Закон сохранения энергии в колебательном контуре кратко

Обновлено: 18.05.2024

Колебательный контур — система содержащая конденсатор и катушку индуктивности.

Формулы

Формула Томпсона

Период собственных колебаний T заряда на конденсаторе и силу тока в катушке индуктивности определяет формула Томпсона $$T=2\pi\cdot\sqrt$$ где T – период колебаний; C – ёмкость конденсатора; L – индуктивность катушки.

Собственная частота колебаний: $$\nu=\frac=\frac < 2\pi\cdot\sqrt>$$

Циклическая (круговая) частота: $$\omega=2\pi\cdot\nu=\frac<2\pi>=\frac>$$

Важно помнить, что период и частота колебаний определяются только ёмкостью конденсатора и индуктивностью катушки и не зависят от других факторов.

Закон сохранения энергии в колебательном контуре

В колебательном контуре энергия электрического поля заряженного конденсатора периодически превращается в энергию магнитного поля тока.

При этом выполняется закон сохранения энергии: $$ \\ W_=W_=W_=W_+W_ \\ W_=\frac_>=\frac_>=\frac>+\frac> $$ где $W_$ – полная энергия в контуре; $W_$ – максимальное значение энергии электрического поля; $W_$ – максимальное значение энергии магнитного поля;

Полная энергия в контуре определяется начальной энергией электрического поля конденсатора.

Типичным примером свободных колебаний являются пружинные механизмы или математический маятник. Однако в результате многочисленных опытов удалось настроить подобные системы не только в механических установках, но и в электрических цепях. К таким цепям относится колебательный контур.

Что такое колебательный контур, из каких элементов состоит

Колебательный контур является простейшей системой, для которой характерно образование свободных электромагнитны колебаний.

Колебательный контур представляет собой электрическую сеть. В состав замкнутого контура входят следующие компоненты:

конденсатор;
катушка;
резистор.

В цепи образуются свободные затухающие колебания электромагнитного характера. В зависимости от силы сопротивления резистора определяется скорость затухания колебаний.

Идеальным колебательным контуром называют колебательный контур с полным отсутствием электрического сопротивления. Для такой системы характерны незатухающие свободные электромагнитные колебания.

Области применения резонансных контуров достаточно широки. Они необходимы для изготовления полосовых и режекторных фильтров в усилителях, радиоприемниках и устройствах автоматики.

Колебательные контуры являются компонентами блоков измерения частоты, которые устанавливаются на самолетах марки Ил-62М, Ил-76 и Ту-154М. С их помощью контролируется постоянная частота напряжения на генераторе при изменениях количества оборотов двигателя.

Виды колебательных контуров

Последовательным колебательным контуром называют цепь, в состав которой входит катушка индуктивности и конденсатор, соединенные последовательно. Идеальный последовательный колебательный контур характеризуется несколькими величинами:

На рисунке изображен идеальный последовательный контур.

В отличие от вышеуказанного идеального колебательного контура реальный последовательный контур обладает сопротивлением потерь катушки и конденсатора. Сумма величин этих сопротивлений обозначается буквой R.

Характеристиками параллельного идеального колебательного контура, как и в первом случае, являются индуктивность и емкость. На рисунке представлена схема такой цепи.

В реальном колебательном контуре катушка за счет наличия проводниковой намотки обладает неким сопротивлением потерь, как и конденсатор. Емкостные потери небольшие, что позволяет не учитывать их во многих расчетах.

Закон сохранения энергии в колебательном контуре, формула

Рассмотреть колебательный контур можно на примере идеальной модели с конденсатором, емкость которого обозначается $С$ , и катушкой, характеризующейся индуктивностью $L$ . Исходя из особенностей идеального контура, в нем отсутствуют потери энергии. Во время колебательных движений энергия электрического поля $WC$ преобразуется в энергию магнитного поля $WL$ и наоборот. Представить этот процесс можно в виде формулы:

$W = WC(t) + WL(t) = const$

Максимального значения энергия достигает при максимальном значении заряда $q$ . Данное соотношение можно представить с помощью уравнения:

В этом случае наблюдается нулевое значение энергии магнитного поля в катушке индуктивности, то есть ток равен нулю.

Для того чтобы весь объем электрической энергии трансформировался в энергию магнитного поля, необходимо иметь в контуре ток $I$ максимального значения. Данное отношение описывается формулой:

Тогда энергия электрического поля и заряд на конденсаторе будут равны нулю.

При таких условиях можно вывести следующее соотношение:

Период колебаний, от чего зависит

Определить периодичность свободных колебаний в условиях колебательного контура можно с помощью формулы Томпсона. Уравнение выглядит следующим образом:

$T$ T обозначает период колебаний и выражается в секундах;
$L$ - величина индуктивности, обозначается Гн (Генри);
$С$ используют для измерения электроемкости конденсатора, в Ф (Фарад);
$π$ – константа, равная 3,14.

Явление резонанса тока в колебательном контуре

Электромагнитные колебания в колебательном контуре характеризует определенная частота. Данная величина называется резонансом.

Частота колебаний зависит от нескольких параметров колебательного контура:

емкость конденсатора $C$ ;
индуктивность катушки $L$ ;
сопротивление резистора $R$ .

Формула для расчета частоты колебаний выглядит следующим образом:

Преобразование разных типов энергии с помощью колебательного контура нашло применение в разных областях электротехники и механики. Подобные дисциплины изучают студенты высших и профессиональных учебных заведений, чтобы потом применять их для реализации разнообразных инженерных проектов. Оперативную и компетентную помощь в процессе обучения можно получить на портале Феникс.Хелп.

Всем добрый день! Рад приветствовать вас на нашем очередном уже 26-ом воскресном мастер-классе!

«Сила тока в идеальном колебательном контуре меняется со временем так, как показано на рисунке. Определите заряд конденсатора в момент времени 7 мкс.

Вместо таблицы в этой задаче график колебаний. Что можно определить по данному графику? Прежде всего, любой график колебаний – это зависимость некой величины (не важно какой) от времени. В данном случае, если мы внимательно посмотрим, увидим, что здесь синусоида

Первое, что определяется по графику – это промежуток по времени между двумя пиками или впадинами этого графика. И этот промежуток является периодом колебаний

Второе, что можно определить, – это максимальное значение величины, чей график изображен на рисунке. В данном случае это сила тока, поэтому по максимальной точке можно определить максимальное или амплитудное значение силы тока. Иными словами, верхняя точка графика – это амплитуда той величины, чей это график

Необходимо найти заряд на конденсаторе в момент времени t=7 мкс. Но моменту времени 7 мкс соответствует некое значение силы тока, которое мы можем легко определить по графику. Находим 7 мкс, опускаемся вниз, видим, что это соответствует силе тока

Сразу должен сказать, что этот минус нам ни о чем не говорит, это просто обозначает, что ток течет в другом направлении, поэтому минус для нас неважен. И сам заряд мы так же определим, это будет положительный ответ.

Можно по-разному находить этот заряд: можно составить уравнение заряда в зависимости заряда от времени, и с помощью него определить величину этого заряда, но мы поступим по-другому.

Вспомним, что в нашей задаче написано, что контур идеальный, а, на самом деле, все задачи, с которыми вы будете встречаться в школе, будут связаны с идеальными маятниками и идеальными колебательными контурами.

Для идеального колебательного контура выполняется следующая вещь: в любой момент времени суммарная энергия, сосредоточенная в этом контуре (в конденсаторе и в катушке), будет равна любой из максимальных, то есть максимальной энергии электрического поля или максимальной энергии магнитного поля

Вот это равенство является законом сохранения энергии для идеального колебательного контура. Запомните это равенство, оно вам пригодится в грядущих событиях. Сейчас мы тоже это равенство применим, и даже не один раз.

Еще раз: суммарная энергия, запасенная в контуре, равна максимальным значениям энергии электрического поля конденсатора или максимальному значению энергии магнитного поля. В данном случае нам удобнее приравнять это к максимальной энергии магнитного поля, т. к. нам известна максимальная сила тока.

и домножим это равенство на 2С, чтобы полностью убрать все знаменатели.

В итоге получаем

Замечаем, что произведение LC присутствует в формуле периода , знаменитая формула Томсона.

Отсюда выражаем произведение LC и получаем

Заменим LC на , но сначала выразим заряд в квадрате

А теперь вместо LC подставляем и получаем

Далее убираем квадрат у заряда

Теперь подставляем все известные значения и вычисляем по инженерному калькулятору

Получаем приблизительный ответ Кл. Теперь переводим это в микрокулоны 0,57 мкКл. Вот таким должен быть ответ!

Электромагнитные колебания

Конспект для 10-11 классов. Элементы содержания ЕГЭ по физике:
3.5.1. Колебательный контур. Свободные электромагнитные колебания в колебательном контуре.
Формула Томсона. Связь амплитуды заряда конденсатора с амплитудой силы тока в колебательном контуре.
3.5.2. Закон сохранения энергии в колебательном контуре.
3.5.3. Вынужденные электромагнитные колебания. Резонанс

Электромагнитные колебания — это повторяющийся процесс взаимного превращения электрических и магнитных полей. Электромагнитные колебания возникают в колебательном контуре.

Колебательный контур — это цепь, состоящая из конденсатора и катушки индуктивности.

Если сопротивлением проводов контура можно пренебречь, то такой контур называется идеальным. При зарядке конденсатора в идеальном колебательном контуре возникают свободные, незатухающие электромагнитные колебания заряда и напряжения на обкладках конденсатора, а также силы тока и ЭДС в катушке индуктивности. Электромагнитные колебания в идеальном колебательном контуре являются высокочастотными и гармоническими.

Электромагнитные колебания бывают двух видов — свободные и вынужденные.

Свободными колебаниями называют колебания, возникающие в колебательной системе за счет первоначально сообщенной этой системе энергии.

Вынужденные колебания — это периодические изменения заряда, силы тока и напряжения в цепи под действием переменной электродвижущей силы от внешнего источника.

На рисунке ниже изображены графики колебаний заряда, напряжения и силы тока в идеальном колебательном контуре. Внизу статьи приведены уравнения электромагнитных колебаний и волн.

Период, циклическая частота и частота свободных электромагнитных колебаний в колебательном контуре (формула Томсона):

Т = 2π√LC; ω = 1/√LC; v = 1/(2π√LC)

Здесь Т — период колебаний (с), L — индуктивность катушки (Гн), C — емкость конденсатора (Ф), ω — циклическая частота колебаний (рад/с), v — частота колебаний (Гц).

Свободные электромагнитные колебания в идеальном колебательном контуре подчиняются закону сохранения энергии: полная энергия электромагнитных колебаний Е_ЭЛ–М равна максимальной энергии электрического поля конденсатора Е_{эл max}, или равна максимальной энергии магнитного поля катушки индуктивости Е_{м max}, или равна сумме мгновенных электрической Е_эл и магнитной Е_м энергий поля конденсатора и катушки в любой промежуточный момент:

Это закон можно записать, развернув значения энергии электрического и магнитного полей через их параметры:

В этом уравнении максимальную энергию электрического поля в зависимости от известных величин можно выразить как Е_{эл max} = q 2 _max/2C или Е_{эл max} = q_maxU_max/2, а его мгновенную энергию — соответственно как Е_эл = q 2 /2C или Е_эл = qu/2. Здесь q, u и i — мгновенные значения заряда, напряжения и силы тока.

Всякий реальный колебательный контур имеет сопротивление проводов R. Если ему один раз сообщить энергию, например, зарядив конденсатор С, то колебания в нем будут затухающими из-за потерь энергии на джоулево тепло. График затухающих колебаний силы тока изображен на рисунке.

Электромагнитные колебания являются затухающими, потому что происходят потери энергии. Часть энергии расходуется на преодоление сопротивления контура и превращается во внутреннюю энергию. Поэтому суммарная энергия электрического и магнитного полей с течением времени уменьшается и колебания затухают. Чтобы колебания были незатухающими, колебательный контур надо пополнять энергией, например, включив в него источник переменного напряжения.

Если частота пополнения контура энергией будет равна собственной частоте колебаний контура, то в контуре возникнет электрический резонанс — явление резкого возрастания максимальной силы тока в контуре (амплитуды силы тока), когда частота пополнения контура энергией становится равной собственной частоте колебаний в контуре.

Уравнения электромагнитных колебаний заряда,
силы тока, напряжения и ЭДС:

При колебаниях происходит непрерывный процесс превращения энергии системы из одной формы в другую. В случае колебаний электромагнитного поля обмен может идти только между электрической и магнитной составляющей этого поля. Простейшей системой, где может происходить этот процесс, является колебательный контур.

Идеальный колебательный контур (LC-контур) — электрическая цепь, состоящая из катушки индуктивностью L и конденсатора емкостью C.

В отличие от реального колебательного контура, который обладает электрическим сопротивлением R, электрическое сопротивление идеального контура всегда равна нулю. Следовательно, идеальный колебательный контур является упрощенной моделью реального контура.

На рисунке 1 изображена схема идеального колебательного контура.

Энергии контура

Полная энергия колебательного контура

где W_e — энергия электрического поля колебательного контура в данный момент времени, С — электроемкость конденсатора, u — значение напряжения на конденсаторе в данный момент времени, q — значение заряда конденсатора в данный момент времени, W_m — энергия магнитного поля колебательного контура в данный момент времени, L — индуктивность катушки, i —значение силы тока в катушке в данный момент времени.

Процессы в колебательном контуре

Рассмотрим процессы, которые возникают в колебательном контуре.

Для выведения контура из положения равновесия зарядим конденсатор так, что на его обкладках будет заряд Q_m (рис. 2, положение 1). С учетом уравнения $U_=\dfrac$ находим значение напряжения на конденсаторе. Тока в цепи в этом момент времени нет, т.е. i = 0.

После замыкания ключа под действием электрического поля конденсатора в цепи появится электрический ток, сила тока i которого будет увеличиваться с течением времени. Конденсатор в это время начнет разряжаться, т.к. электроны, создающие ток, (Напоминаю, что за направление тока принято направление движения положительных зарядов) уходят с отрицательной обкладки конденсатора и приходят на положительную (см. рис. 2, положение 2). Вместе с зарядом q будет уменьшаться и напряжение u $\left(u = \dfrac \right).$ При увеличении силы тока через катушку возникнет ЭДС самоиндукции, препятствующая изменению силы тока. Вследствие этого, сила тока в колебательном контуре будет возрастать от нуля до некоторого максимального значения не мгновенно, а в течение некоторого промежутка времени, определяемого индуктивностью катушки.

Заряд конденсатора q уменьшается и в некоторый момент времени становится равным нулю (q = 0, u = 0), сила тока в катушке достигнет некоторого значения I_m (см. рис. 2, положение 3).

Далее сила тока становится равной нулю, а заряд конденсатора достигнет максимального значения Q_m (U_m) (см. рис. 2, положение 5).

И снова под действием электрического поля конденсатора в цепи появится электрический ток, но направленный в противоположную сторону, сила тока i которого будет увеличиваться с течением времени. А конденсатор в это время будет разряжаться (см. рис. 2, положение 6)до нуля (см. рис. 2, положение 7). И так далее.

Так как заряд на конденсаторе q (и напряжение u) определяет его энергию электрического поля W_e $\left(W_=\dfrac>=\dfrac> \right),$ а сила тока в катушке i — энергию магнитного поля Wm $\left(W_=\dfrac \right),$ то вместе с изменениями заряда, напряжения и силы тока, будут изменяться и энергии.

Читайте также: