Исследование и построение графиков элементарных функций конспект
Обновлено: 06.07.2024
Загрузить презентацию (451 кБ)
- Обучающие: наглядно продемонстрировать учащимся возможности использования компьютера при построении графиков функции для самоконтроля, экономии времени при построении графиков функций.
- Развивающие:
- развитие интеллектуальных умений и мыслительных операций – анализ и синтез сравнение, обобщение;
- формирование ИКТ компетентности учащихся.
- Постановка цели (2 мин.)
- Подготовка к изучению нового материала. Повторение пройденного материала. (8 мин.)
- Ознакомление с новым материалом (15 мин.)
- Первичное осмысление и применение изученного материала (10 мин.)
- Постановка домашнего задания (2 мин.)
- Подведение итогов урока (3 мин.)
1. Организационный момент
Постановка цели урока. Проверяется подготовленность классного помещения и готовность учащихся к уроку (проверка состояния кабинета, учебного оборудования, рабочих мест и проверка отсутствующих).
2. Повторение, обобщение и систематизация
а) Какие из данных функций являются четными, а какие нечетными: у = 5х, у = (х – 2) 2 , у = 2х + 1, у = – 2х + 3, у = х 3 – 4х.
б) Найти производную: у = х 4 , у = 2/х, у = х 2 /2, у = 1/2х, у = х 6 /22) Подготовка к изучению нового материала
Предварительная работа, направленная на подготовку учащихся к усвоению нового материала, применению имеющихся знаний на уроке.
Работа по группам: 1-я группа учащихся выполняет тест; 2-я группа выполняет самостоятельную работу; 3-я группа учащихся работает с учителем (фронтальный, индивидуальный, дифференцированный опрос).Самостоятельная работа (для учащихся 2-го ряда) №.18 (ДМ, с. 128)
Вопросы учащимся 3-го ряда.
- Сформулируйте признак возрастания и убывания функции.
- Какую точку называют критической точкой функции?
- Сформулируйте правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
Отмечается, что закрепление умений построения графиков функций продолжается. Сегодня же будет рассматриваться примеры построения графиков функций с применением производных. Записывается тема урока: “Исследование функций и построение их графиков”.
Алгоритм исследования функции (слайды)
Для исследования функции необходимо пройти следующие этапы:
1. Находим область определения функции: D(f) – ?
Областью определения функции y = f(x), заданной аналитически, называют множество всех действительных значений независимой переменной х, для каждого из которых функция принимает действительные значения.
Находим область изменения функции: Е(f) – ?
Областью изменения функции f(х) называют множество всех чисел f(х), соответствующих каждому х из области определения функции.- Если f(– x) = f(x), то функция f(x) называется четной. График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси Oy).
- Если f(– x) = – f(x), то функция f(x) называется нечетной. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
3. Выясняем периодичность функции
Если f(x + T) = f(x) при некотором T > 0, то функция y = f(x) называется периодической. График периодической функции имеет одну и ту же форму на каждом из отрезков
…, [–2T; –T], [–T; 0], [0; T], [T; 2T], … .Поэтому достаточно построить график на каком-нибудь одном таком отрезке и затем воспроизвести полученную кривую на остальных отрезках.
4. Находим точки максимума и минимума функции и интервалы возрастания и убывания (интервалы монотонности).
- вычисляем производную f'(x)и находим критические точки функции, т.е. точки, в которых f'(x) = 0 или не существует;
- определяя знак производной, находим интервалы возрастания и убывания функции: если f'(x) > 0, то функция возрастает, если f’(x) 0, то график функции имеет выпуклость вниз;
- если вторая производная меняет знак при переходе через точку xo є D, в которой f''(x) = 0 или не существует, то xo – точка перегиба.
6. Находим асимптоты функции.
а) Вертикальные: находим односторонние пределы в граничных точках
Если такие пределы существуют, то прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у = f(x)
Если выполняется условие то прямая у = kx + b является асимптотой функции .
Коэффициенты k и b можно найти следующим образом:Пример. Исследовать свойства функции у = х/х 2 – 1 и построить её график.
1. Знаменатель выражения х/(х 2 – 1) обращается в нуль при х = – 1 и при х = 1, поэтому D(f) = (– ∞;– 1)U(– 1; 1) U (1; + ∞).
2. Е(f) = R (видно из дальнейшего исследования)
3. f(– х) = – f(х) – функция нечетная.
4. Функция непериодическая.
5. Производная функции в области определения: и f'(x) функция непрерывна и возрастает во всей области определения, точек локального экстремума нет.
6. Вторая производная: f"(x) = 2х(х 2 + 3)/( х 2 – 1) 3 обращается в нуль в единственной точке х = 0
Знак второй производной f"(x)Вторая производная меняет знак только в одной точке х = 0 => xo = 0 – точка перегиба.
На интервалах (– ∞; – 1) и (0; 1) график функции имеет выпуклость вверх, а на интервалах (– 1; 0) и (1; + ∞) выпуклость вниз.Вычислим координаты нескольких точек графика:
График имеет вид:
![]()
Закрепление темы. Решение примеров по учебнику №5.113, 5.117
Домашнее задание
На дом задается прочитать объяснительный текст п.5.11 учебника с.156, решить № 5.115б, в, №5.117б
![]()
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.
Получите невероятные возможности
![]()
![]()
![]()
Конспект урока "Элементарное исследование функций"
Поговорим о свойствах функций. Итак, напомним, что область значений функции – это множество всех значений функции , которые она принимает при всех значениях аргумента из области её определения .
Значения аргумента, при которых функция принимает значение, равное нулю, называется нулями функции.
Промежутки, на которых значения функции либо только положительные, либо только отрицательные, называются промежутками знакопостоянства функции.
Функцию называют возрастающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то есть для любых и , принадлежащих промежутку, из того, что , следует .
Функцию называют убывающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции, то есть для любых и , принадлежащих промежутку, из того, что , следует .
Промежуток, на котором функция убывает или возрастает, называется промежутком монотонности функции.
Число называется наибольшим значением функции на некотором промежутке, если существует из этого промежутка, такое, что , и для любого из этого промежутка выполняется неравенство .
Число называется наименьшим значением функции на некотором промежутке, если существует из этого промежутка, такое, что , и для любого из этого промежутка выполняется неравенство .
Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если функция определена в самой этой точке и в некоторой окрестности точки выполняется неравенство: (для максимума) или (для минимума).
Точки максимума и минимума называются точками экстремума функции. Значение функции в точке экстремума называется экстремумом функции.
Функция , определённая на множестве , называется ограниченной снизу на множестве , если существует число такое, что для любого выполняется неравенство .
Функция , определённая на множестве , называется ограниченной сверху на множестве , если существует число , такое, что для любого , выполняется неравенство .
![]()
Функцию, ограниченную и сверху, и снизу на множестве , называют ограниченной на этом множестве.
Функция является ограниченной на множестве тогда и только тогда, когда существует число такое, что для любого , выполняется неравенство .
Функция называется чётной, если область её определения симметрична относительно нуля и для любого выполняется равенство .
График чётной функции симметричен относительно оси ординат.
Функция называется нечётной, если область её определения симметрична относительно нуля и для любого выполняется равенство .
График нечётной функции симметричен относительно начала координат.
Функция называется периодической с периодом , если , где .
Основные моменты мы с вами повторили, а теперь давайте перейдём к практической части занятия.
![]()
Задание первое. Найдите наибольшее значение функции, заданной формулой .
![]()
![]()
Задание второе. Найдите наименьшее значение функции, заданной формулой .
![]()
![]()
Задание третье. Установите чётность или нечётность функций:
а) , б) .
![]()
![]()
Задание четвёртое. Найдите все значения , при каждом из которых функция имеет более двух точек экстремума.
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Урок по теме :
«Исследование функции
Группа: 210
Учитель: Лупилина Н.В. преподаватель математики
2015 г.
Конспект урока
Тип урока: решения ключевых задач.
Продолжительность: 2 урока
Технологии: технология обучения математики на основе решения задач и информационно-коммуникационные технологии.
Образовательные:
- повторить основные определения и алгоритмы данной темы;
- разобрать типичные ошибки, допущенные в проверочных работах и диагностики в форме ЕГЭ;
- потренироваться в исследовании функции;
- рассмотреть перспективы развития данной темы.
Развивающие:
- формировать умения сравнивать, обобщать изучаемые факты, формировать
информационную компетенцию;- развивать самостоятельность в мышлении и учебной деятельности;
- развивать математическую речь, коммуникативную компетенцию.
Воспитательные:
- воспитание коллективизма и ответственности за общее дело;
- воспитание взаимопомощи;
- побуждение учеников к самоконтролю, взаимоконтролю;
- воспитание интереса к предмету.
Задачи урока:
- выявить уровень усвоения и полноты знаний по данным темам;
- создать условия для самооценки своих возможностей и выбора целей деятельности;
- развивать навыки индивидуальной, групповой и самостоятельной работы;
- вызывать потребность в обосновании своих высказываний.
Оборудование:
1. Самоопределение к деятельности
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность;
определить содержательные рамки урока
- Что продемонстрировали результаты проверочной работы? (В данной теме еще есть проблемы).
И мне кажется, что нам под силу достичь этого единства, но при условии…(продолжить)
- Давайте определимся с темой урока, целью и задачами
- Какую цель и задачи мы поставим на уроке? )
Задачи урока :
- повторить основные определения и алгоритмы данной темы;
- разобрать типичные ошибки, допущенные в проверочных работах и диагностики в форме ЕГЭ;
- потренироваться в исследовании функции;
- рассмотреть перспективы развития данной темы.
Откройте тетрадь и запишите тему.
2. Актуализация знаний и фиксация затруднения в деятельности
актуализировать учебное содержание, необходимое и достаточное для решения задач;
актуализировать мыслительные операции, необходимые и достаточные для
восприятия материала: сравнение, анализ, обобщение;
зафиксировать индивидуальное затруднение в деятельности
- Но данная тема очень объемна по материалу и одним занятием её невозможно охватить. Как по-вашему стоит организовать урок, чтобы он стал плодотворным? (Есть смысл остановиться на тех пунктах исследования, где допускались ошибки- D(f), E ( f ), применение четности функции к решению задач, промежутки знакопостоянства и монотонности, асимптоты).
- На данном уроке мне бы хотелось занять место оппонента 210 группы и посмотреть, как группа самостоятельно справится с поставленными задачами
Повторяем и систематизируем знания по плану:
Повторение теоретических основ.
Выявление места и причины ошибки.
Решение устных и письменных задач с комментарием у доски.
Область определения:
Перечислите условия, которые накладываются при нахождении D(f)
Ошибки при решении логарифмических, показательных, тригонометрических неравенств и систем
Урок алгебры в 9 классе по теме "Основные этапы исследования элементарных функций" является повторительно-обобщающим перед контрольной работой. Целью урока является развитие навыков чтения графиков функций и отработка каждого пункта алгоритма исследования функции на аналитических и графических представлениях.
Задачи урока
- Повторить основные понятия по данной теме:
- Область определения функции;
- Область значений функции;
- Возрастание и убывание функции;
- Ограниченность функции;
- Выпуклость функции;
- Четные и нечетные функции и расположение их графиков;
- Уметь применять теоретический материал к исследованию элементарных функций, заданных графическим и аналитическим способами;
- Подготовиться по данной теме к экзамену за курс основной школы.
Вложение Размер urok_po_teme_osnovnye_etapy_issledovaniya_elementarnykh_funktsiy.doc 568 КБ osnovnye_etapy_issledovaniya_funktsiy.ppt 1.43 МБ Предварительный просмотр:
Урок по алгебре по теме
Исследование свойств функции имеет в алгебре и ее приложениях большое практическое значение. Поэтому на всех уроках этой темы учитель должен систематизировать план исследования, проводя сравнительный анализ свойств различных функций.
2.Целеполагание, определение учебных задач.
Цель урока: развитие навыков чтения графиков функций и отработка каждого пункта алгоритма исследования функции на аналитических и графических представлениях.
Учитель: Что необходимо сделать на уроке, чтобы достичь поставленной темы? Учащиеся высказывают мнения, учитель обобщает, приходят к единому мнению.
- Повторить основные понятия по данной теме:
- Область определения функции;
- Область значений функции;
- Возрастание и убывание функции;
- Ограниченность функции;
- Выпуклость функции;
- Четные и нечетные функции и расположение их графиков;
- Уметь применять теоретический материал к исследованию элементарных функций, заданных графическим и аналитическим способами;
- Подготовиться по данной теме к экзамену за курс основной школы.
3.Этап актуализации знаний учащихся.
Устная работа. Фронтальный опрос. За каждый верный ответ даётся 2 балла. С небольшой помаркой, но в целом верный ответ – 1 балл. В итоге все баллы суммируются. Результат – отметка за урок.
Учитель: Повторяем теорию.
1. Сформулируйте понятие области определения функции. Если даны числовое множество Х и правило f, позволяющее поставить в соответствие каждому элементу х из множества Х определённое число y, то говорят, что задана функция y = f(x) с областью определения Х. При этом переменную х называют независимой переменной или аргументом, а переменную y – зависимой переменной.
2.Что такое область значений функции? Множество значений функции y = f(x), x X называют областью значений функции и обозначают E(f).
3.Найти область определения и область значений функций, представленных на слайде.
3) D(y)=[ , E(y) =[ ; 4) D(y)=( , E(y) =( ; 5) D(y)=( ,
E(y) =( ; 6) D(y)=( , E(y) =( ; 7) D(y)=( , E(y) =( .
4. Какое свойство функции показано на следующих рисунках. Дайте определение.
На рисунках показаны возрастающая и убывающая функции.
Функцию y = f(x) называют возрастающей на множестве , если для любых двух элементов x 1 и x 2 множества Х, таких, что x 1 x 2 , выполняется неравенство f(x 1 ) f(x 2 ).
Функцию y = f(x) называют убывающей на множестве , если для любых двух элементов x 1 и x 2 множества Х, таких, что x 1 x 2 , выполняется неравенство f(x 1 ) f(x 2 ).
Правильно, иными словами, функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции; функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
5. Дайте определение свойству функции, показанном на следующем слайде.
На слайде показана ограниченная функция.
Функцию y = f(x) называют ограниченной снизу на множестве , если существует число m такое, что для любого значения x выполняется неравенство
Функцию y = f(x) называют ограниченной сверху на множестве , если существует число М такое, что для любого значения x выполняется неравенство
Если функция ограничена и снизу и сверху, то её называют ограниченной.
Ограниченность функции легко прочитать по её графику: функция ограничена снизу – это значит, что её график целиком расположен выше некоторой горизонтальной прямой y = m (на первом рисунке); функция ограничена сверху – это значит, что её график целиком расположен ниже некоторой горизонтальной прямой y = M (на втором рисунке).
Считается, что функция выпукла вниз на промежутке Х, если, соединив любые две точки её графика отрезком прямой, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка (рисунок №1). Функция выпукла вверх на промежутке Х, если, соединив любые две точки её графика отрезком прямой, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка (рисунок №2).
7. Какое множество называется симметричным?
Если числовое множество Х вместе с каждым своим элементом х содержит и противоположный элемент – х, то данное множество Х является симметричным.
1) Симметричное множество. 2) Несимметричное множество. 3) Несимметричное множество.
4) Симметричное множество. 5) Несимметричное множество. 6) Симметричное множество.
8. С каким свойством функции связано понятие симметричное множество?
Со свойством четности и нечетности функции.
Дать определение четной функции и нечетной функции.
Функцию y = f(x), x X называют чётной , если для любого значения х из множества Х выполняется равенство f(-x) = f(x). Функцию y = f(x), x X называют нечётной, если для любого значения х из множества Х выполняется равенство f(-x) = - f(x).
Можно ли по графику определить является ли функция чётной, нечётной или не является ни той ни другой?
Если график функции y = f(x) симметричен относительно оси Y, то y = f(x) – четная.
Если график функции y = f(x) симметричен относительно начала координат, то y = f(x) – нечетная.
Правильно. В этом и состоит геометрический смысл свойства четности и нечетности функции.
Верно и обратно: График четной функции симметричен относительно оси Y. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Задание из вариантов ГИА. Какая из функций является чётной?
У вас есть памятка – алгоритм исследования функции на чётность. Сегодня на уроке нам он понадобится.
4. Выполнение учащимися (индивидуально и коллективно) письменных заданий обобщающего и систематизирующего характера.
1) Работа в группах.
Используя основные этапы исследования элементарных функций, прочитать график. Обсудить в группах, аргументировать, придти к единому мнению, предложить классу.
(Учащиеся работают в группах по четыре человека. Используют памятку с основными этапами исследования элементарных функций (Приложение 2). Результат озвучивают классу. Выступающему – 5 баллов. За дополнения, уточнения, математические замечания - 2 балла).
2) Индивидуальное письменное задание.
Учитель выступает в роли консультанта. Первым трём учащимся, выполнившим задание, дополнительно до 5 баллов.
3) Выполнить задание у доски с полным объяснением. Один учащийся у доски, остальные - на месте.
Учащийся работает на отметку. Баллы не начисляются. Если в классе найдутся обучающиеся, которые решают задание быстрее, чем решение появится на доске, дополнительно до 5 баллов.
5. Контроль и самопроверка знаний.
Учащиеся выполняют тест (Приложение 3).
6. Подведение итогов занятий.
Учащиеся делают выводы по уроку.
Повторили основные понятия по данной теме:
- Область определения функции;
- Область значений функции;
- Возрастание и убывание функции;
- Ограниченность функции;
- Выпуклость функции;
- Четные и нечетные функции и расположение их графиков.
Применили теоретический материал к исследованию элементарных функций, заданных графическим и аналитическим способами.
Читайте также:
