Дифференцирование сложной функции конспект урока 10 класс мордкович

Обновлено: 05.07.2024

Цель урока: создание условий для введения и усвоения правил дифференцирования и их первичного закрепления; для развития информационной компетенции; для воспитания интереса к предмету и стремления выхода на новый уровень в обучении алгебре.

I этап. Актуализация знаний + обсуждение нового материала

1) Вывод правил (3 человека работают у доски – сильные учащиеся)

  • производная суммы
  • вынесение постоянного множителя за знак производной
  • производная произведения

2) Таблица производных (1 человек работает у доски)

  1. Производной функции в точке х0 называется отношение приращения функции к приращению аргумента при Δх → 0.
  2. С' = С
  3. ()' = 2х
  4. (sin х )' = cos х
  5. (cos х)' = sin х
  6. =
  7. Производная суммы равна сумме производных.
  8. Производная произведения равна произведению производных.
  9. Постоянный множитель нужно вынести за знак производной.

4) Проверка теста

  • до черты (подвести итог по ранее изученному материалу)
  • после черты – самопроверка (подвести итог по новому материалу)

5) Знакомство с выводом правил (в сильном классе)

6) Проверка формул (Формулы и правила дифференцирования остаются на боковых досках как опорный материал)

7) Алгоритм нахождения производной: сначала примени одно из правил дифференцирования, затем нужные формулы.

II этап. Закрепление изученного материала.

№737(а), 740(а), 741(а), 743(а), 745(а), 747(а), 749(а).

III этап. Первичный контроль усвоения изученного материала + рефлексия.

Задания на карточках:

  1. Найдите значение производной в точке :
    1. у = + 2х – 1, = 0
    2. у = – 4 – 3, = -1
    1. Найдите значение производной в точке х0:
      1. у = х 3 - 3х + 2, х0 = -1
      2. у = х 5 + 9х 20 + 1, х0 = 0
      1. Найдите значение производной в точке х0:
        1. , х0 = 4
        2. у =, х0 = 1
        1. Найдите значение производной в точке х0:
          1. у = , х0 = 9
          2. у = , х0 = 4
          1. Найдите значение производной в точке х0:
            1. у = cos x + tg x, x0 = π
            2. y = ctg x – cos x, x0 =
            1. Найдите значение производной в точке х0:
              1. y = (x 2 + 3)(x 4 – 1), x0 = 0
              2. y = (x 2 - 1)(x 4 + 2), x0 = 2
              1. Найдите значение производной в точке х0:
                1. y = (x 2 - 2)(x 7 + 4), x0 = 0
                2. y = (x 2 + 3)(x 6 - 1), x0 = -1
                1. Найдите значение производной в точке х0:
                  1. y = x sin x, x0 =
                  2. y = x tg x, x0 =
                  1. Найдите значение производной в точке х0:
                    1. у = , х0 = 4
                    2. у = , х0 = 9
                    1. Найдите значение производной в точке х0:
                      1. у = , х0 = 1
                      2. у = , х0 = 1
                      1. Найдите значение производной в точке х0:
                        1. у =sin x – cos x, х0 =
                        2. у =2cos x + sin x, х0 =
                        1. Найдите значение производной в точке х0:
                          1. у = , х0 = 1
                          2. у = , х0 = 2
                          1. Найдите значение производной в точке х0:
                            1. у = , х0 = 1
                            2. у = , х0 = 1
                            1. Найдите значение производной в точке х0:
                              1. у = , х0 = 1
                              2. у = , х0 = 1
                              1. Найдите значение производной в точке х0:
                                1. у = , х0 = -1
                                2. у = , х0 = 1
                                1. Найдите значение производной в точке х0:
                                  1. у = x 6 + 13x 10 + 12, х0 = 1
                                  2. у = x 4 – 12x 5 + 2, х0 = -1
                                  1. Найдите значение производной в точке х0:
                                    1. у = , х0 = 1
                                    2. у = , х0 = 2
                                    1. Найдите значение производной в точке х0:
                                      1. у = , х0 = 2
                                      2. у = , х0 = 1
                                      1. Найдите значение производной в точке х0:
                                        1. у = , х0 =
                                        2. у = , х0 = π
                                        1. Найдите значение производной в точке х0:
                                          1. у = , х0 = 0
                                          2. у = , х0 = 1

                                          IV этап. Подведение итогов. Домашнее задание.

                                          Индивидуальные задания (для сильных учащихся). 1)Самостоятельно доказать правило нахождения производной частного. 2) Подготовить доказательство формул tg' x, ctg' x. 3) Метод математической индукции для производной степенной функции.

                                          Интегрированный урок по алгебре и физике, который проводят два учителя - учитель физики и учитель математики. В данном материале представлен фрагмент урока в классе с углубленным изучением математики, проведенный учителем математики, который содержит ответы учащихся у доски, фронтальную устную работу с классом, доклад учащегося по теме "Уравнение нормали к графику функции", устную работу по индивидуальным карточкам по технике дифференцирования, игру "Поле чудес" по технике дифференцирования, разноуровневую самостоятельную работу.

                                          ВложениеРазмер
                                          differencirovanie_funkciy.docx 115.15 КБ

                                          Предварительный просмотр:

                                          Фрагмент урока по теме:

                                          в 10б классе (алгебра).

                                          Компьютер, мультимедийный проектор, дидактические карточки для устного счёта, разноуровневые карточки с заданиями для самостоятельной работы.

                                          I. Повторение пройденного материала.

                                          Изучение математики, естественнонаучных и технических дисциплин происходит параллельно, и часто, не только математика используется в физике и в определённой мере даже определяет ход физического образования, но и физика использует математический аппарат, оказывает обратное воздействие на математику. Прежде всего, при обучении физике происходит закрепление математических знаний. Так, в 10 классе производная используется при рассмотрении некоторых вопросов электродинамики.

                                          1. 1 учащийся готовится у доски:

                                          1. Доказать, что функция f(x) = x ∙ |x| дифференцируема в точке x = 0, и найти её производную в этой точке.
                                          2. На повторение:

                                          Представить в виде суммы чётной и нечётной функций следующую функцию y = .

                                          открытый урок в 10 классе по учебнику Мордковича "Алгебра и начала анализа 10-11 классы" "Дифференцирование сложной функции" с презентацией и раздаточным материалом.

                                          ВложениеРазмер
                                          differentsirovanie.pptx 338.49 КБ
                                          otkrytyy_urok_v_10.docx 15.88 КБ
                                          razdatochnyy_material.docx 12.08 КБ

                                          Предварительный просмотр:

                                          Подписи к слайдам:

                                          Ты можешь стать умнее тремя путями: путем опыта – это самый горький путь; путем подражания – это самый легкий путь; путем размышления – это самый благородный путь. Китайская пословица.

                                          На рисунке изображены график функции y = f ( x ) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f ( x ) в точке x 0 .

                                          На рисунке изображены график функции y = f ( x ) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f ( x ) в точке x 0 .

                                          f ( х ) = f(х) = х  sinх f(х) = 3 Разминка f(х) = sin 2 x

                                          . Дифференцирование функции у= f( kx+m )

                                          f(х) = sin 2x f(х) = sin 4x

                                          f(х) = (5 – 3х) 7 f(х) = (5 – 3х) 2

                                          Решение упражнений Самостоятельно с последующей взаимопроверкой № 28.28 ( а,б ) №28.29 ( а,б ) № 28.30 ( а,б )

                                          Ну кто придумал эту математику ! У меня всё получилось. Надо решить ещё пару примеров. Рефлексия

                                          Cos 2x= cos 2 x – sin 2 x cos 2 x + sin 2 x =1 Sin 2x= 2sinx cosx

                                          Предварительный просмотр:

                                          Урок алгебры в 10 классе

                                          8. Педагогические цели:

                                          1) образовательные : организовать учебную деятельность, направленную на освоение формулировки теоремы о вычислении производной функции у=f(kx+m) и выработку умений вычислять производные функций.

                                          2) развивающие : создать условия для развития умений передавать информацию в сжатом и развёрнутом виде; анализировать задание и планировать пути достижения целей; контролировать и оценивать свою учебную деятельность по результатам; организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и со сверстниками.

                                          3) воспитательные : создать условия для формирования стремления развивать мышление.

                                          Цели для обучающихся:

                                          - закрепить знания формул и правил дифференцирования;

                                          - освоить теорему о вычислении производной функции у=f(kx+m);

                                          - выработать умения применять теорему.

                                          9. Используемые УУД: регулятивные (целеполагание, планирование деятельности, прогнозирование, контроль, коррекция, самооценка)

                                          Коммуникативные: планирование (определение целей, функций участников, способов взаимодействия), постановка вопросов (инициативное сотрудничество в сборе информации), сотрудничество (выражение своих мыслей, отстаивание своей позиции, точки зрения);

                                          Познавательные: общеучебные (формулирование цели, поиск и выделение информации), логические умозаключения.

                                          Личностные: самоопределение (мотивация учения, формирование культуры личности).

                                          10. Тип урока: закрепление изученного материала.

                                          11. формы работы обучающихся: фронтальная, групповая, индивидуальная.

                                          12. Техническое оборудование: компьютер, проектор, магнитная доска, документ-камера, учебники по алгебре, планшеты, раздаточный материал.

                                          Учитель: Уроки, как и ситуации бывают разные. Соответственно на каждом уроке свой путь познания. Мы уже многое познали на предыдущих уроках. Поэтому на сегодняшнем уроке я предлагаю пройти путём размышления. Согласны?

                                          Но вы уже знаете; чтобы размышления принесли хороший результат. Нужны знания, на которые можно опереться.давайте проверим, хорошо ли вы усвоили материал предыдущих уроков.

                                          - С какой математической моделью работаем на уроках алгебры?

                                          - Объясните её смысл.

                                          - Решите задание. (слайды 2-3)

                                          - В каких ещё науках применяется? Приведите примеры.

                                          - Что общего в решении всех этих задач?

                                          - Как называется операция вычисления производной?

                                          - Что нужно, для выполнения операции дифференцирования?

                                          - Хорошо ли вы знаете формулы?

                                          3. Работа с раздаточным материалом.

                                          4. Теоретический опрос по правилам дифференцирования.

                                          5. Проверка домашнего задания с помощью документ-камеры.

                                          6. Проверка знаний (слайд 4 Разминка)

                                          8. Запись темы урока в тетрадь (слайд 5)

                                          9. Работа по теме урока . Рассуждение о возможных преобразованиях функции, которые приведут к более простому виду, и нахождение производной. Первая функция- тригонометрическая (слайд 6). Вторая функция – степенная (слайд 7). Сравнение результатов. Нахождение общего. Формулировка вывода.

                                          10. Работа с учебником (с. 173 теорема 5). Сравнение формулировки.

                                          11. Первичное закрепление (слайд 8). Совместная работа.

                                          12. Вторичное закрепление . Самостоятельное решение заданий из учебника с взаимопроверкой.

                                          • Для учеников 1-11 классов и дошкольников
                                          • Бесплатные сертификаты учителям и участникам

                                          Конспект урока по математике 10 класс

                                          Тип урока: урок изучения нового материала и первичного закрепления.

                                          Образовательная: изучить правило для запоминания формулы приведения; сформировать умения применять его для упрощения выражений, вычисления значений тригонометрических функций углов в радианах, в градусах [при доказательстве тождеств, решении уравнений].

                                          Развивающая: развивать мышление, память, развивать умение анализировать, строить аналогии, развивать математически грамотную речь: развитие самостоятельности; познавательного интереса (через исторический экскурс).

                                          Воспитательная: воспитание сознательного отношения к учебе; доброжелательное отношение друг к другу (работа в парах, группах); ответственность за полученный результат, воспитание учебной самостоятельности.

                                          Дидактическая цель: создать условия для осознания и осмысления блока новой учебной информации.

                                          Знания и умения:

                                          Знать правило для запоминания формулы приведения.

                                          Уметь применять формулы приведения для упрощения выражений, вычисления значений тригонометрических функций, доказательства тождеств, при решении уравнений.

                                          Оборудование:

                                          портрет Л. Эйлера. (Приложение 1).

                                          Оргмомент: проверяем присутствующих, готовность класса к уроку.

                                          Учитель: Какую тему мы с вами изучаем? (тригонометрические функции).

                                          Сегодня будем изучать новый материал по данной теме, и совершать экскурсы в историю математики по вашим рефератам.

                                          Давайте сформулируем цели (формулы нужны для упрощения выражения, для того, чтобы проще было произвести вычисления).

                                          Вот мы и будем сегодня после изучения формул приведения, учиться применять их на практике.

                                          Изучение нового материала:

                                          Учитель: Какие же формулы называют формулами приведения?

                                          Если под знаком тригонометрических функций содержится выражение:

                                          + t ; – t ; t ; t ; t ; t ;

                                          и вообще любое выражение вида + t , где

                                          n – производное целое число, то, оказывается, такое выражение всегда можно привести к более простому виду, при котором под знаком тригонометрической функции будет содержаться аргумент t . Соответствующие формулы обычно называют формулами приведения . И с некоторыми из них мы с вами уже знакомы. Назовите равенства, которые мы рассматривали.


                                          Продолжаем систематизировать и углублять ранее полученные знания и сегодня мы поговорим о сложной функции и ее производной. Кроме этого разберем практические применения дифференциала функции.

                                          Сложная функция (конспект)

                                          2. Опрос, проверка домашнего задания:

                                          Что называется производной функции в точке?

                                          Что такое дифференцирование?

                                          Какая функция называется дифференцируемой в точке?

                                          Как взаимосвязаны непрерывность функции в точке и ее дифференцируемость в этой точке?

                                          Какие правила дифференцирования вы знаете?

                                          3) Устная работа.

                                          3. Изучение нового материала.

                                          1. Производная сложной функции.

                                          Постановка проблемной ситуации: найти производную функции у =ln(cos x).

                                          Мы имеем здесь логарифмическую функцию, аргументом которой служит не независимая переменная х, а функция cos x этого переменного.

                                          Как называются такого рода функции?

                                          Правила и формулы дифференцирования, рассмотренные нами на прошлом занятии, является основными при вычислении производных.

                                          Однако если для несложных выражений пользование основными правилами не представляет особого труда, то для сложных выражений, применение общего правила может оказаться делом весьма кропотливым.

                                          Цель нашего сегодняшнего занятия рассмотреть понятие сложной функции и овладеть техникой дифференцирования сложной функции, т.е. техникой применения основных формул при дифференцировании сложных функций.

                                          Из примера видно, что сложная функция это функция от функции. Следовательно, можно дать следующее определение сложной функции:

                                          Определение: Функция вида y = f (g (x)) называется сложной функцией, составленной из функ­ций f u g, или суперпозицией функций f и g.

                                          Весь материал - в документе.

                                          Содержимое разработки

                                          Урок №61 Дата:

                                          Предмет:алгебра

                                          Тема: Сложная функция

                                          - формирование понятий сложной функции, дифференциала функции;

                                          - развивать умение обобщать, систематизировать на основе сравнения, делать выводы

                                          - воспитание ответственного отношения к учебному труду, воли и настойчивости для достижения конечных результатов при нахождении производных сложных функций;

                                          Тип урока:комбинированный

                                          Оборудование: карточки, раздаточный материал, мел, доска

                                          Межпредметные связи: физика, геометрия

                                          1.Организационный момент:

                                          2. Опрос, проверка домашнего задания:

                                          Горячий стул

                                          Что называется производной функции в точке?

                                          Что такое дифференцирование?

                                          Какая функция называется дифференцируемой в точке?

                                          Как взаимосвязаны непрерывность функции в точке и ее дифференцируемость в этой точке?

                                          Какие правила дифференцирования вы знаете?

                                          3) Устная работа


                                          Пример 1 Найти производную функции .


                                          Решение: .


                                          Пример 2 Найти производную функции .


                                          Решение: .


                                          Пример 3 Найти производную функции .


                                          Решение: .

                                          3. Изучение нового материала

                                          1. Производная сложной функции

                                          Постановка проблемной ситуации: найти производную функции у =ln( cos x).

                                          Мы имеем здесь логарифмическую функцию, аргументом которой служит не независимая переменная х, а функция cos x этого переменного.

                                          Как называются такого рода функции?

                                          Правила и формулы дифференцирования, рассмотренные нами на прошлом занятии, является основными при вычислении производных.

                                          Однако если для несложных выражений пользование основными правилами не представляет особого труда, то для сложных выражений, применение общего правила может оказаться делом весьма кропотливым.

                                          Цель нашего сегодняшнего занятия рассмотреть понятие сложной функции и овладеть техникой дифференцирования сложной функции, т.е. техникой применения основных формул при дифференцировании сложных функций.

                                          Из примера видно, что сложная функция это функция от функции. Следовательно, можно дать следующее определение сложной функции:

                                          Определение: Функция вида y = f ( g (x) ) называется сложной функцией, составленной из функ­ций f u g, или суперпозицией функций f и g.

                                          Поэтому сложную функцию часто пишут в виде

                                          y = f(u), где u = g(x).

                                          Внешняя функция Внутренняя(промежуточная)

                                          При этом аргумент х называют независимой переменной, а u - промежуточным аргументом.

                                          Как же вычислить производную сложной функции?

                                          Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

                                          Теорема: Если функция u = g(x) дифференци­руема в некоторой точке х0, а функция y=f(u) дифференцируема в точке u0 = g(x0), то сложная функция у=f(g(x)) дифференцируема в данной точке x0.



                                          ,

                                          А теперь разберем это на примерах (слайды).

                                          Вывод:

                                          Чтобы найти производную сложной функции, надо ее правильно прочитать;

                                          Чтобы правильно прочитать функцию, надо определить в ней порядок действий;

                                          Функцию читаем в обратном направлении порядку действий;

                                          Производную находим по ходу чтения функции.

                                          - Искусство дифференцирования сложной функции заключается в умении видеть в момент дифференцирования только одну функцию (именно - дифференцируемую в данный момент), не замечая пока другие, откладывая их видение до момента дифференцирования.

                                          - используют при дифференцировании дополненную таблицу производных (учебник И.И. Валуцэ, стр. 215)

                                          2. Дифференциал функции

                                          Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)):

                                          Дифференциал dу называют также дифференциалом первого порядка.

                                          Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. дифференциал функции у=х.

                                          Так как у'=х'=1, то, согласно формуле (1), имеем dy=dx=∆x, т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dх=∆х.

                                          Поэтому формулу (*) можно записать так:

                                          иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.


                                          Из формулы (**) следует равенство .

                                          Теперь производную можно рассматривать как отношение дифференциалов dy и dх.

                                          Основные теоремы о дифференциалах

                                          Основные теоремы о дифференциалах легко получить, используя связь дифференциала и производной функции (dy=f'(x)dx) и соответствующие теоремы о производных.

                                          Теорема. Дифференциал суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций определяются следующими формулами:


                                          Пример1. Найти дифференциал функции ƒ(х)=3x 2 -sin(l+2x).

                                          Решение: По формуле dy=ƒ'(х) dx находим

                                          dy=(3х 2 -sin(l+2x))'dx=(6х-2cos(l+2х))dx.

                                          Пример2. Найти дифференциал функции


                                          Вычислить dy при х=0, dx=0,1.


                                          Подставив х=0 и dx=0.1, получим


                                          4. Закрепление материала

                                          Работа у доски и в тетради

                                          № 7.19- 7.31 – производная сложной функции (учебник И.И. Валуцэ, стр. 213)

                                          № 7.110, 7.112, 7.115 – дифференциал функции (учебник И.И. Валуцэ, стр. 245)

                                          № 7.120 (1), 7.123 (1), 7.124 (1), 7.125 (1) приближенные вычисления с помощью дифференциала (учебник И.И. Валуцэ, стр. 245)

                                          Читайте также: