Конспект лектора математический анализ а м красносельский

Обновлено: 05.07.2024

Лекции по математическому анализу, Часть 2, Петрович А.Ю., 2017.

Пособие состоит из восьми глав и содержит развёрнутое изложение курса лекций, читаемых автором студентам первого курса МФТИ. Разобрано большое количество примеров, иллюстрирующих теоретический материал. К каждой главе приложен список упражнений для самостоятельной работы.
Предназначено для студентов физико-математических и инженерно-физических специальностей, изучающих математический анализ, а также для преподавателей, ведущих занятия по математическому анализу.

Несобственные интегралы от знакопеременных функций.
Для функций, не сохраняющих знак ни в какой проколотой окрестности особенности, признаки сравнения сходимости несобственных интегралов не работают (примеры будут приведены позже). Часто представляет интерес исследование сходимости интеграла от модуля функции.

Арлинский Ю.М., Кучма В.Я. Математический анализ. Курс лекций (часть вторая). – Луганск: Изд-во ВНУ им. В. Даля, 2003. – 126 с.

1. Неопределенный интеграл

1.1. Первообразная и неопределенный интеграл

Определение: Функция называется первообразной функцией (просто первообразной) функции на интервале если .

Аналогично определяется понятие первообразной на любом другом промежутке.

1. является первообразной функции на .

2. является первообразной функции на .

Теорема: Две дифференцируемые на промежутке функции и являются первообразными одной и той же функции тогда и только тогда, когда они отличаются на постоянную.

, , .

Доказательство:

Если первообразная т.е. , то и также является первообразной функции , так как .

Если и первообразные , то и .

В силу следствия 1 из теоремы Лагранжа на .

Определение: Пусть функция определена на некотором промежутке. Совокупность всех ее первообразных на этом промежутке называется неопределенным интегралом от функции и обозначается

- подинтегральная функция;

- подинтегральное выражение.

Если какая - либо первообразная на рассматриваемом промежутке, то пишут

, .

Очевидно,, поэтому по определению полагают

1.2. Основные свойства неопределенного интеграла

1 0 . (следует непосредственно из определения);

2 0 . (следует непосредственно из определения).

3 0 . Если и имеют на промежутке первообразные, то и функция также имеет на первообразную, причем

4 0 . Если имеет первообразную на промежутке, то функция, также имеет первообразную на , причем при

Следствие: (свойство линейности).

где такие, что .

Докажем свойство 3.

Доказательство:

Пусть и первообразные соответственно и , т.е. и .

Рассмотрим функцию. Эта функция является первообразной для функции , т. к.

С другой стороны,

Так как - произвольные постоянные, то правые части последних равенств совпадают, следовательно, совпадают и их левые части.

Докажем свойство 4.

Доказательство:

Пусть первообразная т.е. , . Тогда функция является первообразной для функции , так как , .

, а .

В силу произвольности постоянных правые части последних равенств равны, следовательно, равны и левые.

1.3. Таблица основных неопределенных интегралов

Операция нахождения неопределенного интеграла от данной функции называется интегрированием и является действием обратным дифференцированию.

1. , ;

2. , ;

3. , ; ;

4. ;

5. ;

6. ;

8. ;

9. ;

10., ();

11.

(если, то );

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

Справедливость этих формул проверяется непосредственным дифференцированием их правых частей.

1.4. Основные методы интегрирования

1.4.1. Метод замены переменной (подстановки)

Теорема: Пусть функции и определены соответственно на промежутках и , причем ; функция имеет на первообразную , а функция дифференцируема на . Тогда функция на промежутке имеет первообразную причем

Доказательство:

По условию .

Вычислим , - первообразная функции .

С другой стороны,

Поскольку правые части последних равенств равны, то равны и левые части.

1. Найти интеграл .

2. Найти интеграл .

3. Найти интеграл .

3.1. (Подведение под знак дифференциала)

4. Найти интеграл .

4.1. (Подведение под знак дифференциала)

5. Найти интеграл .

1.4.2. Интегрирование по частям

Теорема: Пусть функции и дифференцируемы на некотором промежутке и на этом промежутке существует интеграл , тогда на нем существует интеграл, причем

Доказательство:

Интегрируя последнее равенство, получим

по условию существует, следовательно, существует и .

Отнеся постоянную к интегралу , получим

1. Найти интеграл .

2. Найти интеграл .

Конспект лектора Красносельского А.М по математическому анализу, раздел Ряды для 1 курса, 3 модуля. — Москва: Высшая школа экономики. — 2016. — 92 c.

Числовые ряды
Ряды с положительными членами
Перестановки членов ряда и условно сходящиеся ряды
Функциональные ряды
Важнейший пример: степенные ряды
Повторные и двойные ряды
Бесконечные произведения.
Неопределённый интеграл
Определённый интеграл Римана
Длина кривой и интеграл по кривой
Несобственные интегралы
Дифференцирование и интегрирование функциональных рядов
Интерполяция

Это временная версия страницы, в дальнейшем будут дополнения.

Первый курс бакалавриата

1–2 модуль: лектор А.М.Левин, преподаватели В.А.Кириченко, С.А.Локтев
3–4 модуль: лектор Ю.С.Ильяшенко, преподаватели А.М.Левин, С.А.Локтев

Второй курс бакалавриата

1–2 модуль: лектор А.И.Эстеров, преподаватели В.А.Тиморин, П.А.Сапонов
3–4 модуль: лектор Г.Л.Рыбников, преподаватели В.А.Тиморин, П.Н.Пятов

Третий и четвертый курс бакалавриата

Модули 1–2: лектор М.Э.Казарян, преподаватель П.Е.Пушкарь.
Модули 3–4: лектор П.Е.Пушкарь, преподаватель А.Г.Горинов.

Модули 1–2: лектор А.В.Клименко, преподаватель А.М.Поволоцкий.
Модули 3–4: лектор А.В.Колесников, преподаватель А.А.Глуцюк.

Магистратура

На факультете есть две магистерских программы — по математике (на английском языке) и по математической физике (на русском). Тем не менее, все магистранты могут посещать любые курсы.

Курсы на английском языке

Курсы на русском языке

Большая часть курсов читается совместно для магистрантов и студентов бакалавриата: Представления конечных групп Квантовая механика Механика и теория поля Прикладные методы анализа Компьютерные вычисления Кроме этого, магистранты 1го года должны изучить один курс по топологии или дифференциальной геометрии: Введение в топологию или Топология или Topology I или Дифференциальная геометрия.

Специально для магистрантов читается курс Дополнительные главы алгебры (модули 1–4); лектор А.М.Левин, преподаватель М.А.Ровинский

Читайте также: