Арифметические операции над функциями сложная функция композиция конспект

Обновлено: 07.07.2024

При желании заняться алгеброй функций, т.е. рассматривать операции, действия, которые можно осуществлять с функциями, изучать свойства этих операций, а иногда лишь для терминологического удобства сложную функцию у=f(g(x)) называют композицией функций f и g и обозначают обычно символом $f\circ g$ или, в обратном порядке, $g\circ f$ — математики, как ни странно, не могут, да и не пытаются, прийти к общему соглашению относительно этого обозначения. Далее мы применяем первый порядок f и g, т.е. $(f \circ g)(x)=f(g(x))$.

А между тем композиция двух функций зависит от их порядка: если, например, $f(x)=x^2$, $g(x)=\sqrt $, то $f(g(x))=(\sqrt)^2=x, (x\geq 0)$ тогда как $g(f(x))=\sqrt=|x|$, а значит, это две различные функции — они имеют даже разные области определения. Иными словами, равенство $f\circ g=g\circ f$ выполняется не для всех функций, так что в алгебре функций перестановочный (в математике, в отличие от школы, называют его коммутативным) закон для композиции не имеет места.

Интересно, что сочетательный (в математике говорят ассоциативный) закон остается в силе:

(мы здесь не стали рассматривать детали, связанные с областью определения рассматриваемых функций), а распределительный закон (в математике говорят дистрибутивный) распадается на два — из-за отсутствия перестановочного закона:

$f\circ(g+h)=(f\circ g)+ (f\circ h)$ и $(g+h)\circ f=(g\circ f)+(h\circ f)$

и, что удивительно, один из них выполняется в алгебре функций, а второй — нет.

Интересующиеся этими вопросами легко могут узнать, какой из них именно выполняется, рассмотрев какой-нибудь простой пример, и почти со стопроцентной вероятностью вы найдете ответ с первой попытки, если, конечно, вам не повезет попасть как раз на те функции, для которых выполняются оба закона. А доказать верный закон тоже будет небесполезным — с точки зрения будущего изучения высшей алгебры в вузе: для студентов она вовсе не проще, чем математический анализ, однако с его идеями вы более или менее знакомитесь в школе, а основные идеи алгебры, связанные со свойствами операций, полностью остаются в стороне.

Ну, а если вы хотели бы подтянуть разговорный английский язык, или вам нужна курсовая по английскому, обращайтесь. Так как этот язык уже стал международным и его знания будут полезны любому современному человеку.

Сложная функция (композиция). Сложная – не значит трудная !

Повторение. Определение функции f(x) y=f(x) Y X y 0 =f(x 0 ) x 0 y 0 x 0 у 0 Функция – соответствие между множествами (Х и У), при котором каждому элементу первого множества (Х) соответствует не более одного элемента другого множества (У).

Сложная функция Композиция двух и более функций y=f(g(x)) g(x) f(t) T Y X x 0 t 0 y 0 x 0 t 0 у 0 x 0

Формула для задания сложной функции y=f(g(x)) – – сложная функция g(x) – внутренняя функция f(t) – внешняя функция Пример. g(x) = – внутренняя функция f(t) = – внешняя функция

Примеры сложных функций y=f(g(x)) 1. y = sin2x 2. y = (x 3 – 1 ) 5 3. y = cos (7x + 2) 4. y = 5. y = sin 2 x + sin x Назовите Внутреннюю g(x) и внешнюю f(t) функцию

Примеры сложных функций y=f(g(x)) 1. y = sin2x 2. y = (x 3 – 1 ) 5 3. y = cos (7x + 2) 4. y = 5. y = sin 2 x + sin x Внешняя функция f(t) Внутренняя функция g(x) 1. s in t 2x 2. t 5 x 3 -1 3. cos t 7x+2 4. x 2 -x 5. t 2 +t sin x

Составьте сложную функцию, если f(x)=x 2 , g(x)=2x-4, h(x)=sin x пример: y=h(f(x))=sin x 2 y 1 =f(g(x)) y 2 =g(f(x)) y 3 = f(h(x)) y 4 =h(g(x)) Проверьте себя y 1 =(2x-4) 2 y 2 =2x 2 -4 y 3 =sin 2 x y 4 =sin(2x-4)

Построение графика сложной функции Пример. Построить график функции Решение Определим внутреннюю и внешнюю функции y=f(g(x)): g(x)=x 2 -1 – внутренняя функция , f(g)=2 g - внешняя функция.

Построение графика сложной функции Область определения функций: внутренней функции: D(g)= внешней функции: D(f)= Определим четность функции – функция четная, график симметричен относительно оси ординат

Построим в разных координатных плоскостях графики внутренней и внешней функций. Для этого составим таблицы значений каждой функции g(x)=x 2 -1 f(g)=2 g Построение графика сложной функции x -2 -1 0 1 2 g g -2 -1 0 1 2 f

g(x)=x 2 -1 f(g)=2 g x -2 -1 0 1 2 g 3 0 -1 0 3 g -2 -1 0 1 2 f 1/4 1/2 1 2 4 Используя таблицу, построим график g(x)=x 2 -1 Используя таблицу, построим график f(g)=2 g y g 4 2 1 -2 -1 0 1 2 f(g)=2 g x g 3 1 0 -1 -1 1 g(x)=x 2 -1

Используя два графика построим график сложной функции, как композицию двух функций x 0 g 0 y 0 y g 4 2 1 -2 -1 0 1 2 f(g)=2 x х g 3 -1 -1 1 y x 0 0.5 1 1 -1

Закрепление Используя, имеющиеся графики функций g(x)=x 2 -1 и f(g)=2 g , постройте график функции y(x)=(2 x ) 2 -1 Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке : Исследовать функцию и построить ее график :

Домашнее задание Построить график функции Желаю удачи! 3.Построить график функции 1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке: 2. Исследовать функцию и построить ее график:

Сложный , составной, сложенный или составленный из разных частей…”. Толковый словарь В.И. Даля Итоги занятия Сложная функция – это композиция двух и более функций y=f(g(x)) – сложная функция g(x) – внутренняя функция f(t) – внешняя функция

Если поменять ролями аргумент и функцию, то x станет функцией от y. В этом случае говорят о новой функции, называемой обратной функцией.Предположим, мы имеем функцию:

v = u 2 ,

где u - аргумент, a v - функция. Если поменять их ролями, то мы получим u как функцию v :

Если обозначить аргумент в обеих функциях через x , а функцию – через y, то мы имеем две функции:

каждая из которых является обратной по отношению к другой.

П р и м е р ы . Эти функции являются обратными друг к другу:

1) sin x и Arcsin x, так как, если y = sin x, то x = Arcsin y;

2) cos x и Arccos x, так как, если y = cos x, то x = Arccos y;

3) tan x и Arctan x, так как, если y = tan x, то x = Arctan y;

4) e x и ln x, так как, если y = e x , то x = ln y.

y = sin 2 ( 2x ) .

Фактическиэта записьозначает следующуюцепочкуфункциональных преобразований:

u = 2x --> v = sin u --> y = v 2 ,

что может быть записано в общем виде с помощью символов функциональных зависимостей:

u = f ₁( x ) --> v = f ₂ ( u ) --> y = f ₃( v ) ,

Мы имеем здесь не одно правило соответствия для преобразования x в y, а три последовательных правила соответствия (т.е. функции ), используя которые мы получаем y как функцию от x. В этом случае мы говорим, что y – сложная функция от x.

Пропорциональные величины.Если переменные y и x прямо пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением:

y = k x ,

где k - постоянная величина ( коэффициент пропорциональности ).

График прямой пропорциональности – прямая линия, проходящая через начало координат и образующая с осью X угол , тангенс которого равен k : tan = k ( рис.8 ). Поэтому, коэффициент пропорциональности называется также угловым коэффициентом. На рис.8 показаны три графика для k = 1/3, k = 1 и k = -3 .

2. Линейная функция.Если переменные y и x связаны уравнением 1-ой степени:

A x + B y = C ,

где по крайней мере одно из чисел A или B не равно нулю, то графиком этой функциональной зависимости является прямая линия. Если C = 0, то она проходит через начало координат, в противном случае - нет. Графики линейных функций для различных комбинаций A, B, C показаны на рис.9.

3 Обратнаяпропорциональность.Если переменные y и x обратно пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением:

y = k / x ,

где k - постоянная величина.

График обратной пропорциональности – гипербола ( рис.10 ). У этой кривой две ветви. Гиперболы получаются при пересечении кругового конуса плоскостью. Как показано на рис.10, произведение координат точек гиперболы есть величина постоянная, в нашем примере равная 1. В общем случае эта величина равна k, что следует из уравнения гиперболы: xy= k.

Основные характеристики и свойства гиперболы:

- область определения функции: x 0, область значений: y 0 ;

- функция монотонная ( убывающая ) при x 0, но не

монотонная в целом из-за точки разрыва x = 0 ( подумайте, почему ? );

- функция неограниченная, разрывная в точке x = 0, нечётная, непериодическая;

- нулей функция не имеет.

4. Квадратичная функция.Это функция:y = ax 2 + bx + c, где a, b, c - постоянные, a 0. В простейшем случае: b = c = 0 и y = ax 2 . График этой функции квадратная парабола - кривая, проходящая через начало координат ( рис.11 ). Каждая парабола имеет ось симметрии OY, которая называется осью параболы.Точка O пересечения параболы с её осью называется вершиной параболы.

График функции y = ax 2 + bx + c - тоже квадратная парабола того же вида, что и y = ax 2 , но её вершина лежит не в начале координат, а в точке с координатами:

Форма и расположение квадратной параболы в системе координат полностью зависит от двух параметров: коэффициента a при x 2 и дискриминанта D = b 2 – 4ac. Эти свойства следуют из анализа корней квадратного уравнении. Все возможные различные случаи для квадратной параболы показаны на рис.12.

Изобразите, пожалуйста, квадратную параболу для случая a > 0, D > 0 .

Основные характеристики и свойства квадратной параболы:

- область определения функции: -

5. Степенная функция.Это функция: y = ax n , где a, n – постоянные. При n = 1 получаем прямую пропорциональность: y = ax; при n = 2 -квадратную параболу ; при n = -1 - обратную пропорциональность или гиперболу.Таким образом, эти функции - частные случаи степеннойфункции. Мы знаем, что нулевая степень любого числа, отличного от нуля, равна 1, cледовательно, приn = 0 степенная функция превращается в постоянную величину: y = a, т.e. её график - прямая линия, параллельная оси Х, исключая начало координат ( поясните, пожалуйста, почему ? ).Все эти случаи ( при a = 1 ) показаны на рис.13 ( n 0 ) и рис.14 ( n 3 называется кубической параболой.

На рис.16 представлена функция . Эта функция является обратной к квадратной параболе y = x 2 , её график получается поворотом графика квадратной параболы вокруг биссектрисы 1-го координатного угла. Это способ получения графика любой обратной функции из графика её исходной функции. Мы видим по графику, что это двузначная функция (об этом говорит и знак ± перед квадратным корнем). Такие функции не изучаются в элементарной математике, поэтому в качестве функции мы рассматриваем обычно одну из её ветвей: верхнюю или нижнюю.

6. Показательная функция.Функция y = a x , где a - положительное постоянное число, называется показательной функцией.Аргумент x принимает любые действительные значения; в качестве значений функции рассматриваются только положительные числа, так как иначе мы имеем многозначную функцию. Так, функция y = 81 x имеет при x = 1/4 четыре различных значения: y = 3, y = -3, y = 3 i и y = -3 i. Но мы рассматриваем в качестве значения функции только y = 3. Графики показательной функции для a = 2 и a = 1/2 представлены на рис.17. Они проходят через точку ( 0, 1 ). При a = 1 мы имеем график прямой линии, параллельной оси Х, т.e. функция превращается в постоянную величину, равную 1. При a > 1 показательная функция возрастает, a при 0 0 ;

- функция монотонна: возрастает при a > 1 и убывает при 0 0,а область значений: - 1 и убывает при 0

v = u 2 ,

где u - аргумент, a v - функция. Если поменять их ролями, то мы получим u как функцию v :

Если обозначить аргумент в обеих функциях через x , а функцию – через y, то мы имеем две функции:

каждая из которых является обратной по отношению к другой.

П р и м е р ы . Эти функции являются обратными друг к другу:

1) sin x и Arcsin x, так как, если y = sin x, то x = Arcsin y;

2) cos x и Arccos x, так как, если y = cos x, то x = Arccos y;

3) tan x и Arctan x, так как, если y = tan x, то x = Arctan y;

4) e x и ln x, так как, если y = e x , то x = ln y.

y = sin 2 ( 2x ) .

Фактическиэта записьозначает следующуюцепочкуфункциональных преобразований:

u = 2x --> v = sin u --> y = v 2 ,

что может быть записано в общем виде с помощью символов функциональных зависимостей:

u = f ₁( x ) --> v = f ₂ ( u ) --> y = f ₃( v ) ,

y = k x ,

где k - постоянная величина ( коэффициент пропорциональности ).

2. Линейная функция.Если переменные y и x связаны уравнением 1-ой степени:

A x + B y = C ,

y = k / x ,

где k - постоянная величина.

Основные характеристики и свойства гиперболы:

- область определения функции: x 0, область значений: y 0 ;

- функция монотонная ( убывающая ) при x 0, но не

монотонная в целом из-за точки разрыва x = 0 ( подумайте, почему ? );

- функция неограниченная, разрывная в точке x = 0, нечётная, непериодическая;

- нулей функция не имеет.

Изобразите, пожалуйста, квадратную параболу для случая a > 0, D > 0 .

Основные характеристики и свойства квадратной параболы:

- область определения функции: - n , где a, n – постоянные. При n = 1 получаем прямую пропорциональность: y = ax; при n = 2 -квадратную параболу ; при n = -1 - обратную пропорциональность или гиперболу.Таким образом, эти функции - частные случаи степеннойфункции. Мы знаем, что нулевая степень любого числа, отличного от нуля, равна 1, cледовательно, приn = 0 степенная функция превращается в постоянную величину: y = a, т.e. её график - прямая линия, параллельная оси Х, исключая начало координат ( поясните, пожалуйста, почему ? ).Все эти случаи ( при a = 1 ) показаны на рис.13 ( n 0 ) и рис.14 ( n 3 называется кубической параболой.

- функция монотонна: возрастает при a > 1 и убывает при 0 0,а область значений: - 1 и убывает при 0

Тема: Арифметические операции над функциями. Сложная функция (композиция). Понятие о непрерывности функции. Обратные функции. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции.

а) образовательная: развитие речи, мышления.

б) воспитательная, развивающая: формирование у обучающихся самостоятельности, наблюдательности, трудолюбия, умения сравнивать делать вывод; прививать чувства ответственности и сознательного отношения к изучаемому материалу.

Тип урока: Комбинированный урок.

Метод проведения: Сочетания фронтальной и индивидуальной работы с обучающимися.

Оборудование урока: портативный компьютер, конспект, книги.

Организационный момент: Приветствие группы, проверка дежурства, состояние кабинета, наличие студентов, готовность к занятиям.

Проверка знаний студентов: Проверка наличия и ведения конспектов; проверка домашнего задания; опрос.

Изучение нового материала: Лекция.

Пример. Функцию можно рассматривать как композицию функций и .

Для записи композиции функций употребляется значок . Например, запись означает, что функция h получена как композиция функций f и g (сначала применяется g, а затем f), т. е. .

Операция образования сложной функции (или композиция функций) не обладает переместительным свойством: .

Чтобы можно было вычислить сложную функцию h = f(g(x)), надо, чтобы число g(x), т. е. значение функции g, попадало в область определения функции f .

Пример.
Вычисляя значения функции , необходимо брать только те числа х, для которых , т. е. те, для которых число попадает в область определения функции .

2. Взаимно обратные функции
Пусть дана функция у = f(x). Она имеет обратную, если из зависимости у = f(x) можно переменную х однозначно выразить через переменную у. Выразив х через у, мы получим равенство вида х = g(y). В этой записи g обозначает функцию, обратную к f.

Если функция g является обратной для функции f, то и функция является обратной для функции g.
Пару функций f и g называют взаимно обратными функциями.

3. График обратной функции
Если мы одновременно построим графики функций f и g в одной и той же системе координат, откладывая по оси абсцисс аргументы обеих функций, а по оси ординат – их значения, то эти графики будут симметричны друг другу относительно прямой у = х.

4. Свойства взаимно обратных функций
Отметим некоторые свойства взаимно обратных функций.
1) Тождества. Пусть f и g – взаимно обратные функции. Тогда : f(g(y)) = у и g(f(x)) = х.
2) Область определения. Пусть f и g – взаимно обратные функции. Область определения функции f совпадает с областью значений функции g, и наоборот, область значений функции f совпадает с областью определения функции g.
3) Монотонность. Если одна из взаимно обратных функций возрастает, то и другая возрастает. Аналогичное утверждение верно и для убывающих функций.
4) Графики. Графики взаимно обратных функций, построенные в одной и той же системе координат, симметричны друг другу относительно прямой у = х.

Объединением двух множеств A и Bназывается множество, которое состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств A или B.

Пересечением двух множеств A и Bназывается множество, которое состоит из общих элементов множеств A и B.

Разностью двух множеств A и B называется множество, которое состоит из элементов множества A, которых нет в множестве B.

Симметрическая разность множеств

Симметрической разностью двух множеств A и B называется множество, которое состоит из элементов, принадлежащих ровно одному из множеств A и B.

Примеры нахождения обратных функций:

Закрепление изученного материала: Комментированное решение у доски:

Задание 3. Из 170 спортсменов 70 занимаются футболом, 95 – хоккеем и 80 – теннисом. 30 занимаются и футболом, и хоккеем, 35 – и футболом, и теннисом, 15 – и хоккеем, и теннисом. 5 занимаются всеми 3 видами спорта. Сколько занимаются ровно 2 видами спорта?

Задание 4. Из 100 студентов изучают языки: испанский – 28, немецкий – 30, французский – 42, испанский и немецкий – 8, испанский и французский – 10, немецкий и французский – 5, все 3 языка – 3. Сколько студентов не изучает ни одного языка?

Задание 5. Из 1000 студентов, занимающихся естественными науками, 630 посещают спецкурс по биологии, 390 – по химии и 720 – по математике. 440 посещают и математику, и биологию, 250 – и математику, и химию, и 200 – и биологию, и химию. 130 студентов посещают лекции по всем предметам. Сколько из 1000 студентов не посещают ни математики, ни биологии, ни химии?

Подведение итогов урока: Вывод о достижении цели занятия.

Задание для самостоятельной работы студентов во внеурочное время: Задача. За время отпуска 12 дней шел дождь, 8 дней дул сильный ветер, а 4 дня было холодно. Сколько дней была плохая погода, если:

- дождливых и ветреных дней было 5;

- дождливых и холодных – 3 дня;

- ветреных и холодных – 2 дня;

- дождливых, ветреных и холодных– 1 день. Ответ: 15 дней.

Мастер п/о_______________________ Е. М Ляпало

Полезно? Поделись с другими:

Если Вы являетесь автором этой работы и хотите отредактировать, либо удалить ее с сайта - свяжитесь, пожалуйста, с нами.

Посмотрите также:

Учебно-методические пособия и материалы для учителей, 2015-2022
Все материалы взяты из открытых источников сети Интернет. Все права принадлежат авторам материалов.
По вопросам работы сайта обращайтесь на почту [email protected]

Читайте также: