Движение тела брошенного под углом к горизонту конспект 10 класс

Обновлено: 05.07.2024

– Сегодня на уроке мы продолжим решать задачи на расчет скорости и координаты движущихся тел.

II. Актуализация знаний (5 мин.)

Задание: Напишите уравнения скорости и координаты движущегося тела. Определите скорость и координату через 2с после начала наблюдения.

Учащимся предлагается заполнить пропуски в таблице:

III. Постановка проблемы (5 мин.)

– Почему вы не заполнили последнюю строчку?
– Встречается ли на практике такой вид движения?
– Как, по вашему мнению, движется тело брошенное под углом к горизонту?
– Какой будет цель нашего урока?
– Как вы сформулируете тему урока?

Тема урока записывается на доске и в тетрадях учащихся.

– Какой алгоритм решения задачи вы предлагаете?

1. Выбрать систему отсчета.
2. Определить проекции векторов начальной скорости и ускорения на выбранные оси координат.
3. Написать уравнения проекций скоростей и координат.

Учащиеся выполняют действия по предложенному алгоритму и результат записывают на доске и в тетради.

Вид доски:

V. Первичное закрепление (5 мин.)

Учащиеся выполняют необходимые вычисления и заполняют последнюю строчку таблицы, комментируя каждое действие.

VI. Самостоятельная работа (12 мин.)

Найдите проекции начальной скорости на горизонтальное и вертикальное направление.
Вычислите, через сколько секунд ядро упадет на землю.
Вычислите дальность полета ядра.
Вычислите максимальную высоту подъема ядра над землей.

VII. Повторение (5 мин.)

– Как изменяется со временем горизонтальная координата тела, брошенного под углом горизонту?
– По какому закону изменяется его вертикальная координата?
– Почему дальность полета ядра в разных вариантах различная?
– Как спортсмен может улучшить свой результат?
– Под каким углом к горизонту нужно бросить тело, чтобы дальность полета была максимальной?

VIII. Итог урока (2 мин.)

– Что вы узнали сегодня на уроке?
– Чему вы научились?

IX. Домашнее задание

– Напишите уравнение координаты y(x) для тела, брошенного под углом к горизонту.
– Докажите, что максимальная дальность полета достигается, если начальная скорость тела направлена под углом 45о к горизонту

Посмотрев этот видеоурок, учащиеся вспомнят, что называют свободным падением тел, при каких условиях падение тел можно считать свободным. Узнают, к какому виду механического движения относится свободное падение тел, познакомятся с особенностями такого движения.

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока "Свободное падение тел. Движение тела под углом к горизонту"

Частным случаем равноускоренного движения является свободное падение тел. Жизненный опыт нам подсказывает, что любое тело, если его ничего не поддерживает, падает на поверхность Земли, постоянно увеличивая свою скорость. При этом мы видим, что лёгкие предметы падают гораздо медленнее, чем тяжёлые. Так и хочется сказать, что время падения зависит от массы тела — чем она больше, тем быстрее падает тело.

Такие мысли посещали не одно поколение учёных, в том числе и древнегреческого учёного Аристотеля, который первым указал на эту зависимость падения тел. При этом взгляды Аристотеля казались настолько очевидными, что в течение почти 18 веков никто не подвергал их сомнению.

Лишь в конце XVI века Галилео Галилей усомнился в этом. Согласно легенде, в 1589 году на глазах многочисленной публики он одновременно сбросил с вершины Пизанской башни два пушечных ядра различной массы. Каково же было удивление зевак, когда два ядра полетели вместе и вместе достигли земли.

Различную скорость падения других тел Галилей объяснял наличием сопротивления воздуха. Тогда предположив, что произошло бы в случае свободного падения тел в вакууме, великий итальянец вывел следующие законы падения тел для идеального случая:

Все тела при падении движутся одинаково: начав падать одновременно, они движутся с одинаковой скоростью.

Движение происходит с постоянным ускорением.

Для доказательства правоты Галилея Исаак Ньютон провёл очень простой и убедительный опыт. Он взял стеклянную трубку, в которую поместил дробинку, кусочек пробки, пушинку и так далее. Затем он перевернул трубку и наблюдал, как сначала упала дробинка, затем пробка и только потом — пушинка. Но вот когда он откачал из трубки почти весь воздух и повторил эксперимент, то увидел, как все три предмета упали на дно трубки одновременно.

Одновременное падение тел в разреженном воздухе доказывает, что все тела падают с одинаковым ускорением. Падение тел под действием только гравитационного поля Земли называется свободным падением. Поскольку сила тяжести, действующая на тело вблизи поверхности Земли в данной её точке, постоянна, то свободно падающее тело движется с постоянным ускорением, называемым ускорением свободного падения. Причём для всех тел в одном и том же месте оно одинаково и направлено по вертикали вниз.

Обратим внимание на то, что свободное падение — это не обязательно только движение вниз. Так, если мы подбросим камень, то он при своём свободном падении некоторое время будет двигаться вверх, уменьшая свою скорость до нуля, и лишь потом начнёт падать.

При изучении свободного падения тел мы будем рассматривать только такие движения, в которых сопротивлением воздуха можно пренебречь. Тогда эти движения будут описываться уже известными нам кинематическими уравнениями:

Теперь давайте изучим движение тела, начальная скорость которого направлена под некоторым углом к горизонту (или под углом к ускорению свободного падения). С таким видом движения приходится встречаться довольно часто. Например, так движется теннисный мячик после удара по нему ракеткой. Полет пуль и снарядов также представляет собой пример движения тел, брошенных под углом к горизонту.

Итак, найдём траекторию тела, брошенного под углом к горизонту с некоторой начальной скоростью.

Для описания движения выберем две взаимно перпендикулярные оси координат таким образом, чтобы векторы начальной скорости и ускорения свободного падения лежали в одной плоскости. Начала отсчёта совместим с начальным положением тела.

Теперь запишем кинематические уравнения равноускоренного движения (а движение у нас действительно равноускоренное, потому что модуль и направление ускорения с течением времени не изменяются):

Так как начало координат совмещено с точкой бросания, то начальные координаты тела равны нулю:

В выбранной системе координат проекция вектора ускорения на ось Х равна нулю, а на ось Y — –g.

Из полученного рисунка видно, что проекцию вектора начальной скорости можно выразить через её модуль и косинус или синус угла, который этот вектор образует с положительным направлением оси:

Перепишем кинематические уравнения движения с учётом начальных условий:

Из этих формул следует, что в горизонтальном направлении тело, брошенное под углом к горизонту, движется равномерно, а в вертикальном — равноускоренно.

В этом легко убедиться. Так, если посмотреть на такое движение тела сверху, то мы увидим, как оно движется вдоль прямой с постоянной скоростью. А если посмотреть на это движение сбоку, то мы сначала увидим, как шарик замедленно поднимается вверх, а потом ускоренно падает вниз.

Для построения траектории движения найдём её уравнение (то есть найдём зависимость у = у(х). Чтобы получить это уравнение нам с вами необходимо исключить время из уравнений движения. Для этого выразим из уравнения движения тела вдоль оси Х время:

И подставим его во второе уравнение:

Обратите внимание на то, что

После замены мы приходим к простой квадратичной функции, известной нам ещё из курса алгебры. Напомним, что её графиком является парабола. Причём ветви параболы будут направлены вниз, так как значение коэффициента b меньше нуля.

Таким образом мы с вами показали, что тело, брошенное под углом к горизонту, действительно движется по параболе (конечно при условии, что ускорение свободного падения постоянно).

Теперь давайте определим время полёта. Для этого воспользуемся уравнением движения тела вдоль оси OY. При этом учтём, что в момент падения тела на землю его координата становится равной нулю:

Решая простое квадратное уравнение, найдём формулу, по которой можно рассчитать время полёта тела:

Второй корень уравнения, равный нулю, соответствует моменту броска.

Теперь легко определить дальность полёта. Для этого подставляем найденное значение времени в уравнение движения тела вдоль оси Икс:

Полученное выражение можно упростить, если вспомнить о том, что удвоенное произведение синуса на косинус — это синус двойного угла:

Также мы можем найти максимальную высоту подъёма и время подъёма тела на эту высоту. Для этого воспользуемся уравнением скорости для равноускоренного движения в проекциях на ось Y:

Теперь учтём, что в верхней точке траектории проекция скорости на ось игрек равна нулю:

Решая простое линейное уравнение, найдём время подъёма тела на максимальную высоту:

Нетрудно заметить, что это время в два раза меньше времени всего полёта. Таким образом, получается, что сколько времени тело поднимается на максимальную высоту, столько же времени оно и опускается с неё.

Подставив полученное выражение для времени в уравнение движения вдоль оси игрек, найдём максимальную высоту подъёма тела:

Теперь давайте рассмотрим движение тела, брошенного горизонтально с некоторой высоты, и выясним, какой будет траектория этого тела. Для этого опять воспользуемся уравнениями движения, записанными в координатной форме:

Для описания движения тела выберем две взаимно перпендикулярные о́си координат таким образом, чтобы векторы начальной скорости и ускорения свободного падения лежали в одной плоскости. При этом пусть положительное направление оси Y совпадает с направлением вектора ускорения свободного падения. Начало отсчёта совместим с начальным положением тела.

При таком выборе системы координат, начальные координаты тела равны нулю. Также равны нулю проекция начальной скорости на ось Y и проекция ускорения на ось X. Тогда:

Перепишем уравнения движения с учётом начальных условий:

Их анализ показывает, что в горизонтальном направлении тело движется равномерно, а в вертикальном — равноускоренно с ускорением свободного падения.

Когда скорость тела направлена горизонтально, оно движется по ветви параболы, вершина которой находится в точке бросания.

Предлагаем вам самостоятельно определить время и максимальную дальность полёта тела.

Таким образом, на основании рассмотренных нами примеров можно сделать вывод о том, что любое сложное движение можно представить, как сумму движений по двум независимым координатам. В этом состоит суть закона независимости движений.

Кинематика - это просто!

После броска, в полете, на тело действуют сила тяжести Fт и сила сопротивления воздуха Fс.
Если движение тела происходит на малых скоростях, то при расчете силу сопротивления воздуха обычно не учитывают.
Итак, можно считать, что на тело действует только сила тяжести, значит движение брошенного тела является свободным падением.
Если это свободное падение, то ускорение брошенного тела равно ускорению свободного падения g.
На малых высотах относительно поверхности Земли сила тяжести Fт практически не меняется, поэтому тело движется с постоянным ускорением.

Итак, движение тела, брошенного под углом к горизонту является вариантом свободного падения, т.е. движением с постоянным ускорением и криволинейной траекторией (т.к. векторы скорости и ускорения не совпадают по направлению).

Формулы этого движения в векторном виде: Для расчета движения тела выбирают прямоугольную систему координат XOY, т.к. траекторией движения тела является парабола, лежащая в плоскости, проходящей через векторы Fт и Vo .
За начало координат обычно выбирают точку начала движения брошенного тела.

В любой момент времени изменение скорости движения тела по направлению совпадает с ускорением.

Вектор скорости тела в любой точке траектории можно разложить на 2 составляющих: вектор V_x и вектор V_y.
В любой момент времени скорость тела будет определяться, как геометрическая сумма этих векторов:

Согласно рисунку, проекции вектора скорости на координатные оси OX и OY выглядят так:

Расчет скорости тела в любой момент времени:

Расчет перемещения тела в любой момент времени:

Каждой точке траектории движения тела соответствуют координаты X и Y:

Расчетные формулы для координат брошенного тела в любой момент времени:

Из уравнения движения можно вывести формулы для расчета максимальной дальности полета L:

и максимальной высоты полета Н:

P.S.
1. При равных по величине начальных скоростях Vo дальность полета:
- возрастает, если начальный угол бросания увеличивать от 0 o до 45 o ,
- убывает, если начальный угол бросания увеличивать от 45 o до 90 o .

2. При равных начальных углах бросания дальность полета L возрастает с увеличением начальной скорости Vo.

3. Частным случаем движения тела, брошенного под углом к горизонту, является движение тела, брошенного горизонтально, при этом начальный угол бросания равен нулю.

Когда тело бросают вверх под углом к горизонту, оно сначала равнозамедленно поднимается, а затем равноускорено падает. При этом оно перемещается относительно земли с постоянной скоростью.

Важные факты! График движения тела, брошенного под углом к горизонту:

α — угол, под которым было брошено тело

Вектор скорости тела, брошенного под углом к горизонту, направлен по касательной к траектории его движения.
Так как начальная скорость направлена не вдоль горизонтальной линии, обе ее проекции отличны от нуля. Проекция начальной скорости на ось ОХ равна v_0x = v₀cosα. Ее проекция на ось ОУ равна v_0y = v₀sinα.
Проекция мгновенной скорости на ось ОХ равна: v_x = v₀ cosα. Ее проекция на ось ОУ равна нулю: v_y = v₀ sinα – gt.
Проекция ускорения свободного падения на ось ОХ равна нулю: g_x = 0. Ее проекция на ось ОУ равна –g: g_y = –g.

Кинематические характеристики

Модуль мгновенной скорости в момент времени t можно вычислить по теореме Пифагора:

Минимальной скорости тело достигает в верхней точке траектории. Она выражается формулой:

Максимальной скоростью тело обладает в момент начала движения и в момент падения на землю. Начальная и конечная скорости движения тела равны:

Время подъема — время, которое требуется телу, чтобы достигнуть верхней точки траектории. В этой точке проекция скорости на ось ОУ равна нулю: v_y = 0. Время подъема определяется следующей формулой:

Полное время — это время всего полета тела от момента бросания до момента приземления. Так как время падения равно времени подъема, формула для определения полного времени полета принимает вид :

Дальность полета — перемещение тела относительно ОХ. Обозначается буквой l. Так как относительно ОХ тело движется с постоянной скоростью, для вычисления дальности полета можно использовать формулу перемещения при равномерном прямолинейном движении:

Подставляя в выражение формулу полного времени полета, получаем:

Горизонтальное смещение тела — смещение тела вдоль оси ОХ. Вычислить горизонтальное смещение тела в любой момент времени t можно по формуле координаты x:

Учитывая, что x₀ = 0, и проекция ускорения свободного падения на ось ОХ тоже равна нулю, а проекция начальной скорости на эту ось равна v₀ cosα, данная формула принимает вид:

Мгновенная высота — высота, на которой находится тело в выбранный момент времени t. Она вычисляется по формуле координаты y:

Учитывая, что начальная координата равна 0, проекция начальной скорости на ось ОУ равна v₀ sinα, а проекция ускорения свободного падения на эту ось равна –g, эта формула принимает вид:

Наибольшая высота подъема — расстояние от земли до верхней точки траектории. Наибольшая высота подъема обозначается h и вычисляется по формуле:

Пример №1. Небольшой камень бросили с ровной горизонтальной поверхности под углом к горизонту. На какую максимальную высоту поднялся камень, если ровно через 1 с после броска его скорость была направлена горизонтально?

Скорость направляется горизонтально в верхней точке полета. Значит, время подъема равно 1 с. Из формулы времени подъема выразим произведение начальной скорости на синус угла, под которым было брошено тело:

Подставим полученное выражение в формулу для определения наибольшей высоты подъема и сделаем вычисления:

Тело, брошенное под углом к горизонту с некоторой высоты

Когда тело бросают под углом к горизонту с некоторой высоты, характер его движения остается прежним. Но приземлится оно дальше по сравнению со случаем, если бы тело бросали с ровной поверхности.

График движения тела, брошенного под углом к горизонту с некоторой высоты:

Время падения тела больше времени его подъема: t_пад > t_под.

Полное время полета равно:

Уравнение координаты x:

Уравнение координаты y:

Пример №2. С балкона бросили мяч под углом 60 градусов к горизонту, придав ему начальную скорость 2 м/с. До приземления мяч летел 3 с. Определить дальность полета мяча.

Косинус 60 градусов равен 0,5. Подставляем известные данные в формулу:

x = v₀ cosα t = 2 ∙ 0,5 ∙ 3 = 3 м.

Задание EF17562 С высоты Н над землёй начинает свободно падать стальной шарик, который через время t = 0,4 c сталкивается с плитой, наклонённой под углом 30° к горизонту. После абсолютно упругого удара он движется по траектории, верхняя точка которой находится на высоте h = 1,4 м над землёй. Чему равна высота H? Сделайте схематический рисунок, поясняющий решение.

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

Построим чертеж и укажем на нем все необходимое:

Нулевой уровень — точка D.

Закон сохранения энергии:

Потенциальная энергия шарика в точке А равна:

Кинетическая энергия шарика в точке А равна нулю, так как скорость в начале свободного падения нулевая.

В момент перед упругим ударом с плитой в точке В потенциальная энергия шарика минимальна. Она равна:

Перед ударом кинетическая энергия шарика равна:

Согласно закону сохранения энергии:

E p A = E p B + E k B

m g H = m g l 1 + m v 2 2 . .

Отсюда высота H равна:

H = m g l 1 m g . . + m v 2 2 m g . . = l 1 + v 2 2 g . .

Относительно точки В шарик поднимется на высоту h – l₁. Но данный участок движения можно рассматривать как движение тела, брошенного под углом к горизонту. В таком случае высота полета определяется формулой:

h − l 1 = v 2 sin 2 . β 2 g . . = v 2 sin 2 . ( 90 − 2 α ) o 2 g . .

l 1 = h − v 2 sin 2 . ( 90 − 2 α ) o 2 g . .

Шарик падал в течение времени t, поэтому мы можем рассчитать высоту шарика над плитой и его скорость в точке В:

H = l 1 + v 2 2 g . . = h − ( g t ) 2 sin 2 . ( 90 − 2 α ) o 2 g . . + ( g t ) 2 2 g . .

H = h − g t 2 sin 2 . ( 90 − 2 α ) 2 . . + g t 2 2 . . = h − g t 2 2 . . ( sin 2 . ( 90 − 2 α ) o − 1 )

H = 1 , 4 − 10 · 0 , 4 2 2 . . ( sin 2 . ( 90 − 6 0 ) o − 1 )

H = 1 , 4 − 5 · 0 , 16 ( sin 2 . 3 0 o − 1 )

H = 1 , 4 − 0 , 8 ( ( 1 2 . . ) 2 − 1 ) = 1 , 4 − 0 , 8 ( 1 4 . . − 1 )

H = 1 , 4 + 0 , 6 = 2 ( м )

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Задание EF17980

В момент t=0 мячик бросают с начальной скоростью v₀ под углом α к горизонту с балкона высотой h (см. рисунок).

Графики А и Б представляют собой зависимости физических величин, характеризующих движение мячика в процессе полёта, от времени t. Установите соответствие между графиками и физическими величинами, зависимости которых от времени эти графики могут представлять. (Сопротивлением воздуха пренебречь. Потенциальная энергия мячика отсчитывается от уровня y=0).

К каждой позиции графика подберите соответствующую позицию утверждения и запишите выбранные цифры в порядке АБ.

Алгоритм решения

Установить вид механического движения, исходя из условий задачи.
Записать формулы для физических величин, указанных в таблице, в соответствии с установленным видом механического движения.
Определить, как зависят эти величины от времени.
Установить соответствие между графиками и величинами.

Решение

Исходя из условия задачи, мячик движется неравномерно. Этот случай соответствует движению тела, брошенного под углом к горизонту.

Записываем формулы для физических величин из таблицы, учитывая, что речь идет о движении тела, брошенного под углом к горизонту.

Координата x меняется согласно уравнению координаты x:

Так как начальная координата нулевая, а проекция ускорения свободного падения тоже равна нулю, это уравнение принимает вид:

Проекция скорости мячика на ось ОХ равна произведению начальной скорости на время и косинус угла, под которым мячик был брошен. Поэтому уравнение координаты x принимает вид:

В этом уравнении начальная скорость и угол α — постоянные величины. Меняется только время. И оно может только расти. Поэтому и координата x может только расти. В этом случае ей может соответствовать график, представляющий собой прямую линии, не параллельную оси времени. Но графики А и Б не могут описывать изменение этой координаты.

Формула проекции скорости мячика на ось ОХ:

Начальная скорость и угол α — постоянные величины. И больше ни от чего проекция скорости на ось ОХ не зависит. Поэтому ее может охарактеризовать график в виде прямой линии, параллельной оси времени. Такой график у нас есть — это Б.

Кинетическая энергия мячика равна половине произведения массы мячика на квадрат его мгновенной скорости. По мере приближения к верхней точке полета скорость тела уменьшается, а затем растет. Поэтому кинетическая энергия также сначала уменьшается, а затем растет. Но на графике А величина наоборот — сначала увеличивается, потом уменьшается. Поэтому он не может быть графиком зависимости кинетической энергии мячика от времени.

Остается последний вариант — координата y. Уравнение этой координаты имеет вид:

Это квадратическая зависимость, поэтому графиком зависимости координаты y от времени может быть только парабола. Так как мячик сначала движется вверх, а потом — вниз, то и график должен сначала расти, а затем — убывать. График А полностью соответствует этому описанию.

Теперь записываем установленные соответствия в порядке АБ: 42.

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Мальчик бросил стальной шарик вверх под углом к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите, как меняются по мере приближения к Земле модуль ускорения шарика и горизонтальная составляющая его скорости?

Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:

увеличивается
уменьшается
не изменяется

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

Алгоритм решения

Сделать чертеж, иллюстрирующий ситуацию.
Записать формулы, определяющие указанные в условии задачи величины.
Определить характер изменения физических величин, опираясь на сделанный чертеж и формулы.

Решение

Горизонтальная составляющая скорости шарика определяется формулой:

Читайте также: