Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей кратко

Обновлено: 30.06.2024

УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ

Рассмотрим две плоскости α₁ и α₂, заданные соответственно уравнениями:

Под углом между двумя плоскостями будем понимать один из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Очевидно, что угол между нормальными векторами и плоскостей α₁ и α₂ равен одному из указанных смежных двугранных углов или . Поэтому . Т.к. и , то

Пример. Определить угол между плоскостями x+2y-3z+4=0 и 2x+3y+z+8=0.

Условие параллельности двух плоскостей.

Две плоскости α₁ и α₂ параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы и параллельны, а значит .

Итак, две плоскости параллельны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих координатах пропорциональны:

Условие перпендикулярности плоскостей.

Ясно, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны, а следовательно, или .

M(-2; 1; 4) параллельно плоскости 3x+2y-7z+8=0.

Уравнение плоскости будем искать в виде Ax+By+Cz+D=0. Из условия параллельности плоскостей следует, что: . Поэтому можно положить A=3, B=2, C=-7. Поэтому уравнение плоскости принимает вид3x+2y-7z+D=0.

Кроме того, так какM Î α, то-6+2-28+D=0, D=32.

Итак, искомое уравнение 3x+2y-7z+32=0.

Так как M₁ Î α, то используя уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, будем иметь A(x-1)+B(y-1)+C(z-1)=0.

Далее, так как M₂ Î α, то подставив координаты точки в выписанное уравнение, получим равенство -A-2C=0 или A+2C=0.

Учтем, что заданная плоскость перпендикулярна искомой. Поэтому A+B+C=0.

Выразим коэффициенты Aи Bчерез C: A=-2C, B=C и подставим их в исходное уравнение: -2C(x-1)+C(y-1)+C(z-1)=0.

Окончательно получаем -2x+y+z=0.

Так как M Î α, то A(x+2)+B(x-3)+C(z-6)=0.

По условию задачи , поэтому

ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ.

ВЕКТОРНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ.

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ

Положение прямой в пространстве вполне определяется заданием какой-либо её фиксированной точки М₁ и вектора , параллельного этой прямой.

Вектор , параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Итак, пусть прямая l проходит через точку М₁(x₁, y₁, z₁), лежащую на прямой параллельно вектору .

Рассмотрим произвольную точку М(x,y,z) на прямой. Из рисунка видно, что .

Векторы и коллинеарны, поэтому найдётся такое число t, что , где множитель t может принимать любое числовое значение в зависимости от положения точки M на прямой. Множитель t называется параметром. Обозначив радиус-векторы точек М₁ и М соответственно через и , получаем . Это уравнение называется векторным уравнением прямой. Оно показывает, что каждому значению параметра t соответствует радиус-вектор некоторой точки М, лежащей на прямой.

Запишем это уравнение в координатной форме. Заметим, что , и отсюда

Полученные уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

При изменении параметра t изменяются координаты x, y и z и точка М перемещается по прямой.

КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ

Пусть М₁(x₁, y₁, z₁) – точка, лежащая на прямой l, и – её направляющий вектор. Вновь возьмём на прямой произвольную точку М(x,y,z) и рассмотрим вектор .

Ясно, что векторы и коллинеарные, поэтому их соответствующие координаты должны быть пропорциональны, следовательно,

– канонические уравнения прямой.

Замечание 1. Заметим, что канонические уравнения прямой можно было получить из параметрических,исключив параметр t. Действительно, из параметрических уравнений получаем или .

Пример. Записать уравнение прямой в параметрическом виде.

Обозначим , отсюда x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Замечание 2. Пусть прямая перпендикулярна одной из координатных осей, например оси Ox. Тогда направляющий вектор прямой перпендикулярен Ox, следовательно, m=0. Следовательно, параметрические уравнения прямой примут вид

Исключая из уравнений параметр t, получим уравнения прямой в виде

Однако и в этом случае условимся формально записывать канонические уравнения прямой в виде. Таким образом, еслив знаменателе одной из дробей стоит нуль, то это означает, что прямая перпендикулярна соответствующей координатной оси.

Аналогично, каноническим уравнениям соответствует прямая перпендикулярная осям Ox и Oy или параллельная оси Oz.

₁

Составим канонические уравнения прямой. Для этого найдем направляющий вектор . Тогда l: .

ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ, КАК ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ

Через каждую прямую в пространстве проходит бесчисленное множество плоскостей. Любые две из них, пересекаясь, определяют ее в пространстве. Следовательно, уравнения любых двух таких плоскостей, рассматриваемые совместно представляют собой уравнения этой прямой.

Вообще любые две не параллельные плоскости, заданные общими уравнениями

определяют прямую их пересечения. Эти уравнения называются общими уравнениями прямой.

Построить прямую, заданную уравнениями

Для построения прямой достаточно найти любые две ее точки. Проще всего выбрать точки пересечения прямой с координатными плоскостями. Например, точку пересечения с плоскостью xOy получим из уравнений прямой, полагая z= 0:

Решив эту систему, найдем точку M₁(1;2;0).

Аналогично, полагая y= 0, получим точку пересечения прямой с плоскостью xOz:

От общих уравнений прямой можно перейтик её каноническим или параметрическим уравнениям. Для этого нужно найти какую-либо точку М₁ на прямой и направляющий вектор прямой.

Координаты точки М₁ получим из данной системы уравнений, придав одной из координат произвольное значение. Для отыскания направляющего вектора, заметим, что этот вектор должен быть перпендикулярен к обоим нормальным векторам и . Поэтому за направляющий вектор прямой l можно взять векторное произведение нормальных векторов:

Пример. Привести общие уравнения прямой к каноническому виду.

Найдём точку, лежащую на прямой. Для этого выберем произвольно одну из координат, например, y= 0 и решим систему уравнений:

Нормальные векторы плоскостей, определяющих прямую имеют координаты Поэтому направляющий вектор прямой будет

. Следовательно, l: .

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ

Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным.

Пусть в пространстве заданы две прямые:

Очевидно, что за угол φ между прямыми можно принять угол между их направляющими векторами и . Так как , то по формуле для косинуса угла между векторами получим

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых равносильны условиям параллельности и перпендикулярности их направляющих векторов и :

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны, т.е. l₁ параллельна l₂ тогда и только тогда, когда параллелен .

Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма произведений соответствующих коэффициентов равна нулю: .

Поскольку искомая прямая l параллельна l₁, то в качестве направляющего вектора искомой прямой l можно взять направляющий вектор прямой l₁.

Направляющий вектор прямой l можно найти как векторное произведение векторов и :

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ

Углом между прямой и плоскостью будем называть угол, образованный прямой и её проекцией наплоскость. Пусть прямаяи плоскость заданы уравнениями

Рассмотрим векторы и . Если угол между ними острый, то он будет , где φ – угол между прямой и плоскостью. Тогда .

Если угол между векторами и тупой, то он равен . Следовательно . Поэтому в любом случае . Вспомнив формулу вычисления косинуса угла между векторами, получим .

Условие перпендикулярности прямой и плоскости. Прямая и плоскость перпендикулярны тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости коллинеарны, т.е. .

Условие параллельности прямой и плоскости. Прямая и плоскость параллельны тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны.

₁

Так как M₁ Î α, то уравнение плоскости будем искать в виде

Применяя условие параллельности прямой и плоскости, получим систему линейных уравнений

Направляющий вектор прямой . Нормальный вектор плоскости . Следовательно,

Составим уравнение плоскости α перпендикулярной l. M Î α, . Следовательно, или .

Найдём точку пересечения прямой l и α:

Итак, N(0.5;-0.5;0.5). Пусть искомая точка М₁ имеет координаты М₁(x,y,z). Тогда очевидно равенство векторов , т.е. (0,5;2,5;2,5)=(х-0.5;у+0.5;z-0.5). Откуда x=1, y=2, z=3 или М₁(1;2;3)..

Рассмотрим две плоскости заданные соответственно уравнениями:

Под углом между двумя плоскостями мы понимаем один из двугранных углов, образованных этими плоскостями (рис. 85). Угол между нормальными векторами и плоскостей очевидно равен одному из указанных смежных двугранных углов (рис. 85). Поэтому

(см. гл. III, формула (71)).

Пример 1. Определить угол между плоскостями

Решение. Применяя формулу (7), получим

Из таблицы находим, что Итак, один из смежных двугранных углов приближенно равен

Рассмотрим теперь условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

Условие параллельности двух плоскостей.

Две плоскости тогда и только тогда параллельны друг другу, когда их нормальные векторы параллельны между собой. Поэтому из условия параллельности двух векторов (см. гл. III, формула (64)) получим

Это и есть условие параллельности двух плоскостей. Итак, две плоскости параллельны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих текущих координатах пропорциональны.

Условие перпендикулярности.

Две плоскости перпендикулярны друг другу тогда и только тогда, когда их нормальные векторы взаимно перпендикулярны. Поэтому, воспользовавшись условием перпендикулярности двух векторов (см. гл. III, формула (69)), получим

Равенство (9) дает условие перпендикулярности двух плоскостей. Итак, две плоскости перпендикулярны друг другу тогда и только тогда, когда сумма парных произведений одноименных коэффициентов при текущих координатах равна нулю.

Пример 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости

Решение. Напишем уравнение связки плоскостей, проходящих через точку (см. формулу ):

Из плоскостей связки нам нужно выделить ту, которая параллельна на плоскости Для этого воспользуемся условием (8) параллельности плоскостей: Итак, искомые коэффициенты А, В и С должны быть пропорциональны числам Поэтому можно положить . Подставляя найденные значения коэффициентов А, В и С в уравнение

или, после упрощений,

Это и есть уравнение искомой плоскости.

Пример 3. Через точку провести плоскость перпендикулярно плоскостям

Решение. Запишем уравнение связки плоскостей, проходящих через точку

Неизвестные коэффициенты А, В и С найдем из условия (9) перпендикулярности плоскостей:

искомая плоскость должна быть перпендикулярна плоскости значит

Итак, для нахождения неизвестных коэффициентов А, В и С получаем однородную систему из двух уравнений первой степени с тремя неизвестными

Решая эту систему, найдем

В частности, при найдем:

Подставляя найденные значения А, В и С в уравнение плоскости, проходящей через точку получим

Один из углов f между плоскостями A1x + B1y + C1z + D1 = 0 и
A2x +B2y + C2z + D2 = 0 (рис. 2.18.1) равен углу между их нормальными векторами и и определяется по формуле:

Найти угол между плоскостями x – y + 21/2z + 2 = 0 и x + y +21/2z – 3 = 0.

Условие параллельности плоскостей

Две плоскости параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы и коллинеарны, следовательно, их координаты пропорциональны, т. е.

Определить, параллельны ли плоскости 2x–3y–4z+11=0 и –4x+6y+8z+36=0.

Плоскости параллельны, так как

Условие перпендикулярности плоскостей

Если две плоскости заданы уравнениями A1x1 + B1y1 + C1z1 + D = 0, A2x2 + B2y2 + C2z2 + D = 0, то условием их перпендикулярности является

A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0.

Если плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны и их нормальные векторы N1 и N2.

Так как 3×2+(–2)×2+(–2) ×1=0, то заданные плоскости перпендикулярны.

Плоскость, проходящая через данную точку параллельно данной плоскости

Плоскость, проходящая через точку M1(x1;y1;z1) и параллельная плоскости Ax+By+Cz+D=0, представляется уравнением

A(x–x1) + B(y–y1) + C(z–z1) = 0.

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (2;–1;6) параллельно плоскости x+y–2z+5=0.

(x–2) + (y+1) –2(z–6) = 0, т. е. x + y – 2z + 11 = 0.

Плоскость, проходящая через две точки перпендикулярно к данной плоскости

Плоскость P, проходящая через две точки M0(x0,y0,z0) и M1(x1,y1,z1) перпендикулярно к плоскости Q, заданной уравнением Ax+By+Cz+D=0, представляется уравнением

Написать уравнение плоскости, проходящей через две точки: M0(1;2;3) и M1(2;1;1) перпендикулярно к плоскости 3x+4y+z–6=0.

На основе полученной выше формулы для нахождения угла между плоскостями можно найти условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Условие перпендикулярности плоскостей: Для того, чтобы плоскости были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы косинус угла между плоскостями равнялся нулю. Это условие выполняется, если:

.(5.10)

Условие параллельности плоскостей:Плоскости параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы коллинеарный: .

Это условие выполняется, если: (5.11)

Уравнение линии в пространстве.

Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе координат удовлетворяют уравнению:

F(x, y, z) = 0.

Это уравнение называется уравнением линии в пространстве.

Кроме того, линия в пространстве может быть определена и иначе. Ее можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей, каждая из которых задана каким- либо уравнением.

Пусть F(x, y, z) = 0иФ(x, y, z) = 0– уравнения поверхностей, пересекающихся по линииL.

Тогда пару уравнений

назовем уравнением линии в пространстве.

Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

Возьмем произвольную прямую и вектор (m, n, p), параллельный данной прямой. Векторназываетсянаправляющим векторомпрямой.

На прямой возьмем две произвольные точки М₀(x₀, y₀, z₀)иM(x, y, z).

M₁

Обозначим радиус- векторы этих точек как и , очевидно, что - = .

Т.к. векторыиколлинеарны, то верно соотношение =t, гдеt– некоторый параметр.

Итого, можно записать: = +t.(5.12)

Т.к. этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой, то полученное уравнение (5.12) –параметрическое уравнение прямой.

Это векторное уравнение может быть представлено в координатной форме:

(5.13)

Преобразовав эту систему и приравняв значения параметра t, получаем канонические уравнения прямой в пространстве:

.(5.14)

Определение.Направляющими косинусами прямой называются направляющие косинусы вектора, которые могут быть вычислены по формулам:

; .(5.15)

Отсюда получим: m : n : p=cos:cos:cos.

Числаm, n, pназываютсяугловыми коэффициентамипрямой. Т.к.- ненулевой вектор, тоm, nиpне могут равняться нулю одновременно, но одно или два из этих чисел могут равняться нулю. В этом случае в уравнении прямой следует приравнять нулю соответствующие числители.

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки.

Если на прямой в пространстве отметить две произвольные точки M₁(x₁, y₁, z₁)иM₂(x₂, y₂, z₂), то координаты этих точек должны удовлетворять полученному выше уравнению прямой:

Кроме того, для точки М₁можно записать:

Решая совместно эти уравнения, получим:

.(5.16)

Это уравнение прямой, проходящей через две точки в пространстве.

Общие уравнения прямой в пространстве.

Уравнение прямой может быть рассмотрено как уравнение линии пересечения двух плоскостей.

Как было рассмотрено выше, плоскость в векторной форме может быть задана уравнением:

+D= 0, где

- нормаль плоскости; - радиус- вектор произвольной точки плоскости.

Пусть в пространстве заданы две плоскости: +D₁= 0 и +D₂= 0, векторы нормали имеют координаты: (A₁,B₁,C₁), (A₂,B₂,C₂); (x,y,z).

Тогда общие уравнения прямой в векторной форме:

(5.17)

Общие уравнения прямой в координатной форме:

(5.18)

Практическая задача часто состоит в приведении уравнений прямых в общем виде к каноническому виду.

Для этого надо найти произвольную точку прямой и числа m, n, p. При этом направляющий вектор прямой может быть найден как векторное произведение векторов нормали к заданным плоскостям.

Пример.Найти каноническое уравнение, если прямая задана в виде:

Для нахождения произвольной точки прямой, примем ее координату х = 0, а затем подставим это значение в заданную систему уравнений.

Пример.Привести к каноническому виду уравнение прямой, заданное в виде:

Для нахождения произвольной точки прямой, являющейся линией пересечения указанных выше плоскостей, примемz= 0. Тогда:

5.4. Поверхности второго порядка.

Определение.Поверхности второго порядка – это поверхности, уравнения которых в прямоугольной системе координат являются уравнениями второго порядка.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Читайте также: