Задачи с альтернативным условием примеры начальная школа

Обновлено: 05.07.2024

В начальных классах дети знакомятся с тройками пропорциональных величин:

- цена, количество стоимость;

- скорость, время, расстояние;

- длина, ширина, площадь;

- масса одного предмета, количество предметов, общая масса;

- расход материала на одну вещь, количество вещей, общий расход;

- производительность труда (выработка в единицу времени), время работы, общая выработка;

- урожайность (урожай с единицы площади), площадь, общий урожай.

Процесс формирования у младших школьников умения решать задачи на пропорциональную зависимость предполагает несколько этапов.

I этап ориентирован на обучение учащихся выделять тройку величин из текста.

II этап направлен на приобретение учащимися умения раскрывать связи между величинами. Важным инструментом для решения этой задачи является построение вспомогательной модели задачи.

III этап предполагает умение решать простые текстовые задачи. Умение включает в себя – выделение тройки величин из текста; – табличное или схематическое моделирование задачи (в зависимости от учебной программы либо умений детей); – осуществление поиска способа решения задачи на основе нахождения неизвестной величины по двум известным.

С этими величинами можно особо выделить 3 вида составных типовых задач:

1) на нахождение четвёртого пропорционального;

2) на пропорциональное деление;

3) на нахождение неизвестного по двум разностям.

Первый из этих видов вводится в 3 классе, а второй и третий – в 4 классе. В каждом из видов этих задач даны три величины, связанные прямо или обратно пропорциональной зависимостью. Причем, одна величина постоянна (не изменяется), а две – переменные. При этом даны два значения одной переменной величины. У другой переменной величины одно из значений известно, а второе значение этой величины является искомым (нахождение 4-го пропорционального). Если сами значения этой величины не даны, но известна их сумма, то задача является задачей на пропорциональное деление, а, если дана разность неизвестных значений, то задачу называют задачей на нахождение неизвестного по двум разностям. Типовые задачи могут быть как стандартными, способ решения которых специально изучается, так и нестандартными, путь решения которых надо находить ученикам самим или под руководством учителя, поскольку его не изучают в начальных классах. Нестандартными для младших школьников часто выступают задачи с тройкой величин, в которых постоянной величиной является: стоимость, расстояние, общая масса, вся работа и т.п., т.е. величина, получаемая умножением того, что приходится на единицу на количество, например, стоимость равна цене, умноженной на количество.

Приведем примеры таких задач:

1. Видиокассета дороже аудиокассеты на 40 рублей. Шесть видиокассет стоят столько же, сколько 10 аудиокассет. Сколько стоит каждая аудиокассета?

2. Грузовик проезжает за 10 часов некоторое расстояние, если бы он проезжая в час на 10 км больше, то ему потребовалось бы на этот путь 8 часов. Какими были этот путь и его скорость?

Это типовые нестандартные задачи на нахождение неизвестного по двум разностям. Способ их решения также не стандартен. Рассуждать можно так: проезжая по 10 лишних километров каждый из 8 часов, автомобиль проедет 80 км, которые при прежней скорости он проехал бы за 2 часа. Значит первоначальная скорость была равна 40 км (80:2), а увеличенная скорость была бы 50 км (40+10). Проверяем: 40х10=50х8. Действительно расстояние одно и то же.

В частности, нетиповые (нестандартные) задачи – это задачи, для получения ответа в которых арифметические действия или не выполняются вообще, или выполняются в минимальном количестве.

К ним, например, относятся задачи:

- с недостающими или избыточными данными;

- с противоречивыми условием и вопросом и др.

Возникает необходимость работать над частями такой задачи: условием и вопросом, позже это данное и искомое, смысловым содержанием текста, преобразуя текст в задачи разного вида: простую или составную задачу.

К нестандартным задачам с тройкой пропорциональных величин можно отнести и так называемые старинные задачи. Например, на процесс движения или процесс купли – продажи:

Задача 1. В колико дней сойдутся?

Один путник идет от града в дом, а ходу его будет 10 дней, а другой от дому во град тот же путь творяше, может пройти в 20 дней, оба же сии человека пойдоша во един и тот же час от мест своих, и ведательно есть, в колико дней сойдутся (Магницкий). (За 20 /₃ дня или 6 2 /₃дня.)

Задача 2. Собака и заяц.

Собака усмотрела в 150 саженях зайца (1 сажень = 2,13 м), который перебегает в 2 минуты по 500 сажен, а собака в 5 минут – 1300 сажен. Спрашивается, в какое время собака догонит зайца? (Задачник Войтяховского.) (Через 15 минут.)

Задача 3. Собака и лиса.

Собака погналась за лисицей, которая была на расстоянии 30 м от нее. Скачок собаки равен 2 м, скачок лисицы – 1 м. В то время как лисица делает 3 скачка, собака делает 2 скачка. Какое расстояние должна пробежать собака, чтобы догнать лису? (120 м.)

Задача 4. На охоте.

Пошел охотник на охоту с собакой. Идут они лесом, и вдруг собака увидела зайца, За сколько скачков собака догонит зайца, если расстояние от собаки до зайца равно 40 скачкам собаки и расстояние, которое пробегает собака за 5 скачков, заяц пробегает за 6 скачков? (В задаче подразумевается, что скачки делаются одновременно и зайцем и собакой.) (240 скачков.)

Задача 5. По сколько верст в день?

Одному курьеру приказано прибыть к назначенному месту в 12 дней, к которому он прежде, ехав всякие сутки по 228 верст (1 верста = 1, 07 км), прибыл в 15 дней. Спрашивается, по сколько верст должен он проезжать в сутки, дабы поспеть к тому месту в назначенное время. (Задачник Войтяховского.) (По 285 верст в сутки.)

Задача 6. Через сколько дней встретятся путники?

Идет один человек в другой город и проходит в день по 40 верст, а другой человек идет навстречу ему из другого города и в день проходит по 30 верст. Расстояние между городами 770 верст. Через сколько дней путники встретятся? (11 дней.)

Задача 7. Какова цена сукна?

Некто купил 64 рулона сукна. Из них 20 рулонов белого сукна, 13 рулонов черного, 19 зеленого, 7 лазоревого и уплатил за них 486 рублей. Цена же их была неравная: за черный рулон он платил на 4 рубля больше, чем за белый, за красный – на 3 рубля меньше, чем за черный, за зеленый на 2 рубля меньше, чем за красный, а за лазоревый на 1 рубль больше, чем за зеленый. Сколько денег он уплатил за каждый рулон?

(По 6 р. – зеленое, по 7 р. – белое и лазоревое,
по 8 р. – красное, по 11 р. – черное сукно.)

ВОПРОС

Юноша некий пошел с Москвы к Вологде и идет на всякий день по 40 верст. А другой пошел после его на следующий день, а на всякий день идет по 45 верст. Во сколько дней тот юноша постиг прежнего юношу, сочти. (Математические рукописи XVII в.)

За 8 дней.

В начальных классах дети знакомятся с тройками пропорциональных величин:

- цена, количество стоимость;

- скорость, время, расстояние;

- длина, ширина, площадь;

- масса одного предмета, количество предметов, общая масса;

- расход материала на одну вещь, количество вещей, общий расход;

- производительность труда (выработка в единицу времени), время работы, общая выработка;

- урожайность (урожай с единицы площади), площадь, общий урожай.

I этап ориентирован на обучение учащихся выделять тройку величин из текста.

С этими величинами можно особо выделить 3 вида составных типовых задач:

1) на нахождение четвёртого пропорционального;

2) на пропорциональное деление;

3) на нахождение неизвестного по двум разностям.

Приведем примеры таких задач:

К ним, например, относятся задачи:

- с недостающими или избыточными данными;

- с противоречивыми условием и вопросом и др.

Задача 1. В колико дней сойдутся?

Задача 2. Собака и заяц.

Задача 3. Собака и лиса.

Задача 4. На охоте.

Задача 5. По сколько верст в день?

Задача 6. Через сколько дней встретятся путники?

Задача 7. Какова цена сукна?

(По 6 р. – зеленое, по 7 р. – белое и лазоревое,
по 8 р. – красное, по 11 р. – черное сукно.)

ВОПРОС

/data/files/n1636926397.ppt (презентация к уроку "Решение задач") Урок математики во 2 в классе.

Тема: Решение задач. (Урок введения нового знания)

Познакомиться с задачами с альтернативным условием и особенностями их решения.

Продолжать учиться делать вычисления, используя устные и письменные приемы.

Развивать умения решать текстовые задачи.

Развивать интеллектуальные и коммуникативные общеучебные умения.

Развивать организационные общеучебные умения, в том числе умения самостоятельно оценивать результат своих действий ,контролировать самого себя ,находить и исправлять собственные ошибки.

Организационный момент. Психологический настрой.

Наши глаза внимательно смотрят,

Наши уши внимательно слушают,

Наши руки нам не мешают,

А только помогают.

-Сейчас урок математики. Кто помнит общеучебные умения на эту неделю?

_-Вычитывать нужную информацию.

_Это умение нам пригодится сегодня на уроке.

На доске 2 схемы. Какая схема подходит к задаче, которую вы решали дома?

-Кто помнит, о чем была задача? Каков был вопрос?

-Почему II схема не подходит?

- Очень важно вычитывать информацию. Порешаем задачу, где это умение пригодится.

Прочитайте задачу. Решали подобные задачи? Чем мы будем заниматься на уроке? Сможете решить? Задание в парах: составить схему и решить устно.

Задача на экране проектора:

Катя вырезала 15 белых и 14 голубых снежинок. 6 снежинок одного цвета она отдала Пете. Сколько белых и голубых снежинок осталось у Кати?

Выступление пар.(акцент на ответ)

- У кого такое же решение, такой же ответ?

-У какой пары ответ другой?

-А как решили эту задачу наши герои? Посмотрим в учебнике.(читаем поочередно рассуждение каждого персонажа) .Решение записываем на доске. Как понял условие задачи каждый из ребят? Почему правильно решил Коля?

15-6=9 (белых ) и14 ( голубых )

III . Формулирование темы и цели урока.

- Какова тема урока? Решение задач с различными вариантами условий (с альтернативным условием). Что важно при решении таких задач?

IV . Первичное закрепление.

Поработаем в группах. Прочитайте . О чем говорится в задаче? Каков вопрос задачи? Сделайте рисунок к задаче №2 , покажите ответ стрелкой.

- В каких группах одинаковый ответ? Кто расскажет ? Задачи похожи? Эта задача нового вида .Дома выполните другое задание к этому номеру.

Я проверю вашу внимательность. Я буду показывать выражения, у кого ответ, они должны повернуться 1раз вокруг себя.(музыка)

-Знание состава числа 10 нам пригодится для решения примеров. №3 .

-Чем похожи примеры первого столбика? 2-ого? 3-го? 4-ого? Назовите число ,в котором 3десятка и 4 единицы. В числе 75 -7 десятков и 5 единиц. Модель какого числа вы видите? Какое общее правило сложения и вычитания двузначных чисел? Выберите один столбик и решите. Оцените свою работу .Не было сомнений, поставьте на шкале оценки наверху ,сомневались- ниже

.А какие примеры мы решаем? Давайте проверим. В каких примерах допустили ошибки? Выписать. Такие примеры решали мало, еще научимся.

Синим мелом поставьте точку ,которая была бы расположена внутри прямоугольника и треугольника.

Желтым мелом отметьте точку, которая была бы расположена внутри треугольника и овала, но вне прямоугольника.

- Личностные: определять и высказывать самые простые, общие для всех людей правила поведения при совместной работе и сотрудничестве способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности.

- Регулятивные УУД: умение определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя; проговаривать последовательность действий на уроке ; работать по коллективно составленному плану; вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учёта характера сделанных ошибок; высказывать своё предположение; оценивать правильность выполнения действия на уровне адекватной ретроспективной оценки.

- Коммуникативные УУД: умение оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других; совместно договариваться о правилах поведения и общения в школе и следовать им.

- Познавательные УУД: умение ориентироваться в своей системе знаний: отличать новое от уже известного с помощью учителя; добывать новые знания: находить ответы на вопросы, используя учебник; извлекать информацию, представленную в разных формах; перерабатывать полученную информацию: наблюдать и делать самостоятельные выводы.

Задачи с альтернативным условием

- Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П. Математика. Учебник для 2-го класса. Часть 2. Стр. 14-15

- Козлова С.А., Рубин А.Г., Горячев А.В. Математика. 2 класс. Методические рекомендации для учителя. Стр. 172-174

- презентация к уроку

- листочки (4 штук)

- 4 карточки для индивидуальной работы

- счётный материал: снежинки белые (15) и голубые (14), коробки из-под сока 1 л и 2 л (по 2 штуки)

Условие задач может быть сформулировано таким образом, что при составлении одного из уравнений возникает альтернатива: уравнение записывают по-разному, и нужно рассматривать несколько вариантов.

Заметим, что в других разделах элементарной математики задачи, для решения которых необходимо рассматривать несколько возможных вариантов, не так уж редки. Например, при решении уравнений или неравенств с модулями приходится рассматривать случаи, когда выражения, стоящие под знаком модуля, положительны (или равны нулю) и когда они отрицательны. При решении логарифмических неравенств исследуются случаи, когда основания входящих в задачу логарифмов больше или меньше единицы, и т. д.

В таких случаях каждая из таких задач требует рассмотрения всех возможных вариантов, и решение находится лишь после того, как все эти возможности будут исследованы.

Задача 13.Имеются три несообщающихся между собой резервуара, причем объем третьего не меньше объема второго. Первый резервуар имеет объем V и может быть заполнен первым шлангом за 3 часа, вторым за 4 часа, а третьим за 5 часов. К каждому из резервуаров можно подключить любой из этих шлангов. После того, как произведено подключение к каждому из резервуаров по одному шлангу каким-либо способом, все шланги одновременно включаются. Как только какой- то резервуар наполняется, соответствующий шланг отключается и не может быть подключен в дальнейшем к другому резервуару. При самом быстром способе подключения заполнение окончится через 6 часов. Если бы резервуары сообщались, то заполнение окончилось бы через 4 часа. Найдите объемы второго и третьего резервуаров(v₂ и v₃).

Решение:Пусть x, y, z - производительности первого, второго и третьего шланга соответственно. Известно, что дано также .

Так как сообщающиеся резервуары наполняются за 4 ч, то

4( )= v + v₂ +v₃

v₂+v₃= v

Т.к. первый резервуар не наполняется никаким шлангом за 6ч, то либо v₂ либо v₃ заполняется за 6 ч каким-либо шлангом.

Т. к. и первый шланг перекачивает жидкость быстрее, то выгоднее по времени заполнять v₃ через первый шланг, а v₂ – через второй.

Тогда либо v₃=6x=2v, v₂= , либо v₂=6y= , v₃= - чего быть не может, т.к. должно выполняться условие .

Ответ: v₂ = и v₃= 2v.

Задача 14. В бассейн проведены две трубы разнойпропускной способности. Первая из труб расположена на боковой стене, а вторая — на дне бассейна. Обетрубы могутработать на сливи на наполнение. Пропускная способность каждой трибы при переходе от наполнения к сливу не меняется и не зависит от уровня воды над ней. Перваятруба работает на слив лишь тогда, когда уровень воды выше уровня расположения ее входа. Бассейн наполнили на и включилипервую трубу на слив, а вторую— на наполнение. При этомоказалось, чтобассейн наполнился завремя, в раза больше, чем то,которое потребуется для наполнения первоначально пустого бассейна одной только второй трубой.В другой раз при наполненном доверху бассейне включили обе трубы на слив, и тогда оказалось, что вся вода вытекла из бассейна за время, составляющее отвремени,необходимого для наполнения первоначально пустого бассейна одной первой трубой. Во сколько раз пропускная способность второй трубы больше пропускной способностипервой?

Решение:Исходя из условия задачи нельзя сказать сразу, находится ли вход в первую трубу выше 1/4 высоты бассейна или он ниже этого уровня. В то же время первое условие задачи (первую трубу включили на слив, а вторую—на наполнение) приводит в каждом из возможных случаев расположения входа первой трубы к разным уравнениям. Для того чтобы найти решение, необходимо рассмотреть оба возможных варианта.

В данной презентации собраны основые виды нестандартных задач, изучаемых в начальной школе и рассмотрены способы их решения.

Эффективное решение нестандартных творческих задач

для младших школьников

Знание только тогда знание, когда оно приобретено усилиями твоей мысли, а не памяти.

Развитие творческих способностей – важнейшая задача начального образования, ведь этот процесс пронизывает все этапы развития личности ребёнка, пробуждает инициативу и самостоятельность принимаемых решений, привычку к свободному самовыражению, уверенность в себе.

Творчество – это всегда новое, неизведанное, непредсказуемое, увлекательное и захватывающее.

Одним из средств развития интеллектуальных и творческих способностей младших школьников является решение нестандартных задач.

Нестандартная задача – это задача, алгоритм решения которой учащимся неизвестен, то есть учащиеся не знают заранее ни способов решения, ни того, на какой учебный материал опирается решение.

Одна и та же задача может быть стандартной или нестандартной, в зависимости от того, знакомы ли учащиеся со способами решения задач такого типа.

При решении занимательных задач преследуются следующие цели:

формирование и развитие мыслительных операций: анализа, синтеза, сравнения, аналогии, обобщения и т.д.;
развитие и тренинг мышления вообще и творческого в частности;
поддержание интереса к предмету, к учебной деятельности;
развитие качеств творческой личности (познавательная активность, упорство в достижении цели, самостоятельность, усидчивость);
подготовка учащихся к творческой деятельности (творческое усвоение знаний, способов действий, умение переносить знания и способы действий в незнакомые ситуации и видеть новые функции объекта)

Помогая ученику, учитель должен оказать ему внутреннюю помощь, т.е. ограничиться такими подсказками, которые могли бы рождаться в сознании самого ученика, и избегать внешней помощи, т.е. давать куски решения, которые не связаны с сознанием ученика.

Три заповеди учителя (по Д. Пойа):

1.Старайся научить своих учеников догадываться.

2.Старайся научить своих учеников доказывать.

3.Пользуйся наводящими указаниями, но не старайся навязывать своего мнения насильно.

Нестандартные задачи по математике, используемые в начальной школе, условно можно разделить на следующие группы :

Методы реш ения:

Способы решения логических задач:

Приёмы работы над задачей

1. Изучение условия задачи.

2. Выдвижение идеи(плана) задачи.

3. Поиск аналогии, сравнительные чертежи.

4. Разбиение задачи на подзадачи.

5. Решение одной задачи несколькими способами.

6. Приём разбора готового решения.

Эффективность обучения младших школьников решению нестандартных задач зависит от нескольких условий :

1. Задачи следует вводить в процесс обучения в определенной системе с постепенным нарастанием сложности, так как непосильная задача мало повлияет на развитие учащихся.

2. Необходимо предоставлять ученикам максимальную самостоятельность в поиске решения задач, давать возможность пройти до конца по неверному пути, убедиться в ошибке, вернуться к началу и искать другой, верный путь решения.

3. Нужно помочь учащимся осознать некоторые способы, приемы, общие подходы к решению нестандартных арифметических задач.

На первом этапе учащиеся должны:

На втором этапе учащиеся применяют ранее сформулированные общие приемы в ходе самостоятельного поиска решения конкретных задач.

При поиске решения незнакомой задачи полезно сделать чертеж (рисунок), т.к. именно он может быть способом решения задачи.

Памятка

Если тебе трудно решить задачу, то попробуй:

- сделать к задаче рисунок или чертеж (подумай, может быть нужно сделать на них дополнительные построения или изменить чертеж в процессе решения задачи);

- ввести вспомогательный элемент (часть);

- использовать для решения задачи способ подбора;

- переформулировать задачу другими словами, чтобы она стала более понятной и знакомой;

- разделить условие или вопрос задачи на части и решить ее по частям;

на взвешивание

и переливание

Задачи на взвешивание – достаточно распространенный вид математических задач. В таких задачах от решающего требуется локализовать отличающийся от остальных предмет по весу за ограниченное число взвешиваний.

Поиск решения в этом случае осуществляется путем операций сравнения, правда, не только одиночных элементов, но и групп элементов между собой.

Задача №1

Из девяти монет одна фальшивая: она легче остальных.

Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь определить, какая именно монета фальшивая?

Решение:

Разобьём монеты на 3 кучки по 3 монеты.

Первое взвешивание: положим по 3 монеты на каждую чашку весов.

Возможны два варианта:

Тогда на весах только настоящие монеты, а фальшивая среди тех монет, которые не взвешивались.

2 . Одна из кучек легче.

Значит в ней фальшивая монета.

Задача №2

В мешке 24 кг гвоздей. Как, имея только чашечные весы без гирь, отмерить 9 кг гвоздей?

Решение:

Основная доступная операция – деление некоторого (произвольного) количества гвоздей на две равные по весу кучки.

Читайте также: