Формулы двойного аргумента конспект урока

Обновлено: 06.07.2024

Образовательные – вывести формулы тригонометрии, позволяющие выразить sin 2x, cos 2x, tg 2x через sinx, cosx, tgx, показать многообразие их применения.

Развивающие – вырабатывать навыки и умения использовать полученные формулы в тригонометрических преобразованиях, развивать математическое мышление учащихся, умение видеть и применить изученные тождества, развивать умения самостоятельной учебно-познавательной деятельности, развивать культуру речи и любознательность.

Воспитательные – побуждать учащихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности, к самоконтролю и самоанализу.

Ожидаемый результат: Каждый учащийся должен знать вывод формул двойного аргумента и уметь применять их для преобразований тригонометрических выражений на уровне обязательных результатов обучения.

Тип урока: Урок ознакомления с новым материалом.

Организационно-мотивационный этап.
Актуализация имеющихся знаний и личного опыта учащихся (устная работа).
Изучение нового материала.
Домашнее задание.
Итог урока.
Закрепление изученного материала (контрольный срез).

Ход урока

1. Организационно-мотивационный этап.

Сегодня на уроке мы выведем формулы тригонометрии – формулы двойного аргумента и рассмотрим многообразие их применения. Эпиграфом нашего урока будут слова Бернардо Больцано “Формула подчас кажется более мудрой, чем выдумавший ее человек”.

2. Актуализация имеющихся знаний и личного опыта учащихся (устная работа).

Вспомним формулу синус суммы, косинус суммы и тангенс суммы аргументов. Вызываются 3 учащихся, которые на 3 досках записывают отдельно эти формулы:

sin(x +y) = sinxcosy + cosxsiny;
cos(x+y) = cosxcosy – sinxsiny;
tg(x+y) = .
Далее учащиеся устно работают с места.

№1 Упростить:

№2 Вычислить:

3. Изучение нового материала.

Сейчас мы выведем с вами тригонометрические формулы двойного аргумента и рассмотрим многообразие их применения.

Если положить в формулах, записанных вами в начале урока на доске x= y, то получаем:

sin(x+y) = sinxcosy + cosxsiny
sin2x = sinxcosx + sinxcosx = 2sinxcosx

cos(x+y) = cosxcosy – sinxsiny
cos2x = cosxcox – sinxsinx = cos 2 x – sin 2 x

Каждую из 3-х формул выводит 1 ученик.

sin10x = 2sin5x*cos5x
sin
cos(8x – 14y) = cos 2 (4x – 7y) – sin 2 (4x – 7y)
tg
2sin7xcos7x = sin14x
cos 2 3,5t - sin 2 3,5t = cos7t

А теперь докажем два тождества, используя доказанную в начале урока формулу cos 2x = cos 2 x – sin 2 x

1. Доказать тождество:

cos2x = 1 – 2sin 2 x
cos2x = cos 2 x – sin 2 x = (1 - sin 2 x) - sin 2 x = 1 - 2 sin 2 x
cos2x = 1 - 2 sin 2 x

2. Доказать тождество:

cos2x = 2cos 2 x – 1
cos2x = cos 2 x – sin 2 x = cos 2 x – (1 - cos 2 x) = 2cos 2 x – 1
cos2x = 2cos 2 x – 1

3. Выразить sin 2 x из равенства:

cos2x = 1 - 2sin 2 x
2 sin 2 x = 1 – cos2x
sin 2 x =

4. Выразить cos 2 x из равенства:

cos2x = 2cos 2 x – 1
cos2x+1 = 2cos 2 x
2cos 2 x = cos2x+1
cos 2 x =

Итак, выполняя №1 и №2, мы получили еще два варианта формулы двойного аргумента, а выполняя №3 и №4, вывели формулы понижения степени.

Что нового узнали на уроке?
Довольны ли вы своей работой на уроке?

6. Закрепление изученного материала. Контрольный срез.

Учащиеся выполняют работу на карточках с дифференцированными заданиями по теме урока (самопроверка).

1 вариант.

№1 Упростите, продолжив решение, и выберите правильный ответ:

1) 4/3;
2) 4/3cosx;
3) 2/3;
4) 4/3ctgx.

1) cos20;
2) 2cos20;
3) ctg20;
4) другой ответ.

№2 Упростите и выберите правильный ответ:

1) 3tgx;
2) 3sinx;
3) 1.5sinx;
4) 3tg2x.

б) cos 2 t – cos2t =

1) sin 2 t;
2) -sin 2 t;
3) 2cos 2 t+sin 2 t;
4) другой ответ.

2 вариант.

№1 Упростите, продолжив решение, и выберите правильный ответ:

1) -3tg2x;
2) 3sin2 x;
3) 6 tgx;
4) 3tg2 x.

1) 3/2;
2) 2/3;
3) 2/3sin2x;
4) другой ответ.

№2 Упростите и выберите правильный ответ:

1) tg2x;
2) 2sinx;
3) 1/2sinx;
4) 1/2 + tgx.

б) cos2t + sin 2 t =

1) cos 2 t;
2) 2sint;
3) cost-sint;
4) другой ответ.

Проверяются верные ответы.

1 вариант:

№1 а) 1; б) 2.
№2 а) 2;б) 1.

2 вариант:

№1 а) 4; б) 2.
№2 а) 3; б) 1.

Учащиеся поднимают руку, кто при выполнении работы сделал 2 ошибки, затем – кто одну ошибку и, наконец, кто не сделал ни одной ошибки, выполнил всё полностью и верно.

Молодцы ребята, отлично поработали.

Ученики сдают карточки на проверку учителю.

На следующих двух уроках мы с вами продолжим изучение применения формул двойного аргумента в тригонометрических преобразованиях.

Материал содержит конспект урока, тест и презентацию.

Вложение	Размер
test.xls	91.5 КБ
formuly_dvoynogo_argumenta.doc	130 КБ
formuly_dvoynogo_argumenta.ppt	744.5 КБ

Предварительный просмотр:

Тема урока: ФОРМУЛЫ ДВОЙНОГО АРГУМЕНТА.

Тип урока: урок изучения нового материала .

Цели урока: на основе полученных ранее знаний, вывести формулы для вычисления sin2x, cos2x, tg2x, показать их применение, развить умение использовать эти формулы в тригонометрических преобразованиях.

1.Организационный этап. Учитель приветствует учащихся, объясняет тему урока, цели и задачи урока.

2. Повторение (подготовка учащихся к активному усвоению нового материала). Проводится самостоятельная работа, контролирующая выполнение учащимися домашней работы и позволяющая вспомнить основной материал, необходимый на уроке для вывода формул двойного аргумента.

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА производится с помощью компьютера, с использованием программы Microsoft Excel. Файл тест.xls

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

МБОУ Глодневская СОШ

Конспект урока алгебры

Формулы двойного аргумента

и их применение

Разработал учитель математики:

Хведченя Светлана Васильевна

Тема урока: Формулы двойного аргумента и их применение.

Тип урока: урок ознакомления с новым материалом.

Цель урока: вывести формулы двойного аргумента; научить применять полученные формулы для упрощения тригонометрических выражений.

Учебные задачи:

Обучающие:

- повторение и обобщение знаний в области преобразования тригонометрических выражений;

- формирование умений и знаний использовать формулы двойного аргумента для упрощения выражений;

- использование учащимися полученных знаний по данной теме при выполнении заданий ЕГЭ.

Развивающие:

– вырабатывать и развивать навыки и умения использовать полученные формулы в тригонометрических преобразованиях;

- развивать математическое мышление учащихся, умение видеть и применить изученные тождества;

- развивать умения самостоятельной учебно-познавательной деятельности; культуру речи и любознательность.

Воспитательные :

- побуждать учащихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности, к самоконтролю и самоанализу;

- воспитание терпеливости, культуру мышления, упорства достижения целей.

Ожидаемый результат: учащиеся должны знать вывод формул двойного аргумента и уметь применять их для преобразований тригонометрических выражений.

Актуализация имеющихся знаний и личного опыта учащихся (устная работа).

Изучение нового материала.

Закрепление изученного материала (контрольный срез).

Организационно-мотивационный этап.

Приветствие учащихся.

Проверка домашнего задания. Проверить выполнение домашнего задания фронтально. При необходимости разобрать на доске задания, вызвавшие затруднения у учащихся.

Сегодня на уроке мы выведем тригонометрические формулы – формулы двойного аргумента и рассмотрим как их можно примененять.

Эпиграфом нашего урока будут слова Бернардо Больцано “Формула подчас кажется более мудрой, чем выдумавший ее человек”.

2. Актуализация имеющихся знаний и личного опыта учащихся.

Вспомним формулу синус суммы, косинус суммы и тангенс суммы аргументов.

Вызывается учащийся, которые на доске записывает отдельно эти формулы:

sin(x +y) = sinxcosy + cosxsiny;
cos(x+y) = cosxcosy – sinxsiny;
tg(x+y) = .
Далее учащийся устно работает с места. На доске (или слайдах презентации) записаны задания.

№ 1. Упростить:

№ 2. Вычислить:

3. Изучение нового материала.

Сейчас мы выведем с вами тригонометрические формулы двойного аргумента и рассмотрим их применение.

Рассмотрим формулы, записанных в начале урока – формулы синуса, косинуса, тангенса суммы аргументов. Допустим, что аргументы равны: x= y, то получим:

1. sin ( x + y ) = sinxcosy + cosxsiny или sin 2 x = sinxcosx + sinxcosx = 2 sinxcosx

2. cos ( x + y ) = cosxcosy – sinxsiny или cos 2 x = cosxcox – sinxsinx = cos 2 x – sin 2 x

3. tg(x+y) = или tg2x = Одну из трех формул выводит ученик.

Полученные формулы называют формулами двойного аргумента или формулами двойного угла.

Какое же практическое применение этих формул?

Выполним № 21.2(а,б) - №21.5(а,б) стр.57 учебник А.Г. Мордкович Часть 2

А теперь докажем два тождества, используя доказанную в начале урока формулу cos 2x = cos 2 x – sin 2 x

№ 1. Доказать тождество: cos 2 x = 1 – 2 sin 2 x

Доказательство:
cos 2 x = cos 2 x – sin 2 x = (1 - sin 2 x ) - sin 2 x = 1 - 2 sin 2 x
cos 2 x = 1 - 2 sin 2 x , что и требовалось доказать.

Выразим из доказанного тождества sin 2 x :

cos 2 x = 1 - 2 sin 2 x
2 sin 2 x = 1 – cos 2 x
sin 2 x = - получили еще дну тригонометрическую формулу, которая получила название-формула понижения степени.

№ 2. Доказать тождество: cos 2 x = 2 cos 2 x – 1

Доказательство:
cos 2 x = cos 2 x – sin 2 x = cos 2 x – (1 - cos 2 x ) = 2 cos 2 x – 1
cos 2 x = 2 cos 2 x – 1, что и требовалось доказать.

Если из полученного равенства выразить cos 2 x, то получим:

cos 2 x = 2 cos 2 x – 1
cos 2 x +1 = 2 cos 2 x
2 cos 2 x = cos 2 x +1
cos 2 x = - еще одна формула понижения степени.

Таким образом, выполняя задания №1 и №2, доказывая тождества, получили еще два варианта формул двойного угла и как следствия из них- формулы понижения степени.

sin2x = 2sinxcosx; cos2x = cos 2 x – sin 2 x;

cos2x = 1 – 2sin 2 x; cos2x = 2cos 2 x – 1

sin 2 x = ; cos 2 x =

Выполним № 21.23 (а ,б) с применением формул понижения степени.

Выполним задание из сборника ЕГЭ Математика. Профильный уровень. Под ред. Ященко.

1) Найдите -25 cos 2 α , если cos α =-0,8

2) Найдите значение выражения: 7

Домашнее задание.

5. Итог урока.

Что нового узнали на уроке?

Довольны ли вы своей работой на уроке?

6. Закрепление изученного материала.

Самостоятельная работа с проверкой на уроке.

Запишите угол в виде 2 - некоторый угол:

а) 30 0 ; б) 90 0 ; в) ; г) ; д) 4; е) ; ж) .

№ 2. Упростите выражение:

№ 3. Упростите выражение:

№ 4. Упростите выражение:

Учащиеся вместе с учителем проверяют выполненные задания.

Формулы двойного аргумента - это формулы, позволяющие ; и выразить через ; и . Аргументом может быть не только угол, но и любое выражение.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Открытые электронные ресурсы:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Рассмотрим выражение . Представим как и подставим в формулу синуса суммы. Получим:

(1)

Эту формулу называют синус двойного аргумента.

Например, . В этом случае .

Рассмотрим выражение , где так же . Применяем формулу косинуса суммы:

Получили формулу косинуса двойного аргумента (2)

Например,

Так как , а , то получим ещё две формулы косинуса двойного аргумента.

(3)

(4)

Рассмотрим выражение tg и с помощью формулы тангенса суммы выведем формулу тангенса двойного угла. Помним, что . Получаем:

, где (5)

Для котангенса двойного угла применяем формулу:
, где (6)

Например, .

Формулы (1)-(6) можно использовать как слева направо, так и справа налево. Аргументом может быть не только угол, но и любое выражение. Например,

Докажем формулу для тройного угла.

Представим . По формуле синуса суммы получим:

(используем формулы двойного аргумента)

Получили формулу синуса тройного угла:

(7)

Можно доказать, что косинус тройного угла вычисляется по формуле:

. (8)

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1. Найти , если

Применим формулу (3)

Пример 2. Доказать тождество

Доказательство: Преобразуем левую часть, воспользуясь тем, что формулой (1) и формулой квадрата суммы, получаем:

Тип урока: урок ознакомления с новым материалом.

Учебные задачи:

Обучающие:

- повторение и обобщение знаний в области преобразования тригонометрических выражений;

- формирование умений и знаний использовать формулы двойного аргумента для упрощения выражений;

- использование учащимися полученных знаний по данной теме при выполнении заданий ЕГЭ.

Развивающие:

- развивать математическое мышление учащихся, умение видеть и применить изученные тождества;

- развивать умения самостоятельной учебно-познавательной деятельности; культуру речи и любознательность.

Воспитательные :

- воспитание терпеливости, культуру мышления, упорства достижения целей.

Актуализация имеющихся знаний и личного опыта учащихся (устная работа).

Изучение нового материала.

Закрепление изученного материала (контрольный срез).

Организационно-мотивационный этап.

Приветствие учащихся.

2. Актуализация имеющихся знаний и личного опыта учащихся.

Вспомним формулу синус суммы, косинус суммы и тангенс суммы аргументов.

Вызывается учащийся, которые на доске записывает отдельно эти формулы:

№1. Упростить:

а)
б)
в)
г)

№2. Вычислить:

а)
б)
в)
г)
д)

3. Изучение нового материала.

Сейчас мы выведем с вами тригонометрические формулы двойного аргумента и рассмотрим их применение.

1. sin(x+y) = sinxcosy + cosxsiny или sin2x = sinxcosx + sinxcosx = 2sinxcosx

2. cos(x+y) = cosxcosy – sinxsiny или cos2x = cosxcox – sinxsinx = cos 2 x – sin 2 x

3. tg(x+y) = или tg2x = Одну из трех формул выводит ученик.

Полученные формулы называют формулами двойного аргумента или формулами двойного угла.

Какое же практическое применение этих формул?

Выполним № 21.2(а,б) - №21.5(а,б) стр.57 учебник А.Г. Мордкович Часть 2

А теперь докажем два тождества, используя доказанную в начале урока формулу cos 2x = cos 2 x – sin 2 x

№1. Доказать тождество: cos2x = 1 – 2sin 2 x

Доказательство:
cos2x = cos 2 x – sin 2 x = (1 - sin 2 x) - sin 2 x = 1 - 2 sin 2 x
cos2x = 1 - 2 sin 2 x, что и требовалось доказать.

Выразим из доказанного тождества sin 2 x :

cos2x = 1 - 2sin 2 x
2 sin 2 x = 1 – cos2x
sin 2 x = - получили еще дну тригонометрическую формулу, которая получила название-формула понижения степени.

№2. Доказать тождество: cos2x = 2cos 2 x – 1

Доказательство:
cos2x = cos 2 x – sin 2 x = cos 2 x – (1 - cos 2 x) = 2cos 2 x – 1
cos2x = 2cos 2 x – 1, что и требовалось доказать.

Если из полученного равенства выразить cos 2 x, то получим:

cos2x = 2cos 2 x – 1
cos2x+1 = 2cos 2 x
2cos 2 x = cos2x+1
cos 2 x = - еще одна формула понижения степени.

sin2x = 2sinxcosx; cos2x = cos 2 x – sin 2 x;

cos2x = 1 – 2sin 2 x; cos2x = 2cos 2 x – 1

sin 2 x = ; cos 2 x =

Выполним № 21.23 (а ,б) с применением формул понижения степени.

Выполним задание из сборника ЕГЭ Математика. Профильный уровень. Под ред. Ященко.

1) Найдите -25cos2α, если cos α=-0,8

2) Найдите значение выражения: 7

Читайте также: