Функции их свойства и графики конспект урока 10 класс
Обновлено: 07.07.2024
Повторить графики базовых функций и их преобразования: сдвиги по осям координат. Научиться строить графики функций с модулями. Целью урока также является развитие внимания, памяти, логического мышления и повышение интереса к предмету.
Вступительное слово учителя:
Сегодня мы закрепим ваши знания и умения строить графики функций, в частности путём преобразования графиков базовых функций, научимся строить графики функций, содержащих модули, и напишем самостоятельную работу для проверки полученных знаний.
уметь: вычислять значение функции по заданному значению аргумента при различных способах задания функции; определять основные свойства числовых функций, иллюстрировать их на графиках; строить графики изученных функций, иллюстрировать по графику свойства элементарных функций;
владеть: владение стандартными приемами решения рациональных и иррациональных уравнений и неравенств, их систем
Норма времени: 2 часа
Вид занятия: Лекция вводная
Тип занятия: ИПЗНЗ
План занятия:
1. Понятие функции
2. Понятие графика функции
3. Основные свойства функций.
Оснащение: доска, мультимедийный комплекс, презентация
Атанасян Л.С. Геометрия: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2014, –255 с.
Никольский С. М. Алгебра и начала математического анализа для 10 кл.: Учебник для общеобразовательных учреждений / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014 г., – 431 с.
Никольский С.М. Алгебра и начала мат. Анализа для 11кл. : Учебник для общеобразовательных учреждений / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014 г. - 464 с.
Башмаков, М. И. Математика [Текст] : задачник для студентов учреждений среднего профессионального образования / М. И. Башмаков. - 5-е изд., стер. - М. : Академия, 2014. - 416 с. - (Профессиональное образование. Общеобразовательные дисциплины)
Башмаков, М. И. Математика [Текст] : учебник для студентов учреждений среднего профессионального образования / М. И. Башмаков. - 10-е изд., стер. - М. : Академия, 2015. - 256 с. - (Профессиональное образование. Общеобразовательные дисциплины)
Гусев, В. А. Математика для профессий и специальностей социально-экономического профиля [Текст] : учебник / В. А. Гусев, С. Г. Григорьев, С. В. Иволгина. - 7-е изд., стер. - М. : Академия, 2014. - 416 с. - (Профессиональное образование. Общеобразовательные дисциплины)
Преподаватели: Анафиева С.З.
Тема: Функции и их графики.
План занятия:
1. Понятие функции
2. Понятие графика функции
3. Основные свойства функций.
Вопрос 1. Понятие функции
Функция - зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у. Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Все значения независимой переменной (переменной x) образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная (переменная y), образуют область значений функции.
Вопрос 2. Понятие графика функции
Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции, тоесть по оси абсцисс откладываются значения переменной x, а по оси ординат откладываются значения переменной y.
Вопрос 3. Основные свойства функций.
1) Область определения функции и область значений функции.
Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция y = f(x) определена. Область значений функции - это множество всех действительных значений y, которые принимает функция.
В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.
2) Нули функции.
Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.
3) Промежутки знакопостоянства функции.
Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.
4) Монотонность функции.
Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
5) Четность (нечетность) функции.
Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
6) Ограниченная и неограниченная функции.
Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.
7) Периодичность функции.
Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими.
Вопросы для самоконтроля
Дать определение функции.
Дать определение графика функции.
Перечислить свойства функции
-75%
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
План-конспект урока
по алгебре для 10 класса по теме
« Функции y=sin x и y=cos x.
Степанеев Николай Владимирович,
учитель математики и информатики,
· Образовательные: дать определения тригонометрическим функциям y=sinx и y=cosx; рассмотреть основные свойства тригонометрических функций; показать графики тригонометрических функций.
· Развивающие: способствовать развитию умений анализировать, устанавливать связи, причины и следствия; предвидеть возможные ошибки и способы их устранения; способствовать повышению концентрации внимания, развитию памяти и речи.
1. Организационный момент.
2. Проверка домашнего задания.
3. Актуализация знаний.
4. Ознакомление учащихся с новым материалом.
5. Закрепление учебного материала.
6. Постановка задания на дом.
7. Подведение итогов урока.
Действия учителя
Действия ученика
1. Организационный момент.
Приветствие, объявление темы и целей урока.
Класс приветствует учителя. Дежурный говорит, кто отсутствует.
2. Проверка домашнего задания.
Глава 3, п. 3.2, №3.19. Вызвать ученика к доске.
№3.19 Задайте формулой периодическую функцию f с наименьшим положительным периодом Т, равным:
1) 2; Ответ:
2) 5; Ответ:
3) ; Ответ:
4) . Ответ:
Один учащийся записывает решение домашнего задания у доски, а затем класс сверяется с его решением.
3. Актуализация знаний
Вопросы к группе:
- какие функции вы уже знаете?
- дайте определение функции;
- что называется областью определения функции?
- что называется графиком функции?
Отвечают на вопросы с места
4. Ознакомление учащихся с новым материалом.
1. Функция. Область определения и область значений функции.
Функцией называется зависимость переменной y от переменной x ,при которой каждому x ставится в соответствие единственное значение y .
При этом x называется независимой переменной (аргументом), а y – зависимой переменной (функцией).
Обозначается функция: y = f ( x ) .
Областью определения функции D ( f ) называется множество всех значений переменной x , при которых данная функция имеет смысл.
Областью значений функции Е( f ) называется множество, состоящее из всех чисел f ( x ) , таких, что x принадлежит области определения функции f .
Функцию f называют чётной, если для любого x из области определения функции выполняется равенство: f (-х)= f (х) .
Функцию f называют нечётной, если для любого x из области определения функции выполняется равенство: f (-х)= - f (х) .
2. Функция синус.
Числовая функция, заданная формулой y = sinx , называется функцией синус.
Область определения функции синус – множество всех действительных чисел, т.е. D ( sin )= R .
Областью значений функции синус является отрезок [-1;1], т.е. E ( sin )=[-1;1].
Синус – нечётная функция, т.е. для любого числа x выполняется равенство sin (- x ) = - sin x
Синус периодическая функция с пределом Т=2π, т.е. для любого x выполняется равенство sin ( x +2 πn ) = sin x , где n – произвольное целое число.
График синуса называется синусоидой.
3. Функция косинус.
Числовая функция, заданная формулой y = cosx , называется функцией косинус.
Область определения функции косинус – множество всех действительных чисел, т.е. D ( cos ) = R .
Областью значений функции косинус является отрезок [-1;1], т.е. E ( cos )=[-1;1] .
Косинус чётная функция, т.е. для любого x выполняется равенство cos (- x ) = cos x .
Косинус периодическая функция с периодом T = 2π, т.е. для любого x выполняется равенство cos ( x +2 πn )= cos x , где n – произвольное целое число.
График косинуса называется косинусоида.
Слушают и записывают в тетрадь.
5. Закрепление учебного материала
Решаем примеры для закрепления.
№3.29 (неч.) Решите уравнение:
1) ;
Ответ:
3) ;
Ответ:
5) ;
Ответ:
7) .
Ответ:
№3.46 (неч.) Решите уравнение:
1) ;
Ответ:
3) ;
Ответ:
5) ;
Ответ:
7) .
Ответ: или
Решают по очереди у доски
6. Домашнее задание
Глава 3, п. 3.3,3.4, №3.29 (ч), №3.46(ч)
№3.29 (ч.) Решите уравнение:
2) ;
Ответ:
4) ;
Ответ:
6) ;
Ответ:
8) .
Ответ:
№3.46 (ч.) Решите уравнение:
2) ;
Ответ:
4) ;
Ответ:
6) ;
Ответ:
8) .
Ответ: или
Функция -это соответствие между элементами двух множеств, установленное по такому правилу f, что каждому элементу x из множества Х ставится в соответствие единственный элемент y из множества Y.
Основная литература:
Калягин Ю. М., Ткачева М. В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Базовый и углублённый уровни. - М.: Просвещение, 2017.
Дополнительная литература:
Ткачева М. В., Федорова Н. Е. Алгебра и начала математического анализа. Тематические тесты. 10 класс. Базовый и профильный уровни. 2016.
Шабунин М. И., Ткачева М. В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 10 класс. Профильный уровень.2016.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Функцией называется закон f по которому каждому элементу x из множества Х ставится в соответствие единственный элемент y из множества Y. Формула y=f(x) обозначает функцию, то есть зависимость одной переменной от другой. Где x - независимая величина, или аргумент, y - зависимая величина.
D(y) - область определения функции или допустимые значения аргумента. Это все значения x, при которых функция имеет смысл.
E(y) - область значений функции. Это все значения, которые принимает y, при допустимых значениях x.
Существует 3 способа задания функции:
- аналитический (с помощью формул);
Самая простая функция – прямая пропорциональность. Выражается формулой у = kx, где коэффициент пропорциональности k ≠ 0.
Обратная пропорциональность выражается формулой у .
Рассмотрим следующие функции:
- линейная функция: y= kx+b;
Графиком квадратичной функции является парабола. Точка А – вершина параболы имеет абсциссу.
Графиком функции является гипербола.
1. Автомобиль движется со скоростью 50 км/ч. Зависимость пути S от времени t выражается формулой: S=50t. Это зависимость - значит, функция.
2. В экономике изучается график спроса и предложения в зависимости от цены. Как правило, чем выше цена, тем меньше спрос. Это тоже функция.
Линейная и квадратичная функции.
Рассмотрим свойства линейной и квадратичной функции.
Зависимость положения графиков данных функции от ее коэффициентов определятся положением точки при х=0.
Если коэффициенты k одинаковые, графики линейной функции параллельны, если разные пересекаются. Если k =0 прямая параллельна оси ОХ.
Если старшие коэффициенты квадратичной функции одинаковы, то графики можно получить сдвигом.
Зависимость свойств квадратичной функции от дискриминанта определяет наличие корней или точек пересечения графика с осью абсцисс.
Если дискриминант больше нуля два корня, то есть две точки на оси абсцисс. Если равен нулю один корень или одна точка. Если меньше нуля график не пересекает ось абсцисс.
Пусть – координаты вершины параболы. Если , то a и b разных знаков, если , то a и b одинаковых знаков.
Рассмотрим схему исследования свойств функции: находим ООФ, ОЗФ, нули функции, промежутки знакопостоянства, промежутки монотонности.
Эти функции можно рассматривать как модели некоторых реальных процессов в физике, экономике, медицине, статистике и других науках. Например, квадратичная функция описывает равноускоренное движение. Камень, брошенный под углом к горизонту, снаряд, выпущенный из пушки, летят по траектории, имеющей форму параболы.
Парабола обладает оптическим свойством: все лучи, исходящие из источника света, находящегося в фокусе параболы, после отражения направленны параллельно его оси. Это свойство используется при изготовлении оптических устройств: линз, прожекторов, фар, фонариков.
Лучи солнца приходят на Землю в виде пучка параллельных лучей, двигающихся вдоль оси параболы, отражаясь, собираются в его фокусе. Это свойство – основа создания телескопов, антенн, локаторов, зеркала которых имеют параболическую форму.
Задания тренировочного модуля с разбором.
Найдем корни квадратного трехчлена: . Расставим точки на числовой прямой. Покажем чередование знаков + - +. Выбираем промежутки (–∞; –1) (-1; +∞).
Найдите наибольшее и наименьшее значение функции
y=(x-3)^2 на отрезке [-2,5].
Наибольшее или наименьшее значение квадратичная функция достигает в вершине параболы. Найдем .
Читайте также: