Вычитание множеств примеры для начальной школы

Обновлено: 30.06.2024

На математическом кружке вместе с учащимися рассматривался ряд задач, благодаря наглядности которых, процесс решения становится понятным и интересным. На первый взгляд им хочется составить систему уравнений, но в процессе решения остается много неизвестных, что ставит их в тупик. Для того, чтобы уметь решать эти задачи, необходимо предварительно рассмотреть некоторые теоретические разделы теории множеств.

Введем определение множества, а так же некоторые обозначения.

Под множеством мы будем понимать такой набор, группу, коллекцию элементов, обладающих каким-либо общим для них всех свойством или признаком.

Множества обозначим А, В, С…, а элементы множеств а, b, с…, используя латинский алфавит.

Можно сделать такую запись определения множества:

“” – принадлежит;
“=>“ – следовательно;
“ø” – пустое множество, т.е. не содержащее ни одного элемента.

Два множества будем называть равными, если они состоят из одних и тех же элементов

Если любой элемент из множества А принадлежит и множеству В, то говорят, что множество А включено в множество В, или множество А является подмножеством множества В, или А является частью В, т.е. если , то , где “С” знак подмножества или включения.

Графически это выглядит так (рис.1):

Можно дать другое определение равных множеств. Два множества называются равными, если они являются взаимными подмножествами.

Рассмотрим операции над множествами и их графическую иллюстрацию (рис.2).

Объединением множеств А и В называется множество С, образованное всеми элементами, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В. Слова “или ” ключевое в понимании элементов входящих в объединение множеств.

Это определение можно записать с помощью обозначений:

где “ υ ” – знак объединения,

“ / ” – заменяет слова ”таких что“

Пресечение двух множеств А и В называется множество С, образованное всеми элементами, которые принадлежат и множеству А, и множеству В. Здесь уже ключевое слово “и”. Запишем коротко:

“∩“ – знак пересечения. (рис.3)

Обозначим буквой Е основное или универсальное множество, где A С Е (“”- любо число), т.е. А Е = Е; АЕ =А

Множество всех элементов универсального множества Е, не принадлежащих множеству А называется дополнением множества А до Е и обозначается Ā Е или Ā (рис.4)

Примерами для понимания этих понятий являются свойства:

Свойства дополнения имеют свойства двойственности:

Введем еще одно понятие – это мощность множества.

Для конечного множества А через m (A) обозначим число элементов в множестве А.

Из определение следуют свойства:

Для любых конечных множеств справедливы так же утверждения:

m (AB) =m (A) + m (В) – m (А∩В)

m (A∩B) = m (A) + m (В) – m (АВ)

m (ABC) = m (A) + m (В) + m (С)– m (А∩В) - m (А∩С) – m (В∩С) – m (А∩В∩С).

А теперь рассмотрим ряд задач, которые удобно решать, используя графическую иллюстрацию.

Задача №1

В олимпиаде по математике для абитуриентов приняло участие 40 учащихся, им было предложено решить одну задачу по алгебре, одну по геометрии и одну по тригонометрии. По алгебре решили задачу 20 человек, по геометрии – 18 человек, по тригонометрии – 18 человек.

Сколько учащихся решили все задачи?
Сколько учащихся решили только две задачи?
Сколько учащихся решили только одну задачу?

Задача № 2

Первую или вторую контрольные работы по математике успешно написали 33 студента, первую или третью – 31 студент, вторую или третью – 32 студента. Не менее двух контрольных работ выполнили 20 студентов.

Сколько студентов успешно решили только одну контрольную работу?

Задача № 3

В классе 35 учеников. Каждый из них пользуется хотя бы одним из видов городского транспорта: метро, автобусом и троллейбусом. Всеми тремя видами транспорта пользуются 6 учеников, метро и автобусом – 15 учеников, метро и троллейбусом – 13 учеников, троллейбусом и автобусом – 9 учеников.

Сколько учеников пользуются только одним видом транспорта?

Решение задачи № 1

m (Е) = 40
m (А) = 20
m (В) = 18
m (С) = 18
m (А∩В) = 7
m (А∩С) = 8
m (В∩С) = 9

m (АВС) = 3 => m (АВС) = 40 – 3 = 37

Обозначим разбиение универсального множества Е множествами А, В, С (рис.5).

К 1 – множество учеников, решивших только одну задачу по алгебре;

К 2 – множество учеников, решивших только две задачи по алгебре и геометрии;

К 3 – множество учеников, решивших только задачу по геометрии;

К 4 – множество учеников, решивших только две задачи по алгебре и тригонометрии;

К 5 – множество всех учеников, решивших все три задачи;

К 6 – множество всех учеников, решивших только две задачи, по геометрии и тригонометрии;

К 7 – множество всех учеников, решивших только задачу по тригонометрии;

К 8 – множество всех учеников, не решивших ни одной задачи.

Ответ:

5 учеников решили три задачи;

9 учеников решили только по две задачи;

23 ученика решили только по одной задаче.

С помощью этого метода можно записать решения второй и третьей задачи так:

m (АВ) = 33
m (АС) = 31
m (ВС) = 32
m (К 2 ) + m (К 4 ) + m (К 6 ) + m (К 5 ) = 20

Ответ:

Только одну контрольную работу решили 18 учеников.

m (Е) = 35
m (А∩В∩С)= m (К 5 ) = 6
m (А∩В)= 15
m (А∩С)= 13
m (В∩С)= 9

m (К 2 ) = m (А∩В) - m (К 5 ) = 15-6=9
m (К 4 ) = m (А∩С) - m (К 5 ) = 13-6=7
m (К 6 ) = m (В∩С) - m (К 5 ) = 9-6=3
m (К 1 ) + m (К 3 ) + m (К 7 ) = m (Е) - m (К 4 ) - m (К 2 ) - m (К 6 ) - m (К 5 ) = 35-7-9-3-6=10

Ответ:

Только одним видом транспорта пользуется 10 учеников.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Описание презентации по отдельным слайдам:

Целые неотрицательные числа
Электронный конспект для студентов
педагогических колледжей
Для продолжения работы щелкните мышкой по управляющей кнопке.
Арифметические действия
с целыми неотрицательными числами
Вычитание

Содержание:
Для продолжения работы щелкните мышкой по соответствующей теме
Понятие разности целых неотрицательных чисел;
Связь вычитания со сложением;
Свойства вычитания;
Изучение действия вычитание в начальном курсе математики.
Множество No
Умножение
Сложение
Деление
С помощью этих кнопок можно перейти в электронные конспекты по указанным темам.
Для возвращения в данный конспект нажмите .

n(A) – n(В)= 5 – 2 = 3
ВА
n( )=
Понятие разности неотрицательных чисел
Ознакомление с действием вычитание начинается в дошкольном возрасте. Выполняя предметные действия, дети оперируют с конкретными множествами и результат вычитания находят как численность дополнения подмножества.
В гараже стояло 5 машин. Уехало 2 машины. Сколько машин осталось в гараже?
В этой задаче речь идет о двух множествах:
А – множество машин, стоящих в гараже в начале. n(A) = 5
В – множество уехавших машин. n(В) = 2
В  А
Дошкольники, при решении данной задачи, пересчитают оставшиеся машины, то есть они найдут
Запишите это в тетрадь и щелкните мышкой по голубому полю экрана
Например:
численность дополнения подмножества В до множества А .

В начальной школе дети усваивают, что для решения подобных задач можно не пересчитывать оставшиеся предметы, а из численности множества предметов, которые были, вычесть численность множества убранных предметов
Определение 8: Разностью целых неотрицательных чисел a и b называется целое неотрицательное число с, которое является численностью дополнения подмножества В до множества А, где n(A)=а; n(B)=b, В  А
Числа называются: a – уменьшаемое, b – вычитаемое, с – разность, запись a – b так же называется – разность.
Определение 9: Действие, посредством которого находится разность, называется вычитание.
Для продолжения работы щелкните по управляющей кнопке.
А
В
ВА
n( )=3
Запишите это в тетрадь, продолжив предложение.
Для продолжения работы щелкните мышкой по голубому полю экрана.
Проверьте себя, щелкнув мышкой по знаку вопроса. При повторном щелчке по этому знаку подсказка исчезнет.
Для продолжения работы щелкните мышкой по голубому полю экрана.
Возврат в оглавление

Запишите это в тетрадь. Прочитайте выражение записанное символами. Если Вы затрудняетесь это сделать щелкните мышкой по знаку вопроса. В этом случае советуем Вам записать, как читается это математическое предложение.
Для продолжения работы щелкните мышкой по голубому полю
Запишите эти примеры и свой вывод в тетрадь.
Вы можете проверить себя, щелкнув мышкой по соответствующей кнопке.
Для продолжения работы щелкните мышкой по голубому полю экрана.
Выполните это задание дома.
Для продолжения работы щелкните мышкой по голубому полю экрана.
Выполните это задание.
Вы можете проверить себя, щелкнув мышкой по соответствующей кнопке
Для продолжения работы вернитесь в оглавление.
(а,bNo) (!сNо: с = а – b)  (а  b)
Теорема: Разность целых неотрицательных чисел a и b существует тогда и только тогда, когда a больше или равно b . Эта разность единственна.
В начальной школе дети сталкиваются со случаями невыполнимости действия вычитания на множестве целых неотрицательных чисел.
Понятие разности неотрицательных чисел (продолжение)
Возврат в оглавление
Задание 2: Составьте 3 примера на вычитание, которые не имеют значения на множестве No. К какому выводу об условии выполнимости действия вычитания должны прийти дети?
Сформулированный Вами вывод соответствует теореме об условии существования разности:
Задание 1: Подберите в учебниках математики задание, в котором бы дети результат действия вычитания находили бы как численность дополнения подмножества.
Данная теорема содержит связку тогда и только тогда, когда, которая предполагает верность прямой и обратной теоремы.
Задание 3: Сформулируйте и запишите прямую и обратную теоремы, а так же сформулируйте эту теорему с использованием связки необходимо и достаточно.
Прямая теорема: Если целое неотрицательное число число a больше или равно b, то существует разность чисел a и b.
(а,bNo) (!сNо: с = а – b)  (а  b)
Обратная теорема:Если разность целых неотрицательных чисел a и b существует, то число a больше или равно b .
(а,bNo) (!сNо: с = а – b)  (а  b)
Для того, чтобы существовала разность целых неотрицательных чисел a и b необходимо и достаточно, чтобы число a было больше или равно b .

Для любых целых неотрицатель-ных чисел a и b справедливо утверждение: единственное целое неотрицательное число с, явля-ющееся разностью этих чисел, существует тогда и только тогда, когда a  b
Из одного числа можно вычесть другое, если первое число больше второго.

Задание 3
Задание 2

Запишите это в тетрадь. Проговорите возможные рассуждения детей.
Если вы затрудняетесь это сделать, щелкните мышкой по примерам.
В этом случае советуем Вам записать эти рассуждения.
Для продолжения работы щелкните мышкой по голубому полю экрана.
Задание3: Сделайте рисунки, которые помогут детям решить данные примеры:

4+2
Если от шести треугольников отнять четыре красных, то останется два зеленых. Значит 6 – 4 = 2.

6-4
Для продолжения работы щелкните мышкой по голубому полю экрана

Связь вычитания со сложением (продолжение)
Возврат в оглавление
Определение 10 связывает действия _________ и _________. Используя это определение, можно вывести правила нахождения неизвестного числа в этих действиях по известному результату и второму числу.
нахождение неизвестного слагаемого
нахождение неизвестного уменьшаемого;
нахождение неизвестного вычитаемого.
Это правила:
Запишите это в тетрадь, вставив пропущенные названия действий.
Для продолжения работы щелкните мышкой по голубому полю экрана.
сложение
вычитание
Сформулируйте и запишите эти правила. Чтобы проверить себя, щелкните мышкой кругу рядом с названием соответствующего правила.
Для продолжения работы щелкните мышкой по голубому полю экрана.
Чтобы найти неизвестное слагаемое, достаточно из суммы вычесть известное слагаемое.
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, достаточно к разности прибавить вычитаемое.
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, достаточно из уменьшаемого вычесть разность.
Ознакомление младших школьников с этими правилами может проводиться при рассмотрении троек равенств. Например, для введения правила нахождения неизвестного слагаемого можно рассмотреть такую тройку равенств:
4 + 2 = 6
6 - 2 = 4
6 - 4 = 2
Эти тройки могут быть даны детям в готовом виде или могут быть получены ими в результате решения взаимно обратных задач. Рассмотрим пример такой работы.
Составьте тройку равенств для рассмотрения правил нахождения неизвестного уменьшаемого и вычитаемого.
Для продолжения работы щелкните мышкой по голубому полю экрана.
Для продолжения работы щелкните по управляющей кнопке.

6 + 3 = 9
проверяем: к шести прибавить три – получится девять.
После ознакомления с правилами нахождения неизвестного числа в действиях сложение и вычитание дети могут решать простейшие уравнения вида:
Связь вычитания со сложением (продолжение)
Возврат в оглавление
Задание: Придумайте свою задачу и обратные ей для введения правила нахождения неизвестного слагаемого. Продумайте иллюстрацию этой задачи.
Запишите вопросы учителя и предполагаемые ответы учеников.
Для продолжения работы вернитесь в оглавление.
Для продолжения работы щелкните мышкой по голубому полю экрана.
6 + х = 9
х - 4 = 2
6 - х = 2
Запишите это в тетрадь и щелкните мышкой по голубому полю экрана
Задание: Запишите рассуждения учеников при решении оставшихся уравнений.
Рассуждения учеников при решении уравнения могут быть такими:
6 + х = 9
уравнение содержит действие сложение, значит нам неизвестно 2-ое слагаемое;
чтобы найти 2-ое слагаемое, можно из суммы вычесть 1-ое слагаемое.
мы из суммы 9 вычитаем 1-ое слагаемое 6 и получаем 2-ое слагаемое 3.
х = 9 – 6
х = 3
Младшие школьники знакомятся также с уравнениями, состоящими из двух и более действий. Например:
Задание: Запишите рассуждения учеников при решении этих уравнений. Чтобы посмотреть пример рассуждения, щелкните мышкой по кнопке со знаком вопроса, при повторном щелчке подсказка исчезнет.
(х + 25) + 70 = 220
(х + 15) – 60 = 90
160 - (х + 26) = 89
28 – (15 + х) = 6

(х + 15) – 60 = 90
х + 15 = 90 + 60
х + 15 = 150
х = 150 - 15
х = 135
В данном уравнении последнее действие – вычитание;
Неизвестное содержится в выражении (х + 15), значит нам неизвестно уменьшаемое;
Чтобы найти это уменьшаемое, мы к разности 90 прибавим вычитаемое 60. Получаем 150.
Полученное уравнение содержит действие сложение, значит нам неизвестно 1-ое слагаемое.
Чтобы найти 1-ое слагаемое, мы от суммы 150 отнимем 2-ое слагаемое 15. Получаем 135.
Выполните это задание.
Для продолжения работы щелкните мышкой по голубому полю экрана.
(135 + 15) – 60 = 90
150
Проверяем: 135 + 15 = 150; 150 – 60 = 90.

Возврат в оглавление
Свойства вычитания
Для действия вычитание справедливы следующие свойства (законы):
Вычитание числа из суммы
Вычитание суммы из числа
Запишите это в тетрадь.
Для продолжения работы щелкните мышкой по выделенному свойству. После ознакомления щелкните мышкой по голубому полю экрана.
Задание: Для данных выражений :
39 – 7
43 – 20
50 – 7
43 – 8
30 – 16
Для продолжения работы вернитесь в оглавление.
запишите развернутое решение и найдите значение;
опишите, что с точки зрения определения действия вычитания Вы нашли;
определите какое свойство лежит в основе вычислительного приема;
придумайте задачу, иллюстрирующую данное свойство и запишите все способы решения данной задачи, составлением числовых выражений.
Для ознакомления с организацией работы на уроке по ознакомлению со свойством и приемами вычислений, основанными на этом свойстве щелкните мышкой по оранжевому кругу.
После ознакомления щелкните мышкой по голубому полю экрана.

Возврат в оглавление
Вычитание суммы из числа
Для любых целых неотрицательных чисел а, b и с верно равенство:
а - ( b + с ) = (а – b) - с =(а – с) - b
(а,b, с No) а - ( b + с ) = (а – b) - с
(а,b, с No) а - ( b + с ) = (а – с) – b
Запишите это в тетрадь и щелкните мышкой по голубому полю экрана
Для продолжения работы щелкните мышкой по управляющей кнопке.
В начальной школе знакомство с данным свойством сводится к знакомству с правилом:
Чтобы вычесть сумму из числа можно

Задание: запишите рассуждения учеников при решении каждого из этих примеров;
Для ознакомления с алгоритмом письменного вычитания щелкните мышкой по знаку вопроса
Задание: запишите рассуждения учеников при решении каждого из этих примеров.

Алгоритм письменного вычитания
1. Запишете вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом;
Если цифра уменьшаемого больше цифры вычитаемого, то произведите вычитание.
Если цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого, то займите одну единицу у следующего разряда. Эта единица составляет 10 единиц данного разряда. Прибавим к десяти имеющиеся единицы данного разряда и произведем вычитание.
Если в следующем разряде нет единиц, то займите единицу в ближайшем слева разряде, в котором есть единицы. Переведите занятую единицу в 10 единиц стоящего справа разряда и займите из них одну, для следующего справа разряда. Поступайте так, пока не дойдете до разряда, в котором производится вычитание. Прибавим к десяти имеющиеся единицы данного разряда и произведем вычитание.
Полученный результат запишите в ответ в соответствующий разряд.
2. Вычитайте, начиная с единиц первого разряда.
3. Повторяйте те же действия со всеми разрядами числа. При этом необходимо учитывать занятые единицы, уменьшая на единицу цифру уменьшаемого, если из данного разряда занимали.
4. Вычитание считается законченным, когда произведены вычисления со всеми разрядами, содержащимися в вычитаемом.
Запишите это в тетрадь и щелкните мышкой по голубому полю экрана
Для продолжения работы щелкните мышкой по управляющей кнопке.

Вы завершили знакомство с данной темой.
Если Вы хотите завершить работу – нажмите клавишу
Если Вы хотите вернуться в оглавление – щелкните мышкой по управляющей кнопке
Действия с целыми неотрицательными числами.
Вычитание

В начальном курсе математики понятия множества и элемента множества в явном виде не изучаются, но в силу их большой общности они, по существу, пронизывают всю начальную математику.

Министерство образования, науки и молодёжной политики

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Краснодарского края

студентка Ш-21 группы

Способы задания множеств.

Задачи.
1. Объясните, с какими способами задания множеств встречаются младшие школьники при решении задачи:

а) Уменьши на 9 какое число: 18, 14, 15, 11, 13,

б) Запиши все однозначные числа. Увеличь какое из них на 8.

в) Запиши по порядку числа от 0 до 50, которые делятся на 4 без остатка.

2. С какими теоретико-множественными понятиями (способ задания множества принадлежность элемента множеству) связано выполнение учащимися начальных классов задания:

а) Какое число пропущено в ряду чисел: 90, 80, 70, 60, 40, 30, 20, 10?

б) Проверь, будет ли верным неравенство X * 3

в) Назови три числа, при делении которых на 5 в остатке получается 2.

3. Приведите примеры (не менее трех заданий), при выполнении которых младший школьник по существу переходит от одного способа задания множества к другому.

Операции над множествами (пересечения, объединения, вычитания)

Задачи.
1. Установите, какое множество, является объединением других, рассматриваемых в следующих задачах:

а) Юннаты должны вскопать грядки в понедельник они вскопали 8 грядок, и им осталось вскопать еще 9. Сколько грядок они должны были вскопать?

б) Инна нашла 23 желудя, а Катя на 6 больше, чем Нина, Сколько желудей нашла Катя?

в) Пионеры посадили в парке 4 рада березок, по 5 в ряду. Сколько березок они посадили?

2. Установите, какое множество является дополнением одного множества до другого в каждой из предлагаемых задач:

а) Аня дала кролику 7 морковок. 2 он уже съел. Сколько морковок осталось?

б) В одной книжке 16 страниц, а в другой на 6 меньше. Сколько страниц во второй книжке?
3. 0 каких множествах и операциях над ними идет речь в следующих задачах:

а) Садовнику надо подрезать 16 тополей к 11 лип. Он подрезал 23 дерева, Сколько деревьев осталось ему подрезать?

б) В магазине было 27 шелковых платьев и 32 шерстяных, К концу дня осталось 18 платьев. Сколько платьев продали за день?

в) Бригаде строителей надо отремонтировать 18 домов. На одной улице они отремонтировали 6, а на другой 5 домов. Сколько домов осталось им отремонтировать?

г) Для детского сада купили 9 коробок цветных карандашей, по 6 штук в каждой, и 46 черных карандашей. Сколько всего карандашей купили?

Задача 1. Определи какое животное отнесено к множеству неверно?

Ответ выбери из предложенных вариантов:

Ответ:

Задача 2. Из приведенных на рисунке предметов, выбери предмет, который относится к множеству мебели.

Ответ:

Задача 3. Рассмотрим объекты: первоклассник, второклассник, новорождённый, старшеклассник, воспитанник детского сада, дошкольник. Сколько понадобилось множеств для размещения этих объектов? Выберите из предложенных схем – схему расположения данных множеств.

Ответ:

Задача 4. Ученики 3 класса ездили на экскурсию в Казань и Санкт-Петербург. В Казани побывали 12 учеников, а в Санкт-Петербурге – 18 учеников, причём в обоих городах побывали четверо ребят. Сколько всего учеников приняли участие в этих экскурсиях? Изобразим схематично эти множества, обозначив К – ребят, которые ездили в Казань и П – ребят, которые ездили в Санкт-Петербург. Используя данную схему, узнаем сколько ребят ездило только в Санкт-Петербург, а сколько ребят ездило только в Казань?

Ответ:

Задача 5. Собралось 6 охотников и 9 рыбаков, а всего 10 человек. Как это может быть? Изобразим схематично эти множества, обозначив за О – охотников и Р – рыбаков.

Ответ:

Задача 6. Собрались 12 волейболистов и 9 теннисистов, а всего – 16 человек. Сколько из них играют и в волейбол, и в теннис?

Ответ:

Задача 7. Расположи 5 элементов на диаграммах множеств А и В так, чтобы в них было соответственно: а) 2 и 4 элемента; б) по 4 элемента; в) 4 и 5 элементов; г) по 5 элементов; д) по 3 элемента.

Задача 8. Какую информацию несет данный символ пересеченных множеств. Ответ выбери из предложенных вариантов:

Читайте также: