Формулы суммы и разности тригонометрических функций конспект

Обновлено: 06.07.2024

Основные формулы тригонометрии - это формулы, устанавливающие связи между основными тригонометрическими функциями. Синус, косинус, тангенс и котангенс связаны между собой множеством соотношений. Ниже приведем основные тригонометрические формулы, а для удобства сгруппируем их по назначению. С использованием данных формул можно решить практически любую задачу из стандартного курса тригонометрии. Сразу отметим, что ниже приведены лишь сами формулы, а не их вывод, которому будут посвящены отдельные статьи.

Основные тождества тригонометрии

Тригонометрические тождества дают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, позволяя выразить одну функцию через другую.

sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α · c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α + 1 = 1 sin 2 α

Эти тождества напрямую вытекают из определений единичной окружности, синуса (sin), косинуса (cos), тангенса (tg) и котангенса (ctg).

Формулы приведения

Формулы приведения позволяют переходить от работы с произвольными и сколь угодно большими углами к работе с углами в пределах от 0 до 90 градусов.

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

Формулы приведения являются следствием периодичности тригонометрических функций.

Тригонометрические формулы сложения

Формулы сложения в тригонометрии позволяют выразить тригонометрическую функцию суммы или разности углов через тригонометрические функции этих углов.

Тригонометрические формулы сложения

sin α ± β = sin α · cos β ± cos α · sin β cos α + β = cos α · cos β - sin α · sin β cos α - β = cos α · cos β + sin α · sin β t g α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α · t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β

На основе формул сложения выводятся тригонометрические формулы кратного угла.

Формулы кратного угла: двойного, тройного и т.д.

sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 · t g α 1 - t g 2 α с t g 2 α = с t g 2 α - 1 2 · с t g α sin 3 α = 3 sin α · cos 2 α - sin 3 α , sin 3 α = 3 sin α - 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α - 3 sin 2 α · cos α , cos 3 α = - 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α - t g 3 α 1 - 3 t g 2 α c t g 3 α = c t g 3 α - 3 c t g α 3 c t g 2 α - 1

Формулы половинного угла

Формулы половинного угла в тригонометрии являются следствием формул двойного угла и выражают соотношения между основными функциями половинного угла и косинусом целого угла.

Формулы половинного угла

sin 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α

Формулы понижения степени

sin 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α - sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

Часто при расчетах действовать с громоздктми степенями неудобно. Формулы понижения степени позволяют понизить степень тригонометрической функции со сколь угодно большой до первой. Приведем их общий вид:

Общий вид формул понижения степени

sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 ( - 1 ) n 2 - k · C k n · cos ( ( n - 2 k ) α ) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C k n · cos ( ( n - 2 k ) α )

sin n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 ( - 1 ) n - 1 2 - k · C k n · sin ( ( n - 2 k ) α ) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n · cos ( ( n - 2 k ) α )

Сумма и разность тригонометрических функций

Разность и сумму тригонометрических функций можно представить в виде произведения. Разложение на множители разностей синусов и косинусов очень удобно применять при решении тригонометрических уравнений и упрощении выражений.

Сумма и разность тригонометрических функций

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 · cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 · cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 · cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 · sin α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 · sin β - α 2

Произведение тригонометрических функций

Если формулы суммы и разности функций позволяют перейти к их произведению, то формулы произведения тригонометрических функций осуществляют обратный переход - от произведения к сумме. Рассматриваются формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус.

Формулы произведения тригонометрических функций

sin α · sin β = 1 2 · ( cos ( α - β ) - cos ( α + β ) ) cos α · cos β = 1 2 · ( cos ( α - β ) + cos ( α + β ) ) sin α · cos β = 1 2 · ( sin ( α - β ) + sin ( α + β ) )

Универсальная тригонометрическая подстановка

Все основные тригонометрические функции - синус, косинус, тангенс и котангенс, - могут быть выражены через тангенс половинного угла.

Универсальная тригонометрическая подстановка

sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 - t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 - t g 2 α 2 c t g α = 1 - t g 2 α 2 2 t g α 2

–Тригонометрия – один из интереснейших разделов математики, но почему-то большинство учащихся считают его самым трудным. Объяснить это, скорее всего можно тем, что в этом разделе формул больше, чем в любом другом – формулы приведения, формулы сложения, формулы двойного и половинного аргументов, формулы суммы и разности тригонометрических функций, формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму. И самая первая группа формул, с которой вы познакомились в курсе геометрии 8 класса – основные тригонометрические тождества. Без знаний этих формул ни одно тригонометрическое выражение не преобразуешь. Сегодня на уроке, я хочу познакомить вас с некоторыми приемами запоминания тригонометрических формул. Может, некоторые из них вам уже знакомы.

II. Тестирование

–Я предлагаю вам выполнить тест на знание тригонометрических формул и значений тригонометрических функций некоторых углов.

III. Изучение нового материала (знакомство с приемами запоминания тригонометрических формул).

1. Табличные значения тригонометрических функций.

Вы уже знаете, что тригонометрическую функцию любого угла можно выразить через тригонометрическую функцию угла, не превышающего 90º. Поэтому необходимо знать табличные значения углов первой четверти.

Для запоминания значений синуса и косинуса для углов в 30º, 45º и 60º я предлагаю своим ученикам притчу.

– Пошли три дамы гулять. Первая дама, вторая дама и третья дама. И неожиданно пошел дождь. Все дамы открыли зонтики, и одели по паре калош. Прогулка была закончена, и дамы вернулись домой. Первая дама, вторая дама и третья дама пошли домой. (Сначала, в таблице, во второй строке по порядку указываются номера дам. За тем изображают корни – “зонтики”, и “надевают калоши” – в знаменателях пишут 2).

Чтобы указать значения тангенса и котангенса тех же углов достаточно вспомнить ОТТ, т.е, а котангенс взаимно обратная функция для тангенса.

2. Формулы приведения

Тригонометрические функции углов видамогут быть выражены через функции угла α с помощью формул, которые называют формулами приведения. Но запоминать эти формулы не обязательно. Для преобразования таких выражений достаточно знать знаки тригонометрических функций по четвертям и еще одну притчу.

– Жил забывчивый математик, и каждый раз преобразовывая тригонометрические функции углов вида, он спрашивал у своей лошади, жующей за окном сено, надо менять функцию на конфункцию или нет. А лошадь кивала головой по той оси, на которой располагался угол являющиеся границами первой и третьей четвертей соответственно, лежат на оси Оу, то лошадь кивком головы подтверждала смену функции на конфункцию. А для углов наоборот отрицала. Математику оставалось лишь записывать ответ, указывая знак данной функции.

3. Формулы сложения.

Формулы сложения – это та, группа формул которую нужно знать наизусть. Но для их запоминания можно тоже воспользоваться ассоциативным приемом. У косинуса функции одноименные, а у синуса разноименные. Не все в нашей жизни бывает “гладко” за белой полосой идет черная, и наоборот. Так и у наших функций, если функции идут одноименные, то знаки не совпадают, а если разноименные, то совпадают.

cos (α β ) = cos α cos β + sin α sin β;

cos (α + β ) = cos α cos β – sin α sin β;

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β;

sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β.

Для получения формулы тангенса суммы и тангенса разности достаточно применить ОТТ и разделить числитель и знаменатель полученной дроби на cos α cos β, где

cos α ≠ 0 и cos β ≠ 0.

Например, сos 97º cos 67º + sin 97º sin 67º = ños (97º– 67º) = ños 30º = ;

sin 25º сos 20º + cos 25º sin 20º = sin (25º + 20º) = sin 45º =.

4. Формулы двойного угла

Чтобы получить тригонометрические формулы двойного аргумента достаточно в формулах сложения β заменить на α.

Например, cos 2α = cos (α + α ) = cos α cos α – sin α sin α = cos²α – sin²α;

sin 2α = sin (α + α ) = sin α cos α + sin α cos α = 2sin α cos α

Поэтому, 2 sin 65º cos 65º = sin (2? 65º) = sin130º = sin (180º – 50º) = sin 50º

Формулы суммы и разности тригонометрических функций

Если сложить косинус разности с косинусом суммы двух углов,то мы получим формулу суммы косинусов:

cos (α – β ) = cos α cos β + sin α sin β;

cos (α + β ) = cos α cos β – sin α sin β;

cos (α – β ) + cos (α + β ) = 2 cos α cos β (*)

Обозначим α – β ηа х, а α + β ηа у, тогда α = (х + у) и β = (х – у). Следовательно,

cos х + cos у = 2 cos (х+у) cos (х-у). Если обе части равенства (*) разделить на два, то мы получим формулу, позволяющую представлять произведение косинусов двух углов в виде суммы: cos α cos β = (cos (α – β ) + cos (α + β )). Аналогичным способом мы получим:

cos х – cos у = -2 sin (х + у) sin (х – у) и sin α sin β = (cos (α – β ) – cos (α + β )).

Если сложить синус разности с синусом суммы двух углов, то мы получим формулу суммы синусов:

sin (α – β ) = sin α cos β – cos α sin β;

sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β;

sin (α – β ) + sin (α + β ) = 2 sin α cos β (*)

Из чего мы получаем: sin α cos β = (sin (α – β ) + sin (α + β ))

sin х + sin у = 2 sin (х + у) cos (х – у).

Например, cos 80º– cos 40º = -2 sin (80º + 40º) sin (80º – 40º) = -2 sin60º sin 20º = -√3sin 20º.

sin 35º + sin 55º = 2 sin (35º + 55º) cos (35º – 55º) = 2 sin45º cos 10º = √2 cos 10º.

IV. Домашнее задание

В качестве домашнего задания ребятам можно предложить, используя рассмотренные на уроке приемы, записать тригонометрические формулы. И сделать это нужно несколько раз.

V. Итог урока (тестирование).

На интерактивной доске демонстрируются результаты тестирования на входе и выходе.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Формулы суммы и разности тригонометрических функций

Цель урока: доказать формулы суммы и разности

Научить применять данные формулы при упрощении выражений.

Проверка домашнего задания

Разобрать номера которые вызвали затруднения

Изучение нового материала

sinα + sinβ = 2sin cos sinα - sinβ = 2co

cosα + cosβ = 2co cosα - cosβ = 2

Вывести формулу : cosα + cosβ = 2co

Представим углы α и β в виде: и

cosα + cosβ = co = co - sin + co

Пример1 . Преобразовать в произведение выражение sinα + sinβ + sinγ – sin (α + β + γ)

Сгруппируем члены этого выражения и используем приведенные формулы:

sinα + sinβ + sinγ – sin (α + β + γ) = ( sinα + sinβ ) – ( sin (α + β + γ) – sinγ ) =

2co - 2co = 2 ( 2co = 2 * 2 = 4

Закрепление нового материала

Представьте в виде произведение (учащиеся выполняют самостоятельно с последующей проверкой)

sin40 0 + sin16 0 sin– sin

sin20 0 – sin40 0

cos15 0 + cos45 0

cos46 0 - cos74 0

Вычислить

Выучить формулы. Решить № 13(а,б), №14(б,г)

подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
по всем предметам 1-11 классов

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Сейчас обучается 682 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

ЗП до 91 000 руб.
Гибкий график
Удаленная работа

Дистанционные курсы для педагогов

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 606 320 материалов в базе

Материал подходит для УМК

§ 32. Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

25.10.2018 826
DOCX 40.5 кбайт
26 скачиваний
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Плеханова Любовь Алексеевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

40%

Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
Для учеников 1-11 классов

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Россию приехали 10 тысяч детей из Луганской и Донецкой Народных республик

Время чтения: 2 минуты

Отчисленные за рубежом студенты смогут бесплатно учиться в России

Время чтения: 1 минута

В приграничных пунктах Брянской области на день приостановили занятия в школах

Время чтения: 0 минут

Время чтения: 2 минуты

Минтруд предложил упростить направление маткапитала на образование

Время чтения: 1 минута

Онлайн-тренинг: нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

На этом уроке мы вспомним все основные формулы преобразования тригонометрических функций: формулы тригонометрических функций суммы/разности аргументов, двойного и тройного аргументов, понижения степени, суммы/разности тригонометрических функций, произведения тригонометрических функций, универсальная тригонометрическая замена, сложение гармонических колебаний.

Данный урок поможет Вам подготовиться к одному из типов задания В7.

Читайте также: