Арифметические операции в двоичной системе счисления конспект
Обновлено: 07.07.2024
2. Чтобы проверить, как вы усвоили материал прошедших уроков, проведем небольшую разминку.
Вам нужно ответить на вопросы тезисов по теме “Системы счисления” (приложение 1)
| № | Согласны ли вы с утверждением | Да | Нет |
| 1 | Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами. | + | |
| 2 | Все системы счисления делятся на три большие группы: позиционные, непозиционные и полупозиционные. | + | |
| 3 | В позиционных системах счисления количественное значение цифры зависит от ее позиции в числе. | + | |
| 4 | Основанием двоичной системы счисления является число 4 | + | |
| 5 | Число А21СFD4 записано в шестнадцатиричной системе счисления. | + | |
| 6 | Число 1567 записано с ошибкой. | + | |
| 7 | Число 10, записанное в десятичной системе счисления, в двоичной системе счисления записывается как 1011 | + | |
| 8 | Число 10, записанное в десятичной системе счисления, меньше числа 10, записанного в восьмеричной системе счисления. | + | |
| 9 | Число 3005,234 записано с ошибкой. | + | |
| 10 | Число 6398 записано в восьмеричной системе счисления. | + |
3. Изучение нового материала, формирование знаний, умений и навыков.
Как найти результаты следующих действий?
Рассмотрим операции сложения, вычитания и умножения в двоичной системе счисления. Двоичная система счисления издавна была предметом пристального внимания многих ученых. Лаплас писал о своем отношении к двоичной (бинарной) системе счисления
великого математика Лейбница: “В своей бинарной арифметике Лейбниц видел прообраз творения. Ему представлялось, что единица представляет божественное начало, а нуль – небытие и что высшее существо создает все из небытия точно таким же образом, как единица и нуль в его системе выражают все числа”. Эти слова подчеркивают универсальность алфавита, состоящего из двух символов.
Все позиционные системы счисления “одинаковы”, а именно, во всех них выполняются арифметические операции по одним и тем же правилам:
- справедливы одни и те же законы арифметики: коммутативный, ассоциативный, дистрибутивный;
- справедливы правила сложения, вычитания и умножения столбиком;
- правила выполнения арифметических операций опираются на таблицы сложения и умножения.
Ключевые слова:
— позиционные системы счисления,
— арифметические операции в системе счисления с основанием q,
— Информатика. 10 класс: учебник / Л. Л. Босова, А. Ю. Босова. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2016. - 288 с.
— Математические основы информатики: учебное пособие / Е. В. Андреева, Л. Л Босова, И. Н. Фалина — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. - 328 с.
Мы продолжаем изучать позиционные системы счисления. Вы узнали, что позиционные системы счисления бывают разные: десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. Вы научились переводить числа из одной системы счисления в другую. Но зачем нам с вами это надо? Конечно для того, чтобы производить расчеты. С 1 класса нас учат производить расчеты в десятичной системе счисления. А как вы думаете, можно ли производить расчеты в произвольной позиционной системе счисления? И зачем это нужно?
Все позиционные системы счисления “одинаковы”, а именно, во всех них выполняются арифметические операции по одним и тем же правилам:
— справедливы одни и те же законы арифметики: коммутативный (переместительный), ассоциативный (сочетательный), дистрибутивный (распределительный);
— справедливы правила сложения, вычитания, умножения и деления столбиком.
Мы узнаем на уроке:
- как строить таблицы сложения и умножения в заданной позиционной системе счисления;
- как выполнять сложение, умножение, вычитание и деление чисел, записанных в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления;
- как подсчитывать количество единиц в двоичной записи числа, являющегося результатом суммирования или вычитания степеней двойки.
Арифметические операции в позиционных системах счисления с основанием q выполняются по правилам, аналогичным правилам, действующим в десятичной системе счисления.
Чтобы в системе счисления с основанием q получить сумму S двух чисел A и B, надо просуммировать образующие их цифры по разрядам i справа налево:
-
если ai + bi 4000 + 4 2016 + 2 2018 – 8 600 + 6
Представим все операнды исходного выражения в виде степеней двойки:
Исходное выражение 2 4000 + 4 2016 + 2 2018 – 8 600 + 6
примет вид 2 4000 + 2 4032 + 2 2018 – 2 1800 + 2 2 + 2 1
Перепишем выражение в порядке убывания степеней: 2 4032 + 2 4000 + 2 2018 – 2 1800 + 2 2 + 2 1
Для работы с десятичными числами вида 2 n полезно иметь в виду следующие закономерности в их двоичной записи:
2 1 = 10 = 1 + 1; 2 2 = 100 = 11 + 1; 2 3 = 1000 = 111 + 1; …
В общем виде
Для натуральных n и m таких, что n > m, получаем:
Так как в задаче надо найти единицы, то получаем:
Итого: 1 + 1 + 218 + 1 + 1 = 222.
Давайте разберем еще одну задачу.
Найдём количество цифр в восьмеричной записи числа, являющегося результатом десятичного выражения: 2 299 + 2 298 + 2 297 + 2 296 .
Двоичное представление исходного числа имеет вид:
Всего в этой записи 300 двоичных символов. При переводе двоичного числа в восьмеричную систему счисления каждая триада исходного числа заменяется восьмеричной цифрой. Следовательно, восьмеричное представление исходного числа состоит из 100 цифр.
Итак, сегодня вы узнали, что арифметические операции в позиционных системах счисления с основанием q выполняются по правилам, аналогичным правилам, действующим в десятичной системе счисления. Если необходимо вычислить значение арифметического выражения, операнды которого представлены в различных системах счисления, можно:
- все операнды представить в привычной нам десятичной системе счисления;
- вычислить результат выражения в десятичной системе счисления;
- перевести результат в требуемую систему счисления.
Для работы с десятичными числами вида 2 n , полезно иметь ввиду следующие закономерности в их двоичной записи:
Для натуральных n и m таких, что n > m, получаем:
Выберите выражения, значения которых одинаковые.
Возьми карандаш и подчеркни результат сложения
1. Найди сумму и запиши в двоичной системе счисления 1538 + F916
3. Найди произведение и запиши в двоичной системе счисления 1223 * 112
6. Выполни операцию деления 100100002 / 11002
7. Реши пример, ответ запиши в десятичной системе счисления (5648 + 2348) * C16
По горизонтали:
2. Разность двоичных чисел 11001100 - 11111
4. Найти разность 1678 – 568
5. Выполнить операцию деления 416128 / 128
8. Найти разность 12E16 – 7916 ответ запиши в десятичной системе счисления
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
Урок информатики в 9 классе по теме:
Тип урока: комбинированный.
Образовательные : освоение операций сложения, вычитания, умножения и деления в позиционных системах счисления; совершенствование навыка перевода чисел в позиционных системах счисления;
Развивающая : создать условия для развития умений выделять главное, внимания, памяти учащихся, самостоятельности, умений сопоставлять полученную информацию; развития мышления учащихся посредством анализа, сравнения и обобщения изучаемого материала.
Воспитательная: создать условия для в оспитания ответственности, самостоятельности, умения работать в коллективе, аккуратности, дисциплинированности; формирования интереса к предмету, навыков контроля и самоконтроля; активизации познавательной и творческой активности учащихся.
Межпредметные связи: математика.
Формы организации работы на уроке: индивидуальная, групповая, парная
Оснащение и методическое обеспечение урока
презентация по изучаемой теме;
карточки с заданиями.
Объяснение нового материала.
Закрепление материала. Решение задач.
Подведение итогов урока. Рефлексия
1. Организационный момент.
И нам с Вами предстоит сегодня хорошенько помыслить.
(Ученик читает стих)
Как цвет чернил на белизне страницы.
В них алгебра с гармонией роднится*,
Как с физиком – поэт.
Как вы думаете, о чем идет речь?
2.Актуализация знаний.
Деление на группы.
Замечательно. На партах у каждого из вас лежит номер в двоичной системе счисления , вам нужно, используя ваши знания, полученные на прошлых уроках, перевести числа в десятичную систему счисления и узнать, в какой группе вы будете работать. (Учащиеся, переводят номера, используя алгоритм перевода в десятичное число, учитель выводит слайд на экран с правильными ответами).
Прошу вас занять свои места согласно ответам, полученными вами.
Итак, давайте ответим на вопросы по теме прошлого урока. Если вы согласны с утверждением, то пишите 1, если нет – 0.
Тезисы
Согласны ли вы с утверждением
Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.
Все системы счисления делятся на три большие группы: позиционные, непозиционные и полупозиционные.
В позиционных системах счисления количественное значение цифры зависит от ее позиции в числе.
Основанием двоичной системы счисления является число 4
Число А21СFD4 записано в шестнадцатиричной системе счисления.
Число 156 7 записано с ошибкой.
Для представления чисел в восьмеричной системе счисления используют цифры 0-8
Совокупность правил для обозначения и наименования чисел, называется алгоритмом.
Число 3005,23 4 записано с ошибкой.
Число 6398 записано в восьмеричной системе счисления.
– У вас получилось число в двоичной системе счисления. Переведите его в десятичную систему счисления.
– Какое число получилось?
(Правильный ответ: 642)
У кого получился правильный ответ – поднимите руки. Молодцы! Вы получаете оценку 5.
3.Целеполагание
Работа в группах(шарик на столе и карточка совпадают по цвету – одна группа).
Сейчас вам необходимо выполнить задания на карточках в группах.
Карточка розового цвета
Расположить в порядке возрастания числа и соответствующие им буквы и получить ключевые слова.
Карточка голубого цвета
Расположить в порядке возрастания числа и соответствующие им буквы и получить ключевые слова.
Карточка зеленого цвета
Расположить в порядке возрастания числа и соответствующие им буквы и получить ключевые слова.
Карточка оранжевого цвета
Расположить в порядке возрастания числа и соответствующие им буквы и получить ключевые слова.
Итак, давайте проверим, что у вас получилось.
(Ребята отвечают, начиная с первой группы.)
Учитель : Правильно, получилось сложение, вычитание, умножение, деление.
А как в математике можно одним словом заменить эти четыре. Тогда назовите тему сегодняшнего урока.(Вместе формулируем тему урока).Запишите её в тетрадь.
"Арифметические операции в позиционных системах счисления".
Учитель : Посмотрите на доску. Можете ответить, чему равны эти примеры?
Тогда какую цель урока можно поставить перед собой? Называют цель урока: Научиться выполнять арифметические операций: сложения, вычитания, умножения, деленияв позиционных системах счисления
Давайте сформулируем задачи нашего урока. (Вместе формулируем тему урока).
узнать правила выполнения арифметических операций в
позиционных системах счисления,
сформировать навыки выполнения арифметических действий с двоичными числами.
Учитель : Все позиционные системы счисления “одинаковы”, а именно, во всех них выполняются арифметические операции по одним и тем же правилам:
— справедливы одни и те же законы арифметики:
Какие законы сложения, умножения вы можете назвать в математике?
(ученики отвечают )
Учитель : Правильно: коммутативный (переместительный), (сочетательный), распределительный)
— справедливы правила сложения, вычитания, умножения и деления столбиком;
— правила выполнения арифметических операций опираются на таблицы сложения и умножения.
4. Объяснение нового материала
Работа в группах. Задание:
— Давайте же рассмотрим правила двоичной арифметики. Для этого поработаем с параграфом 3.1.2 в учебнике.
Каждая группа будет изучать конкретную операцию:
1-ая группа (розовый шар) – сложение,
2-ая группа (голубой шар)– вычитание,
3-я группа (зелёный шар)- умножение,
4-ая группа (оранжевый шар)– деление.
Каждая группа должна изучить данную операцию, разобрать на примерах и объяснить остальным. Время для работы – 7 минут. План ваших действий представлен на слайде.
Алгоритм работы в группе. (Алгоритм представлен на экране и на карточках для каждой группы).
Познакомиться с арифметической операцией.
Записать в тетради таблицуарифметической операцией.
Рассмотреть приведенные примеры.
Если, что-то непонятно, записать вопрос в тетрадь.
Составить свой пример для выбранной арифметической операции.
Отчет учеников каждой группы у доски. Первый ученик записывает правило арифметической операции на доске, 2-ой ученик рассказывает об этой операции с места, 3-ий ученик – пишет пример из учебника на доске. После объяснения выслушиваются вопросы других учеников из класса. 4-ый ученик пишет задание на доске для класса. Оставшиеся ребята из отвечающей группы выступают в роли консультантов и помогают решить пример ученикам из других групп.
На основе этих таблиц и выполняются все четыре основных арифметических действия в двоичной системе счисления.
Проблемные вопросы : Как можно проверить правильность выполнения действий в двоичной системе счисления? (перевести в десятичную систему счисления и проверить равенство)
Как выполнить арифметические операции, если числа представлены в разных системах счисления? (Для проведения арифметических операций над числами, выраженными в различных системах счисления, необходимо предварительно перевести их в одну и ту же систему!)
5. Физпауза.
Упражнения для глаз
Закрыть глаза, сильно напрягая глазные мышцы, на счет 1-4, затем раскрыть глаза, расслабив мышцы глаз, посмотреть вдаль на счет 1-6. Повторить 4-5 раз.
Руки на пояс, повернуть голову вправо, посмотреть на локоть правой руки; повернуть голову влево, посмотреть на локоть левой руки. Выполнять 5-6 раз.
Голову держать прями. Поморгать, не напрягая мышцы.
6. Закрепление, решение заданий в группах с последующей проверкой на доске.
7. Домашнее задание - §3.1.2, вопросы на стр. 82
Выучить таблицы сложения, умножения и вычитания в двоичной системе счисления.
Итак, ребята, что нового вы сегодня узнали на уроке? Достигли ли мы цели урока?
Рефлексия
Ребята по кругу высказываются одним предложением, выбирая начало фразы из рефлексивного экрана на доске:
Планируемые образовательные результаты:
личностные – понимание роли фундаментальных знаний как основы современных информационных технологий; обосновывать свою позицию, высказывать своё мнение.
предметные – навыки перевода небольших десятичных чисел в двоичную систему счисления и двоичных чисел в десятичную систему счисления; умения выполнения операций сложения и умножения над небольшими двоичными числами;
метапредметные – умение анализировать любую позиционную систему счисления как знаковую систему.
Решаемые учебные задачи:
1) рассмотрение двоичной системы счисления как знаковой системы;
2) рассмотрение правила перевода двоичных чисел в десятичную систему счисления;
3) рассмотрение правила перевода целых десятичных чисел в двоичную систему счисления;
4) знакомство с операциями сложения и умножения в двоичной системе счисления.
1. Организационный момент
2. Проверка домашнего задания (самостоятельная работа)
1. Перевод двоичной в десятичную СС.
- Перевести в десятичную систему счисления числа 1101 и 10010
- Перевести в десятичную систему счисления числа 1111 и 10101
- Перевести в десятичную систему счисления числа 1011 и 11101
- Перевести в десятичную систему счисления числа 1110 и 10010
- Перевести в десятичную систему счисления числа 11010 и 1010
- Перевести в десятичную систему счисления числа 1001 и 10010
- Перевести в десятичную систему счисления числа 1101 и 10110
- Перевести в десятичную систему счисления числа 1001 и 10110
2. Перевод десятичной в двоичную СС.
- Перевести в двоичную систему счисления числа 21 и 15
- Перевести в двоичную систему счисления числа 41 и 15
- Перевести в двоичную систему счисления числа 45 и 31
- Перевести в двоичную систему счисления числа 41 и 15
- Перевести в двоичную систему счисления числа 51 и 13
- Перевести в двоичную систему счисления числа 31 и 25
- Перевести в двоичную систему счисления числа 41 и 15
- Перевести в двоичную систему счисления числа 48 и 35
3. Изучение нового материала
Двоичная система счисления издавна была предметом пристального внимания многих ученых.
Все позиционные системы счисления “одинаковы”, а именно, во всех них выполняются арифметические операции по одним и тем же правилам:
- справедливы одни и те же законы арифметики: коммутативный (переместительный), ассоциативный (сочетательный), дистрибутивный (распределительный);
- справедливы правила сложения, вычитания, умножения и деления столбиком;
- правила выполнения арифметических операций опираются на таблицы сложения и умножения.
Арифметические операции в двоичной системе счисления
I. Сложение. Рассмотрим сложение чисел в двоичной системе счисления. В его основе лежит таблица сложения одноразрядных двоичных чисел:
Важно обратить внимание на то, что при сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд.
II. Вычитание. Рассмотрим вычитание двоичных чисел. В его основе лежит таблица вычитания одноразрядных двоичных чисел. При вычитании из меньшего числа (0) большего (1) производится заем из старшего разряда. В таблице заем обозначен 1 с чертой:
Вычитание многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей вычитания с учетом возможных заемов из старших разрядов.
III. Умножение.
4. Закрепление, выполнение заданий
а) 11001 +101 = 1 1110
б) 11001 +11001 = 110010
в) 1001 + 111 = 10000
г) 10011 + 101 = 11000
д) 11011 + 1111 = 101010
е) 11111 + 10011 = 110010
а) 11001-1001 = 10000 б) 1011-110= 101
в) 10001-101= 1100 г) 10101-11= 10010
д) 101001-1111 = 11010 е) 111111-101010 = 10101
а) 1101 * 1110 = 1011 0110 б) 1010 * 110 = 11 1100
в) 1011 * 11 = 10 0001 г) 101011 * 1101 =10 0010 1111
д) 10010 * 1001 = 1010 0010
5. Итог урока. Домашнее задание
Примеры на сложение:
Примеры на вычитание:
Примеры на умножение:
Домашнее задание
Примеры на сложение:
Примеры на вычитание:
Примеры на умножение:
Домашнее задание
Примеры на сложение:
Примеры на вычитание:
Примеры на умножение:
Домашнее задание
Примеры на сложение:
Примеры на вычитание:
Примеры на умножение:
Домашнее задание
Примеры на сложение:
Примеры на вычитание:
Примеры на умножение:
Домашнее задание
Примеры на сложение:
Примеры на вычитание:
Примеры на умножение:
Домашнее задание
Примеры на сложение:
Примеры на вычитание:
Примеры на умножение:
Домашнее задание
Примеры на сложение:
Примеры на вычитание:
Примеры на умножение:
 |  |
| |
 | |
 | |
| |
 |  |
 |  |
| |
| |
 |  |
| |
| |
6 урок, 8 класс
Учитель: Брух Т.В.
Дата:______________
Цели и задачи урока: освоить перевод десятичных чисел в двоичную
систему счисления и двоичных чисел в десятичную систему счисления. Уметь выполнять
операции сложения и умножения над двоичными числами. Понимать роли
фундаментальных знаний как основы современных информационных технологий
Планируемые образовательные результаты:
личностные – понимание роли фундаментальных знаний как основы современных информационных технологий; обосновывать свою позицию, высказывать своё мнение.
предметные – навыки перевода небольших десятичных чисел в двоичную систему счисления и двоичных чисел в десятичную систему счисления; умения выполнения операций сложения и умножения над небольшими двоичными числами;
метапредметные – умение анализировать любую позиционную систему счисления как знаковую систему.
Решаемые учебные задачи:
1) рассмотрение двоичной системы счисления как знаковой системы;
2) рассмотрение правила перевода двоичных чисел в десятичную систему счисления;
3) рассмотрение правила перевода целых десятичных чисел в двоичную систему счисления;
4) знакомство с операциями сложения и умножения в двоичной системе счисления.
1. Организационный момент
2. Проверка домашнего задания (самостоятельная работа)
1. Перевод двоичной в десятичную СС.
Перевести в десятичную систему счисления числа 1101 и 10010
Перевести в десятичную систему счисления числа 1111 и 10101
Перевести в десятичную систему счисления числа 1011 и 11101
Перевести в десятичную систему счисления числа 1110 и 10010
Перевести в десятичную систему счисления числа 11010 и 1010
Перевести в десятичную систему счисления числа 1001 и 10010
Перевести в десятичную систему счисления числа 1101 и 10110
Перевести в десятичную систему счисления числа 1001 и 10110
2. Перевод десятичной в двоичную СС.
Перевести в двоичную систему счисления числа 21 и 15
Перевести в двоичную систему счисления числа 41 и 15
Перевести в двоичную систему счисления числа 45 и 31
Перевести в двоичную систему счисления числа 41 и 15
Перевести в двоичную систему счисления числа 51 и 13
Перевести в двоичную систему счисления числа 31 и 25
Перевести в двоичную систему счисления числа 41 и 15
Перевести в двоичную систему счисления числа 48 и 35
3. Изучение нового материала
Двоичная система счисления издавна была предметом пристального внимания многих ученых.
Все позиционные системы счисления “одинаковы”, а именно, во всех них выполняются арифметические операции по одним и тем же правилам:
- справедливы одни и те же законы арифметики: коммутативный (переместительный), ассоциативный (сочетательный), дистрибутивный (распределительный);
- справедливы правила сложения, вычитания, умножения и деления столбиком;
- правила выполнения арифметических операций опираются на таблицы сложения и умножения.
Арифметические операции в двоичной системе счисления
I. Сложение. Рассмотрим сложение чисел в двоичной системе счисления. В его основе лежит таблица сложения одноразрядных двоичных чисел:
Важно обратить внимание на то, что при сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд.
II. Вычитание. Рассмотрим вычитание двоичных чисел. В его основе лежит таблица вычитания одноразрядных двоичных чисел. При вычитании из меньшего числа (0) большего (1) производится заем из старшего разряда. В таблице заем обозначен 1 с чертой:
Вычитание многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей вычитания с учетом возможных заемов из старших разрядов.
I II. Умножение.
Читайте также: