Ярким примером применения полной индукции является в школьном курсе геометрии доказательство теоремы

Обновлено: 08.07.2024

Многовековой опыт убедил людей в том, что доказательство является одним из важнейших свойств правильного мышления, которое приводит к истинному знанию. Доказывать приходится не только в математике. Поэтому возникла целая наука, которая занимается доказательством. Эта наука - логика. В ней доказательство рассматривается отвлеченно, абстрагируясь от конкретного содержания той или иной теоремы, и дает некоторые общие рекомендации, которые используются при любом доказательстве. Однако нет универсального метода доказательства, которое бы годилось во всех случаях.

Во всяком доказательстве логика выделяет три составляющие:

1) тезис - суждение, истинность которого требуется установить;

2) довод - суждение, истинность которого известна и которое может быть приведено в качестве обоснования истинности или ложности тезиса;

3) демонстрация - логическое рассуждение, в процессе которого из доводов выводится истинность или ложность тезиса, а также совокупность логических правил, используемых в доказательстве.

По способу ведения доказательства подразделяются на прямые и косвенные.

Доказательство называется прямым, если истинность тезиса выводится непосредственно из истинного довода.

Доказательство называется косвенным (непрямым), если истинность тезиса обосновывается путем опровержения истинности противоречащего тезису суждения. К косвенным доказательствам относятся:

2) разделительные доказательства.

ТЕОРЕМА. Выпуклый четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов этого четырехугольника равна 180 о .

Доказательство. Пусть четырехугольник вписан в окружность. Тогда сумма противоположных углов этого четырехугольника равна 180 о .

Обратно, пусть сумма противоположных углов четырехугольника АВСД, например, ÐА + ÐС = 180 о . Опишем около треугольника АВД окружность. Тогда для точки С возможны три случая:

а) точка С - внутри круга;

б) точка С - на окружности;

с) точка С - вне круга.

Покажем, что случаи а) и с) невозможны.

Пусть выполняется случай а). Пусть С₁ - точка пересечения стороны ДС с описанной окружностью. Тогда четырехугольник АВС₁Д является вписанным, а, значит ÐА + ÐС₁ = 180 о . Отсюда ÐВСД = ÐВС₁Д. Получаем противоречие, ибо ÐВСД является внутренним для треугольника ВС₁С, а ÐВС₁Д -внешним.

Пусть выполняется случай с). Пусть С₁ - точка пересечения продолжения стороны ДС с описанной окружностью. Тогда четырехугольник АВС₁Д является вписанным, а, значит ÐА + ÐС₁ = 180 о . Отсюда ÐВСД = ÐВС₁Д. Получаем противоречие, ибо ÐВС₁Д является внутренним для треугольника ВС₁С, а ÐВСД -внешним. Теорема доказана.

По форме умозаключения, в которой совершаются доказательства, различают индуктивные и дедуктивные доказательства. Индуктивные доказательства получаются в результате применения полной индукции или математической индукции. Математическая индукция будет рассмотрена в дальнейшем, а сейчас остановимся подробнее на полной индукции.

Умозаключением называют мыслительную операцию, в результате которой из одного или нескольких известных нам суждений, находящихся в определенной смысловой зависимости, получают новое суждение, содержащее новое по отношению к исходным суждениям знание.

Умозаключение, в результате которого получается общий вывод обо всех элементах множества на основании знания обо всех без исключения элементах данного множества, называется полной индукцией.

Общую схему полной индукции во множестве М можно записать так:

ТЕОРЕМА. Величина вписанного угла равна половине дуги, на которую она опирается.

Доказательство. Пусть угол ÐАВС вписан в окружность. Рассмотрим три возможных случая:

1) центр окружности - точка О - на стороне ВС;

2) О внутри угла АВС;

3) О вне угла АВС.

В первом случае проведем АО. Тогда ÐАОС - внешний для треугольника АВО. Кроме того, DАВО является равнобедренным. Отсюда ÐАВС = ÐАОС = АС.

Во втором случае проведем луч ВО, который пересечет окружность в точке Д. Тогда ÐАВС = ÐАВД + ÐДВС = (АД + ДС) = АС.

В третьем случае аналогично проведем луч ВД. Тогда ÐАВС = ÐАВД - ÐСВД = (АД - ДС) = АС.

Видно, что при доказательстве этой теоремы рассматриваются все три возможных случая расположения центра окружности относительно данного вписанного угла, и каждый случай строго обосновывается.

Доказательство называется дедуктивным, если оно представляет собой цепочки дедуктивных силлогизмов, каждый из которых представляет собой вывод частного из общего, т.е. проводится по схеме

Доказательство противоречием. Обращение по разделению.

Нисходящий анализ.

Восходящий анализ.

Синтетический метод доказательства.

Математическая индукция.

Дедуктивный метод доказательства. Силлогизмы.

Доказательство. Виды доказательств.

МЕТОДЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМ. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ ШКОЛЬНИКОВ ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ ТЕОРЕМ

ЛЕКЦИЯ №6

Вопросы:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Под доказательством мы будем понимать логическое действие, в процессе которого истинность суждения обосновывается с помощью других суждений, которые считаются истинными.

Во всяком доказательстве логика выделяет три составляющие:

1) тезис - суждение, истинность которого требуется установить;

По способу ведения доказательства подразделяются на прямые и косвенные.

Доказательство называется прямым, если истинность тезиса выводится непосредственно из истинного довода.

2) разделительные доказательства.

а) точка С - внутри круга;

б) точка С - на окружности;

с) точка С - вне круга.

Покажем, что случаи а) и с) невозможны.

Общую схему полной индукции во множестве М можно записать так:

ТЕОРЕМА. Величина вписанного угла равна половине дуги, на которую она опирается.

Доказательство. Пусть угол ÐАВС вписан в окружность. Рассмотрим три возможных случая:

1) центр окружности - точка О - на стороне ВС;

2) О внутри угла АВС;

3) О вне угла АВС.

Во втором случае проведем луч ВО, который пересечет окружность в точке Д. Тогда ÐАВС = ÐАВД + ÐДВС = (АД + ДС) = АС.

В третьем случае аналогично проведем луч ВД. Тогда ÐАВС = ÐАВД - ÐСВД = (АД - ДС) = АС.

Учитывая, что - это цифра, можно записать: . Из равенства следует, что . Таким образом, из системы следует: .
Хотя перебор всех натуральных значений , удовлетворяющих неравенству , не сложен, но можно еще сузить область перебора, для этого заметим, что должно быть четным. Тогда следует рассмотреть лишь =6, =8. Итак, проведенные рассуждения позволили сузить область перебора от 90 до 10 случаев, затем до 4 и окончательно до 2 случаев. При =6 цифрой а будет 3, а числом будет 36. Это число удовлетворяет требованию задачи. При =8 значение а будет дробным числом, но так как а — это цифра, то а дробным быть не может.
Итак, мы получили, что лишь одно двузначное число 36 равно удвоенному произведению его цифр.
Доказательство теоремы методом полной индукции строится следующим образом: перебираются все возможные случаи, к каждому из которых применяют либо синтетический метод, либо метод противоречия.
Примером может служить доказательство теоремы об измерении вписанного угла половиной дуги, на которую он опирается. Доказывая эту теорему методом полной индукции, мы должны рассмотреть все три возможных случая: центр окружности лежит на стороне вписанного угла, центр окружности лежит между сторонами вписанного угла, центр окружности лежит вне вписанного угла.
Итак, суть метода полной индукции заключается в том, что, общее утверждение доказывается по отдельности в каждом конкретном случае из числа тех, которые могут представиться.
Более глубокому пониманию сути метода полной индукции будет способствовать решение таких задач, которые аналогичны следующей:
Доказать, что решениями неравенства х18 - х15 + х2 - х + 1>0 будут все действительные числа.
доказательство
Разобьем числовую прямую на три промежутка:
а) х 1.
докажем, что на каждом из этих промежутков неравенство выполняется.
Если х 0, мы будем иметь, что все слагаемые положительны, а значит, их сумма больше нуля.
Если х>1, то группировку слагаемых проведем следующим образом: (х18 — х15)+(х2 — х)+ 1>0.
При х>1 первые два слагаемых неотрицательны, а единица положительна, и, значит, вся сумма больше нуля.
Заметим, что речь в этой задаче шла о бесконечном числе случаев (х R) и перебрать их все не представляется возможным. для того чтобы использовать метод полной индукции, мы разбили бесконечное число случаев на конечное число вариантов (здесь основой разбиения служит смена знака выражения), а затем каждый вариант рассматриваем в отдельности.
Абсолютное большинство математических предложений охватывает бесконечное множество частных вариантов, и провести проверку истинности этих предложений в таком случае путем перебора или путем разбиения этого бесконечного множества на конечное число подмножеств мы не можем. Тогда во многих случаях обращаются к особому методу доказательства — методу математической индукции. Суть этого метода доказательства состоит в следующем.
Пусть требуется доказать справедливость некоторого утверждения для любого натурального числа n. Чтобы доказать это утверждение, проверяют его справедливость для n =1. Затем доказывают, что при любом натуральном значении k из справедливости рассматриваемого утверждения при n = k вытекает его справедливость при n = k +1. Тогда утверждение считается доказанным для всех n N.
Когда принцип математической индукции (его иногда называют аксиомой арифметики натуральных чисел) используют для доказательства теоремы ( n N) (А (n)), то фактически строится такой силлогизм:
Большая посылка: принцип математической индукции.
Малая посылка:
А(n), n N: А(1) — истинно; (А(k) А(k+1)) — истинно.
Вывод: А(n) — истинно для любого натурального n.
Когда нужно доказывать справедливость некоторого утверждения не для всех натуральных чисел, а лишь для n р, где р — фиксированное натуральное число, то в этом случае пользуются принципом математической индукции, сформулированным следующим образом: .Если предложение истинно при n =р и из его истинности при n =k, где k р, следует, что оно истинно и при n = k +1, то предложение истинно для любого n р
Докажем методом математической индукции истинность равенства
1+3+5+. +(2n - 1)=n2. (*)

1) При n =2 (мы взяли базу индукции для n =2, а не для n =1, ибо доказывается формула для суммирования) доказываемое равенство принимает вид 1+3=22, которое истинно. Итак, равенство (*) истинно при n =2.
2) Предположим, что равенство (*) истинно при n = k, т. е. справедливо равенство
1+3+5+. +(2k-1)=k2.
докажем, что тогда равенство (*) истинно и при n =k +1, т. е. справедливо равенство
1+3+5+. +(2k-1)+(2k+1)=(k+1)2.
Преобразуем левую часть последнего равенства:
1+3+5+. +(2k-1)+(2k+1)=(1+3+5+. +(2k-1))+(2k+1).
Но по предположению индукции сумма, стоящая в первой скобке последнего равенства, равна k2. Значит, вся сумма равна k2+2k+1=(k+1)2.
Итак, имеем
1+3+5+. +(2k-1)++(2k+1)=(k+1)2.
Тем самым по принципу математической индукции истинность равенства (*) доказана для любых n N.
Получается равенство (*).
На случай бесконечного числа возможных вариантов в математике используется еще один метод доказательства. Его суть состоит в следующем. Математическое утверждение доказывается для конечного числа случаев, и делается вывод о невыполнимости этого утверждения для остальных случаев, которых бесконечное число. Назовем этот метод доказательства методом бесконечных исключений. Рассмотрим пример, иллюстрирующий этот метод доказательства.
Доказать, что если длины сторон прямоугольника выражены натуральными числами, причем числовое значение его периметра равно числовому значению его площади, то таких прямоугольников может быть только два.
Доказательство:
Обозначим длины смежных сторон прямоугольника через х и у. По условию ху =2 х +2 у. Из уравнения имеем у = . Выделим целую часть у полученного выражения: у= = = . Так как по условию х и у натуральные
числа, то сумма может быть числом натуральным
лишь при х=3, х=4, х=6. При всех остальных числах эта сумма не может быть числом натуральным. Соответствующие значения для у будут у =6, у=4, у=3. Очевидно, что различных решений два: прямоугольник со сторонами 3 и 6 и квадрат со стороной 4.
Суть метода конструирования состоит в том, что путем геометрических построений, основанных на свойствах геометрических фигур, известных определениях и теоремах, строится объект, о котором идет речь в математическом утверждении. Построение указанного объекта на плоскости производится путем определенного набора инструментов и опирается на постулаты построения, т. е. на элементарные задачи на построение; построение объекта считается выполненным, если оно сведено к конечному числу этих задач-постулатов. Этим методом в школьном курсе геометрии доказаны, например, теорема о существовании и единственности окружности, описанной около треугольника, теорема о существовании и единственности окружности, вписанной в треугольник, теорема о касательной к окружности.

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ ДЛЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ ЭЙЛЕРА О МНОГОГРАННИКАХ

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Теорема Эйлера о многогранниках - математическое утверждение, связывающее между собой число ребер, граней и вершин многогранников. Она заложила фундамент нового раздела математики — топологии. В области математики существует много разных методов исследования.

Метод математической индукции является одной из теоретических основ при решении задач на суммирование, доказательстве тождеств, доказательстве и решении неравенств, решении вопроса делимости, при изучении свойств числовых последовательностей. В работе рассмотрены достаточно известные приемы доказательства Теоремы Эйлера и доказано, что метод математической индукции как эффективный способ доказательства гипотез может быть с успехом применен и в геометрии.

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность:

15 апреля 2017 года исполнилось 310 лет со дня рождения Леонарда Эйлера- одного из величайших математиков мира, работы которого оказали решающее влияние на развитие многих современных разделов математики. Вряд ли найдется хоть одна значительная область математики, в которой не оставил бы след гений XVIII века. Эйлер долгое время жил и работал в России, был действительным членом Петербургской Академии наук, оказал большое влияние на развитие русской математической школы и в деле подготовки кадров ученых математики и педагогов России. Перу Эйлера принадлежат 865 работ. Ученый отлично знал русский язык и часть своих учебников издавал на нем. В них в одинаковой степени освещены как практические вопросы, так и вопросы чистой математики. Он многое сделал в алгебре, аналитической геометрии и сферической тригонометрии; успешно работал в области дифференциального и интегрального исчислений. Им были созданы новые разделы математики.

В 1750 году Леонард Эйлер доказал тождество для выпуклых многогранников. Теорема Эйлера о многогранниках - математическое утверждение, связывающее между собой число ребер, граней и вершин многогранников. Она хорошо известна и используется для выяснения того, какие многогранники могут существовать.

Новизна

В экспериментальных науках велика роль индуктивных выводов. В математике индукция часто позволяет угадать формулировку теорем, а в ряде случаев и наметить пути доказательств. В математике о фактах сначала догадываются, а затем их доказывают. Метод математической индукции не дает никаких указаний, как построить гипотезу. Любую подмеченную закономерность можно рассматривать как вполне разумную гипотезу, которая в результате последующих испытаний либо подтверждается, либо опровергается. Покажем, что такой способ доказательства гипотез может быть с успехом применен и в геометрии.

Цель:изучить Теорему Эйлера о многогранниках, ее применение. Доказать теорему, применив метод математической индукции.

Задачи:

Изучить теорию многогранников, их применение.

Рассмотреть различные известные способы доказательства Теоремы Эйлера и возможности ее применения в теории правильных многогранников.

Применить метод математической индукции для доказательства теоремы Эйлера в выпуклом многограннике.

Гипотеза: в любом выпуклом многограннике имеет место соотношение: В+ Г- Р = 2 ,

где В – число вершин многогранника, Г- число его граней и Р- число ребер.

Методы, используемые в работе:

1. Теоретические (анализ, синтез, обобщение).

2. Практический эксперимент.

Этапы исследования:

1.Анализ ситуации по проблеме, выдвижение гипотезы;

3.Обработка полученных результатов;

Объект исследования: теорема Эйлера о многогранниках.

Предмет исследования: возможности применения математической индукции в геометрии.

Ход работы

1 этап. Постановка задачи

1.1 Определение. Многогранником называется тело, поверхность которого составлена из многоугольников. Эти многоугольники называются гранями многогранника, их стороны -ребрами, а вершины - вершинами многогранника.

В школьном курсе рассматриваются выпуклые многогранники. Это многогранники, для которых верно следующее утверждение: для любой плоскости, проходящей через одну из граней многогранника, многогранник находится целиком по одну сторону от этой плоскости. Многогранник является выпуклым тогда и только тогда, когда отрезок, соединяющий любые две точки многогранника, полностью принадлежит многограннику. Каждая грань такого многогранника будет выпуклым многоугольником. При этом обратное утверждение не верно: если каждая грань многогранника - выпуклый многоугольником, то он необязательно выпуклый.

Правильный многогранник – выпуклый многогранник с максимально возможной симметрией. Многогранник называется правильным, когда

• все его грани являются равными правильными многоугольниками;

• в каждой его вершине сходится одинаковое число ребер.

Древнегреческий философ Платон очень интересовался такими многогранниками, у которых все грани являются одинаковыми правильными многоугольниками, а в каждой вершине сходится одно и то же число граней. Он нашел 55 таких многогранников. Разновидностей многогранников существует множество. Например, любая 3D-модель из компьютерной игры представляет собой некоторый (возможно, очень сложный) многогранник. Чем он сложнее, тем точнее описывает реальный объект. Однако изучать свойства многогранников легче на простых моделях. Устройство многогранников важно знать и понимать инженерам, дизайнерам и художникам, а также всем, кто хочет лучше понимать взаимосвязи объектов в пространстве.

Выпуклый многогранник называется топологически правильным, если его гранями являются многоугольники с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине сходится одинаковое число граней. Например, все треугольные пирамиды являются топологически правильным многогранниками, эквивалентными между собой. Все параллелепипеды также являются эквивалентными между собой топологически правильными многогранниками. Четырехугольные пирамиды не являются топологически правильными многогранниками.

Существует 5 правильных многогранников:

рис.1 рис.2 рис.3 рис.4 рис.5

Тетраэдр – составлен из 4 равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине=180°. Тетраэдр имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер.(рис1).

Куб –составлен из 6 квадратов. Каждая его вершина является вершиной трех квадратов. Сумма плоских углов при каждой вершине=270°.Куб имеет 6 граней, 8 вершин и 12 ребер.(рис.2).

Октаэдр –составлен из 8 равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной четырех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине=240°. Октаэдр имеет 8 граней, 6 вершин и 12 ребер.(рис.3).

Икосаэдр –составлен из 20 равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной 5 треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине=300°. Икосаэдр имеет 20 граней, 12 вершин и 30 ребер.(рис.4).

Додекаэдр –составлен из 12 равносторонних пятиугольников. Каждая его вершина является вершиной трех пятиугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине=324°. Додекаэдр имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер.(рис.5).

Рассмотрим многогранники, которые имеют вершины (В), ребра (Р) и грани (Г) :

ОБЩИЕ МЕТОДЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМ: АНАЛИЗ И СИНТЕЗ

Приоритетным направлением в современном образовательном процессе называют гуманизацию и гуманитаризацию. Новые целевые установки в системе образования предполагают направленность обучения на развитие личности, в частности на формирование логического мышления, чему способствует обучение доказательству. Формирование и использование умений рассуждать, проводить доказательства, аргументировать высказывания проводится во всех учебных предметах. Однако бесспорно, что развитию способностей школьников анализировать данные, принимать решения и обосновывать свой выбор в наибольшей мере способствует изучение математики.

Существуют частные и общие методы доказательств теорем. К частным методам доказательства относят метод геометрических преобразований, векторный, координатный, алгебраический методы и т. д. Но в данной статье более подробно остановимся на общих методах, которые более часто встречающиеся в школьном курсе математике, а именно синтетический, аналитический методы (нисходящий и восходящий анализ), доказательство от противного и т.д.

Среди всех методов доказательства теорем в школьном курсе геометрии основную нагрузку несет синтетический метод, ибо он является составной частью доказательства любым другим методом.

Доказательство математического предложения M: A(x)=* => В(х) называется синтетическим, если оно осуществляется по следующей логической схеме: (А(х)^Т)=>В₁(х)=>В₂(х)=* . =*=>Вn(х)=>В(х), где Т — определенная совокупность предложений той математической теории, в рамках которой доказывается данное предложение и которой принадлежат В₁(х), В₂(х), . Вn(х), составляющих доказательство, а также суждения А(х) и В(х).

Таким образом, при синтетическом методе доказательства теоремы цепочка силлогизмов строится так, что мысль движется от условия теоремы к ее заключению.

Дано:АВС – треугольник (рис.1)

Проведем через вершину В прямую, а, параллельную АС.

Рассмотрим 1 и 4; они являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых, а и АС и секущей АВ, а значит, 1=4.

Рассмотрим 3 и 5; они накрест лежащие при пересечении параллельных прямых, а и АС и секущей ВС, а значит, 3=5.

Сумма 4, 2, 5 равна развернутому углу с вершиной В, т.е. 4+2+5= 180°.

Теорема доказана. [2]

При аналитическом доказательстве теоремы M: A(x)=>В(х) цепочка силлогизмов строится так, что мысль движется от заключения теоремы к ее условию. Различают два вида аналитического метода: восходящий анализ (анализ Паппа), нисходящий анализ (анализ Евклида).

Восходящим анализом (совершенным анализом) называется такая разновидность аналитического метода, при которой, отталкиваясь от заключения, подбирают для него достаточное условие — такое суждение В1(х), что В₁(х)=>В(х), затем подбирают достаточное условие В₂(х) для В₁(х), такое, чтобы В₂(х):=>В₁(х) было истинным, и так далее до тех пор, пока не получат такое достаточное условие Вn(х) для Вn_-1(х), что Вn(х) => Вn_-1(х) и Вn(х) выполняется (истинно). При этом используется как условие А(х) доказываемого предложения, так и некоторая совокупность Т связанных с А(х) и В(х) предложений данной теории, истинность которых уже была установлена.

Сущность метода восходящего анализа состоит в том, что рассуждения строятся по схеме: для того, чтобы В(х) было верно, достаточно, чтобы было верно С(х), и т. д.

Для того чтобы доказать, что ACBD (рис. 2), достаточно доказать, что ВОАС.

Для того чтобы доказать, что ВОАС, достаточно доказать, что ВО — высота треугольника ABC.

Для того чтобы доказать, что ВО является высотой треугольника ABC у достаточно доказать, что треугольник ABC равнобедренный и ВО в нем является медианой.

Для того чтобы доказать, что треугольник ABC равнобедренный, достаточно доказать, что в нем АВ = ВС.

Но АВ = ВС по условию (ABCD — ромб) и ВО — медиана треугольника ABC (так как АО = ОС по свойству диагоналей параллелограмма).

Теперь, идя обратным путем, от пункта 5 к пункту 1, мы и докажем сформулированную теорему. [2]

Нисходящим анализом (несовершенным анализом) называют такую разновидность аналитического метода, при которой, отталкиваясь от заключения В(х) доказываемого предложения А(х)=>В(х), рассуждения ведут путем последовательного получения логических следствий: В(х) =>В₁(х)=>В₂(х)=>. => Вn(х), где Вn(х) есть предложение, истинное значение которого нам точно известно. При выведении следствий из В(х) временно допускают, что оно истинно.

При нисходящем анализе, так же, как и при восходящем, рассуждения ведут от заключения теоремы, но подбирают уже не достаточные, а необходимые условия.

Пусть ABCD — параллелограмм (рис. 3). (В(х))

Тогда ВС || AD и АВ || DC. (В₁(х))

Тогда ACB=CAD, BAC = ACD (как накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей). (В₂(х))

Из равенства этих углов с учетом того, что АС — общая сторона треугольников ABC и ADC, следует: ∆ABC = ∆ADC. (B₃(x))

Тогда AD = BC, AB = DC, АС=АС. (А(х))

Итак, имеем В(х)^Вг(х)=>В2(х)=>В3(х)=>А(х)> где А(х) — истинно.

Проведя теперь рассуждения в обратном порядке А(х)=>В3(х)=>В2(х)=>В1(х)=>В(х), мы получим синтетическое доказательство. [2]

Рассмотрим еще несколько примеров, в которых используется несколько способов доказательства теоремы, а именно рассмотрим аналитико-синтетический метод.

В методических руководствах приводят одно изолированное так называемое синтетическое доказательство, но я приведу соответствующее доказательство к выше отмеченной теореме, с помощью аналитико-синтетического метода:

Требуется доказать, что ВС параллельно АД.

Для этого достаточно доказать, чтобы внутренние накрест лежащие углы ВСО и ОАД, образованные прямыми ВС и АД и секущей АС были равны.

А для того, чтобы доказать, что эти углы равны надо доказать равенство треугольников ВОС и ДОА, и что интересующие нас углы лежат против соответственно равных сторон. В последнем убеждаешься из чертежа, так как ВО=ОД по условию.

Для того, чтобы треугольники ВОС и ДОА были равны достаточно доказать либо первый, либо второй, либо третий признак равенства треугольников. В данном случае нам удобнее доказать первый признак, т.к. ВО=ОД и СО=ОА по условию теоремы, а углы ВОС и ДОА равны, как вертикальные.

Далее составляем схему проведенного анализа:

Чтобы доказать ------->

Надо доказать

II. ВСО=ОАД, как внутренние накрест лежащие, образованные прямыми ВС, АД и секущей АС

III. ВОС=ДОА, и углы ВСО и ОАД лежат против равных сторон

III. Треугольник ВОС= Треугольник ДОА

IV. Равенство трех его элементов и определить признак равенства треугольников

ОА=ОС – по условию

ВО=ОД – по условию

Треугольник ВОС= Треугольник ДОА по I. признаку

На основании всего этого происходит обучение анализу, немедленно перерастающему в синтез – в этом как раз заключатся одно из направлений совершенствование дидактики.

Как отмечают методисты, анализ ведет к более глубокому и сознательному усвоению учебного материала и способствует активному и творческому развитию логического мышления учащихся, нежели синтез. Но как уже отмечалось ранее, анализ и синтез неотделимы друг от друга.

Таким образом, можно сделать вывод, о том, что использование таким таких общих методов доказательств, как анализ и синтез является одни из самых хороших инструментов для воспитания у учащихся потребностей обосновывать каждый шаг. Хотя первоначальное знакомство с таким обучением и требует значительной затраты времени, но в дальнейшем это все окупается. Чтобы такой урок дал эффект учителю необходимо продумывать каждый шаг, вести школьников от ступеньки к ступеньке, следить, чтобы мысли учащихся шли в нужном направлении, чтобы не ускользало от их внимания главное, чтобы все даже самые слабые ученики принимали участие в открытии нового. Не всегда, конечно, можно его применить, но там, где это, возможно, наблюдается наиболее глубокий интерес школьников, развивается логическое мышление, повышается познавательная активность.

Такая кропотливая работа, в конечном счете, приносит свои плоды, потому что ученики приобретают исследовательские навыки и, что не менее важно, с большим интересом работают на уроке.

Список литературы:

Далингер В. А. Методика обучения учащихся доказательству математических предложений. – М. Просвещение, 2006. – 250с.

Геометрия 7-9: Учеб. для общеобразоват. Учреждений / Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. – 13-е изд. – М.: Просвещение, 2003. – 384с.

Подаева Н.Г. Психолого-дидактические задачи обучения математике: уровни понимания, усвоения и применения материала // Психология образования в поликультурном пространстве. – Елец, 2009 г., т. 2., № 3-4, с. 30-40.

Подаева Н.Г., Подаев М.В. Социокультурное содержание школьного математического образования: мыследеятельностные технологии // Письма в эмиссия.Оффлайн: электронный научный журнал. – СПб, 2013. № 1. с. 1948.

Кузовлев В.П., Подаев М.В. Развитие логического компонента мыслительной деятельности младших подростков // Психология образования в поликультурном пространстве. – Елец, 2010. т. 4. № 4. с. 90-98.

Читайте также: