Энергия и импульс свободной частицы конспект
Обновлено: 05.07.2024
Принцип относительности Эйнштейна утверждает инвариантность всех законов природы по отношению к переходу от одной инерциальной системе отсчета к другой. Отсюда следует, что уравнения, которые описывают законы природы, должны быть инвариантны относительно преобразований Лоренца.
Импульс. Релятивистская масса
Во время создания СТО теории, удовлетворяющей данному условию, она подразумевала уже существующую теорию электродинамики Максвелла. Уравнения вышли неинвариантными относительно преобразований Лоренца, что требовало пересмотра и уточнения законов механики.
Для этого Эйнштейн основывался на требованиях выполнимости закона сохранения импульса и закона сохранения энергии в замкнутых системах. Чтобы он выполнялся во всех инерционных системах отсчета, следовало изменить определение импульса тела.
Классический импульс p → = m ν → заменяют релятивистским p → с массой m и скоростью движения ν → . Запись принимает вид:
p → = m ν → 1 - ν 2 c 2 = m ν → 1 - β 2 .
Если данное определение задействовать при решении, то закон сохранения суммарного импульса частиц выполнится во всех инерциальных системах, в которых есть связь с преобразованиями Лоренца. Когда β → 0 релятивистский импульс перейдет в классический.
Масса m считается фундаментальной характеристикой частицы. Она не зависит от выбора инерциальной системы отсчета, скорости движения.
Некоторые учебники трактуют это как массу покоя, обозначаемую m 0 . Позже вводилась релятивистская масса частицы m 0 1 - β 2 , которая зависела от скорости движения частицы. Современная физика отказывается от данных терминологий.
Запись основного закона релятивистской динамики материальной точки принимает вид, аналогичный второму закону Ньютона:
тогда p → примет значение релятивистского импульса частицы. Отсюда следует
F → = d d t m v → 1 - ν 2 c 2 .
Скорость частицы в релятивистской механике не пропорциональна релятивистскому импульсу, то есть скорость изменения не будет пропорциональна ускорению. Отсюда имеем, что сила постоянна по модулю и по направлению, причем не вызывает равноускоренного движения. Если существует одномерное движение вдоль О х , тогда ускорение частицы a = d ν d t с постоянной F равняется a = F m 1 - ν 2 c 2 3 2 .
Движение релятивистской частицы
При росте скорости классической частицы под действием постоянной силы, скорость релятивистской частицы не превышает скорость света с в пустоте.
A = ∫ F · d x = ∫ F · ν · d t = ∫ m · α · ν · d t 1 - ν 2 c 2 3 2 .
Так как α d t = d ν , то запись примет вид E k = A = ∫ 0 v 0 m · ν · d ν 1 - ν 2 c 2 3 2 .
При вычислении интеграла произойдет упрощение выражения:
E k = m c 2 1 - ν 2 c 2 - m c 2 .
Интерпретация Эйнштейном первого члена правой части звучит как полная энергия Е движущейся частицы, а второго – энергией покоя E 0 :
E = m c 2 1 - ν 2 c 2 , E 0 = m c 2 .
Кинетической энергией E k считают разность между полной Е и энергией покоя E 0 . Запись принимает вид:
На рисунке 4 . 5 . 1 изображено изменение E k частицы, подчиняющейся классическому и релятивистскому законам.
Рисунок 4 . 5 . 1 . Зависимость кинетической энергии от скорости для релятивистской ( a ) и классической ( b ) частиц. При υ ≪ c оба закона совпадают.
Вывод релятивистской механики в том, что масса m, находящаяся в покое, содержит большое количество энергии. Это применяется при ядерной энергии. Если наблюдалось уменьшение массы частицы на ∆ m , тогда выделившаяся энергия примет вид ∆ E = ∆ m · c 2 . Проводимые эксперименты дают понять, что существование энергии покоя реальное. Первый, кто подтвердил это, был Эйнштейн. Он использовал отношение, связывающее массу и энергию, полученное при их сравнении. При бета-распаде свободного нейтрона появлялись протон, электрон и антинейтрино с нулевой массой:
Конечные продукты обладали суммарной кинетической энергией, равной 1 , 25 · 10 - 13 Д ж .
Масса нейтрона значительно превышает суммарную массу протона и электрона на ∆ m = 13 , 9 · 10 - 31 к г . Так как прослеживается уменьшение массы, необходимо использовать соответствующую энергию ∆ E = ∆ m · c 2 = 1 , 25 · 10 - 13 Д ж . Она равняется кинетической энергии релятивистской частицы.
Если взрывается 1 т тринитротолуола, то происходит освобождение энергии 4 , 2 · 10 9 Д ж , при взрыве мегатонной бомбы – 4 , 2 · 10 15 Д ж . Из формулы m = E c 2 выходит, что искомая масса – это 46 г . При взрыве ядерной бомбы m уменьшается на 50 г . То есть масса водородной бомбы при 1 мегатонне тринитротолуола имеет около 50 к г .
Связь между энергией и импульсом релятивистской частицы
Самым важным выводом СТО является закон пропорциональности массы и энергии. Они обладают различными свойствами материи. Масса тела говорит о его инертности или способности вступать в гравитационное взаимодействие с другими телами. Важное свойство энергии – это способность превращения из одной формы в другую во время различных физических процессов, что подтверждает закон сохранения энергии.
Масса и энергия пропорциональны и выражают внутреннюю сущность материи.
Получаем, что формула Эйнштейна E 0 = m c 2 выражает фундаментальный закон природы, называемый законом взаимосвязи массы и энергии.
Если скомбинировать выражения p → = m ν → 1 - ν 2 c 2 = m ν → 1 - β 2 и E = m c 2 1 - ν 2 c 2 , то придем к связывающему их соотношению.
Для этого следует переписать эти формулы в упрощенном виде
p 2 m c 2 = ν 2 c 2 1 - ν 2 c 2 ,
E m c 2 2 = 1 1 - ν 2 c 2 .
После почленного вычитания получаем E 2 = m c 2 2 + p c 2 .
Следовательно, что для покоящихся частиц энергия фиксируется как E = E 0 = m c 2 .
Исходя из соотношения становится понятно, что частица может обладать энергией и импульсом, но не иметь массы, то есть m = 0 . Она получила название безмассовой. Для нее используется формула связи энергии и импульса в виде E = p c .
К частицам, которые не имеют массы, относят фотоны, называемые квантами электромагнитного излучения, и нейтрино. Существование безмассовых частиц в покое невозможно, поэтому их движение характеризуется предельной скоростью с .
На уроке рассматриваются понятия: энергия покоя, полная энергия частиц; связь массы и энергии в специальной теории относительности; релятивистский импульс частицы, релятивистская кинетическая энергия; принцип соответствия.
Глоссарий урока:
Релятивистская механика - раздел физики, где описывается движение частиц со скоростями близкими к скорости света.
Закон взаимосвязи энергии и массы - тело обладает энергией и при нулевой скорости, такую энергию называют энергией покоя.
Релятивистская энергия составляет сумму собственной энергии частицы и релятивистской кинетической энергии.
Безмассовыми называют частицы массы, которых в состоянии покоя равны нулю, они существуют только в движении, при этом во всех инерциальных системах отсчёта их импульс и энергия не равны нулю.
Массовыми называют частицы, для которых масса является важной характеристикой, мерой инертности тела.
Принцип соответствия – это подтверждение законов Ньютона и классических представлений о пространстве и времени, рассматриваются как частный случай релятивистских законов при скоростях намного меньших скорость света.
Согласно принципу соответствия любая теория, претендующая на более глубокое описание явлений и на более широкую сферу применимости, должна включать предыдущую теорию, как предельный случай.
Обязательная литература:
- Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Сотский Н.Н. Физика.11 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.: Просвещение, 2017. – С. 239 – 241.
- Рымкевич А.П. Физика. Задачник. 10-11 классы. – М.: Дрофа, 2013. — С. 147 – 149
Дополнительная литература:
- Анциферов Л.И., Физика: электродинамика и квантовая физика. 11кл. Учебник для общеобразовательных учреждений – М.: Мнемозина, 2001. – С. 253-260.
- Кирик Л.А., Генденштейн Л.Э., Гельфгат И.М.. Задачи по физике. 10-11 классы для профильной школы. – М.: Илекса, 2010. – С. 311-315.
- Айзексон У., Эйнштейн. Жизнь гения; пер. с анг. А.Ю. Каннуниковой. – М: АСТ, 2016 – С.144-157
Основное содержание темы
Эти слова и множество других восхищённых эпитетов будут высказаны в адрес гениального учёного Альберта Эйнштейна. Эйнштейн не боялся опровергать общепринятые утверждения. Он разрушил представление об абсолютном времени и незыблемости пространства. Его теория утверждала, что есть движущиеся системы координат со своим относительным временем. А пространство существует, пока в нём существует всё материальное. Время идёт тем медленнее, если быстрее движется тело. Такие удобные и понятные принципы классической физики: о постоянстве массы, длины, времени, скорости - опровергаются следствиями из постулатов специальной теории относительности Эйнштейна.
Альберт (Einstein) Эйнштейн
14 марта 1879 г. – 18 апреля 1955 г.
Физик-теоретик, один из основателей современной теоретической физики, лауреат Нобелевской премии по физике 1921 года, общественный деятель-гуманист.
По законам классической физики: масса – это мера инертности тела. Но Эйнштейн утверждает другое: масса – это мера энергии, содержащейся в теле.
Любое тело обладает энергией уже в силу своего существования. Альбертом Эйнштейном была установлена пропорциональность между энергией и массой:
На первый взгляд, простая формула, является фундаментальным законом природы, законом взаимосвязи энергии и массы.
Согласно этой формуле тело обладает энергией даже при нулевой скорости, в таком случае энергию называют E энергией покоя. А массу, которая входит в формулу Эйнштейна назовём m0 массой покоя.
Такую формулу называют релятивистской энергией или полной энергией движущегося тела.
Релятивистская механика - раздел физики, где описываются движения тел и частиц со скоростями близкими к скорости света, где используются преобразования Лоренца, перехода из одной инерциальной системы в другую, когда одна система движется относительно другой со скоростью вдоль оси ОХ.
Любые изменения физических величин, связанные с сокращением размеров:
эффект замедления времени:
изменение массы тела при изменении энергии:
закон сложения скоростей:
в специальной теории относительности называют релятивистскими изменениями.
По законам классической физики полная энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий тела или частицы
Отсюда выразим кинетическую энергию тела
Релятивистская энергия составляет сумму собственной энергии частицы и релятивистской кинетической энергии
В классической физике кинетическая энергия вычисляется по формуле
Получим ещё одно выражение
Выразим кинетическую энергию из формулы релятивистской энергии:
Поставим релятивистский радикал, который можно преобразовать при малых скоростях и получим релятивистскую кинетическую энергию частицы:
Или другой способ выражения кинетической энергии, если использовать классическую кинетическую энергию, то получим
- выражение для определения релятивистской кинетической энергии.
Путём не сложных математических вычислений можно доказать, что формула определения кинетической энергии в классической физикеи формула кинетической энергии в релятивистской физике равны между собой.
Давайте проверим работают ли главные законы механики - законы Ньютона в релятивистской физике.
Первый закон Ньютона: существуют системы отсчёта, называемые инерциальными, относительно которых тело движется прямолинейно и равномерно, если на него не действуют другие тела.
Первый постулат СТО Эйнштейна: все физические явления протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчёта, или никакими опытами, проводимыми в инерциальной системе отсчёта, невозможно установить её движение относительно других инерциальных систем.
Внимание! Они не противоречат друг другу!
Третий закон Ньютона: силы с которыми тела действуют друг на друга равны по модулю и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны. Этот закон тоже работает в релятивистской физике (смотрите первый постулат СТО).
А что же со вторым законом классической механики? Второй закон Ньютона: ускорение тела прямо пропорционально силе и обратно пропорционально его массе.
Отсюда скорость тоже будет стремиться к бесконечности, а это невозможно (смотрите второй постулат СТО), так как скорость тела или частицы не может быть больше предельного значения скорости света ()!
Но давайте рассмотрим другую формулировку второго закона Ньютона, когда сила прямо пропорциональна изменению импульсов тела ко времени этого изменения:
В классической механике импульс равен произведению массы тела или частицы на его скорость: , где m – постоянная величина, мера инертности тела.
В релятивистской механике выражение импульса можно записать, используя преобразования Лоренца:
При скоростях намного меньших, чем скорость света 𝟅с, формула принимает вид классической механики Ньютона
Эти проявления - подтверждение законов Ньютона и классических представлений о пространстве и времени, рассматривают как частный случай релятивистских законов при скоростях намного меньших скорости света и называют принципом соответствия. Согласно принципу соответствия любая теория, претендующая на более глубокое описание явлений и на более широкую сферу применимости, должна включать предыдущую теорию, как предельный случай. То есть законы классической механики подтверждаются релятивистской, но только для частиц или тел, движущихся с малыми скоростями.
В природе существуют такие частицы (фотоны, мюоны, нейтрино), скорость которых равна или близка к скорости света. Массы таких частиц в состоянии покоя равны нулю, эти частицы называют безмассовыми. Они существуют только в движении, но во всех инерциальных системах отсчёта их импульс и энергия не равны нулю. Тогда подтверждается утверждение Эйнштейна, что масса – это мера энергии тела. Частицы, для которых масса является важной характеристикой - мерой инертности, называют массовыми.
Найдём соотношение между энергией и импульсом:
Взаимно уничтожаются подкоренные выражения, сокращается произведение массы на скорость света, и мы получим простое соотношение энергии и импульса, где нет зависимости от массы.
Энергия и импульс связаны соотношением
Поэтому во всех инерциальных системах отсчёта импульс и энергия не равны нулю. При превращениях элементарных частиц, обладающих массой покоя , в частицы у которых , их энергия покоя целиком превращается в кинетическую энергию вновь образовавшихся частиц. Этот факт является наиболее очевидным экспериментальным доказательством существования энергии покоя.
Во всех инерциальных системах отсчёта импульс частицы и её энергия связаны соотношением:
- эта формула является фундаментальным соотношением энергии и импульса для массовых частиц релятивистской механики. Эти соотношения экспериментально подтверждены.
Следовательно, для безмассовых частиц, где или , выражение примет вид
Основное выражение энергии через её импульс записывают так:
Отсюда, масса, движущейся частицы, будет равна
Если частица покоится, то её значение можно определить из основной формулы Эйнштейна взаимосвязи массы и энергии:
В обычных условиях, при нагревании тела или его охлаждении, при химической реакции, эти приращения массы происходят, их можно вычислить, но изменения массы не так заметны. Энергию, полученную из расщепления ядер на атомных электростанциях, используют на благо человека, где незначительные массы радиоактивного топлива вырабатывают энергию, питающую электроэнергией огромные города. Но, к сожалению, такую энергию, высвобождающуюся при цепной реакции, люди использовали и военных целях, для уничтожения городов, людей. Поэтому, только в последствии, понимая ответственность за свои открытия, учёные искренне становятся общественными деятелями: правозащитниками и борцами за мир.
Рассмотрим задачи тренировочного блока урока:
1. Чтобы выработать количество энергии, которой обладает тело массой 1 кг, Красноярской ГЭС потребуется времени _________ суток (1,5·10 7 ; 173,6; 182,3). Мощность Красноярской ГЭС 6000МВт.
P = 6000 МВт = 6·10 9 Вт
Воспользуемся выражением, описывающим зависимость энергии тела от массы:
И зависимостью мощности от работы и времени:
Выразим секунды в часах, а затем в сутках:
Ответ: 173,6 суток.
2. Чему равен импульс протона, летящего со скоростью 8,3·10 7 м/с? На сколько будет допущена ошибка, если пользоваться формулами классической физики? Данные поученных вычислений занесите в таблицу:
Физические величины
Масса покоя протона, m
Скорость света, с
Скорость движения протона, 𝟅
Импульс протона по классическим законам, рк
Импульс протона по релятивистским законам, рр
Разница в вычислениях импульса протона,
Воспользуемся формулами для определения импульса релятивистским и классическим способами:
Вычислим разницу показаний:
Физические величины
Масса покоя протона, m
Скорость света, с
Скорость движения протона, 𝟅
Импульс протона по классическим законам, рк
Импульс протона по релятивистским законам, рр
Разница в вычислениях импульса протона,
Импульсом частицы называется, как известно, вектор символическое обозначение вектора, компоненты которого равны производным от L по соответствующим компонентам v). С помощью (8,2) находим:
При малых скоростях или в пределе при это выражение переходит в классическое При импульс обращается в бесконечность.
Производная от импульса по времени есть сила, действующая на частицу. Пусть скорость частицы изменяется только по направлению, т. е. сила направлена перпендикулярно скорости. Тогда
Если же скорость меняется только по величине, т. е. сила направлена по скорости, то
Мы видим, что в обоих случаях отношение силы к ускорению различно.
Энергией частицы называется величина
(см. I § 6). Подставляя выражение (8,2) и (9,1) для L и , получим:
Эта очень важная формула показывает, в частности, что в релятивистской механике энергия свободной частицы не обращается в нуль при а остается конечной величиной, равной
Ее называют энергией покоя частицы.
При малых скоростях имеем, разлагая (9,4) по степеням
т. е. за вычетом энергии покоя классическое выражение для кинетической энергии частицы.
Энергия покоящегося тела содержит в себе, помимо энергий покоя входящих в его состав частиц, также кинетическую энергию частиц и энергию их взаимодействия друг с другом. Другими словами, не равно сумме (та — массы частиц), а потому и не равно . Таким образом, в релятивистской механике не имеет места закон сохранения массы: масса сложного тела не равна сумме масс его частей. Вместо этого имеет место только закон сохранения энергии, в которую включается также и энергия покоя частиц.
Возводя выражения (9,1) и (9,4) в квадрат и сравнивая их, найдем следующее соотношение между энергией и импульсом частицы:
Энергия, выраженная через импульс, называется, как известно, функцией Гамильтона
При малых скоростях и приближенно
е. за вычетом энергии покоя получаем известное классическое выражение функции Гамильтона.
Из выражений (9,1) и (9,4) вытекает также следующее соотношение между энергией, импульсом и скоростью свободной частицы:
При импульс и энергия частицы обращаются в бесконечность. Это значит, что частица с отличной от нуля массой не может двигаться со скоростью света. В релятивистской механике, однако, могут существовать частицы с массой, равной нулю, движущиеся со скоростью света. Из (9,8) имеем для таких частиц:
Приближенно такая же формула справедлива и для частиц с отличной от нуля массой в так называемом ультрарелятивистском случае, когда энергия частицы велика по сравнению с ее энергией покоя .
Выведем теперь все полученные соотношения в четырехмерном виде. Согласно принципу наименьшего действия
Раскроем выражение для . Для этого замечаем, что и потому
Интегрируя по частям, находим:
Как известно, для нахождения уравнений движения сравниваются различные траектории, проходящие через два заданных положения, т. е. на пределах Истинная траектория определяется из условия Из (9,10) мы получили бы тогда уравнение , т. е. постоянство скорости свободной частицы в четырехмерном виде.
Для того чтобы найти вариацию действия как функцию от координат, надо считать заданной лишь одну точку а, так что Вторую же точку надо считать переменной, но при этом рассматривать только истинные, т. е. удовлетворяющие уравнениям движения траектории. Поэтому интеграл в выражении (9,10) для равен нулю. Вместо пишем просто и, таким образом, находим:
называется -импульсом. Как известно из механики, производные — три компоненты вектора импульса частицы , а производная — есть энергия частицы Поэтому ковариантные компоненты 4-импульса, ), а контравариантные компоненты
Из (9,11) видно, что компоненты 4-импульса свободной частицы равны
Подставив сюда компоненты 4-скорости из (7,2), убедимся в том, что для и действительно получаются выражения (9,1) и (9,4).
Таким образом, в релятивистской механике импульс и энергия являются компонентами одного 4-вектора. Отсюда непосредственно вытекают формулы преобразования импульса и энергии от одной инерциальной системы отсчета к другой. Подставив в общие формулы (6,1) преобразования 4-вектора выражения (9,13), находим:
где — компоненты трехмерного вектора р.
Из определения 4-импульса (9,14) и тождества имеем для квадрата 4-импульса свободной частицы:
Подставив сюда выражения (9,13), мы вернемся к соотношению (9,6).
По аналогии с обычным определением силы 4-вектор силы можно определить как производную:
Его компоненты удовлетворяют тождеству .
Компоненты этого -вектора выражаются через обычный трехмерный вектор силы согласно
Временная компонента оказывается связанной с работой силы.
Релятивистское уравнение Гамильтона — Якоби получается подстановкой в (9,16) производных — вместо .
или, если написать сумму в явном виде:
Переход к предельному случаю классической механики в уравнении (9,20) совершается следующим образом. Прежде всего необходимо учесть, как и при соответствующем переходе в (9,7), что в релятивистской механике энергия частицы содержит член которого нет в классической механике. Поскольку действие S связано с энергией выражением , то при переходе к классической механике надо вместо S ввести новое действие S согласно соотношению
Подставляя его в (9,20), находим:
В пределе при со это уравнение переходит в известное классическое уравнение Гамильтона — Якоби.
В этом видеоуроке мы познакомим учащихся с законом взаимосвязи массы и энергии. А также сформулируем принцип соответствия.
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока "Элементы релятивистской динамики"
На прошлых уроках мы с вами начали знакомство со специальной теорией относительности Эйнштейна, в основе которой лежат два постулата: постулат относительности, и принцип постоянства скорости света.
Так же мы с вами показали, что одновременность пространственно разделённых событий относительна. Установление этого факта заставило по-новому взглянуть на свойства пространства и времени. В частности, это привело к обнаружению тесной взаимосвязи между массой и энергией и к изменению законов динамики. Необходимость изменения динамики очевидна хотя бы из того, что, согласно законам Ньютона, любое тело можно в принципе разогнать до любой скорости.
Например, пусть у нас есть тело известной массы. Если мы к нему приложим постоянную силу, то через некоторый промежуток времени тело разовьёт скорость, модуль которой легко найти из второго закона Ньютона, записанного в импульсной форме:
Отсюда следует, что в рамках классической механике, при t > mc/F скорость тела превзошла бы скорость света, что противоречит результатам экспериментов и основным положениям СТО.
Так же при изучении классической механики мы с вами говорили о том, что важной динамической величиной является масса тела. Из второго закона Ньютона следует, что масса тела является мерой его инертных свойств. В формулах, связывающих импульс тела и его скорость, а также кинетическую энергию и скорость тела, масса тела также выступает как мера инертности.
В то же время масса является мерой гравитационного взаимодействия, так как она входит в закон всемирного тяготения. Инертность и способность к гравитационным взаимодействиям представляют собой совершенно различные проявления свойств материи. Однако оба свойства всегда существуют совместно и всегда друг другу пропорциональны. При этом многочисленные эксперименты показали, что инертная и гравитационная массы равны.
В классической механике мы также говорили о том, что масса является мерой количества вещества: чем больше отдельных частиц (атомов) содержит физическая система, тем больше её масса.
В специальной теории относительности в отличие от классической механики масса тела не является мерой количества вещества, так как в релятивистской теории масса определяться не столько числом частиц, сколько их энергиями.
В СТО масса движущегося тела не является мерой его взаимодействия с гравитационным полем, так как это поле зависит от энергии и импульса тела.
Из постулатов теории относительности вытекает, что скорость частицы может быть либо равна скорости света в вакууме во всех инерциальных системах, либо меньше скорости света. Соответственно рассматриваются два класса частиц. Частицы, движущиеся с абсолютной скоростью, отличаются предельной инерционностью: они всегда движутся только по инерции и не могут быть ни замедленны, ни ускорены. На основании этого предположили, что масса таких частиц равна нулю — безмассовые частицы. Такими частицами, в частности, являются фотоны (кванты электромагнитного излучения) и нейтрино.
При взаимодействии безмассовых частиц с частицами вещества выполняются законы сохранения энергии и импульса, о чем свидетельствуют опыты по взаимодействию фотонов и нейтрино с атомами, ядрами и элементарными частицами. Это позволяет утверждать, что безмассовые частицы обладают энергией и импульсом. При этом во всех инерциальных системах отсчёта вектор импульса такой частицы и её энергия отличны от нуля, так как её нельзя остановить. Возможно лишь их одновременное обращение в ноль, что будет означать прекращение её существования (например, в результате поглощения). Энергия и импульс таких частиц связаны соотношениями, представленными на экране:
В отличие от безмассовых частиц, движущихся с абсолютной скоростью, остальные — массовые частицы — всегда движутся со скоростью меньше скорости света. То есть масса есть их индивидуальная характеристика. Масса частицы абсолютна: она не зависит от выбора инерциальной системы отсчёта, а значит, и от скорости движения частицы.
При этом масса в СТО для каждого тела остаётся постоянной величиной, характеризующей его инертность. Как и в нерелятивистской механике, числовое значение массы показывает, насколько данное тело инертнее, чем тело, принятое за эталон массы.
В СТО релятивистский импульс свободно движущейся частицы, обладающей массой, определяется отношением произведения скорости частицы и её энергией к квадрату скорости света в вакууме:
При этом энергия определяется из соотношения между энергией и импульсом:
Отсюда следует, что если частица, обладающее массой, покоится, то её импульс равен нулю. Однако при этом энергия частицы отлична от нуля:
Эта энергия называется энергией покоя, которую ещё называют собственной энергией частицы.
Таким образом, согласно СТО, масса тела является мерой его энергии в состоянии покоя. В каждом теле таится огромный запас энергии. Например, тело массой один грамм обладает энергией покоя, которая эквивалентна энергии, выделяющейся при сгорании 2000 т нефти.
Из предыдущей формулы следует, что изменение энергии покоя тела вызывает изменение его массы:
Утверждение о том, что энергия покоя пропорциональна массе, а изменение энергии покоя вызывает изменение массы, называют законом взаимосвязи массы и энергии.
Если в формулу соотношения между энергией и импульсом подставить значение модуля импульса, то легко получить выражение для определения полной энергии тела, движущегося с релятивистской скоростью:
Теперь подставим полученное уравнение в формулу для импульса:
Последняя формула определяет релятивистский импульс тела, движущегося со скоростью, близкой к скорости света.
Кинетическая энергия тела в СТО определяется разностью между полной энергией и энергией покоя:
Обратите внимание на то, что согласно этой формуле, если скорость массовой частицы стремится к скорости света, то её кинетическая энергия стремится к бесконечности, что невозможно. Это означает, что скорость частицы, обладающей массой, всегда меньше скорости света в вакууме.
Для закрепления нового материала, давайте с вами определим, за какое время масса Солнца уменьшится в два раза, если ежесекундно оно равномерно излучает энергию, мощность которой равна 3,9 ∙ 10 26 Вт.
В заключение отметим, что законы динамики Ньютона и классические представления о пространстве и времени можно рассматривать как частный случай релятивистских законов при скоростях движения, много меньших скорости света.
Это — проявление так называемого принципа соответствия, согласно которому любая теория, претендующая на более глубокое описание явлений и на более широкую сферу применимости, чем старая, должна включать последнюю как предельный случай. Принцип соответствия впервые был сформулирован Нильсом Бором для установления связи квантовой и классической теорий.
Читайте также: