Закон сохранения момента импульса кратко
Обновлено: 28.06.2024
Закон сохранения импульса был сформулирован Рене Декартом в семнадцатом веке, но только в применении к поступательно движущимся телам, все точки которых смещаются в пространстве по одинаковым траекториям. Спустя сто лет другие ученые пришли к выводу, что для вращательного движения тоже существует свой закон сохранения.
Что это такое, краткое определение
Момент импульса — величина, характеризующая количество вращательного движения тела.
Импульс — величина, характеризующая количество поступательного движения. Момент силы выполняет ту же роль по отношению к моменту импульса, что и просто сила по отношению к импульсу.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Скорости материальных точек, составляющих любое твердое тело, равны только при поступательном движении. Когда тело вращается, модуль скорости точки прямо пропорционален расстоянию от оси вращения r. Угловая скорость одинакова для всех точек, из которых состоит твёрдое тело, поэтому момент импульса предпочтительнее выразить через нее:
где \(I\) здесь — обозначение момента инерции, \(\omega\) — угловой скорости.
В квантовой механике для большинства частиц момент импульса вычислен экспериментально и имеет постоянное значение, точнее, постоянное соотношение с переменной Планка. Принцип неопределенности Гейзенберга накладывает ограничение на возможность вычислить все шесть переменных, от которых зависит момент импульса частицы. Одновременно можно узнать лишь величину его вектора и одну из его проекций.
Модуль собственного момента импульса частицы определяется спиновым квантовым числом s и рассчитывается по формуле:
Формулировка, формула с доказательством
В классической механике момент импульса является третьей динамической переменной, для которой существует фундаментальный закон сохранения: при любых процессах в замкнутой системе её полный момент импульса остаётся неизменным.
Для равновесной механической системы закон выглядит так:
Для доказательства неизменности момента импульса можно рассмотреть его изменение за малый промежуток времени, найдя производную, и увидеть, когда это изменение равно нулю, что означает сохранение определенного значения момента импульса. Используя правило нахождения производной от произведения, получаем следующее выражение:
\(\frac
Первое слагаемое в правой части результата равно нулю, потому что представляет собой векторное произведение параллельных векторов. Второе слагаемое — это векторное произведение того же радиус-вектора, который брали при расчёте момента инерции, на изменение импульса за малый промежуток времени, т. е. на силу:
\(\frac d(m\overrightarrow v)\;=\;\overrightarrow F\)
Момент силы имеет нулевое значение. Соответственно, производная момента импульса тоже будет иметь нулевое значение, и он останется неизменным.
Примером может служить перемещение планет в гравитационном поле Солнца. Вектор момента импульса планеты относительно Солнца не меняется, так как линия действия силы гравитации проходит через него, и ее момент относительно этой точки равняется нулю.
Тело с нулевым моментом импульса, первоначально не имеющее вращения, можно заставить вращаться, не используя внешние силы. Этого можно добиться, заставив отдельные части тела вращаться в противоположные стороны. Тогда каждая часть тела приобретет собственный момент импульса. Но суммарный момент по-прежнему останется равным нулю.
Условия его выполнения в замкнутой системе
Замкнутая система — это система, для которой равнодействующая всех внешних сил будет равна нулю.
Закон сохранения момента импульса — проявление изотропности пространства, одинаковости его свойств по всем направлениям. Поворот замкнутой системы целиком не изменяет ее физических свойств, и момент ее импульса может изменяться лишь при наличии ненулевого момента внешних сил. Если тела внутри системы находятся в тех же условиях, что и в прежнем положении, поворот не отразится на ходе всех последующих явлений.
Так как момент импульса в классической механике существует не сам по себе, а относительно некой точки или оси, важно уточнить, что нужно измерять суммарный момент внешних сил относительно этой конкретной точки или оси. Но когда центр масс тела покоится, при переходе к другой точке отсчета внутри той же системы суммарный момент импульса не меняется.
Применение закона, примеры для твердого тела
Из закона сохранения момента импульса следует, что при отсутствии внешних влияний в процессе вращения системы вокруг оси любое изменение расстояния от тел до оси вращения должно сопровождаться изменением скорости их обращения вокруг этой оси. С увеличением расстояния скорость вращения уменьшается, так как увеличивается момент инерции, увеличивается угловая скорость и, как следствие, удлиняется обратно пропорциональный ей период вращения.
Балерина или фигуристка, кружась в пируэте, разводит руки, если хочет замедлить вращение, и прижимает их к телу, когда старается вращаться как можно быстрее.
В общем случае вектор момента импульса определяется векторным произведением
\(\overrightarrow L\;=\;\overrightarrow r\;\times\;m\overrightarrow v\)
Результатом является вектор, перпендикулярный плоскости, где лежат векторы сомножителей. Его направление можно определить по правилу правого винта, которое также называют правилом буравчика. Вращение правого винта от первого сомножителя ко второму по кратчайшей дуге приводит к его ввинчиванию в ту же сторону, в которую направлен результат векторного произведения. Модуль получившегося вектора равен произведению модулей векторов сомножителей на синус угла между ними:
\(\left|\overrightarrow L\right|\;=\;\left|\overrightarrow r\right|\;\times\left|\;m\overrightarrow v\right|\;\times\;\sin\left(\overrightarrow r,\;\;m\overrightarrow v\right)\)
Когда мы ищем момент импульса твердого тела, вектор угловой скорости и ось, вокруг которой вращается тело, должны совпадать по направлению. Это значит, что тело должно вращаться вокруг неподвижной оси, например, закрепленной подшипниками, или вокруг оси свободного вращения тела. Только тогда можно искать момент импульса через произведение момента инерции и угловой скорости.
Оси свободного вращения тела также называют главными осями инерции. Это три взаимно перпендикулярные оси. Для однородных симметричных тел они совпадают с осями симметрии.
Когда вектор угловой скорости не совпадает с осями инерции, все его составляющие по трем осям будут отличаться от нуля.
В случае, если оси инерции совпадают с координатными, момент импульса вычисляют по формуле:
В случае, если координатные оси и оси инерции не совпадают, приходится оперировать уже девятью величинами, которые образуют так называемый тензор инерции.
Задача
Гладкий однородный стержень массы М и длины l свободно вращается в горизонтальной плоскости вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его конец А. Из точки А в точку В скользит муфта массы m, найдите скорость муфты в момент, когда она достигнет точки В. Угловая скорость вращения равна \(\omega_0\) , момент инерции стержня относительно вертикальной оси равен \(\frac3\) .
Решение
Моменты сил, воздействующих на данную систему относительно вертикальной оси вращения, уравновешивают друг друга. Законы сохранения можно записать следующим образом:
На схеме \(v\) — скорость движения муфты в точке В в системе отсчета, связанной с Землей, \(v_1\) — скорость муфты в той же точке относительно стержня, \(v_2\) — линейная скорость самой точки В относительно Земли. Согласно закону сложения скоростей, v будет равняться сумме \(v_1\) и \(v_2\) .
Так как \(v_1\) и \(v_2\) перпендикулярны:
Подставим выражение момента инерции, данное в условиях задачи, и получим ответ:
Важнейшим свойством Природы являются Законы сохранения, которые являются следствием однородности пространства и времени. Законы сохранения применимы ко многим величинам, одной из которых является момент импульса. Рассмотрим этот случай подробнее.
Импульс для вращательного движения
Одной из мер механического движения тела является импульс. Для поступательного движения импульс материальной точки определяется произведением ее скорости на массу:
$$\overrightarrow p = \overrightarrow v m$$
Рис. 1. Импульс материальной точки.
Вращательное движение отличается от поступательного тем, что в таком движении все величины зависят от положения оси вращения, и результаты движения изменяются в зависимости от расстояния до нее (радиуса вращения).
Поэтому во вращательном движении все линейные величины заменяются угловыми величинами, зависящими от радиуса. Для скорости и ускорения это угловые скорость и ускорение, для силы это момент силы, для массы это момент инерции. Импульс также заменяется моментом импульса.
С учетом такой замены формула момента импульса материальной точки примет вид:
- $L$ – момент импульса материальной точки;
- $\omega$ – угловая скорость движения материальной точки;
- $J = mR^2$ – момент инерции материальной точки массой $m$, вращающейся по траектории радиуса $R$.
Момент импульса считается положительным, если движение происходит вдоль выбранного направления (обычно против часовой стрелки), и отрицательным, если движение происходит против него.
Сохранение момента импульса
Импульс – это величина, подчиняющаяся Законам сохранения. Для вращательного движения Закон также остается в силе. Закон сохранения момента импульса гласит:
Для замкнутой системы суммарный момент импульсов всех материальных точек остается постоянным во времени.
То есть, также, как и для поступательного движения, момент импульса системы может изменяться только лишь при внешнем воздействии на нее.
Вне этих воздействий могут меняться составляющие момента импульса, но не сам момент импульса. Например, при упругом столкновении двух материальных точек равной массы, они могут полностью изменить направление вращения, и, таким образом, момент импульса каждой поменяет знак. Однако, если суммарный момент импульса этих двух точек был нулевой, то и после столкновения он останется нулевым.
Вращение любого тела рано или поздно прекращается в результате трения. Однако, Закон сохранения момента импульса здесь не нарушается, поскольку система не замкнута. Момент импульса уменьшается за счет того, что энергия вращающегося тела уходит, превращаясь во внутреннюю энергию трущихся поверхностей.
Закон сохранения момента импульса, также, как и Закон сохранения импульса для поступательного движения – это следствие симметрии пространства, то есть, равноправия всех точек пространства для физических законов.
Рис. 2. Законы сохранения и их связь с симметрией.
Формула Закона сохранения момента импульса записывается следующим образом:
Проявления сохранения момента импульса
Закон сохранения момента импульса, как и Закон сохранения импульса для поступательного движения, достаточно часто проявляется в окружающем нас мире.
Однако, если для поступательного движения наиболее частым примером сохранения импульса являются столкновения тел, то для вращательного движения более интересны события, связанные с изменением момента инерции вращающихся тел.
Поскольку момент инерции тела зависит от его геометрии, то при изменении формы момент инерции тела практически всегда изменяется, и может уменьшиться без изменения общей его массы (если более тяжелые части тела переместятся ближе к оси вращения). А поскольку момент импульса вращающегося тела остается постоянным, то при уменьшении момента инерции неминуемо должна увеличиться угловая скорость, хотя, никакого внешнего воздействия на тело не происходит.
Для наблюдения данного явления используется опыт со скамьей Жуковского. Человек на вращающейся платформе может изменять скорость ее вращения, сводя или разводя руки (для увеличения эффекта в руки берутся гантели):
Рис. 3. Эксперимент со скамьей Жуковского.
Тот же механизм лежит в основе пируэтов, выполняемых фигуристами. Угловая скорость вращения резко увеличивается, когда они прижимают разведенные руки к груди.
Что мы узнали?
Закон сохранения момента импульса гласит, что сумма моментов импульсов в замкнутой системе остается постоянной во времени. Данный Закон – это следствие симметрии пространства. Его проявления можно наблюдать в изменении скорости вращения тел при изменении их формы.
Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы тел относительно любой неподвижной точки не изменяется с течением времени.
Это один из фундаментальных законов природы.
Аналогично для замкнутой системы тел, вращающихся вокруг оси z:
Если момент внешних сил относительно неподвижной оси вращения тождественно равен нулю, то момент импульса относительно этой оси не изменяется в процессе движения.
Момент импульса и для незамкнутых систем постоянен, если результирующий момент внешних сил, приложенных к системе, равен нулю.
Очень нагляден закон сохранения момента импульса в опытах с уравновешенным гироскопом – быстро вращающимся телом, имеющим три степени свободы (рис. 6.9).
Используется гироскоп в различных навигационных устройствах кораблей, самолетов, ракет (гирокомпас, гирогоризонт). Один из примеров навигационного гироскопа изображен на рисунке 6.10.
Именно закон сохранения момента импульса используется танцорами на льду для изменения скорости вращения. Или еще известный пример – скамья Жуковского (рис. 6.11).
Рис. 6.11
Изученные нами законы сохранения есть следствие симметрии пространства-времени.
Принцип симметрии был всегда путеводной звездой физиков, и она их не подводила.
Но вот в 1956 г. Ву Цзянь, обнаружил асимметрию в слабых взаимодействиях: он исследовал β-распад ядер изотопа СO 60 в магнитном поле и обнаружил, что число электронов, испускаемых вдоль направления магнитного поля, не равно числу электронов, испускаемых в противоположном направлении.
В этом же году Л. Ледерман и Р. Гарвин (США) обнаружили нарушение симметрии при распаде пионов и мюонов.
Эти факты означают, что законы слабого взаимодействия не обладают зеркальной симметрией.
Почему для увеличения угловой скорости вращения фигурист вытягивается вдоль оси вращения.
Должен ли вращаться вертолёт при вращении его винта?
Заданные вопросы наводят на мысль о том, что если на тело не действуют внешние силы или действие их скомпенсировано и одна часть тела начинает вращение в одну сторону, то другая часть должна вращаться в другую сторону, подобно тому как при выбросе горючего из ракеты сама ракета движется в противоположную сторону.
Момент импульса.
Если рассмотреть вращающийся диск, то становится очевидным, что суммарный импульс диска равен нулю, так как любой частице тела соответствует частица, движущаяся с равной по модулю скоростью, но в противоположном направлении (рис. 6.9).
Но диск движется, угловая скорость вращения всех частиц одинакова. Однако ясно, что чем дальше находится частица от оси вращения, тем больше её импульс. Следовательно, для вращательного движения надо ввести ещё одну характеристику, подобную импульсу, — момент импульса.
Моментом импульса частицы, движущейся по окружности, называют произведение импульса частицы на расстояние от неё до оси вращения (рис. 6.10):
Линейная и угловая скорости связаны соотношением v = ωr, тогда
Все точки твёрдого дела движутся относительно неподвижной оси вращения с одинаковой угловой скоростью. Твёрдое тело можно представить как совокупность материальных точек.
Момент импульса твёрдого тела равен произведению момента инерции на угловую скорость вращения:
Момент импульса — векторная величина, согласно формуле (6.3) момент импульса направлен так же, как и угловая скорость.
Основное уравнение динамики вращательного движения в импульсной форме.
Угловое ускорение тела равно изменению угловой скорости, делённому на промежуток времени, в течение которого это изменение произошло: Подставим это выражение в основное уравнение динамики вращательного движения отсюда I(ω2 - ω1) = MΔt, или IΔω = MΔt.
Изменение момента импульса равно произведению суммарного момента сил, действующих на тело или систему, на время действия этих сил.
Закон сохранения момента импульса:
Если суммарный момент сил, действующих на тело или систему тел, имеющих неподвижную ось вращения, равен нулю, то изменение момента импульса также равно нулю, т. е. момент импульса системы остаётся постоянным.
ΔL = 0, L = const.
Изменение импульса системы равно суммарному импульсу сил, действующих на систему.
Вращающийся фигурист разводит в стороны руки, тем самым увеличивает момент инерции, чтобы уменьшить угловую скорость вращения.
Человек может также заставить вращаться скамью, если пойдёт вдоль её края. При этом скамья будет вращаться в противоположном направлении, так как суммарный момент импульса должен остаться равным нулю.
На законе сохранения момента импульса основан принцип действия приборов, называемых гироскопами. Основное свойство гироскопа — это сохранение направления оси вращения, если на эту ось не действуют внешние силы. В XIX в. гироскопы использовались мореплавателями для ориентации в море.
Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела.
Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела равна сумме кинетических энергий отдельных его частиц. Разделим тело на малые элементы, каждый из которых можно считать материальной точкой. Тогда кинетическая энергия тела равна сумме кинетических энергий материальных точек, из которых оно состоит:
Угловая скорость вращения всех точек тела одинакова, следовательно,
Величина в скобках, как мы уже знаем, это момент инерции твёрдого тела. Окончательно формула для кинетической энергии твёрдого тела, имеющего неподвижную ось вращения, имеет вид
В общем случае движения твёрдого тела, когда ось вращения свободна, его кинетическая энергия равна сумме энергий поступательного и вращательного движений. Так, кинетическая энергия колеса, масса которого сосредоточена в ободе, катящегося по дороге с постоянной скоростью, равна
В таблице сопоставлены формулы механики поступательного движения материальной точки с аналогичными формулами вращательного движения твёрдого тела.
Законы сохранения в механике - Физика, учебник для 10 класса - Класс!ная физика
Читайте также: