Конспект на тему пирамида

Обновлено: 05.07.2024

Учебник : Геометрия. 10-11 классы: учеб.для общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни/ [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.].-20-е изд.- М.: Просвещение,2011.

Обучающие : изучить новый вид многогранников – пирамиды. Выйти на понятие правильной пирамиды. Рассмотреть задачи, связанные с пирамидой и с правильной пирамидой.

Развивающая: развивать познавательный интерес через творческую активность, исследовательскую деятельность на основе умения делать обобщения по данным, полученным в результате исследования.

Воспитательная: развивать эмоционально-положительное отношение к изучению геометрии, геометрическую зоркость, пространственное воображение.

Технология : проблемная, сотрудничества, ИКТ.

Форма работы : групповая, индивидуальная.

Тип урока : усвоение новых знаний.

Организационный момент.
Устная работа.
Изучение нового материала

Построение пирамиды
Виды пирамид
Площадь поверхности пирамиды
Историческая справка

4. Минута отдыха

Решение задач
Подведение итогов урока. Рефлексия
Задание на дом.

1. Организационный момент .

-Вспомним с Вами, Какие фигуры стереометрии мы уже изучили? (параллелепипед, призма)

- Вспомним определение этих фигур.(уч-ся дают определение)

- выберите из представленных фигур известные модели, назовите их. Какие фигуры остались на столе? (тетраэдр и другие виды пирамиды). Как они называются? На что они похожи? (на пирамиды , на пирамиды Хеопса).

Все на свете страшится времени,

А время страшится пирамид (арабская пословица)

2. Устная работа

(Слайд №3 презентации)

Изучение нового материала

Построение пирамиды

Пирамида – многогранник, составленный из n - угольника А1А2…Аn и n треугольников (слайды №4-13)

Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника-основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания-вершины пирамиды, и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания.

Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми ребрами .

Пирамида называется n-угольной , если ее основанием является n-угольник.

Треугольная пирамида называется также тетраэдром.

Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.

Все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками

Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины

Все апофемы правильной пирамиды равны друг другу

Теорема о площади боковой
поверхности правильной пирамиды:

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему

В архитектуре часто крыши домов построены в виде пирамид.

В современной архитектуре наиболее известная пирамида- это стеклянная пирамида Лувра. Пирамида, окруженная фонтанами и еще тремя пирамидами поменьше стала одновременно входом в музей и украшением площади перед зданием.За основу пирамиды была взята пирамида Хеопса. Египетский прототип позволил создать конструкцию, идеально вместившую в себя всевозможные магазинчики, галереи, кафе и помещения для персонала. По замыслу автора пирамида у Лувра была призвана соединить небо и землю. (слайд)

С пирамидой можно встретиться и в литературе. Поэты пишут стихи в виде пирамиды – треугольника.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Тема урока : Пирамида .

Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми ребрами .

Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины

Все апофемы правильной пирамиды равны друг другу

Теорема о площади боковой поверхности правильной пирамиды:

1. Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами 6 и 8 см. Высота пирамиды равна 12 см и проходит через точку пересечения диагоналей основания. Найдите боковые ребра пирамиды.

2. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а высота - √13 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

На этом уроке мы познакомимся с понятием пирамида. Дадим определение пирамиды. Рассмотрим, из каких элементов она состоит. Узнаем, какую пирамиду называют правильной, и какими свойствами она обладает. А также разберемся, как находят объем пирамиды.

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока "Пирамида"

На этом уроке мы познакомимся с понятием пирамиды. Дадим определение пирамиды. Рассмотрим, какими элементами она обладает. Узнаем, какую пирамиду называют правильной, и какими свойствами она обладает. А также разберемся, как находят объем пирамиды.

Мы с вами начали изучать многогранники. Напомню, что многогранник представляет собой геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников, любые два смежные из которых не лежат в одной плоскости.

Теперь давайте рассмотрим понятие пирамиды. Пирамида – это один из видов многогранника. Можно привести много примеров пирамиды из реальной жизни. Наверняка каждый из вас в детстве собирал игрушечную пирамидку, на уроках истории вас знакомили со знаменитыми египетскими пирамидами, многие известные архитектурные строения имеют форму пирамиды. Это и башни Кремля, пирамида Лувра, станция метро в Мюнхене и так далее.

Итак, рассмотрим многоугольник и точку P, не лежащую в плоскости этого многоугольника. Соединим точку P отрезками с вершинами многоугольника. В итоге получим n треугольников: , , … , . Многогранник, составленный из n -угольника и этих n треугольников, называется пирамидой.

Многоугольник называется основанием пирамиды. Треугольники , , … , называются боковыми гранями пирамиды. Точка P – вершиной пирамиды, а отрезки PA₁, PA₂…PA_n – ее боковыми ребрами.

Пирамиду с вершиной P и основанием называют n-угольной пирамидой и обозначают так: .

Отрезок, соединяющий вершину пирамиды с плоскостью ее основания и перпендикулярный к этой плоскости, называется высотой пирамиды.

Объединение боковых граней называется боковой поверхностью пирамиды, а объединение всех граней называется полной поверхностью пирамиды. Тогда площадью боковой поверхности пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней. А площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней.

Пирамида в зависимости от того какой многоугольник лежит в основании имеет свое название. Если в основании лежит треугольник, то пирамида называется треугольной. Если четырехугольник – то четырехугольной пирамидой. А если n-угольник, то n-угольной пирамидой.

Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.

На рисунке изображена правильная пирамида. PE – одна из ее апофем. Все апофемы правильной пирамиды равны друг другу.

Отметим некоторые свойства правильной n-угольной пирамиды.

1. В правильной -угольной пирамиде все боковые ребра равны между собой.

2. Из равенства боковых ребер пирамиды следует и равенство ее боковых граней.

Рассмотрим куб со стороной а и проведем его диагонали.

Обратите внимание, в результате куб окажется разбитым на 6 равных друг другу правильных пирамид с общей вершиной в точке пересечения диагоналей куба. У каждой из этих пирамид основанием является квадрат со стороной а, высота , а объем в 6 раз меньше объема куба, т.е. равен . Но в свою очередь, можно расписать как – ее высота. Таким образом, объем правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания а и высотой h равен .

Полагаясь на этот факт, можно доказать, что аналогичное утверждение справедливо и для произвольной пирамиды: .

Задача. – правильная пирамида. Найдите площадь боковой поверхности, если см, а см.

Решение: напомню, что площадью боковой поверхности пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней.

Т.к. по условию задачи сказано, что FABCDE – правильная пирамида, то в ее основании лежит правильный пятиугольник и все ее боковые ребра равны между собой. Следовательно,

см

– высота, медиана и биссектриса.

– прямоугольный.

(см)

(см 2 )

Ответ: .

Интересно знать! Пирамиды – величайшие строения мира, которые завораживают и привлекают внимание людей. О различных свойствах пирамиды слагают легенды. Существуют даже научно доказанные факты о волшебных свойствах пирамиды.

Она была построена примерно 4600 лет назад для фараона Хуфу (его еще называли Хеопсом) и стала крупнейшей из трех пирамид, которые до сих пор возвышаются в районе города Гиза. Для ее строительства потребовалось вытесать и доставить на место примерно 2 300 000 каменных блоков общим весом почти 6 миллионов тонн. Внутри пирамиды есть несколько проходов и камер. Каждая боковая грань пирамиды имеет форму треугольника, а основанием служит квадрат со стороной 230 метров. Высота пирамиды – 147 метров, что соответствует современному пятиэтажному зданию.

Подведем итоги урока. На этом уроке мы познакомились с понятием пирамиды. Узнали, что многогранник, составленный из n-угольника A₁A₂…A_n и n треугольников, называется пирамидой. Рассмотрели, из каких элементов она состоит. Узнали, какую пирамиду называют правильной, и какими свойствами она обладает. А также разобрались, как находят объем пирамиды.

Многогранник, одна грань которого является \(n\)-угольником, а остальные грани — треугольники с общей вершиной, называется пирамидой , \(n\)-угольник называется основанием пирамиды , а треугольники — боковыми гранями .

В зависимости от количества сторон основания пирамиды могут быть треугольными, четырёхугольными, пятиугольными и т. д.

Важно знать, где на плоскости основания находится проекция вершины пирамиды, она может быть в центре основания, на стороне основания, за пределами многоугольника основания. Решение задачи в большей степени зависит от расположения этой точки.

- правильная пирамида (вершина проецируется в центр основания);
- пирамида, вершина которой проецируется в центр описанной окружности;
- пирамида, вершина которой проецируется в центр вписанной окружности;
- пирамида, высота которой совпадает с боковым ребром;
- пирамида, высота которой также является высотой боковой грани.

Углы, которые образованы боковой гранью и основанием пирамиды, называются двугранными углами при основании пирамиды .

Углы, которые образованы боковым ребром и его проекцией на плоскость основания, называются углами между боковым ребром и плоскостью основания.

Угол, который образован двумя боковыми гранями, называется двугранным углом при боковом ребре пирамиды .

Угол, который образован двумя боковыми рёбрами одной грани пирамиды, называется углом при вершине пирамиды .

Площадь боковой поверхности равна сумме площадей всех боковых граней пирамиды: S = S 1 + S 2 + S 3 + .

Читайте также: