Закон видемана франца кратко

Обновлено: 02.07.2024

На основании ряда экспериментальных данных, полученных учеными Рикке, Мандельштамом и Папалекси, Толменом и Стюартом в начале XX в. было установлено, что носителями тока в металлах являются электроны.

Некоторые свойства электрона были описаны Томсоном в 1895-97 гг.

В основу теории были положены выводы классической молекулярно-кинетической теории, в которой электроны проводимости рассматриваются как электронный газ и его свойства подобны свойствам одноатомного, идеального газа. Число свободных электронов равно примерно числу атомов.

Согласно классической электронной теории проводимости металлов в отсутствии электрического поля в них электроны проводимости (электронный газ) находятся в состоянии теплового хаотического движения в кристаллической решетке, образованной положительно заряженными ионами.

Ионы совершают тепловые колебания около положений равновесия - узлов кристаллической решетки. При своем движении электроны испытывают столкновения с ионами. Длина свободного пробега электронов , т. е. по порядку равна периоду кристаллической решетки. В соответствии с выводами молекулярно-кинетической теории средняя кинетическая энергия теплового движения электронов ,

При создании электрического поля в металлических проводниках возникает электрический ток, плотность которого

где n₀ - концентрация электронов; q_e - заряд электрона; - средняя скорость упорядоченного движения. Электроны имеют скорость v = + .

Следовательно, под действием напряженности электрического поля электроны в проводнике приходят в упорядоченное движение в направлении противоположном вектору напряженности электрического поля.

Если средняя продолжительность времени свободного пробега , то после интегрирования

Если всех электронов одинаковы, но

С учетом этого формулу (2) перепишем в виде:

Следовательно, плотность тока

- удельная электропроводимость проводника.

Таким образом, на основании классической теории проводимости металлов был теоретически получен закон Ома в дифференциальной форме

Вывод закона Джоуля - Ленца

После соударения электрона с ионами кристаллической решетки его энергия упорядоченного движения переходит во внутреннюю энергию, что приводит к нагреванию проводника.

Под действием электрического поля за время свободного пробега электрон увеличивает свою кинетическую энергию на величину

Из-за теплового хаотического движения электронов, их средняя кинетическая энергия

В единице объема проводника содержится n₀ электронов, причем ежесекундно каждый из них испытывает в среднем число столкновений с ионами

Энергия электрического тока, которая преобразуется во внутреннюю энергию за 1 с в единице объема, называется объемной плотностью тепловой мощности

Используя формулу (2) и

Последняя формула выражает закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме, т. е.

Квантовые числа

В квантовой механике состояние электрона описывается набором квантовых чисел: главное квантовое число n = 1, 2, 3, . ; характеризует энергию электрона в атоме; орбитальное квантовое число 0, 1, 2, 3, . , n - 1; характеризует энергию взаимодействия электронов; магнитное квантовое число = 0, ±1, ±2, ±3, . , ± ; характеризует проекцию момента импульса; спиновое квантовое число m_S = ± 1/2 ( спин S =1/2).

При заполнении электронами энергетических состояний (уровни энергии) для фермионов выполняется принцип Паули:

В данной системе тождественных фермионов любые два из них не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии.

При равных значениях квантовых чиселn, , электроны должны иметь противоположно направленные спины. Заполнение электронами энергетических уровней происходит при одновременном выполнении трех условий: а) электроны должны иметь вполне определенные значения квантовых чисел n, , , m_s; (23)

б) соответствовать минимуму энергии;

в) подчиняться принципу запрета Паули.

Основы квантовой статистики

В отличие от классической квантовая статистика строится на принципе неразличимости тождественных частиц, например, электронов в атоме.

Квантовой статистикой называют метод исследования квантовой системы, состоящей из большого числа частиц.

Основная задача квантовой статистики - нахождении функции распределения частиц квантовой системы по координатам, импульсам, энергиям.

Статистика Бозе - Эйнштейна

Частицы со спином s = 0 или целым кратным : s = 0, , 2 , . ,

[ ]. Такие частицы называют бозонами: например, фотоны, квазичастицы - фононы, куперовские пары электронов в сверхпроводниках, ядра атомов и т. д. Собственный момент импульса L_sz =±2mħ/2, где m =0, 1, 2, … . Поведение бозонов описывается статистикой Бозе - Эйнштейна. Бозоны не подчиняются принципу запрета Паули.

Функция Бозе - Эйнштейна - среднее число частиц в данном состоянии,

где W_i - энергия i-й частицы; W_F - энергия Ферми, которую рассчитывают по формуле

Статистика Ферми - Дирака

Рис. 1

Частицы с полуцелым спином в единицах называют фермионами. Собственный момент импульса фермионов L_sz = ± (2m +1) ħ / 2.

К фермионам относятся, например, электроны, протоны, нейтроны и др.

Фермионы подчиняются принципу запрета Паули. Состояние фермионов описывается статистикой Ферми - Дирака. Функция распределения Ферми - Дирака имеет вид:

На рис. 1 приведены графики функций распределения Максвелла – Больцмана, Бозе - Эйнштейна и Ферми - Дирака.

Эффективная масса электрона

Под действием внешней силы в периодическом поле кристаллической решетки электрон движется так, как двигался бы под действием этой силы свободный электрон, если бы он имел массу

где - постоянная Планка;

k = 2p ¤ l - волновое число.

Эффективная масса электрона по абсолютному значению может быть больше или меньше массы электрона m, положительной или отрицательной.

Для свободного электрона

Иначе обстоит дело с электронами в кристалле, где он имеет не только кинетическую, но и потенциальную энергии.

Чем шире разрешенная зона, тем меньше эффективная масса электронов, находящихся у дна этой зоны.

Часть работы внешней силы, действующей на электрон, переходит в кинетическую энергию, остальная часть работы - в потенциальную энергию,

Но скорость и кинетическая энергия возрастают медленнее, чем у свободного электрона. Такой электрон становится как бы тяжелее.

Если вся работа внешней силы переходит в потенциальную энергию:

то изменение кинетической энергии и скорости электрона не происходит, и он ведет себя, как частица с бесконечной, эффективной массой.

Если же при движении электрона в потенциальную энергию переходит не только вся работа внешней силы, но и кинетическая энергия

тогда скорость электрона будет уменьшаться, т. е. он ведет себя, как частица с отрицательной эффективной массой. Так ведут себя электроны, расположенные у потолка энергетической зоны. Если при движении электрона в кинетическую энергию переходит вся работа внешней силы и потенциальная энергию, т. е.

то его скорость растет быстрее, чем у свободного электрона, и он становится легче свободного электрона (m > m_эф).

Лекция 8

1. Классическая теория электропроводности металлов

Некоторые свойства электрона были описаны Томсоном в 1895-97 гг.

Если средняя продолжительность времени свободного пробега , то после интегрирования

Если всех электронов одинаковы, но = 2 .

Используя формулу (2) и

Последняя формула выражает закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме, т. е.

Вывод закона Видемана - Франца.

Основатели классической теории проводимости металлов пытались теоретически получить закон Видемана - Франца:

При постоянной температуре для всех металлов отношение коэффициента теплопроводности к коэффициенту электропроводности является величиной постоянной.

Исследования Лоренца показали, что

где L - константа Лоренца.

Из молекулярно-кинетической теории известно, что коэффициент теплопроводности k = , (14)

где с_v - удельная теплоемкость идеального газа при постоянном объеме;

r = mn₀ - плотность одноатомного газа.

Если молярная масса газа М = mN_a, то

где R - универсальная газовая постоянная; k - постоянная Больцмана.

Подставив значение коэффициентов теплопроводности из (16) и электропроводности из (11) в (15), получим закон Видемана - Франца в виде k / g = k m 2 / q 2

Из молекулярно-кинетической теории следует, что @ = .

Тогда окончательно получим

k / g = 3k 2 T / q 2 , (17)

где константа Лоренца L = .

Несмотря на то, что классической теории удалось получить законы Ома и Джоуля-Ленца при выводе закона Видемана-Франца встретились серьезные трудности. Значение константы L значительно расходилось с экспериментальными данными.

Для металлов бериллия и марганца закон Видемана - Франца не выполняется.

Попытки Лоренца уточнить теорию, используя классическую статистику Максвелла-Больцмана, не дали результатов. Действительно, сильно упрощенная классическая теория проводимости металлов не могла учесть всех особенностей свойств электрона, которые были получены позднее.

Например, 1) согласно теории удельное сопротивление

что противоречит экспериментальным данным;

2) средняя длина свободного пробега электронов значительно больше и состаляла сотни периодов кристаллической решетки, т. е. электроны значительно реже испытывают столкновения с ионами;

3) более значительные затруднения теории возникли при объяснении теплоемкости металлов.

Молярная теплоемкость металлов определяется молярной теплоемкостью кристаллической решетки С_реш и молярной теплоемкостью электронного газа С_эл, т. е. С = С_реш + С_эл. Ионы, образующие кристаллическую решетку проводника, совершают тепловые колебания около узлов кристаллической решетки. Любой ион имеет три колебательные степени свободы и характеризуется в среднем энергией колебательного движения W_ko_л = 3 kT.

Тогда внутренняя энергия одного моля ионов U_реш = N_a 3kT = 3RT.

Следовательно, теплоемкость решетки (закон Дюлонга и Пти)

Теплоемкость электронного газа С_эл = 3R/2, (19)

Таким образом, полная теплоемкость металл

Согласно экспериментальным данным молярная теплоемкость металлов почти не отличается от молярной теплоемкости кристаллических диэлектриков при нормальных условиях и находится по формуле С = 3R, т. е. электронный газ практически не имеет теплоемкости.

Трудности классической теории удалось преодолеть после создания качественно новой квантовой теории проводимости металлов, предложенной Зоммерфельдом в 1928 г. В своей теории он использовал статистику Ферми-Дирака. Согласно выводам квантовой теории константа L в законе Видемана-Франца L = , (21)

что хорошо согласуется с экспериментальными данными.

В квантовой теории учтено влияние периодического электрического поля на движение электронов, созданного ионами кристаллической решетки, нарушения этой периодичности за счет тепловых колебаний ионов, наличия примесей и т. д.

В металлах тепло и электричество проводят свободные электроны. Свободные электроны являются легкими и подвижными частицами, в этой связи металлы – это хорошие электро- и теплопроводники. В этих процессах ионы в металлах играют несущественную роль. В классической теории электропроводности совокупность свободных электронов в металле часто рассматривают как электронный газ.

Классическая теория электропроводности и закон Видемана – Франца

Из классической теории электропроводности следует, что электроны проводимости, свободно двигаясь в металле, несут с собой и электрический заряд, и свою энергию хаотического теплового движения. Следовательно, электроны переносят тепло. Концентрация электронов в металла очень большая, получается, что почти все тепло переносят именно электроны, ионная решетка минимально участвует в данном процессе. Получается, что металлы, имеющие высокую теплопроводность, обладают хорошей электропроводностью и наоборот.

Опираясь на представление о совокупности электронов в металлах, как об электронном газе, выведем коэффициент теплопроводности ($\chi$) идеального одноатомного газа (электронного газа):

где $n$- концентрация электронов; $k$ - постоянная Больцмана; $v_$ - средняя скорость теплового движения молекул; $l_$ - средняя длина свободного пробега электрона в металле.

Длину свободного пробега электрона можно положить, равной:

где $\tau$ - время свободного пробега электрона в металле. Мы пренебрегаем скоростью дрейфа электронов ($v$) в сравнении с их скоростью теплового движения, так как даже в очень сильных электрических полях $v_\ll v$.

Удельная электропроводность металлов ($\lambda$) из классической теории проводимости металлов может быть представлена как:

где $e$ - заряд электрона; $m$ - масса электрона.

Найдем отношение коэффициента теплопроводности металла к коэффициенту его электропроводности, ориентируясь на выражения (1-3), имеем:

Готовые работы на аналогичную тему

Положим, что $(v_)^2\approx v^2_ (5)$ и, используя формулу для средней энергии теплового движения, электрона (помним, что один электрон имеет три степени свободы):

выражение (4) получим в виде:

Выражение (7) называют законом Видемана – Франца. Эти ученые пришли к данному закону посредством экспериментальных исследований.

Закон (7) указывает нам, что отношение коэффициента теплопроводности к удельной электрической проводимости для всех металлов:

при равных температурах одинаково;
оно растет прямо пропорционально термодинамической температуре ($T$);
коэффициент, связывающий отношение и температуру зависит только от постоянной Больцмана ($k$) и величины заряда электрона $e$, и, следовательно, не зависит от природы металла. Теоретическая величина, полученного коэффициента соответствует экспериментальным данным.

Формулу (7) теоретически получил П. Друде, который не учитывал распределение электронов по скоростям. Лоренц, принимая во внимание распределение Максвелла для тепловых скоростей электронов, вывел аналогичную формулу, но с коэффициентом 2, а не 3.

В законе Видемана - Франца важно не значение числового коэффициента, а связь между температурой $T$ и отношением $\frac<\lambda>$ и то, что при равных температурах оно не изменяется.

Закон Видемана – Франца долгое время считался фактом, подтверждающим истинность классической теории электропроводности и теплопроводности металлов, не смотря на то, что в вопросе теплопроводности в металлах данная теория противоречила эксперименту.

Теория Зоммерфельда и закон Видемана – Франса

Это противоречие установил Зоммерфельд, который использовал статистику Ферми – Дирака к проблеме проводимости, теплопроводности и теплоемкости электронного газа в металле. Зоммерфельд получил формулу (7) с коэффициентом $\frac<\pi^2>$.

Так классическая теория Друде и квантовая теория Зоммерфельда привели к фактически одинаковым результатам. Данное совпадение объяснялось тем, что классическая теория использовала неверные значения для теплоемкости электронного газа и $ v^2_$. Эти ошибки взаимно компенсировали друг друга.

Применим теорию Зоммерфельда к выводу закона Видемана – Франса. За основу возьмем выражение для коэффициента теплопроводности, записанное в виде:

где $c_V$ - теплоёмкость электронного газа при неизменном объеме.

Станем учитывать, что перенос теплоты в металлах реализуется электронами, которые находятся около границы Ферми, средняя кинетическая энергия таких электронов равна:

В теории Зоммерфельда $c_V$ равна:

Подставим в (8) вместо $c_V$ правую часть выражения (10), найдем отношение $\frac<\lambda>$:

Коэффициент $\frac=3,2$ почти не отличается от $\frac<\pi^2>$, который Зоммерфельд получил в строгих расчетах и от коэффициента 3, полученного Друде.

Ошибки в классической теории электронной теплопроводности и электропроводности

Отметим, что классическая теория, получая верный результат для отношения $\frac<\lambda>$, давала ему неправильное объяснение.

В соответствии с классической теорией пропорциональность $\frac<\lambda>\sim T$ связывалась с тем, что средняя кинетическая энергия электрона равна $\frac kT$, то есть прямо пропорциональна температуре.

В действительности закон Видемана – Франца связан с тем, что абсолютной энергии пропорциональная не средняя энергия, а теплоемкость электрона. В классической теории теплоемкость электрона завышена.

Второй ошибкой классической теории стало то, что скорость электронов, которые переносят теплоту, равна средней скорости теплового движения $ (v_=\sqrt>),$ тогда как скорость электронов определяется их кинетической энергией около границы Ферми. Так, скорость электронов в классической теории, которые переносят тепло, существенно занижалась.

В 1853 году немецкими учёными Г. Видеманом (1826—1899) и Р. Францем (1827—1902) на основании экспериментальных данных было установлено, что для различных металлов при одинаковой температуре отношение K практически не изменяется.

Закон Видемана — Франца — это физический закон, утверждающий, что для металлов отношение коэффициента теплопроводности K к удельной электрической проводимости σ пропорционально температур:

Учёными Г. Видеманом и Р. Францем на основании экспериментальных данных было установлено, что для различных металлов при одинаковой температуре отношение K/σ практически не изменяется. Пропорциональность этого отношения термодинамической температуре была установлена Л. Лоренцем в 1882 году. В его честь коэффициент L носит название числа Лоренца, а сам закон иногда именуют законом Видемана — Франца — Лоренца.

Взаимная связь электрической проводимости и теплопроводности объясняется тем, что оба эти свойства металлов в основном обусловлены движением свободных электронов.

Коэффициент теплопроводности увеличивается пропорционально средней скорости частиц, так как ускоряется перенос энергии. Электропроводность, наоборот, падает, потому что соударения при большой скорости частиц значительно затрудняют перенос энергии. Друде, применив классическую кинетическую теорию газов, получил значение коэффициента L:

где К — постоянная Больцмана , е — заряд электрона.

В своём первоначальном расчете Друде ошибся в 2 раза, получив при этом правильный порядок величины. Фактически, классическая статистика даёт результат:

Только с помощью квантовой статистики Зоммерфельдом было получено значение коэффициента L , хорошо согласующееся с экспериментом:

Закон Видемана — Франца — говорит, что для металлов отношение коэффициента теплопроводности к удельной электрической проводимости σ пропорционально температур:

; .

Где Т — температура, σ — удельной электрической проводимости, χ (или К) — коэффициента теплопроводности.

$<\displaystyle K> Зако́н Видема́на — Фра́нца — это физический закон, утверждающий, что для металлов отношение коэффициента теплопроводности$
к пропорционально температуре:

$<\displaystyle <\frac <K> >=LT>$
.

$<\displaystyle L> газов, получил значение коэффициента$
:

$<\displaystyle L=3\left(<\frac <k> >\right)^\approx 225\times 10^\,\mathrm <W\,\Omega \,K^<-2>> >$
,

$<\displaystyle k> где$
— — заряд электрона.

Но только с помощью квантовой статистики , хорошо согласующееся с экспериментом:

$<\displaystyle L=<\frac <\pi ^ >>\left(>\right)^\approx 247\times 10^\,\mathrm <W\,\Omega \,K^<-2>> >$
.

Неточности классической теории

Классическая теория, приводя к практически правильному конечному результату, давала этому неправильную трактовку. В ней пропорциональность между >>" width="" height="" />
объяснялась тем, что средняя кинетическая энергия электрона равна >kT>" width="" height="" />
, то есть пропорциональна абсолютной температуре. На самом деле закон объясняется тем, что абсолютной температуре пропорциональна не средняя энергия, а теплоёмкость электрона. Классическая теория допускала ошибку, завышая теплоёмкость электронного газа, но эта ошибка случайно компенсировалась другой ошибкой. Скорость электронов, переносящих теплоту, определяется их кинетической энергией вблизи границы Ферми, тогда как классическая теория считала, что эта скорость порядка классической средней скорости теплового движения >>>" width="" height="" />
. Тем самым скорость электронов, переносящих теплоту, сильно занижалась, а конечный результат получался правильным.

Читайте также: