Законы распределения непрерывных случайных величин кратко

Обновлено: 08.07.2024

Случайной величиной называется такая величина, которая случайно принимает какое-то значение из множества возможных значений.

Случайные величины обозначаются: X, Y, Z. Значения, которые они принимают: x,y,z.

Дискретными называются случайные величины, значениями которых являются только отдельные точки числовой оси. (Число их может быть как конечно, так и бесконечно). Пример: Число родившихся девочек среди ста новорожденных за последний месяц- это дискретная случайная величина, которая может принимать значения 1,2,3,…

Непрерывными называются случайные величины, которые могут принимать все значения из некоторого числового промежутка. Пример: Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле- это непрерывная случайная величина, значения которой принадлежат некоторому промежутку [а; в].

Закон распределения дискретной случайной величины- это соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями. Закон распределения можно задать таблично, аналитически, графически.

Функцией распределения случайной величины называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение меньшее х, т.е. F(x)

Геометрически это равенство можно истолковать так: F(x) –есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.

Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины

Непрерывную случайную величину можно также задать, используя другую функцию, которую называют плотностью распределения или плотностью вероятности (дифференциальной функцией).

Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f(x)- первую производную от функции распределения F(x).

Основные законы распределения

Биометрия (=биологическая статистика) изучает случайные события и поведение случайных величин. Вообще-то биологически явления не случайны, они закономерно вытекают из определённых причин. Но мы не может узнать и проанализировать все эти причины во всей их совокупности, поэтому конкретные биологические явления и события выглядят для нас случайными. Так мы и будем к ним относиться.

Начиная биологический эксперимент или приступая к наблюдению, невозможно точно сказать, каков будет его результат. Это, например, уровень численности животных в данном районе, вес тела ещё не отловленных особей, количество сахара в крови через час после введения препарата и т. п. В этом смысле биологические явления случайны, точно не предсказуемы. Однако любому биологу ясно, что случайность эта не абсолютна. Несмотря на сложность точного прогноза, приблизительный результат можно предугадать, в частности, предсказав, что интересующая нас величина будет находиться в пределах некоторого интервала между конкретными минимальными и максимальными значениями. Так, например, вполне предсказуемо, что рост человека, выбранного наугад из группы обычных людей, вряд ли превысит два метра или будет ниже полутора метров. Вариационная статистика может дать и более точный прогноз, ориентируясь на известные ей законы поведения случайных величин, относящихся к разным типам распределений. При этом под распределением признаков (случайных величин, объектов) понимается соотношение между их значениями и частотой встречаемости.

Распределением признаков (случайных величин, объектов) - это соотношение между их значениями и частотой их встречаемости.

В биологических исследованиях чаще всего могут встретиться шесть вариантов распределения:

Нормальное.
Биномиальное.
Распределение Пуассона.
Альтернативное.
Полиномиальное.
Равномерное.

Нормальное распределение

Это н аиболее характерный тип распределения непрерывных случайных величин , из него можно вывести (к нему сводятся) все остальные. Распределение симметрично , причем крайние значения (наибольшие и наименьшие) появляются редко, но чем ближе значения признака к центру (к средней арифметической), тем оно чаще встречается.

Нормальное распределение занимает особую роль в теории вероятностей. Это наиболее общее непрерывное распределение вероятностей, часто использующееся для представления случайных величин, закон распределения которых не известен.

В своё время Лаплас нашел закон распределения, являющийся предельным законом при неограниченном возрастании числа испытаний n и называемый законом нормального распределения.

Плотность вероятности нормального распределения выражается при этом формулой:

где t представляет собой нормированное отклонение частоты т от наиболее вероятной частоты nр, т. е. — среднее квадратическое отклонение случайной переменной m. Графическое изображение плотности распределения f(t) дает кривую нормального распределения

Максимальная ордината кривой соответствует точке m=nр, т. е. математическому ожиданию случайной переменной m; величина этой ординаты равна .

Для практического нахождения вероятностей используют таблицу значений f(t).

Плотность нормального распределения выражается функцией Гаусса:

где μ — математическое ожидание,
σ — среднеквадратическое отклонение,
σ ² — дисперсия,
медиана и мода нормального распределения равны математическому ожиданию μ.

Функция распределения

Функция распределения для нормального распределения задается формулой:

где, erf(x) — функция ошибок (Лапласа) или интеграл вероятности, определяемый как:

Биологический смысл нормального распределения

Чем дальше отклоняется значение признака от среднего значения — тем реже оно встречается в выборке, и чем ближе значение признака к среднему значению — тем чаще оно стречается в выборке.

Среднее квадратичное отклонение примерно 4 раза укладывается в размахе изменчивости признака и по величине значительно уступает средней. Геометрически стандартное отклонение равно расстоянию от центра кривой распределения до точки перегиба кривой.

normraspred.jpg

Нормальное распределение играет исключительно важную роль в теории вероятностей и математической статистике.

При условии, что случайная величина является нормально распределенной, приблизительно 99,73% наблюдений попадут в интервал ( ). На графике плотности вероятности нормального распределения это выглядит следующим образом.

Рисунок. Кривая нормального распределения. Указаны процентные соотношения значений, попадающих в разные интервалы.

Распределение Стьюдента

Распределение Стьюдента возникает при оценке среднего нормально распределенной выборки в случаях когда количество экземпляров выборки мало и стандартное отклонение неизвестно. Впервые было исследовано Вильямом Госсетом в начале XX века, который выпускал свои работы под псевдонимом Стьюдент.

Функция плотности вероятности

Функция плотности вероятности распределения Стьюдента имеет вид:

где n — количество степеней свободы и - Гамма-функция

Функция распределения

Функция распределения может быть выражена через Гамма функцию и гипергеометрическую функцию следующим образом:

Рассмотрим другие распространенные распределения непрерывных случайных величин.

Равномерное распределение. Непрерывная случайная величина

Логнормальное распределение

В ряде областей науки и техники нашли широкое применение такие одномерные распределения непрерывной случайной величины как экспоненциальное распределение, гамма-распределение, распределение Вейбулла и многие другие.

Определение характеристической функции и её использование в теории вероятностей. Нормальный закон распределения и его значение в теории вероятностей. Логарифмически нормальный закон. Гамма-распределение. Экспоненциальный закон и его использование в теории надёжности, теории очередей. Равномерный закон. Распределения хи-квадрат, Вейбула, Стьюдента, Фишера.

Характеристическая функция

Во многих задачах полезной характеристикой случайной величины является её характеристическая функция. Характеристической функцией случайной величины называется математическое ожидание комплексной случайной величины задаётся формулой

Отметим следующие свойства характеристической функции:

1) при любом действительном значении

2) характеристическая функция равна единицы при .

Плотность вероятности случайной величины можно выразить через её характеристическую функцию:

Таким образом, характеристическая функция случайной величины является её полной вероятностной характеристикой. Зная характеристическую функцию случайной величины, можно найти её плотность вероятности, а следовательно, и функцию распределения, то есть полностью определить закон распределения случайной величины. Через характеристическую функцию можно выразить также числовые характеристики случайной величины, в частности её математическое ожидание и дисперсию:

Нормальный закон распределения (закон Гаусса)

Плотность вероятности нормально распределённой случайной величины выражается формулой

Кривая распределения изображена на рис. 16. Она симметрична относительно точки

Нормальный закон распределения широко применяется в задачах практики. Объяснить причины этого впервые удалось Ляпунову. Он показал, что если случайная величина может рассматриваться как сумма большого числа малых слагаемых, то при достаточно общих условиях закон распределения этой случайной величины близок к нормальному независимо от того, каковы законы распределения отдельных слагаемых. А так как практически случайные величины в большинстве случаев бывают результатом действия множества причин, то нормальный закон оказывается наиболее распространённым законом распределения (подробнее об этом [url]см. часть 9[/url]). Укажем числовые характеристики нормально распределённой случайной величины (математическое ожидание и дисперсия):

Таким образом, параметры

Эта формула показывает, что нормальный закон распределения полностью определяется математическим ожидание и дисперсией случайной величины. Таким образом, математическое ожидание и дисперсия полностью характеризуют нормально распределённую случайную величину. Разумеется, что в общем случае, когда характер закона распределения неизвестен, знание математического ожидания и дисперсии недостаточно для определения этого закона распределения.

Характеристическая функция нормального распределения случайной величины задаётся формулой

Пример 1. Найти вероятность того, что нормально распределённая случайная величина удовлетворяет неравенству .

Решение. Используя свойство 3 плотности вероятности (см. раздел 4, часть 4), получаем

где — функция Лапласа.

Выполним некоторые числовые расчёты. Если положить в условии примера 1, то

Последний результат означает, что с вероятностью, близкой к единице (0,9973), случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения, не выходит за пределы интервала . Это утверждение называют правилом трёх сигм .

Наконец, если , то случайная величина, распределённая по нормальному закону с такими параметрами, называется стандартизированной нормальной величиной. На рис. 18 изображён график плотности вероятности этой величины

Примеры с использованием нормального закона распределения приведены также в части 9.

Логарифмически нормальное распределение

Говорят, что случайная величина логнормальное распределение ), если её логарифм распределён нормально, то есть если имеет нормальное распределение с параметрами .

Плотность логнормального распределения задаётся формулой

Математическое ожидание и дисперсию логнормального распределения определяют по формулам

Кривая этого распределения изображена на рис. 19.

Логарифмически нормальное распределение встречается в ряде технических задач. Оно даёт распределение размеров частиц при дроблении, содержаний элементов в минералах в извержённых горных пародах, численности рыб в море и т.д. Встречается такое распределение во всех задачах, где логарифм рассматриваемой величины можно представить в виде суммы большого количества независимых равномерно малых величин:

Гамма-распределение

Говорят, что случайная величина имеет гамма-распределение с параметрами где — гамма-функция Эйлера.

На рис. 20 показаны кривые распределения вероятностей при значениях параметра и

Математическое ожидание и дисперсия, подчинённые гамма-распределению, задаются формулами

Отметим, что при гамма-распределение имеет моду

(графически это означает, что кривая распределения имеет точку максимума , рис. 20).

Экспоненциальный закон распределения

Экспоненциальным распределением называется частный случай гамма-распределения с параметрами , то есть то есть плотность вероятности в этом случае

Используя свойства два плотности распределения ([url]см.[/url]), можно найти функцию распределения экспоненциального закона:

Основные характеристики (математическое ожидание и дисперсия) случайной величины , распределённой по экспоненциальному, имеют вид

Характеристическая функция экспоненциального распределения задаётся формулой

Кривая экспоненциального распределения вероятностей показана на рис. 21,а, а график функции распределения — на рис. 21,б.

Статистический смысл параметра есть средний промежуток времени между двумя последовательными событиями.

Экспоненциальное (показательное) распределение часто встречается в теории массового обслуживания (например, — время ожидания при техническом обслуживании или — продолжительность телефонных разговоров, ежедневно регистрируемых на телефонной станции) и теории надёжности (например, — срок службы радиоэлектронной аппаратуры).

Пример 2. Случайная величина — время работы радиолампы — имеет показательное распределение. Определить вероятность того, что время работы лампы будет не меньше 600 ч, если среднее время работы радиолампы 400 ч.

Решение. По условию задачи математическое ожидание случайной величины равно 400 ч, следовательно, . Искомая вероятность есть

Распределение Вейбула

Случайная величина подчиняется закону распределения Вейбула с параметрами , если её плотность распределения вероятностей записывается в виде

Математическое ожидание и мода случайной величины, распределённые по закону Вейбула, имеют следующий вид:

Кривая распределения Вейбула изображена на рис. 22.

Распределение Вейбула в ряде случаев характеризует срок службы радиоэлектронной аппаратуры и, кроме того, применяется для аппроксимации различных несимметричных распределений в математической статистике.

Равномерный закон распределения

Случайная величина называется распределённой равномерно на отрезке , если её плотность распределения вероятностей постоянна на данном отрезке:

Все возможные значения равномерно распределённой случайной величины лежат в пределах некоторого интервала; кроме того. в пределах этого интервала все значения случайной величины одинаково вероятны (обладаю одной и той же плотностью вероятности). Равномерно распределение реализуется в экспериментах, где наудачу ставиться точка на отрезке ( — абсцисса поставленной точки). Равномерно распределённая случайная величина встречается также в измерительной практике при округлении отчётов измерительных приборов до целых делений шкал. Ошибка при округлении отчёте до ближайшего целого деления является случайной величиной , которая может принимать с постоянной плотностью вероятности любое значение между двумя соседними целыми делениями.

Математическое ожидание и дисперсия равномерно распределённой случайной величины

Характеристическая функция равномерного распределения задаётся формулой

График плотности равномерного распределения изображён на рис. 23.

Пример 3. Найти вероятность попадания случайной величины, имеющей равномерное распределение на отрезке , на участок , представляющий собой часть отрезка .

Решение. Используя свойство 3 плотности вероятности, получаем

Графически вероятность представляется в виде площади заштрихованного прямоугольника на рис. 24.

Распределение хи-квадрат

Частный случай гамма-распределения с параметрами и называется распределением хи-квадрат с степенями свободы (пишут ). Если случайная величина подчиняется закону , то её плотность распределения вероятностей есть

Основные характеристики распределение хи квадрат (математическое ожидание и дисперсия):

Кривые распределения (для различных значений ) изображены на рис. 25.

Случайная величина , подчиняющаяся хи-квадрат распределению, равна сумме квадратов независимых случайных величин , каждая из которых имеет стандартизированное нормальное распределение, то есть

Пусть и — независимые случайные величины, имеющие хи-квадрат распределение со степенью свободы соответственно и . Сумма этих случайных величин имеет также хи-квадрат распределение с степенями свободы:

Заметим, что распределение при больших значениях с достаточной для практических расчётов точностью аппроксимируется нормальным распределением с математическим ожиданием и дисперсией . Поэтому при больших значениях вероятности рассчитываются по нормальному закону.

Распределение играет большую роль в математической статистике. Подробнее об этом [url]см. часть 11[/url].

Распределение Стьюдента

Распределение хи-квадрат Случайная величина есть отношение двух независимых случайных величин , то есть

Распределение случайной величины называется распределением Стьюдента с степенями свободы. Его плотность задаётся формулой

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, подчинённой распределению Стьюдента , есть

Кривые распределения Стьюдента (для различных значений ) изображены на рис. 26.

Как и в случае и хи-квадрат распределением, при увеличении распределение Стьюдента стремиться к нормальному, более того, стандартизованному нормальному (то есть с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией). Распределение Стьюдента, как хи-квадрат распределение, широко применяется в задачах математической обработки измерений.

Распределение Фишера

Пусть случайная величина равна отношению двух независимых случайных величин и , то есть

Распределение случайной величины называется распределением Фишера с и степенями свободы. Оно имеет следующую плотность вероятности

Математическое ожидание случайной величины, подчинённой распределению Фишера, определяется по формуле

Графики плотностей вероятностей распределения Фишера (для различных значений ) изображены на рис. 27.

Между случайными величинами, имеющими нормальное распределение: хи-квадрат, Стьюдента и Фишера, имеют место соотношения

Биномиальный закон распределения описывает вероятность наступления события А m раз в n независимых испытаниях, при условии, что вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна.

Например, отдел продаж магазина бытовой техники в среднем получает один заказ на покупку телевизоров из 10 звонков. Составить закон распределения вероятностей на покупку m телевизоров. Построить полигон распределения вероятностей.

В таблице m - число заказов, полученных компанией на покупку телевизора. С_n m - число сочетаний m телевизоров по n, p - вероятность наступления события А, т.е. заказа телевизора, q - вероятность не наступления события А, т.е. не заказа телевизора, P m,n - вероятность заказа m телевизоров из n. На рисунке 1 изображен полигон распределения вероятностей.

2.Геометрическое распределение.

Геометрическое распределение случайной величины имеет следующий вид:

P m - вероятность наступления события А в испытание под номером m.
р - вероятность наступления события А в одном испытании.
q = 1 - p

Пример. В компанию по ремонту бытовой техники поступила партия из 10 запасных блоков для стиральных машин. Бывают случаи, что в партии оказывается 1 блок бракованный. Проводится проверка до обнаружения бракованного блока. Необходимо составить закон распределения числа проверенных блоков. Вероятность того, что блок может оказаться бракованным равна 0,1. Построить полигон распределения вероятностей.

Из таблицы видно, что с увеличением числа m, вероятность того, что будет обнаружен бракованный блок, снижается. Последняя строчка (m=10) объединяет две вероятности: 1 - что десятый блок оказался неисправным - 0,038742049 , 2 - что все проверяемые блоки оказались исправными - 0,34867844. Так как вероятность того, что блок окажется неисправным относительно низкая (р=0,1), то вероятность последнего события P m (10 проверенных блоков) относительно высокая. Рис.2.

3.Гипергеометрическое распределение.

Гипергеометрическое распределение случайной величины имеет следующий вид:

Например, составить закон распределения 7-ми угаданных чисел из 49. В данном примере всего чисел N=49, изъяли n=7 чисел, M - всего чисел, которые обладают заданным свойством, т.е. правильно угаданных чисел, m - число правильно угаданных чисел среди изъятых.

Из таблицы видно, что вероятность угадывания одного числа m=1 выше, чем при m=0. Однако затем вероятность начинает быстро снижаться. Таким образом, вероятность угадывания 4-х чисел уже составляет менее 0,005, а 5-ти ничтожно мала.

4.Закон распределения Пуассона.

Случайная величина Х имеет распределение Пуассона, если закон ее распределения имеет вид:

λ = np = const
n - число испытаний, стремящиеся к бесконечности
p - вероятность наступления события, стремящаяся к нулю
m - число появлений события А

Например, в среднем за день в компанию по продаже телевизоров поступает около 100 звонков. Вероятность заказа телевизора марки А равна 0,08; B - 0,06 и C - 0,04. Составить закон распределения заказов на покупку телевизоров марок А,В и С. Построить полигон распределения вероятностей.

Из условия имеем: m=100, λ 1 =8, λ 2 =6, λ 3 =4 ( ≤10 )

(таблица дана не полностью)

Если n достаточно большое и стремится к бесконечности, а значение p стремится к нулю, так что произведение np стремится к постоянному числу, то данный закон является приближением к биномиальному закону распределения. Из графика видно, что чем больше вероятность р, тем ближе кривая расположена к оси m, т.е. более пологая. (Рис.4)

Необходимо отметить, что биномиальный, геометрический, гипергеометрический и закон распределения Пуассона выражают распределение вероятностей дискретной случайной величины.

5.Равномерный закон распределения.

Если плотность вероятности ϕ(х) есть величина постоянная на определенном промежутке [a,b], то закон распределения называется равномерным. На рис.5 изображены графики функции распределения вероятностей и плотность вероятности равномерного закона распределения.

Репетитор: Васильев Алексей Александрович

Предметы: математика, физика, информатика, экономика, программирование.

2000 руб / 120 мин - подготовка к ЕГЭ и ГИА для школьников. 3000 руб / 120 мин - индивидуально (базовый уровень). 2000 руб / 120 мин - студенты.

6.Нормальный закон распределения (закон Гаусса).

Среди законов распределения непрерывных случайных величин наиболее распрастраненным является нормальный закон распределения. Случайная величина распределена по нормальному закону распределения, если ее плотность вероятности имеет вид:

где
а - математическое ожидание случайной величины
σ - среднее квадратическое отклонение

График плотности вероятности случайной величины, имеющей нормальный закон распределения, симметричен относительно прямой х=а, т.е х равному математическому ожиданию. Таким образом, если х=а, то кривая имеет максимум равный:

При изменении величины математического ожидания кривая будет смещаться вдоль оси Ох. На графике (Рис.6) видно, что при х=3 кривая имеет максимум, т.к. математическое ожидание равно 3. Если математическое ожидание примет другое значение, например а=6, то кривая будет иметь максимум при х=6. Говоря о среднем квадратическом отклонении, как можно увидеть из графика, чем больше среднее квадратическое отклонение, тем меньше максимальное значение плотности вероятности случайной величины.

Функция, которая выражает распределение случайной величины на интервале (-∞,х), и имеющая нормальный закон распределения, выражается через функцию Лапласа по следующей формуле:

Т.е. вероятность случайной величины Х состоит из двух частей: вероятности где x принимает значения от минус бесконечности до а, равная 0,5 и вторая часть - от а до х. (Рис.7)

7.Показательный закон распределения.

Закон распределения случайной величины Х называется показательным (или экспоненциальным), если плотность вероятности имеет вид:

где λ - параметр обратно-пропорциональный математическому ожиданию.

График плотности вероятности с параметрами
λ = 2, λ = 4, λ =6 изображен на рис.8

Функция распределения случайной величины Х, которая имеет показательное распределение, имеет вид:

График функции изображен на рис.9

Если функцию распределения случайной величины выразить через плотность вероятности при х ≥ а, то она примет вид:

8.Логарифмически-нормальное распределение.

Если логарифм непрерывной случайной величины изменяется по нормальному закону, то случайная величина имеет логарифмически-нормальное распределение. Функция логаривмически-нормального распределения имеет вид.

Из графика видно, что чем меньше σ и больше математическое ожидание а, тем кривая становится более пологая и больше стремится к симметрии. Данный закон, чаще всего, используется для описания распределения поступления денежных средств (доходов), банковских вкладов, износа основных средств и т.д. (Рис.10)

9. χ ² распределение

Сумма квадратов k независимых случайных величин, которые распределены по нормальному закону, называется χ ² распределением.

χ ² распределение имеет вид:

А i - i-ая случайная величина, распределенная по нормальному закону (i = 1,2,3. k).

Плотность вероятности случайной величины, распределенной по распределению χ ² имеет вид:

Из графика видно, что чем больше n=k, тем кривая стремиться к нормальному распределению. Рис.11.

10.Распределение Стьюдента (t - распределение)

Распределение непрерывной случайной величины называется распределением Стьюдента, если оно имеет вид:

Z - случайная величина, распределенная по нормальному закону.
χ ² - случайная величина, имеющая χ ² - распределение с k степенями свободы.

Плотность вероятности распределения Стьюдента имеет вид:

На рис.12 изображена плотность вероятности распределения Стьюдента. Из графика можно увидеть, что чем больше k, тем больше кривая приближается к нормальному распределению.

11. Распределение Фишера-Снедекора.

Распределение случайной величины Фишера-Снедекора имеет вид:

Плотность вероятности случайной величины имеет вид:

При стремлении n к бесконечности распределение Фишера-Снедекора стремится к нормальному закону распределения.(Рис.13)

Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [a;b], если ее плотность вероятности f (x) постоянна на этом отрезке, а вне его равна нулю:

$\begin f(x) = \left\< \begin \frac, & x\in [a,b]\\ 0, & x\notin [a,b] \end \right. \end$

Тот факт, что СВ Х распределена равномерно, записывают коротко так:

К случайным величинам, имеющим равномерное распределение, относятся те СВ, о которых известно, что все их значения лежат внутри некоторого промежутка [a;b] и при этом одинаково возможны. Например, время ожидания транспорта, ошибка, получающаяся от округления результата измерения до ближайшего целого числа, и т.д.

Функция распределения F (x) для равномерно распределенной СВ Х имеет вид

Если СВ Х распределена равномерно на отрезке [a;b], то вероятность попадания СВ Х на отрезок , целиком содержащийся внутри отрезка [a;b] находится по формуле:

$P\<X\in [\alpha, \beta]\> =\frac.$

Числовые характеристики равномерного распределения:

$D(X)=\frac<<(b-a)> ^2>$

$\sigma (X)=\sqrt <D(X)> $

Практический материал

1.1. Плотность вероятности НСВ Х имеет вид

$\begin f(x) = \left\< \begin 0,5 \cdot B, & x\in [0,2]\\ 0, & x\notin [0,2] \end \right. \end$

$B,\qquad F(x), \qquad M(X), \qquad D(X), \qquad \sigma (X), \qquad P\<X\in [0;1,2]\> Найти:$

Коэффициент В найдем, используя следующее свойство плотности вероятности:

$\int_<-\infty> ^ <+\infty>f(x) dx=1$

$\int_<-\infty> ^ <+\infty>f(x) dx=\int_<-\infty>^ 0 dx + \int_^ 0,5\cdot B dx +\int_^ <+\infty>0 dx=1$

$0+\int_<0> ^ 0,5\cdot B dx+0=1$

$0,5\cdot B \int_<0> ^ dx=1$

Используя формулу Бинома-Ньютона, получаем

Итак, плотность распределения СВ Х имеет вид:

$\begin f(x) = \left\< \begin 0,5, & x\in [0,2]\\ 0, & x\notin [0,2] \end \right. \end$

Следовательно, СВ Х распределена на отрезке [0;2]. Функция распределения для СВ имеет вид:

Числовые характеристики этого распределения таковы:

$D(X)=\frac<<(b-a)> ^2>=\frac=\frac13$

$\sigma (X)=\sqrt <D(X)> =\frac>$

Вероятность попадания СВ Х в промежуток [0; 1,2] находим, используя формулу

$P\<X\in [\alpha, \beta]\> =\frac=\frac=0,6.$

1.2. Некто ожидает телефонный звонок между 19.00 и 20.00. Время ожидания звонка есть непрерывная СВ Х, имеющая равномерное распределение на отрезке [19, 20]. Найти вероятность того, что звонок поступит в промежутке от 19 часов 22 минут до 19 часов 46 минут.

При переводе минут в часы необходимо помнить, что в одном часе 60 минут, поэтому 19 часов 22 минуты равно =19\frac" width="92" height="22" />
, 19 часов 46 минуты равно =19\frac" width="92" height="22" />
.

Вероятность попадания СВ Х в промежуток

$\left[19\frac<11> , 19\frac\right]$

находим, используя формулу

$P\<X\in [19\frac , 19\frac]\>=\frac<19\frac - 19\frac>=\frac>=0,4.$

$M(X)=2, \qquad D(X)=3$

1.3. Случайная величина Х, распределенная равномерно, имеет следующие числовые характеристики . Найти .

$\begin \left\< \begin \frac=2; \\ \frac^2>=3; \end \right. \end$

$\begin \left\< \begin a+b=4; \\ ^2=36; \end \right. \end$

$\begin \left\< \begin a=4-b; \\ ^2=36. \end \right. \end$

Таким образом, функция распределения имеет вид:

II. Показательное распределение

Непрерывная случайная величина Х имеет показательное (или экспоненциальное) распределение, если ее плотность вероятности имеет вид

где - параметр данного распределения.

Функция распределения СВ Х, распределенной по показательному закону, находится по формуле

Числовые характеристики этого распределения определяются равенствами:

$M(X)=\frac <\lambda>, \qquad D(X)=\frac<<\lambda>^2>, \qquad \sigma (X)=\frac<\lambda>$

Вероятность попадания СВ Х в заданный промежуток [a,b] будем вычислять по формуле:

Практический материал

2.1. Время T выхода из строя радиостанции подчинено показательному закону распределения с плотностью

1. Функцию распределения ;

2. Математическое ожидание и дисперсию случайной величины T;

3. Вероятность того, что радиостанция сохранит работоспособность от 1 до 5 часов работы.

Из плотности распределения видно, что параметр , тогда

$M(T)=\frac <\lambda>=\frac=5;$

$D(T)=\frac <<\lambda>^2>=\frac^2>=25;$

$\sigma (X)=\frac<1> <\lambda>=5;$

2.1. СВ Х распределена по показательному закону с параметром . Найти дифференциальную и интегральную функции распределения (т. е. ), , а также вероятность попадания значений СВ Х в интервал (0,25; 5).

$P\<0,25\le X \le 5\> =\int_^5 0,4 \cdot e^ dx=-e^|_^5=$

$=-e^<-2> +e^=-\frac+\frac=-0,14+0,91=\approx 0,77.$

$M(X)=\frac <\lambda>=\frac=2,5$

$D(X)=\frac <<\lambda>^2>=\frac^2>=6,25$

$\sigma(X)=\frac <\lambda>=\frac=2,5$

III. Нормальное распределение

Непрерывная случайная величина Х имеет нормальное распределение (распределена по нормальному закону или по закону Гаусса), если ее плотность имеет вид

$f(x)=\frac<1> >\cdot e^^2>^2>>$

График функции называется кривой Гаусса

Тот факт, что СВ Х распределена по нормальному закону, записывают коротко, так: .

Параметры и представляют собой соответственно математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение СВ Х, т.е.

$M(X)=a,\qquad \sigma(X)=\sigma.$

$D(X)=<\sigma> ^2.$

Функция распределения нормального закона выражается формулой

$F(x)=0,5+\Phi\left(\frac<x-a> \right)$

$\Phi(x)=\frac<1> >\cdot \int_0^x e^>dt$

— называется функцией Лапласа.

Свойства функции Лапласа:

1. , т. е. функция - нечетная. Отсюда, в частности, следует, что ;

2. .

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал определяется формулой

Вероятность попадания СВ в интервал , симметричный относительно центра рассеяния а, находится по формуле

Практический материал

3.1. Плотность вероятностей СВ Х имеет вид

$f(x)=c\cdot e^<-2x^2-\frac43x+\frac13> $

Найти:

Преобразуем заданную плотность, выделив полный квадрат в показателе степени:

$-2x^2-\frac43x+\frac13=-2\left(x^2+\frac23x-\frac16\right)=-2\left(x^2+2\cdot\frac13 \cdot x+\frac19-\frac19-\frac16\right)=$

$=-2\left(<\left(x+\frac13\right)> ^2-\frac\right)=-2<\left(x+\frac13\right)>^2+\frac;$

На этом наши преобразования не заканчиваются:

$f(x)=c\cdot e^<-2<\left(x+\frac13\right)> ^2+\frac>=c\cdot e^\cdot e^<-2<\left(x+\frac13\right)>^2>=$

$=c\cdot e^ \cdot e^<\frac<<\left(x+\frac13\right)>^2>>=c \cdot e^\cdot e^<-\frac<<\left(x+\frac13\right)>^2>^2>>$

Сравнив данную плотность

$f(x)=c \cdot e^<\frac59> \cdot e^<-\frac<<\left(x+\frac13\right)>^2>^2>>$

$f(x)=\frac<1> >\cdot e^^2>^2>>$

нормального распределения, заключаем, что СВ Х имеет нормальное распределение.

$M(X)=-\frac13,\qquad \sigma(X)=\frac12, \qquad D(X)=\frac14$

Проанализировав плотность распределения для нашего случая можно заключить, что .

Значение коэффициента с найдем из равенства:

$c \cdot e^<\frac59> =\frac>$

$c =\frac<1> \cdot \frac<\sqrt<2\pi>>>$

Следовательно, плотность распределения СВ Х имеет вид

$f(x)=\frac \cdot \frac<\sqrt<2\pi>>> \cdot e^\cdot e^<-\frac<<\left(x+\frac13\right)>^2>^2>>=\frac>\cdot e^<-\frac<<\left(x+\frac13\right)>^2>^2>>$

найдем, используя формулу ^2" width="217" height="21" />
. В нашем случае ^2=\frac14" width="304" height="23" />
. Поэтому

$M(X^2)=D(X)+<(M(X))> ^2=\frac14+\frac19=\frac.$

$F(x)=0,5+\Phi\left(\frac<x-a> \right),$

$F(x)=0,5+\Phi\left(\frac<x+\frac13> \right)=0,5+\Phi\left(2x+\frac23\right).$

3.2. Определить закон распределения СВ Х, если ее плотность вероятности имеет вид

$f(x)=A\cdot e^<-x^2+2x+1> $

а)

б)

в) значение коэффициента А;

г)

д)

3.3. Случайные ошибки измерения детали подчинены нормальному закону с параметром мм. Найти вероятность того, что измерение детали произведено с ошибкой, не превосходящей по модулю 25 мм.

Читайте также: