Задачи для начальной школы с противоречивым условием и вопросом

Обновлено: 02.07.2024

§ соотношение результата с действительностью;

§ соотнесение полученного результата с данными задачи и сравнение с первоначально ожидаемым результатом;

§ проведение операций в обратном порядке;

§ исследование ответа в предельных ситуациях (что будет, если….);

§ решение задания другим способом и сверка результатов;

§ проверка хода решения с обращением внимания на следующее: а) все ли данные использованы; б) достаточно ли данных для решения; в) не нарушена ли логика решения; г) не используются ли в решении те сведения, которые не вытекают непосредственно из условия задачи; д) прослеживается ли логика решения.

Упражнения

Дидактическая цель урока: cоздать условия для закрепления знаний и умений.

Тип урока: урок комплексного применения знаний и умений.

  • Развивающие: развивать операции мышления: анализ, синтез, сравнение, классификацию; моделирующую деятельность; пространственное мышление.
  • Образовательные: продолжить формирование умения читать задачу; соотносить её текст с готовым решением, сравнивать тексты, моделировать текст задачи с помощью отрезков, находить различные способы решения задач, совершенствовать вычислительные умения. Для расширения знаний по математике использовать межпредметные связи с литературным чтением и окружающим миром.
  • Воспитательные: побуждать интерес к познанию окружающего мира, воспитывать гуманное отношение ко всему, что нас окружает.

Методы обучения: сочетание репродуктивного и проблемно – поискового методов.

Формы познавательной деятельности учащихся: индивидуальная, групповая, фронтальная.

I. Организационный момент

Если хочешь строить мост,
.Наблюдать движенье звёзд,
Управлять машиной в поле
Иль вести ракету ввысь–
Хорошо работай в школе,
Добросовестно учись!

Организация класса, проверка готовности к уроку, задание положительной мотивации.

– Каждый урок – открытие. Сегодня на уроке новой темы у нас не будет, но я надеюсь, что открытие сделает для себя каждый. Наш урок необычный, сегодня вы будете учёными. Учёные делают открытия. Они постоянно решают сложные задачи. Чтобы решать задачи верно, нужно считать без ошибок. Вот и мы на уроке будем решать задачи и производить вычисления. В какой области будут наши исследования, вы узнаете выполнив устный счёт.

III. Устный счёт

– Как и учёные, работать будем творческими группами. Несколько ребят получат индивидуальные задания.

1. Индивидуальная работа на карточках

1) Реши головоломку:

– сумма на каждой линии должна равняться 10;
– можно использовать только числа 1, 2, 3, 4, 5:
– каждое число можно использовать только один раз.

2) Сколько созвездий на небе?

2. Фронтальная работа. Математический диктант

– Ответы записывайте на полосках бумаги в строку

1. Насколько 8 больше 3?
2. Первое слагаемое 40, второе 10. Найдите сумму.
3. Уменьшаемое 38, вычитаемое 2. Найдите разность.
4. Увеличьте 8 на 5.
5. Уменьшите 18 на 9.
6. Какое число надо прибавить к 20, чтобы получить 60?
7. Какое число надо вычесть из 20, чтобы получить 1?
8. Найдите сумму чисел 40 и 20.
9. Найдите разность чисел 60 и 1.

Проверим что получилось. (Ответы с буквами.)

Проверка индивидуальных заданий с выносом на доску.

3. Межпредметные связи с окружающим миром.

– Как в головоломке расположены звёзды?
– Как называется группа звёзд?
– Что можно сказать об этих звёздах?
– Сколько созвездий на небе?

IV. Работа по теме

1. Анализ текстов задач с недостающими данными, с противоречивым условием и вопросом.

  • На ночном небе появилась туча и закрыла 30 звёзд. Сколько звёзд видно на небе?
  • В созвездии Большая Медведица 21 звезда. Из них 7 звёзд образуют ковш.
  • В созвездии Жирафа 9 звёзд, в созвездии Лебедя – 7. Насколько больше звёзд в созвездии Жирафа, чем в созвездии Льва?
  • В созвездии Рака 15 звёзд. Среди них есть красные, жёлтые и белые звёзды. Белых звёзд – 5, жёлтых – 3. Сколько красных звёзд?

– Текст, который является задачей, решим в тетради.

2. Решение задач

  1. 5 + 3 = 8 (зв.) – белых и жёлтых.
  2. 15 – 8 = 7 (зв.) – красных.

Ответ: красных звёзд 7.

– Есть другие способы решения задачи? Проговорить устно.

3. Постановка вопросов по данному условию

– Какие ещё вопросы можно поставить к этой задаче?
– На сколько белых звёзд больше, чем жёлтых?
– Сколько белых и жёлтых звёзд?
– Выберите схемы, соответствующую поставленным вопросам.

4. Самостоятельная работа

Решение задач по вариантам:

Физминутка

В природе есть Солнце. Оно светит и греет. Давайте сотворим Солнце в себе. Сядьте поудобнее, расслабьтесь, закройте глаза, руки на колени ладонями вверх, представляйте всё, о чём я буду говорить.
Представьте в своём сердце маленькую звёздочку. Мысленно направляйте к ней лучик, который несёт любовь. Мы чувствуем, что звёздочка увеличилась. Направляем лучик, который несёт мир, добро. Звёздочка растёт. Здоровье, радость, нежность. Звёздочка растёт, становится большой и тёплой как Солнце. Ей тесно у вас. Руки в стороны. Она несёт тепло и добро всем-всем-всем.

V. Работа по учебнику

Самостоятельная работа по вариантам:

Учебник математики № 165 (2, 4 ст.)

1 в – 2 ст 2 в – 4 ст

69 – 6 83 – 3
38 – 3 54 – 40
26 – 2 96 – 60
57 – 5 42 – 20
78 – 7 85 – 50
29 – 2 94 – 40

– Продолжите столбики по этому же правилу. Взаимопроверка.

IV. Геометрический материал

VII. Итог урока

VIII. Рефлексия

– Минутку подумайте и оцените результат своей работы. Выберите из трёх сигнальных карточек, ту, которая подходит вам.

– красную – если вы уверены, что хорошо работали на уроке и всё поняли;
– зелёную – если вы считаете, что в материале разобрались, но есть некоторая неуверенность;
– жёлтую – если считаете, что в новой теме разобрались ещё недостаточно.

Если внимательно проанализировать содержание школьного курса математики, то можно увидеть, что он состоит из теоретического обоснования способов решения различных видов задач. Поэтому естественно, что решению задач уделяется огромное внимание и значительное учебное время. Часто я задаю себе вопрос: правильно ли мы в школе работаем с ребятами, увлекающимися математикой? Достаточно ли интересны и серьёзны задачи, которые им предлагаются? Где найти задания, которые высоко поднимались бы над стандартным уровнем учебника, но в то же время были доступны и интересны?

Развитие нелинейного мышления, устранение формализма в знаниях учащихся продолжают оставаться важнейшими целями обучения школьников математике. Среди задач, наиболее содействующих достижению вышеназванных целей, отмечу задачи-альтернативы, задачи с неоднозначно понимаемым условием, недостающими (неопределенные), избыточными (переопределенные), противоречивыми данными. Такие задачи способствуют расширению кругозора, адекватному применению знаний на практике, развитию мыслительных операций, логики рассуждений, критичности мышления, нестандартного подхода к решению проблем.

Учащиеся, как правило, игнорируют важные вопросы о переизбыточности, недостаточности или противоречивости задач, так как задачи из школьных учебников не требуют размышления над такими вопросами – в них обычно всегда имеется столько данных, сколько необходимо для решения. Этот факт является недостатком в математическом образовании школьников, так как не побуждает их к оценке условия задачи, а между тем задачи, возникающие из практики, как раз нуждаются в подобном анализе. Остановлюсь на двух последних из перечисленных выше типов задач, т.е на задачах с избыточными (переопределенные) и противоречивыми данными.

Возможны различные варианты выделения лишнего данного в условии задачи. Избыточным данным можно считать одну из сторон прямоугольника или его периметр. Поскольку учащимся для вычисления площади прямоугольника нужны длины смежных сторон, а они даны в условии, то они объявляют периметр лишним данным, т. е. условие задачи избыточно. Учащиеся, как правило, удивляются переопределенности задачи и только. Поэтому следует им предложить задачу, убеждающую их в том, что данные условия, кажущиеся лишними, помогают оценить корректность задачи.

Эта задача побуждает учащихся вернуться к предыдущей задаче и решить, является ли полученный формально ответ ее решением. Школьники приходят к положительному заключению, так как в ситуации первой задачи длины сторон соответствуют периметру: (8,4 + 3,9)·2 = 24,6, что, как они только что убедились, бывает не всегда и требует проверки.

Учащиеся подходят формально к решению задачи: 9·40:2 = 180 (кв. см) и торопятся сообщить ответ учителю и классу. Каково же их удивление, когда учитель говорит, что их ответ неверен. Некоторые учащиеся по аналогии с предыдущей задачей начинают проверять корректность условия задачи с помощью неравенства треугольника, и поскольку оно выполняется для каждой из трех сторон, подтверждают ответ. Однако они забывают, что прямоугольный треугольник, кроме того, должен удовлетворять равенству теоремы Пифагора. Нередко учащимся в выборе критерия нужна помощь со стороны учителя, и обсуждение теоретической стороны этого вопроса весьма полезно для школьников. Треугольника с заданными длинами катетов и гипотенузы не существует: 92 + 402 ≠ 422, а потому неправомерно говорить о площади несуществующего объекта. Ответ здесь: задача не имеет решения, так как условие противоречиво. Без этого выяснения решение задачи не полно.

Учащиеся, как правило, уверенно проводят высоту к каждой из сторон параллелограмма и получают два разных ответа (12 см² и 20 см²), т.е. рассматривают два случая, не задумываясь, возможны ли они. Между тем, высота длиной 4 см может быть опущена лишь на сторону параллелограмма длиной 3 см, так как в противном случае перпендикуляр к прямой оказывается длиннее наклонной, проведенной к этой же прямой из той же точки. Иначе говоря, при рассмотрении второго случая условие задачи становится противоречивым. Ответ один: 12 см².

Если через некоторое время дается эта задача (а она похожа на предыдущую), то учащиеся, чаще всего, дают один ответ. Как говорится: обжегшись на молоке, дуют на воду. Между тем, в этой задаче оба случая возможны (это можно обосновать, и к этому надо приучать школьников). Ответ: 12 см² или 15 см².

Это задание из типовых экзаменационных вариантов ОГЭ. При упрощении заданного выражения переменная х сокращается, используется только значение переменной у. Но некоторые учащиеся сразу подставляют значения х и у в данное выражение, что приводит к сложнейшему числовому выражению, и не могут прийти к ответу. Поэтому надо приучать детей сначала упрощать выражения.

Из всего сказанного видно, что учащиеся не задумываются над вопросами об избыточности, недостаточности или противоречивости условий задач, не анализируют условие задачи, прежде чем начать её решение, не находят все возможные решения задач с неоднозначно понимаемым условием, не возвращаются с полученным результатом к началу задачи, чтобы проверить его. Работает стереотип: задача дана, значит, надо найти ее решение. Между тем, обоснованный вывод об отсутствии решения у задачи – это тоже решение, и понимание этого следует формировать у учащихся на протяжении всех лет обучения в школе.

В данной статье авторами затронут вопрос о решение задач в школьном курсе математики. Проведен анализ школьных учебников, с целью выявить наличие задач, отвечающих следующим параметрам: логической правильности постановки и степени ее определяемости, оказывающих развивающую функцию при обучении математики. В качестве таких задач авторы выделяют те, что имеют аномальное условие, а именно – задачи с избыточным, с неполным и противоречивым условием. Приведены примеры каждого вида задач. Наиболее важная значимость статьи заключается в приведенной методике работы с противоречивой задачей, осмысление ее условия и составление поиска пути ее решения. Четко сформулирована значимость такого вида задач и схема поэтапного знакомства и работы с ними.


2. Жидкова А.Е., Титова Е.И. Изучение школьной математики как пропедевтический курс её обучения в техническом вузе // Современные проблемы науки и образования. – 2013. – № 6.

3. Крымская Ю.А., Титова Е.И., Ячинова С.Н. Построение математических моделей в прикладных задачах // Молодой ученый. – 2013. – № 12(59). – С.3-6.

4. Миракова Т.А. Развивающие задачи на уроках математики в 5–8 классах.[Текст] / Т.А. Миракова. – Львов, 1991.

5. Саранцев Г.И. Методика обучения математике в средней школе [Текст] / Г.И. Саранцев. – Пенза, 2002.

Проблемы решения задач в широком смысле этого слова являются предметом исследования многих наук: философии, психологии, педагогики, логики и частных методик. Как сделать обучение максимально развивающим мышление, все познавательные способности учащихся, как научить их мыслить – вот те вопросы, которые стоят в центре большинства дидактических исследований. В качестве основных параметров, оказывающих развивающую функцию в обучении, мы рассмотрели логическую правильность постановки задачи и степень ее определяемости.

Типология таких задач включает в себя задачи с избыточным, с неполным и противоречивым условием.

1. Задачи с избыточным условием – задачи, в которых имеются лишние данные, не нужные для решения, а лишь маскирующие необходимые для решения задачи данные.

2. Задачи с неполным составом условия – задачи, в которых отсутствуют некоторые данные, необходимые для решения задачи, вследствие чего дать конкретный ответ на вопрос задачи не всегда представляется возможным.

3. Задачи с противоречивым условием – задачи, содержащие в условии противоречие между данными. Примеры таких типов задач:

1. Задача с избыточным условием: Точки А,В,С лежат на окружности с центром в т. О, ∠ АВС = 50°, ∪ АВ: ∪ СВ = 5:8. Найти ∠ АОС.

2. Задача с неполным условием: На протяжении 155 м уложены трубы (25 штук) длиной по 5 м и 8 м. Сколько уложено тех и других труб?

3. Задача с противоречивым условием: В двух сараях сложено сено, причем в первом сарае сена было в 3 раза больше, чем во втором. После того как в первый сарай привезли 20 т, а из второго взяли 10 т, в обоих сараях сена осталось поровну. Сколько всего сена было в двух сараях первоначально? (Из меньшего взяли, а в большее добавили, и стало одинаково, такого быть не может, ответ противоречит здравому смыслу.)

Анализируя школьные учебники, мы убедились, что практически ни один из них не содержит задач такого типа. Проводя эксперименты с учащимися, было видно, что, столкнувшись с такой задачей, ученик затрудняется ее решить. Все это потому, что решению задач уделяется большее внимание, чем анализу самих решаемых задач. Одной из главных причин тех методических затруднений, которые испытывает учитель при обучении решению задач, является отсутствие анализа задачи с точки зрения их определяемости и в связи с этим – неумение видеть внутреннюю структуру задачи, неумение видеть процесс образования задачи.

В частности выясняется, что аномальные задачи следует предлагать в следующей последовательности: начинать следует с введения задач переопределённых, предупреждая на первых порах учащихся о наличии избыточных данных и предлагая им найти та­кие данные, постепенно переходя от задач простых к таким зада­чам, в которых избыточные данные не сразу бросаются в глаза.

Когда учащиеся приобретут некоторые навыки решения та­ких задач, можно перейти к введению таких задач уже без преду­преждения о наличии избыточных данных, чередуя эти задачи с традиционными определёнными задачами. Таким образом, не зная, имеется ли в условии задачи лишнее данное или нет, но подозре­вая, что оно может быть, учащиеся к каждой задаче будут подхо­дить критически, что вызовет большую, чем в традиционных усло­виях, необходимость внимательного анализа условия задачи и раз­личных подходов к её решению.

На некотором этапе переопределённые задачи, предлагаемые учащимся, могут стать противоречивыми. Использование таких за­дач постепенно приучит их к тому, что обнаруженное в условии лишнее данное не следует игнорировать, но следует проверять его на противоречивость.

Рассмотрим методику работы с моделью задач с неполным, с избыточным и противоречивым условием, и составим план их решения.

Займемся сначала задачей с неполным условием: В прямоугольнике точка пересечения диагоналей отстоит от меньшей стороны на 6 см дальше, чем от большей стороны. Найти длину сторон. (Необходимо знать еще одну величину, например, периметр прямоугольника.) І. Осмысление условия

В: О какой фигуре идет речь в задаче?

О: О прямоугольнике.

В: Что должно быть построено в прямоугольнике?

В: Что нам известно о точке пересечения диагоналей?

О: Она отстоит от меньшей стороны на 6 см дальше, чем от большей стороны.

Читайте также: