Законы гидродинамики кратко основные

Обновлено: 30.06.2024

Гидродинамика - раздел гидравлики, в котором изучаются законы движения жидкости и ее взаимодействие с неподвижными и подвижными поверхностями.

В отличие от гидростатики, где основной величиной, характеризующей состояние покоя жидкости, является гидростатическое давление, которое определяется только положением точки в пространстве, т.е. ,в гидродинамике основными элементами, характеризующими движение жидкости, будут два: гидродинамическое давление и скорость движения (течения) жидкости.

Гидродинамическое давление р – это внутреннее давление. развивающееся при движении жидкости. Скорость движения жидкости в данной точке и – это скорость перемещения находящейся в данной точке частицы жидкости, определяемая длиной пути l, пройденного этой частицей за единицу времени t.

Движущейся силой при течении жидкостей является разность давлений, которая создается с помощью насосов или компрессоров либо вследствие разности уровней или плотностей жидкости.

Знание законов гидродинамики позволяет находить разность давлений, необходимую для перемещения данного количества жидкости с требуемой скоростью, а значит, и расход энергии на это перемещение, или наоборот определять скорость и расход жидкости при известном перепаде давления.

Задачей гидродинамики и является определение основных элементов движения жидкости р и скорости, установление взаимосвязи между ними и законов изменения их при различных случаях движения жидкости.

Линия тока.

Если в массе движущейся жидкости в данный момент времени t взять какую-либо точку 1(рис. 6), то можно в этой точке построить вектор скорости и₁, выражающий величину и направление скорости движения частицы жидкости в данной точке 1в этот момент времени.

В тот же момент времени t можно взять и другие точки в движущейся жидкости, например, точки 2, 3, 4,. в которых также можно построить векторы скоростей u₂, u₃, и₄,… выражающие скорость движения других частиц жидкости в тот же момент.

Можно выбрать точки 1, 2, 3, 4. . . и провести через них плавную кривую, к которой векторы скоростей будут всюду касательны.

Эта линия и называется линией тока.

Таким образом, линией токаназывается линия, проведенная через ряд точек в движущейся жидкости так, что в данный момент времени векторы скорости частиц жидкости, находящихся в этих точках, направлены по касательной к этой линии. В отличие от траектории, которая показывает путь движения одной частицы жидкости за определенный промежуток времени , линия тока соединяет разные частицы и дает некоторую мгновенную характеристику движущейся жидкости в момент времени t. Через заданную точку в данный момент времени можно провести только одну линию тока.

Если в данных точках движущейся жидкости величина и направление скорости и гидродинамическое давление с течением времени не изменяются (такое движение называется установившимся), то и линия тока, и траектория частицы, оказавшейся на ней, совпадают и со временем не изменяются. В этом случае траектории частиц являются и линиями тока.

Элементарная струйка. Если в движущейся жидкости выделить весьма малую элементарную площадку , перпендикулярную направлению течения, и по контуру ее провести линии тока, то полученная поверхность называется трубкой тока, а совокупность линий тока, проходящих сплошь через площадку , образует так называемую элементарную струйку(рис. 7).

Элементарная струйка характеризует состояние движения жидкости в данный момент времени t. При установившемся движении элементарная струйка имеет следующие свойства:

1. форма и положение элементарной струйки с течением времени остаются неизменными, так как не изменяются линии тока;

2. приток жидкости в элементарную струйку и отток из нее через боковую поверхность невозможен, так как по контуру элементарной струйки скорости направлены по касательной;

3. скорость и гидродинамическое давление во всех точках поперечного лечения элементарной струйки можно считать одинаковым ввиду малости площади .

Поток.Совокупность элементарных струек движущейся жидкости, проходящих через площадку достаточно больших размеров, называется потоком жидкости. Поток ограничен твердыми поверхностями, по которым происходит движение жидкости (труба), и атмосферой (река, лоток, канал и т.п.).

Гидродинамика

Линия тока.

Эта линия и называется линией тока.

Гидродинамика – это наука исследующая законы взаимодействия жидкостей (реальных газов) с движущимися и неподвижными поверхностями, рассматривающая условия и уравнения движения и равновесия жидкостей и газов.

Жидкость, в которой при любом ее движении не возникают силы внутреннего трения, называют идеальной. Иначе говоря, в идеальной жидкости существуют только силы нормального давления, которые однозначно определяются степенью сжатия и температурой жидкости. Модель идеальной жидкости используют тогда, когда скорости изменения деформаций в жидкости малы.

Одним из параметров, характеризующих состояние жидкости (газа) является давление ( ), которое определяют как:

$p=\frac<F> \ \qquad (1)$

Давление при равновесии жидкости подчиняется закону Паскаля:

Давление в любой точке покоящейся жидкости одинаково во всех направлениях. Давление одинаково передается во всем объеме, которое жидкость занимает.

Сила давления на нижние слои жидкости больше, чем на верхние слои. Из-за этого на тело, погруженное в жидкость (газ) действует выталкивающая сила, называемая силой Архимеда ( ) (закон Архимеда):

где – плотность жидкости; – объем тела, погруженного в жидкость.

В состоянии равновесия жидкости (газа) давление ( ) меняется в зависимости от плотности ( и температуры ( ) и однозначно определено ими. Соотношение:

в состоянии равновесия называют уравнением состояния.

Основным уравнением гидростатики является выражение:

$grad\ p=\overline<f> \ \qquad (4)$

где " width="12" height="20" />
– объемную плотность массовых сил. При равновесии жидкости плотность силы, действующая на единицу объема жидкости ()" width="17" height="20" />
есть градиент скалярной функции. Это необходимое и достаточное условие консервативности плотности силы " width="12" height="20" />
. Получается, что для равновесия жидкости надо, чтобы поле сил, в котором находится жидкость, было консервативным. В неконсервативных силовых полях равновесие не возможно.

Основным уравнением гидродинамики идеальной жидкости является уравнение Эйлера:

$\rho \frac<d\overline<v> >=\overline-grad\ p\ \qquad (6)$

$\frac<d\overline<v> где >$
ускорение жидкости в рассматриваемой точке.

Закон охранения энергии для установившегося течения идеальной жидкости в гидродинамике представлен уравнением Д. Бернулли:

$\frac<\rho v^2> +\rho gh+p=const\ \qquad (7)$

$\frac<\rho v^2> где – статическое давление – давление жидкости на поверхности тела, которое она обтекает;$
— динамическое давление; — гидростатическое давление; — высота столба жидкости.

Графически движение жидкости изображают при помощи линий тока. Их проводят так, что касательные к ним совпадают по направлению с вектором скорости в соответствующих точках пространства. Жидкость, ограниченную линиями тока называют трубкой тока. При стационарном течении жидкости форма и расположение линий тока не изменяется.

Движение несжимаемой жидкости подчиняется уравнению неразрывности, которое записывают как:

$S_1v_1=S_2v_2=const\ \qquad (8)$

и – сечения трубки тока.

Примеры решения задач

Задание

Маленький шарик поднимается вверх с постоянной скоростью в жидкости, чья плотность в раз больше, чем плотность материала шарика ( $\frac<\rho >_>=n$
). Каково отношение силы трения, которая действует на шарик к его весу ( $\frac<F_<tr>>$
)?

Решение

Рассмотрим силы, которые действуют на шарик в нашей жидкости (рис.1).

В проекции на ось Y (рис.1) имеем:

Вес шарика по модулю равен силе тяжести:

$P=mg=<\rho > _Vg\ \qquad (1.3)$

Из закона Архимеда мы знаем, что:

Используя (1.2) и (1.4) выразим силу трения шарика о жидкость:

Из (1.5) и (1.3) найдем искомое отношение:

Задание

Горизонтальная трубка имеет переменное сечение. По ней течет вода. Площади поперечных сечений трубы на разных ее участках равны и (рис.2). Разность уровней воды в вертикальных трубках одинакового сечения составляет величину . Какой объем воды проходит через трубку за t с через сечение трубы ?

Решение

Сделаем рисунок.

В качестве основы для решения задачи используем уравнение Бернулли, учитывая, что труба переменного сечения горизонтальна:

$\frac<\rho <v_1> ^2>+p_1=\frac^2>+p_2\ \qquad (2.1)$

Из уравнения непрерывности имеем:

$v_1S_1=v_2S_2\ \to v_2=\frac<v_1S_1> \qquad (2.2)$

Разность давлений вертикальных столбиков жидкости составляет:

$p_2-p_1=\ \rho g\Delta h\ \qquad (2.3)$

где – плотность жидкости. Из уравнения (2.1), получим:

$p_2-p_1=\frac<\rho<v_1> ^2>-\frac^2>\ \qquad (2.4)$

Используем выражение (2.2) и (2.3), (2.4), имеем:

$\rho g\Delta h=\frac<\rho<v_1> ^2>-\frac<\left(\frac<v_1S_1>\right)>^2\ \to v_1=\sqrt<1-<\left(\frac<S_1>\right)>^2>> \qquad (2.5)$

Искомый объем можно найти как:

$V=v_1tS_1=tS_1\sqrt<\frac<2g\Delta h> <1-<\left(\frac<S_1>\right)>^2>>$

Гидродинамика – это раздел науки, исследующий законы взаимодействия жидкостей и реальных газов с неподвижными и движущимися поверхностями, что предполагает рассмотрение условий и уравнений равновесия и движение веществ.

Рисунок 1. Закон Пуазейля. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Жидкость, в которой не появляются силы внутреннего трения при любом ее движении, называют в физике идеальной. Другими словами, в идеальных элементах существуют только показатели нормального, постоянного давления, которые в основном определяются уровнем сжатия и температурой жидкости. Модель наиболее подходящего вещества используют тогда, когда скорости изменения деформаций в жидкости крайне малы.

Давление в любой материальной точке покоящейся жидкости одинаково и равномерно во всех направлениях. Практическое использование гидродинамики чрезвычайно велико и разнообразно. Гидродинамикой пользуются при моделировании самолетов и кораблей, расчете прочнейших трубопроводов, гидротурбин, насосов и водосливных плотин, при изучении морских течений и речных наносов. Законы гидродинамики, которые составляют основу механических явлений, в значительной степени определяют характер течения тепловых и диффузионных процессов.

Гидродинамические законы позволяют точно и преждевременно определять разность внутренних давлений, необходимую для дальнейшего перемещения определенного количества жидкости с установленной скоростью.

Уравнения Бернулли и постоянства расхода потока

Рисунок 2. Уравнение Бернулл. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Готовые работы на аналогичную тему

Эти два уравнения являются мощной базой и главнейшими формулами гидродинамики. С их помощью возможно подойти к решению практически любой важной задачи во всех сферах науки. Особое внимание необходимо уделить выводу уравнения Бернулли, а также уяснению его энергетического, физического и геометрического смысла. Для улучшения усвоения и понимания данной формулы, а также возможностей ее использования в практических расчетах следует решить несколько задач и выполнить определенные лабораторные работы.

Произведение средней скорости потока идеальной жидкости на площадь неоднородного сечения при установившемся движении есть величина постоянная.

Уравнение неразрывности или постоянства потока является первым и основным законом гидродинамики, которое позволяет при секундном известном расходе установить скорость движения веществ в любом сечении потока и наоборот — точный расход жидкости при начальной скорости ее движения.

В свою очередь, уравнение Бернулли устанавливает тесную взаимосвязь скорости и давления в разнообразных средах одной и той же струи. Таким образом, обе формулы можно сформулировать следующим образом: сумма кинетической энергии и полный напор движущейся жидкости является главными параметрами движущейся жидкости.

Закон Пуазейля

Закон Пуазейля представляет собой универсальную формулу для объемной скорости дальнейшего течения жидкости.

Он был создан экспериментально французским исследователем Пуазейлем, который изучал течение крови в кровеносных сосудах. Именно эту теорию часто называют одним из важнейших законов гидродинамики.

Закон Пуазейля непосредственно связывает объемную скорость течения идеальной жидкости с разностью внутреннего давления в начале и конце трубки как основной движущей силой потока, радиусом, вязкостью жидкости и длиной самой среды. Эту гипотезу зачастую используют в случае, если движение жидкости ламинарное.

Формула закона Пуазейля записывается следующим образом:

Такое положение показывает, что величина $Q$ всегда прямо пропорциональна разнице внутреннего давления $P_1 - P_2$ в начале и конце трубки. Если $P_1$ равняется $P_2$, тогда поток жидкости мгновенно прекращается.

Формула закона Пуазейля также показывает, что высокая вязкость жидкости приводит к:

автоматическому снижению объемного параметра направления жидкости;
весомым различиям объемной скорости веществ, протекающих через кровеносные сосуды;
к постепенному введению дополнительной величины - гидродинамического сопротивления.

Новые законы гидродинамики

Для более детального понимания турбулентности, как состояния равномерной среды, жидкости, газа, или их смесей, внутри которой формируются хаотические колебания скорости, давления, температуры и плотности, необходимо знать вновь открытые законы гидродинамики. Среди них теории галактик нашей Вселенной и образования планет.

Кинематическая и внутренняя вязкость водного или воздушного потока (внутреннее трение) - это характеристика реальных жидкостей, или газов, которые могут сопротивляться перемещению одной части элементов относительно другой.

При такой трансформации возникают определенные силы внутреннего трения, направленные исключительно по касательной к поверхности среды.

Например, новый закон энергетического потенциала материального тела, находящегося в пространстве, утверждает, что каждое физическое вещество (молекула воздуха или воды), которое будет находиться в разных пространствах, будет обладать разным коэффициентом энергии. Однако следует помнить, чтобы перенести любое тело из одной среды в другую, необходима работа, которая будет прямо пропорциональна полученной энергии, выделенной из иной среды.

При решении конкретной задачи в гидродинамике используют основные методы и законы механики, учитывая общие свойства идеальных жидкостей, получают правильное решение, позволяющее точно определить давление, скорость, и касательную напряжения в любой точке занятого элементом пространства. Это даёт уникальную возможность рассчитать силы взаимодействия между твердым телом и жидкостью. Из нового закона стало понятно, что даже при ламинарном движении частиц в реке каждый слой водного потока испытывает серьезные потери в работе, силе и энергии.

Если такой процесс проходит по переменному, нестабильному сечению горизонтальной трубы желательно учитывать еще общие потери в переменном сечении, которые включают:

потери мощности водного потока в ходе перемещения каждого слоя;
температурные убытки внутри водного потока;
потери энергии водного потока на движение каждого слоя;
потери времени на перемещение каждого слоя водного потока;
потери от физических свойств и кинематической силы жидкости.

Для точного и быстрого расчета водного потока, перемещающегося по переменному сечению трубопровода или устью реки, в гидродинамике был выведен второй закон Белашова, который устанавливает момент силы для дальнейшего движения одного потока или любой жидкой смеси. Данные законы полностью соответствуют размерным единицам существующих физических величин и по ним возможно легко вычислить перемещение газовой смеси или воздушного потока, где на практике необходимо заменить плотность среды на плотность веществ, при этом все указанные выше потери будут выражены в Ньютонах.

(1)

(2)

Уравнения (1) и (2) называются уравнениями неразрывности потока. На основании их можно сделать вывод, что при установившемся движении жидкости через любое живое сечение потока в единицу времени проходит одинаковое количество жидкости, т. е. для любых двух сечений потока массовый расход одинаков.

Массовый расход может быть представлен как

Уравнение неразрывности потока является первым основным законом гидродинамики и позволяет при известном секундном расходе определить скорость движения жидкости в любом сечении потока и наоборот — расход жидкости при известной скорости ее движения.

Уравнение Бернулли

Вторым основным законом гидродинамики является уравнение Бернулли, устанавливающее зависимость между скоростью и давлением в различных сечениях одной и той же струи (потока), причем эти сечения находятся на разной высоте относительно плоскости сравнения:

(3)

где 𝓏₁ и 𝓏₂ — высоты первого и второго сечений соответственно,

р₁ и р₂ — давления жидкости первого и второго сечений,

υ₁ и υ₂ — скорости потока первого и второго сечений.

В общем виде уравнение Бернулли может быть представлено как

(4)

Сумма двух слагаемых, входящих в это уравнение, называется полным напором в данном сечении.

Если уравнение (4) умножить на массу F жидкости, то получим

где первые два члена представляют собой потенциальную энергию массы движущейся жидкости, а третий член — кинетическую энергию.

Таким образом, уравнение Бернулли можно сформулировать следующим образом: полный напор или сумма потенциальной и кинетической энергии движущейся жидкости есть величина постоянная для всех сечений.

Но в отличие от идеальной жидкости при движении реальной возникают потери энергии (или напора). Причины этих потерь: трение о стенки трубопровода или канала, преодоление сил внутреннего трения в вязкой жидкости. Поэтому для потока реальной жидкости напор в первом сечении

всегда будет больше, чем напор в сечении, находящемся от него на некотором расстоянии:

Если величину указанных потерь энергии обозначить h_п, то уравнение Бернулли будет иметь вид:

Различают два основных вида потерь:

• потери напора по длине трубопровода h_дл, обусловленные действием сил трения по поверхности канала на всех участках перемещения;

• потери местные h_м, обусловленные сопротивлением при прохождении жидкости через изгибы, резкие сужения, расширения, отводы (тройники), краны, фильтры и т. п.

где ξ — коэффициент местного сопротивления определяется опытным путем, для малых отверстий ξ = 0,06.

Гидродинамикой называют раздел гидравлики, в котором изучается движение жидкости, обусловленное действием приложенных к ней внешних сил.

Состояние реальной движущейся жидкости в каждой ее точке характеризуется не только плотностью и вязкостью, но и скоростью частиц жидкости, а также гидродинамическим давлением.

Под частицей в гидродинамике понимают условно выделенный объем жидкости, который настолько мал, что можно пренебречь изменением его формы при движении.

При изучении законов движения реальной жидкости необходимо учитывать ее вязкость, что усложняет решение задач гидродинамики, поэтому рассмотрим вначале уравнения движения идеальной жидкости, а затем внесем в них поправки, учитывающие свойства реальной жидкости.

Основным объектом изучения гидродинамики является поток жидкости, под которым понимают движение массы жидкости, ограниченной полностью или частично какой-либо поверхностью (поверхностями) . Ограничивающая поверхность может быть твердой (стенки труб, берега и дно рек, каналов и т. д.) , жидкой (граница двух жидкостей с разными физическими свойствами) и газообразной (например, граница между поверхностью жидкости и атмосферой и т. п.) .

Движение жидкости может быть установившимся (стационарным) и неустановившимся (нестационарным) . Установившимся называют движение, при котором давление и скорость жидкости в любой точке занятого ею пространства с течением времени не изменяются. При неустановившемся движении в каждой точке пространства, занятом жидкостью, скорость и давление изменяются с течением времени.

Примером установившегося движения может послужить истечение жидкости из сосуда с поддерживаемым постоянно уровнем через коническую трубку (см. рис. 1) . Скорость движения жидкости в разных сечениях трубки будет различаться, но в каждом из сечений эта скорость будет постоянной, не изменяющейся во времени.
Если же в подобном опыте уровень жидкости в сосуде не поддерживать постоянным, то движение жидкости по той же конической трубке будет иметь нестационарный (неустановившийся) характер, поскольку в сечениях трубки скорость не будет постоянной во времени (будет уменьшаться с понижением уровня жидкости в сосуде) .

Движение жидкости может быть равномерным и неравномерным.
Равномерным называют движение, при котором скорости в сходственных точках двух смежных сечений потока жидкости равны между собой. В противном случае движение неравномерное.
Если обратиться к предыдущему опыту с сосудом и конической трубкой, то можно заметить, что истечение жидкости через коническую трубку в обоих случаях (с постоянным и переменным уровнем в сосуде) равномерным не будет. Коническая трубка имеет непостоянное сечение, и скорость жидкости при движении по ней будет непрерывно изменяться.
Если заменить в этом опыте коническую трубку цилиндрической, то движение жидкости в ней будет равномерным.

Различают напорное и безнапорное движение жидкости. Если стенки полностью ограничивают поток жидкости, то движение жидкости называют напорным (например, перемещение жидкости по полностью заполненным трубам) .
Если же ограничение потока стенками частичное (например, движение воды в реках, каналах) , то такое движение называют безнапорным.
Напорные потоки иногда называют сплошь заполненными, а безнапорные – открытыми руслами.

Для того чтобы движение жидкости можно было считать полностью определенным, необходимо знать распределение величины и направления скорости частиц в потоке, а также зависимость этого распределения от времени.

Направление скоростей в потоке характеризуется линией тока.
Линия тока – воображаемая кривая, проведенная внутри потока жидкости таким образом, что скорости всех частиц, находящихся на ней в данный момент времени, касательны к этой кривой (см. рисунок) .
Линия тока отличается от траектории тем, что последняя отражает путь какой-либо одной частицы за некоторый промежуток времени, тогда как линия тока характеризует направление движения совокупности частиц жидкости в данный момент времени.
При установившемся движении линии тока совпадает с траекториями движения частиц жидкости.

Если в поперечном сечении потока жидкости выделить элементарную площадку ΔS и провести через точки ее контура линии тока, то получится так называемая трубка тока (см. рисунок) . Жидкость, находящаяся внутри трубки тока, образует элементарную струйку. Поток жидкости можно рассматривать как совокупность всех движущихся элементарных струек.

Живым сечением элементарной струйки называют поверхность, нормальную (перпендикулярную) к вектору скорости, т. е. к линии тока. Скорость движения частиц жидкости во всех точках каждого живого сечения элементарной струйки можно считать одинаковой ввиду незначительных размеров сечения, а сами сечения по той же причине можно считать плоскими.

Живое сечение потока определяют как сумму живых сечений элементарных струек, из которых он состоит. Следовательно, живое сечение потока представляет собой поверхность, во всех точках которой скорости частиц жидкости нормальны к элементам этой поверхности.
Следует отметить, что живое сечение может иметь форму плоской поверхности лишь для идеальной жидкости, в общем случае (для реальных жидкостей) оно имеет форму сложной криволинейной поверхности, т. е. скорости частиц потока жидкости распределены в любом его живом сечении неравномерно.

Линию соприкосновения жидкости с твердыми стенками, ограничивающими поток в данном живом сечении, называют смоченным периметром (см. рисунок) . Отношение площади живого сечения потока S к длине смоченного периметра χ называют гидравлическим радиусом потока жидкости:

Для труб круглого сечения, заполненных жидкостью, гидравлический радиус определяют по формуле:

Аналогично определяют гидравлический радиус в трубах других сечений:

для эллиптических труб с осями a и b :

R = ab/[2/3(a + b) - √ab] ;

для трубы в виде равностороннего треугольника со стороной a :

для трубы в виде прямоугольника со сторонами a и b :

для квадратной трубы со стороной a :

Объем или масса жидкости, протекающей через живое сечение потока в единицу времени, называют объемным ( Q ) или массовым ( m ) расходом жидкости.
Объемный расход жидкости Q измеряется в м 3 /с или л/с, массовый расход m – в кг/с. Объемный расход связан с массовым расходом зависимостью Q = m/ρ .

Плотность жидкости может быть различной в разных участках потока, и даже в разных точках живого сечения, например, из-за неравномерности распределения температуры. В общем случае непостоянной является и скорость в различных точках живого сечения потока: в центре потока она обычно больше, а у стенок, ограничивающих поток, - меньше (вплоть до полной остановки частиц) .
В связи с этим вводят понятие средней скорости потока, которую определяют, как отношение расхода к площади живого сечения:

Читайте также: