = -х ₁ ; у ₂ = у ₁ ; z ₂ = z _1.

(Для S _Охy рассмотреть дома).

Далее еще 5 –10 минут решаем задачи по группам, потом слушаем еще 4 человека (по 1 из каждой группы) с решением более сложных задач.

а ) a || a _1, если О a

б) a = a _1, если О a

а) А —> А _1, В —> В _{1 ,} тогда АО = ОА _1, ВО = ОВ _1, угол 1 = углу 2 _, то АОВ = А ₁ О В _1, значит, угол В = углу В ₁ , а они внутренние накрест лежащие, тогда АВ || А ₁ В _{1 .}

б) А, В, А ₁ , В ₁ лежат на одной прямой, значит a = a ₁

а ) а ₁ || l , если а || l

Дано: S a (а) = а ₁

а) а || a ₁ , если а не параллельна вектору р

б) а || a ₁ , если а параллельна вектору р

б) Если а параллельна вектору р, то А, В, А ₁ ,В ₁ лежат на одной прямой, значит, а = а _1.

Если необходимо, учитель помогает, корректирует решения.

Еще 5-7 минут решаем последнюю задачу из задания по группам, а потом четыре ученика (по одному из каждой группы) показывают свое решение на доске.

Дано: движение, а || b, а —> а _1, b—> b ₁

Дано: движение, Окр (О; r)

Так как движение сохраняет расстояние, то множество точек, расположенных на данном расстоянии r от точки О, отображается на множество точек, расположенных на данном расстоянии (r) от точки О ₁ .

т.е. Окр (О; r) —> Окр(О ₁ ; r ₁ ) (можно сделать чертеж).

Дано: движение ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ - прямоугольный параллелепипед

Так как движение сохраняет расстояние, то все ребра отображаются на равные им отрезки. Так как движение переводит параллельные прямые в параллельные прямые, то все ребра отображаются на параллельные им отрезки, т.е. фигура A`B`C`D`A` ₁ B` ₁ C` ₁ D` ₁ – параллелепипед.

Так как движение сохраняет углы, то боковые ребра, перпендикулярные основанию, отобразятся на отрезки, перпендикулярные отрезкам основания, то есть новая фигура – прямоугольный параллелепипед.

Учитель Итак, мы решали задач (далее объявляет оценки выступающим у доски. Группа может поставить оценку и не отвечавшему, если он активно участвовал в обсуждении).

Учитель: Задания ЕГЭ базовый уровень.

Домашнее задание: п. 49–52 (прочитать), № 478 (остальные задачи), №483, №485

2. Подготовка учащихся к усвоению новых знаний.

(Презентация № 1-3)Учитель: Прочитайте слова, записанные на доске: соразмерность, пропорциональность, закономерность, упорядоченность, структурность, неизменность, стабильность, порядок, красота, гармония

Как вы думаете, какое геометрическое понятие можно охарактеризовать этими словами? (симметрия)

Симметрия. (презентация № 4)

Термин “симметрия” по-гречески означает “соразмерность, упорядоченность, закономерность, регулярная повторяемость”.

Уместно привести слова Германа Вейля, известного немецкого математика, о том, что “симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство” (цитата на слайде).

3. Изучение нового материала. (презентация № 5 – 16)

Современное представление о симметрии предполагает неизменность объекта, по отношению к каким-то преобразованиям, выполненным над ним.

Мы познакомимся с различными видами симметрии в пространстве и исследуем симметрию в окружающем мире

Сейчас я продемонстрирую вам презентацию своего исследования

4. Первичная проверка усвоения знаний. (презентация № 17 – 22)

Какие же виды симметрии встречаются в пространстве?

5. Первичное закрепление знаний.

Выполнение упражнения в печатной тетради № 31 с. 17

Далее учащиеся выполняют самостоятельно упражнение № 478 с. 125 (учебник).

Более подготовленные учащиеся выполняют задачи на доказательство в печатной тетради № 33, 34 с. 19 – 21.

6. Подведение итогов урока. (презентация № 23)

Итак, сегодня на уроке мы изучили виды симметрии в пространстве и провели исследование по теме: “Симметрия в окружающем мире”.

Была ли вам интересна исследовательская работа на уроке?

Что вам понравилось, запомнилось?

Я благодарю вас за работу. Желаю вам успехов в изучении геометрии.

Приложение (мультмедийная презентация)

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Как вы думаете, какое геометрическое понятие можно охарактеризовать этими словами? Соразмерность Пропорциональность Закономерность Упорядоченность Структурность Неизменность Стабильность Порядок Красота Гармония

Симметрия “ Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство” Герман Вейль

Виды движения Центральная симметрия Осевая симметрия Зеркальная симметрия Поворотная симметрия Параллельный перенос

Центральная симметрия Центральной симметрией называют отображение пространства на себя, при котором любая точка переходит в симметричную ей точку относительно данного центра О

Симметрия относительно точки – лучевая симметрия Присмотритесь внимательно и вы увидите, что лепестки каждого тела расходятся во все стороны, как лучи от источника света. В математике - это симметрия относительно точки (центральная симметрия), в биологии – лучевая симметрия.

Осевая симметрия Осевой симметрией называют отображение пространства на себя, при котором любая точка переходит в симметричную ей точку относительно оси а

Присмотритесь внимательно и вы увидите, что правая сторона – есть зеркальное отображение левой. В математике – это симметрия относительно прямой (осевая симметрия), в биологии – двусторонняя симметрия. Симметрия относительно прямой – двусторонняя симметрия

… обмерили 72 студента-добровольца. Данные подтвердили интуитивно предполагаемый факт: юноши с правильными лицами - те, у кого отклонения от симметрии не превышали 1 - 2 процентов, были найдены более привлекательными в целом, тогда как менее симметричные студенты - с отклонениями в 5 - 7 процентов - были признаны менее привлекательными, "некрасивыми" в обычном смысле. Однажды в Америке.

Зеркальная симметрия Фигура называется симметричной относительно плоскости, если преобразование симметрии переводит фигуру в себя. При этом плоскость называется плоскостью симметрии этой фигуры.

Поворотная симметрия Если n-число граней фигуры и n–натуральное число больше1-го, то говорят, что тело симметрично относительно некоторой оси, если при повороте на угол 360°/n вокруг этой оси, оно переходит само в себя. При этом ось вращения называется осью поворотной симметрии порядка n.

Параллельный перенос Параллельным переносом на вектор р называют отображение пространства на себя, при котором любая точка А переходит в такую точку В, что АВ = р

Задача 1 Назовите буквы алфавита, имеющих одну ось симметрии. ( Ответ: А В Д Е З К М П С Т Ш Э Ю ) Назовите буквы алфавита, имеющих две оси симметрии (вертикальную и горизонтальную). (Ответ: Н О Ф Х )

Задача 2 Выберите слова, имеющие ось симметрии (вертикальную или горизонтальную). КОКОС, НОС, СОК, ВОЗ, ЗОВ, ФОН, КОК, ПОП, ВЕНОК, СЕНО, НОЖ, ЭХО, ВОСК, ПОТОП, ВЕКО, ВЕК, МАДАМ, КОН, КОКС, ДОХОД.

Решение Горизонтальная ось симметрии Вертикальная ось симметрии Кокос, нос, сок, воз, зов, фон, кок, венок, сено, нож, эхо, воск, веко, кон, кокс. поп потоп мадам доход

Симметрия в литературе Слова "топот", "казак", "шалаш" называют палиндромами. Палиндромическими могут быть фразы, стихотворения, рассказы. Например. "Я иду с мечом судия" (Т. Державин), "А роза упала на лапу Азора" (А. Фет); "Аргентина манит негра" (Булгаков).

Симметрия в литературе Симметрией обладают так называемые фигурные стихи, текст которых имеет очертание какого-либо предмета-звезды, креста, треугольника, пирамиды… О, где же те мечты? Где радости, печали, Светившие нам столько долгих лет? От их огней в туманной дали Чуть виден слабый свет те пропали, Их нет". (А. Апухтин).

О какой симметрии можно говорить, глядя на эту картины? Кто является ее автором?

Симметрия в творчестве Орнамент (от лат. Ornamentum – украшения) – узор, состоящий из повторяющихся, ритмически упорядоченных элементов. Орнамент предназначен для украшения различных предметов (посуды, мебели, текстильных изделий, оружия) и архитектурных сооружений. Орнамент включает в себя листья и цветы растений, фантастических птиц и животных, фигуры людей и просто геометрические узоры. Весь рисунок подчинен строгим законам симметрии.

Виды орнамента Ленточный Сетчатый Розетчатый

Симметрия в технике

Симметрия в архитектуре

Определить есть ли симметрия на картинках. Если есть, то какая?

Вывод: Симметрия, проявляясь в самых различных объектах материального мира, несомненно, отражает наиболее общие, наиболее фундаментальные его свойства. Поэтому исследование симметрии разнообразных природных объектов и сопоставление его результатов является удобным и надежным инструментом познания основных закономерностей существования материи.

Спасибо за внимание

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

урок геометрии 8 класс "Признаки параллелограмма"

Урок геометрии 8 класс по теме:" Теорема Пифагора".

Разработан урок по геометрии в 8 классе по теме: "Теорема Пифагора" с презентацией.

урок геометрии 8 класс

"Первый признак подобия треугольников", урок геометрии в 8 классе по учебнику Л.С. Атанасяна.

Урок геометрии 7 класс

Что такое геометрия? Разделы геометрии,основные геометрические фигуры, из истории геометрии- это все вы узнаете на первом уроке геометрии.

Презентация к уроку геометрии. 8 класс. "Первые уроки. Вводное повторение"

Основная цель первых уроков - подготовить учащихся к изучению геометрии в 8 классе. При организации вводных уроков необходимо обратить внимание на решение наиболее типичных задач из курса геомет.

Урок геометрии 7 класс. Разработка, технологическая карта урока по теме " Прямоугольные треугольники и некоторые их свойства".

Разработка, технологическая карта урока по теме " Прямоугольные треугольники и некоторые их свойства".

Урок геометрии 7 класс. Разработка и технологическая карта урока по теме : "Прямоугольные треугольники. Решение задач".

Разработка и технологическая карта урока по теме : "Прямоугольные треугольники. Решение задач".

Тип урока: объяснение и закрепление нового материала.

Перед уроком класс разбит на 4 группы по 5-6 человек (в каждой группе есть ''продвинутые'' и слабые ученики).

Ход урока

Учитель В курсе планиметрии мы познакомились с движениями плоскости. Движение – это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния между точками. Теперь будем рассматривать отображение пространства на себя. Это значит, что каждой точке М пространства поставлена в соответствие некоторая точка М₁, причём любая точка М₁ пространства оказывается поставленной в соответствие какой-то точке М.

Какие виды движений вы помните из курса планиметрии? (При этом вопросе можно показать учащимся модели, изготовленные ими в 9 классе при изучении темы “Движения”).

Ученики Центральная симметрия, параллельный перенос, осевая симметрия, поворот.

На карточках указаны задания по определенному типу движения, которые должны быть разобраны на уроке.

Центральная симметрия – отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей точку М₁ относительно данного центра О.

Докажем, что центральная симметрия является движением.

т. е. формулы (1) верны.

Докажем, что осевая симметрия есть движение.

Если М О_z , то Оz ММ₁ и проходит через середину.

Т. к. Оz ММ₁, то z = z_1. Т. к. Оz проходит через середину ММ_{1 ,} то х = -х_1, у = -у₁.

Если точка М лежит на оси Оz, то х₁ = х = 0, у₁ = у = 0, z₁ = z = 0.

Докажем, что зеркальная симметрия есть движение.

Если М не лежит в плоскости Оху, то х =х₁, у =у₁, z = -z₁.

Если М I Оху , то , , .

Параллельный перенос на вектор р - это такое отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в такую точку М₁, что вектор ММ₁ равен вектору р.

Докажем, что параллельный перенос есть движение.

Пусть параллельный перенос переводит: А—> А_1, В—> В₁, тогда

По правилу треугольника

Тогда . Это значит, что АВ = А₁В_1.

Рассмотрим теперь № 480.

Докажем, что при центральной симметрии:

а) плоскость, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей плоскость;

б) плоскость, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.

Ученики I, II, III групп (по 1 из группы) объясняют решение задач.

№ 478

а) При центральной симметрии относительно точки О (0;0;0) х₂ = -х₁; у₂ = -у₁; z₂ = -z_1.

(Для S_oy и S_oz рассмотреть дома).

(Для S_Охy рассмотреть дома).

№ 479

б) a = a_1, если О a

а) А —> А_1, В —> В_{1 ,}тогда АО = ОА_1, ВО = ОВ_1, угол 1 = углу 2_, то АОВ = А₁О В_1, значит, угол В = углу В₁, а они внутренние накрест лежащие, тогда АВ || А₁В _{1 .}

б) А, В, А₁, В₁ лежат на одной прямой, значит a = a₁

№ 481

№ 482

№ 484

а) а || a₁, если а не параллельна вектору р

б) а || a₁, если а параллельна вектору р

б) Если а параллельна вектору р, то А, В, А₁,В₁ лежат на одной прямой, значит, а = а_1.

Если необходимо, учитель помогает, корректирует решения.

№ 488 (а)

№ 488 (б)

№ 489 (а)

Дано: движение, Окр (О; r)

т.е. Окр (О; r) —> Окр(О₁; r₁) (можно сделать чертеж).

№ 489 (б)

Дано: движение ABCDA₁B₁C₁D₁- прямоугольный параллелепипед

Учитель Итак, мы познакомились с движениями в пространстве (далее объявляет оценки выступающим у доски. Группа может поставить оценку и не отвечавшему, если он активно участвовал в обсуждении).

Домашнее задание: п. 49–52 (прочитать), № 478 (остальные задачи), №483, №485.

Геометрическое преобразование, при котором сохраняются расстояния между точками, называется движением .

То есть, если любые две точки A и B переводятся в некоторые точки A 1 и B 1 соответственно, то получим AB = A 1 B 1 .

Другими словами, движение пространства — это отображение пространства на себя, которое сохраняет расстояния между точками.

Читайте также: