Интегралы и производные конспект

Обновлено: 07.07.2024

Тип урока: урок комплексного применения знаний, умений и навыков.

Цель урока: формирование умений, творческого применения знаний в комплексе.

Ход урока:

1 этап: устная работа по повторению правил и формул вычисления производных и первообразных.

2 этап: работа в группах по отработке навыков вычисления производной и первообразной.

3 этап: проверка выполненной работы, выборочные ответы у доски.

4 этап: комментирование домашнего задания, итог урока – самостоятельная работа.

I этап.

Устная работа.

1. На доске заготовлена таблица формул и правил вычисления производных и первообразных, в которых допущены ошибки.

Найти ошибку в записи правил:

Найти ошибку в записи формул:

2. На доске записаны следующие функции:

а) назовите функции, для которых при нахождении производной и первообразной применено правило вынесения множителя за знак производной и первообразной;
б) найти и для функции ;
в) перечислите функции, производная и первообразная которых находятся по правилу суммы;
г) найти и для функции .

3.Укажите последовательность нахождения производной сложной функции; формулы, которые применяются:

II этап

Работа в группах.

Все учащиеся класса разбиваются на 5 групп по своим учебным способностям. Группа № 1 получает карточки с I вариантом; № 2 – со II вариантом; № 3 – с III вариантом; № 4 – c IV вариантом; № 5 – с V вариантом.

В классе стоят круглые столы. За стол № 1 садятся ученики, у которых будут все 5 вариантов. И так за каждый собирается группа из 5 человек с разными вариантами с I по V. Каждый ученик в течение 25 минут работает самостоятельно с карточкой своего варианта (карточки смотрите в приложении). После выполнения работы я прошу учеников переместиться так, чтобы за столом №1 собрались ученики, у которых был I вариант, за столом № 2 – II вариант и т.д.

На каждый стол выдается конверт, в котором находятся ответы к данному варианту и контрольный лист с критериями оценок. Учащимся отводится время (10 минут) для проверки своего решения, выставления оценок, исправления ошибок.

III этап

Проверка выполненной работы.

Ребята проверяют свои работы, разбирают в группе свои ошибки, выставляют оценки. В карточках первые 5 заданий были даны для тренажа. Проверку выполненной работы у доски начинаем с 6 задания. У доски рассматриваются более сложные и интересные задания. Отвечающего ученика выбирает группа или назначает учитель. Решение задания, которое разбирается у доски, другие группы записывают в тетрадь. Задаются вопросы, уточняется решение и оформление задания.

IV этап

Домашнее задание.

Составить карточку проверочной работы аналогичную своему варианту, приложив свое решение. Карточка с заданием и ее решение должны быть оформлены на отдельных листах. За составление и решение этого задания оценка выставляется в журнал.

V вариант

Самостоятельная работа.

Учащиеся снова собираются в группы, как сидели первоначально, т.е. за одним столом все 5 вариантов. Каждый ученик получает индивидуальный вариант.

I вариант.

II вариант

III вариант

1. Найти производную функции:

а) и ;

б) и ;

в) и вычислите ;

г) и вычислите ..

2. Решить уравнение , если , .

IV вариант

1. Найти производную функции:

а) и ;

б) и ;

в) и вычислите;

г) и вычислите .

2. Решить уравнение , если , .

V вариант

1. Найти производную функции:

а) и ;

б) и ;

в) и вычислите ;

г) и вычислите .

2. Решить уравнение , если , .

Задания для работы в группах.

I вариант.

1. рис.116; рис.117 ; рис.118 .

2. рис.119; рис.120 ; рис.121 .

3. рис.122; рис.123 ; рис.124 .

4. рис.125; рис.126 ;

5.рис.127; рис.128 ; рис.129.

6. Решить уравнениерис.130, если рис.131.

7. Найти значения рис.133, при которых первообразная функции рис.134 равна нулю.

8. Найти первообразную функции рис.135, график которой проходит через точку с координатами рис.136. Построить ее график.

II вариант.

1.; ; .

2. ; ; .

3. ; ; .

4. ; ;

5. ; ; .

6. Решить уравнение , если .

7. Найти значения x, при которых первообразная функции равна нулю.

8. Найти первообразную функции , график которой проходит через точку с координатами . Построить ее график.

III вариант.

1. ; ; .

2. ; ; .

3. ; ; .

4. ; ;

5. ; ; .

6. Решить уравнение , если рис. .

7. Найти значения , при которых первообразная функции равна нулю.

8. Найти первообразную функции , график которой проходит через точку с координатами . Построить ее график.

IV вариант.

1. ; ; .

2. ; ; .

3. ; ; .

4. ; ; .

5. ; ; .

6. Решить уравнение , если .

7. Найти значения x, при которых первообразная функции равна нулю.

8. Найти первообразную функции , график которой проходит через точку с координатами . Построить ее график.

V вариант.

1. ; ; .

2. ; ; .

3. ; ;

4. р; ; .

5. ; ; .

6. Решить уравнение , если .

7. Найти значения x, при которых первообразная функции равна нулю.

8. Найти первообразную функции , график которой проходит через точку с координатами . Построить ее график.

Производной функции в данной точке называется предел разностного отношения:

Уравнение касательной к графику данной функции в данной точке y=f(x)+f '(x₀)(x-x₀)

Функция у=f(x) возрастает на промежутке (a; b), если для любых х₁, х₂ из этого промежутка, таких, что х₁ у₂. Иными словами, меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Точка х₁ называется точкой максимума функции f, если для всех х из окрестности точки х₁ выполняется неравенство f(x) f(x₂).

Для точек максимума и минимума принято общее название – точки экстремума.

Значения функции в этих точках называют соответственно максимумами и минимумами. Их общее название – экстремум функции.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке (a; b), если f(x)=F'(x) в каждой точке промежутка (a; b).

Дифференциальные уравнения связывают функцию и ее производные различных порядков. В дифференциальном уравнении в качестве неизвестной выступает не число, а функция.

Решением дифференциального уравнения называют любую функцию, при подстановке которой в это уравнение получается тождество.

Фигура, ограниченная графиком неотрицательной функции f(x), заданной на отрезке [a; b], отрезком [a; b] и прямыми x=a и x=b, называется криволинейной трапецией.

Разность значений первообразной F для функции f точках b и a называется определенным интегралом этой функции от a до b.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни– 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики - 4-е изд. - М.: Просвещение, 1995. - 288 с.: ил. - ISBN 5-09-0066565-9, сс. 7-50

Открытые электронные ресурсы:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Определение производной

Напомним, что производной функции в заданной точке называется предел разностного отношения:

Напомним правила вычисления производных:

Найти производную функции:

2. Решение задач с помощью производной.

Напомним, что геометрический смысл производной - это угловой коэффициент касательной. Те есть значение производной в данной точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в заданной точке: f'(x₀)=k_кас.(x0)

Найдем угол, под которым график функции пересекает ось абсцисс.

Найдем производную данной функции: .

Так как нам нужно узнать угол, под которым график функции пересекает ось абсцисс, нам нужно найти эти точки пересечения. Для этого решим уравнение: .

То есть график данной функции пересекает ось абсцисс в трех точках с найденными абсциссами.

Угол пересечения графика функции оси абсцисс - это угол, под которым касательная, проведенная к графику данной функции в точке с соответствующей абсциссой, пересекает ось абсцисс.

Угловой коэффициент касательной - это тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс. Поэтому нужно найти значение производной данной функции в точках пересечения ее графика с осью абсцисс.

, , угол тупой, функция убывает

, , угол острый, функция возрастает

, угол острый, функция возрастает

Вспомним механический смысл производной.

Производная - это скорость материальной точки, положение которой изменяется по заданному закону.

Движение материальной точки описывается данным уравнением:

x(t) = 4+5t – 6t 2 + 2t 3 .

Найти скорость и ускорение точки в момент времени 3.

Теперь напомним решение задачи на наибольшее и наименьшее значение, которая также решается с помощью производной.

Найти прямоугольник наибольшей площади, вписанный в окружность радиуса R.

Рисунок 1 - Иллюстрация к задаче 3

Исследуем функцию

При

Прямоугольником наибольшей площади, вписанным в круг радиуса R, является квадрат со стороной .

3. Теперь перейдем к повторению первообразной и интеграла.

Все первообразные для данной функции отличаются друг от друга на константу

Покажем, что функция является первообразной для функции .

Найдем производную: .

Преобразуем полученную функцию:

Получили функцию f(x).

4. Решение задач

Найдите первообразную для функции , удовлетворяющую заданным условиям: F(1)=6.

Для функции первообразными является функции вида

Ответ:

Точка движется прямолинейно с ускорением

Найдите закон движения точки, если в момент времени t=1с ее скорость равна 10м/с, а координата равна 12 (единица измерения ускорения 1м/с 2 )

Так как , то v(t) - первообразная для функции a(t).

Так как , то s(t) - первообразная для функции v(t).

Ответ:

Вычислите объем тела, ограниченного плоскостями x=0, x=0,5 , площадь сечения которого плоскостью, параллельной плоскости yOz и отстоящей от нее на расстоянии х, меняется по закону:

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками следующих функций.

Рисунок 2 - Иллюстрация к задаче 6.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. Найдите аргумент, при котором функция достигает наибольшего значения на отрезке [-3; -1].

Найдем производную данной функции, сначала преобразуем функцию, выделив целую часть: .

Теперь найдем производную:

Полученная производная изменяет свой знак в точках 2 и -2, в точке 0 функция и производная не определены.

Так как задан отрезок [-3; -1], то рассмотрим поведение производной вокруг точки -2.

Так как на данном отрезке функция имеет единственную точку экстремума (максимум), то наибольшее значение она принимает в этой точке.

2. Вычислите массу участка стержня от x_1 до , если его линейная плотность задается формулой .

Масса участка стержня на заданном участке выражается интегралом: .

Для того чтобы найти массу участка стержня от до x_2, если его линейная плотность задается формулой , вычислим интеграл:

Ответ: .

3. Найти путь, пройденный при свободном падении телом за первые 5 секунд (ускорение равно 9,8 м/с 2 )

Скорость в момент времени t равна 9,8t.

Значит, путь, пройденный за промежуток времени [0; 5], выражается определенным интегралом:

Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл. Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?

Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать простейшие и другие интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись в математике.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц, но суть вещей не изменилась.

Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о пределах и производных, необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x).

Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x), производная которой равна функции f(x).

Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как вычислять производные, читайте в нашей статье.

Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Простой пример:

Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.

Полная таблица интегралов для студентов

Определенный интеграл

Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.

Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции? С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:

Точки а и b называются пределами интегрирования.

Бари Алибасов и группа

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Как решить неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

Константу можно выносить из-под знака интеграла:

Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

Свойства определенного интеграла

Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:

Как считать определенный интеграл? С помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Мы уже выяснили, что определенный интеграл – это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

Примеры решения интегралов

Ниже рассмотрим неопределенный интеграл и примеры с решением. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.

Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Тип урока: контроль и коррекция компетенций, форма проведения - зачет.

Организационный момент проведен с использованием системы голосования.

Этап целеполагания и мотивации организован с использованием методического приёма – эпиграфа (высказывания выдающегося человека), мотивируя студентов на активизацию деятельности, включение в деловой ритм урока.

Этап контроля составной, направленный на всесторонний контроль компетенций, приобретенных студентами на предшествующих уроках. Используются методы тестирование (программируемый контроль), письменный (кроссворд, лови ошибку), практический (решение задач на нахождение производной, интегралов).

В центре активности урока: рабочий лист контроля, таблица самооценки.

Вложение	Размер
Разработка урока математики	137.5 КБ

Предварительный просмотр:

Производная и интеграл

Проверить уровень сформированности компетенций по теме: Производная и интеграл
Развивать математическое мышление
Формировать способность к самооценке, учить приемам самоконтроля

Контроль теоретических знаний по теме
Контроль умений и практического опыта нахождения производной и интеграла

Личностные УУД : понимать значимость понятий производная и интеграл в курсе математики и в профессиональной деятельности.
Регулятивные УУД : понимать последовательность действий на уроке; рационально использовать время на уроке; контролировать свою деятельность; давать эмоциональную оценку своей деятельности на уроке.
Коммуникативные УУД : работать в паре, оценивать качество своей деятельности.
Познавательные УУД : применять таблицы производных и интегралов для нахождения производных и интегралов.

Владеть таблицами производных и интегралов.
Дифференцировать и интегрировать функции.

1. Формирование математического кругозора.
Метапредметные:

1. Формирование общих способов интеллектуальной деятельности, характерных для математики и являющихся основой познавательной культуры, значимой для строительной сферы.

Производная, смысл производной, дифференцирование, интеграл, под интегральная функция, таблицы производных и интегралов, их применение, функция

ОП.03. Основы электротехники

1. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н. Н. и др. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни). 11 кл.- М., 2009.

Ф – фронтальная, И – индивидуальная, П - парная

Контроль и коррекция компетенций

Системно - деятельностная основа урока математики по теме: Производная и интеграл

Преподаватель: Гусева Елена Борисовна

Система голосования votum

Приветствие студентов, выявление присутствующих и отсутствующих на уроке.

Приветствие преподавателя, регистрация в системе голосования.

2. Целеполагание и мотивация

Формулировка темы, цели, эпиграфа урока. Настраивание студентов на деятельность.

мотивировать студентов на работу;
сосредоточить внимание группы;
помочь студентам быстро включиться в деловой ритм занятия.

Метод : словесный, беседа.

Непосредственная подготовка к занятию. Подготовка раздаточного материала к использованию: запись ФИО, группы в рабочий лист контроля.

3. Контроль и коррекция компетенций

Презентация, рабочий лист

Преподаватель предлагает студентам выполнить контрольные задания, при необходимости консультируя:

1 этап: Программируемый контроль (тестирование с помощью системы Votum):

Определите понятие: Предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной, стремящейся к нулю, называется…

а) Производной функции ;

б) Неопределённым интегралом;

в) Определенным интегралом;

2. Определите понятие: Дифференцированием называется…

а) Совокупность всех первообразных;

б) Приращение независимой переменной;

в) Процесс нахождения производной;

г) Интеграл от алгебраической суммы.

3. Выберите из предложенных понятие, соответствующее следующему определению: Производная пути по времени S’(t 0 ) есть скорость точки в момент t 0

а) Геометрический смысл производной;

б) Механический смысл производной ;

в) Определение производной;

г) Определение интеграла.

5. Выберите математическую запись следующего утверждения: Производная суммы равна сумме производных

6. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

7. Продолжите предложение: Геометрический смысл определенного интеграла заключается в …

а) Приращении функции;

б) Наклоне касательной;

в) Ограничении криволинейной трапеции;

г) Равенстве площади.

8. Определите понятие: Если в каждой точке х промежутка X F’(x)=f(x), то F(x) для функции f(x) называется…

9. Определите понятие: Совокупность всех первообразных для функции f(x) на промежутке Х называется…

а) Определенным интегралом;

в) Неопределенным интегралом;

10. Выберите словесное описание формулы:

а) Постоянный множитель можно выносить за знак производной ;

б) Интеграл от алгебраической сумы двух функций равен сумме интегралов от этих функций;

в) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции;

г) Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

После окончания теста преподаватель оглашает результаты.

2 этап: Найди ошибку (в левом столбце записаны формулы нахождения производных и интегралов. Если в формуле нет ошибки, то в правом столбце ставим прочерк (-), если ошибка есть, то в правом столбце нужно написать верную формулу). Время на выполнение задания – 8 минут.

символом , причем f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx –

подынтегральным выражением, х – переменной интегрирования, знак - знаком

интеграла. Таким образом, по определению

Свойства неопределенного интеграла:

Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла

Интеграл от суммы двух функций, равен сумме интегралов от этих функций

Таблица основных интегралов

Замена переменной интегрирования

Пусть дана непрерывная функция y=f(x), где x = y(t) и y(t) – функция, имеющая непрерывную производную. Тогда f(x) = f[φ(t)], dx =

Читайте также: