Управление системами с последействием кратко

Обновлено: 01.07.2024

Рассмотрены управляемые системы с последействием детерминированного и стохастического типа. Получены необходимые и достаточные условия оптимальности для этих систем. Предложены и обоснованы различные методы точного и приближенного построения решения и получены оценки погрешности решения задачи оптимального управления. Исследованы задачи адаптивного управления системами с последействием. Рассмотрены разнообразные конкретные приложения.Для научных работников и специалистов в области теории управления и прикладнойматематики. '

Система управления — набор средств для управления подконтрольным объектом, им может быть любая динамическая система или её модель. Состояние объекта характеризуется некоторыми количественными величинами, изменяющимися во времени. При описании большинства явлений раньше предполагалось, что рассматриваемая система подчиняется закону причинности: будущее состояние системы не зависит от прошлых состояний и определяется только настоящим (чаще всего при этом система описывается уравнением, содержащим переменные состояния и скорости их изменений, т.е. приходим либо к обыкновенному дифференциальному уравнению, либо к дифференциальному уравнению в частных производных).

Однако при более тщательном изучении часто становится очевидным, что это лишь первое приближение к истинной ситуации, и более реалистичная модель должна включать некоторые из предшествующих состояний системы. Если, допустим, это какая-то физическая или техническая задача, то сила, действующая на материальную точку, зависит от положения и скорости точки не только в данный момент времени, но и в момент времени, предшествующий данному. Другими словами, состояние эволюционирующей системы в любой момент времени влияет на характер эволюции (скорость, ускорение) не только в тот же момент времени, но и в последующие. Этот эффект называется запаздыванием или последействием. Таким образом, речь идет о процессах, в которых принципиально имеется запаздывание, причем наличие такого запаздывания зачастую существенно влияет на ход процесса. В случае системы управления с последействием на состояние объекта также влияет его предшествующая конфигурация.

Как эта задача связана с самолётами?

Исследуемая математическая модель описывает многие реальные системы управления с обратной связью. Например, стабилизация высоты полёта пассажирского самолёта. Процессом набора высоты управляет ряд устройств: авиационные двигатели, рули высоты и другие. Но поскольку для работы указанных устройств мы должны иметь информацию от датчиков высоты, а эта информация поступает и обрабатывается с некоторым запаздыванием, указанный динамический процесс описывается дифференциально-разностными уравнениями, содержащими как значения высоты и её производных в данный момент времени t, так и значения указанной функции в предшествующий момент времени t-Δ, когда измерялась данная информация. Такие уравнения называются дифференциально-разностными уравнениями.

Однако, в теории систем управления с последействием, возникающим из-за наличия обратной связи, возникает проблема об успокоении этой системы за конечное время. Эта задача была решена Н.Н. Красовским для стационарных систем, описываемых системами дифференциально-разностных уравнений запаздывающего типа. В настоящем исследовании рассматриваются дифференциально-разностные уравнения нейтрального типа.

Несмотря на то, что решений данной задачи бесконечное множество, для поиска оптимального решения необходимо минимизировать квадратичный функционал, после перейти к эквивалентной краевой задаче для системы дифференциально-разностных уравнений второго порядка и найти её классическое решение.

Главным отличием настоящего исследования, что параметры реальной системы управления зависят от времени, то есть система может по-разному работать в разные моменты времени, хотя ранее рассматривались системы с постоянными коэффициентами, которые отображают только модельную составляющую системы. Наряду с этим исследуемая система многомерная, так как в реальной системе управления много различных параметров.

Справочно:

Задача Конкурса — создание молодым ученым-аспирантам условий для подготовки диссертации на соискание ученой степени кандидата наук, содействие в трудоустройстве и закрепление молодых ученых в российских научных организациях. Конкурс организован Российским фондом фундаментальных исследований (РФФИ).

Яблонский Дмитрий Владимирович
Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Арзамасский филиал
кандидат технических наук, доцент кафедры прикладной информатики


Аннотация
В работе рассматривается класс гибридных систем управления, описываемых семейством стохастических дифференциальных уравнений с запаздыванием. Каждая отдельная система семейства определяет определенный режим гибридной системы. Переходы между отдельными режимами описываются однородной цепью Маркова. Получены законы управления системой, которые гарантируют робастную устойчивость системы в смысле асимптотической устойчивости в среднем квадратическом при произвольных величинах запаздываний и произвольных вероятностях переходы между режимами.

Yablonskii Dmitrii Vladimirovich
State University of Nizhny Novgorod Arzamas branch
PhD in Technical Science, Assistant Professor of Department Applied of Informatics


Abstract
The paper considers a class of hybrid control system described by the family of finite set of individual stochastic continuous-time systems with time-delay. The discontinuous (jumping) transitions between the individual systems is described by the homogeneous Markov chain. The state feedback control laws which guarantees the robust stability in the sense that the hybrid systems is asymptotically stable in the mean square for arbitrary time-delay and arbitrary transition probabilities are obtained.

Постановка задачи

Рассмотрим гибридную стохастическую систему с последействием, описываемую уравнением


где – постоянные запаздывания; – независимые между собой и не зависящие от начального состояния системы (1) стандартные винеровские процессы; , , , , – постоянные матрицы соответствующих размеров , , , , , – n-мерный вектор состояния; –мерный управляющий вектор; - марковская цепь с дискретным множеством состояний и матрицей вероятностей перехода

где , для , и называются интенсивностями перехода.

Получим постоянное (не переключаемое) управление с обратной связью

которое гарантирует робастную устойчивость системы (1).

Основной результат

Подставим (2) в (1), получим:

Сформулируем условия робастной стабилизации системы (1) на основе систем сравнения следующего вида:

Пусть матрицы Н > 0 и К удовлетворяют системе уравнений



Тогда [1] закон управления (2) с матрицей управления (7) минимизирует функционал


по отношению к системе


Справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Пусть матрицы Н > 0 и К , для некоторых положительных симметричных матриц М (i), Q (i) и постоянной матрицы Q , удовлетворяют уравнениям (6), (7) и матрицы


Тогда закон управления (2), (7) обеспечивает робастную устойчивость системы (1).

Доказательство. Выберем функционал Ляпунова-Красовского в форме:


Тогда для производящего дифференциального оператора, примененного к функции V(x), с учетом (6), получим:


По теореме 11 раздела 2.3 [2] это неравенство гарантирует робастную устойчивость системы (3). Доказательство завершено.

Сформулируем аналогичную теорему на основе системы сравнения (5).

Теорема 2. Если для некоторых положительно определенных матриц и постоянной симметричной матрицы существуют матрицы Н > 0 и К , удовлетворяющие системе уравнений


тогда закон управления (2) с матрицей К в виде (9) гарантирует робастную устойчивость системы (1).
Доказательство аналогично доказательству предыдущей теоремы.

Выводы.

В работе рассмотрена задача синтеза робастного управления с обратной связью по вектору состояния системами с запаздыванием.
Под робастным понимается управление с обратной связью, которое гарантирует асимптотическую устойчивость в среднем квадратическом (АУСК) системы при произвольных величинах запаздывания и при этом его структура остается постоянной для всех режимов, а параметры не зависят от вероятностных характеристик смены режимов.
Синтезированное управление является только стабилизирующим управлением, но когда в системе отсутствует запаздывание управление становится оптимальным. Можно сказать, что рассматривалась задача синтеза стабилизирующего управления системами с запаздыванием на основе оптимального управления систем сравнения без последействия.
Получены дополнительные условия, накладываемые на оптимальное управление системы без последействия, когда в системе появляется запаздывание.
Подобная проблема может возникнуть, например, при нарушении гипотезы стационарности обтекания плоскостей летательного аппарата. Гипотеза стационарности может нарушаться при возникновении скоса потока за крылом ЛА, что происходит при маневре с резким изменением угла атаки.
Аналогичные результаты, основанные на алгоритмах синтеза оптимального управления системами сравнения без последействия другого вида приведены в работе [3].

  1. Pakshin P.V.: Robust stability and stabilization of the family of jumping stochastic systems // Nonlinear Analysis, Theory Methods & Apllications, 1997. V.30. P.2855-2866.
  2. Яблонский Д.В. Устойчивость и управление гибридными системами с запаздыванием. Germany: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2012, 105 с.
  3. Яблонский Д.В. Синтез робастного управления гибридными стохастическими системами с запаздыванием // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2014. № 8.


© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.


.

Правило получения выходного сигнала системы с учетом новых условий приобрело вид


.

Стохастические системы


Пусть на систему могут воздействовать некоторые случайные факторы с заданными вероятностями wjW, j = 1…J (W – множество случайных факторов).

Операторы переходов и выходов стохастической системы без последействия примут вид


,


.

Аналогичный вид примут операторы переходов и выходов для системы с последействием


,


.

Многоэлементные системы строятся из конечного набора элементов путем отождествления выходных сигналов одних элементов с входными сигналами других.

Соединения элементов могут быть следующих видов:


параллельное соединение;

соединение с обратной связью;

7.4 Агрегатное описание систем

Задача – введение унифицированной схемы, позволяющей единообразно описывать разнообразные элементы системы.

Агрегирование – это представление реальных систем в виде одного и набора агрегатов.

Агрегат-конфигуратор

Всякая система или процесс требует разностороннего, многопланового описания с различных точек зрения.

Совместное (агрегированное) описание с использованием нескольких качественно различающихся языков позволяет охарактеризовать систему (процесс) с достаточной полнотой.

Катастрофа должна рассматриваться совместно как: физическое, медицинское, социальное, экономическое, юридическое явление.

Агрегат-классификатор

Данный способ агрегирования состоит в установлении отношения эквивалентности между элементами, т.е. подразумевает образование классов.

На практике возникает проблема классификации промежуточных элементов

Задача – разложить листки бумаги по цветам.

Красные листы относим к красным.

Желтые к желтым.

А куда отнеси оранжевый лист, если между красным и желтым нет других классов?

Задача – диагностика заболевания по результатам анамнеза. Название болезни (имя класса) есть результат совокупности симптомов и характеристик состояния организма.

Агрегат-структура

Результат агрегирования в данном случае – структура системы. Причем структур может быть несколько в рамках одного проекта.

В технике для создания приборов используется несколько структур:

блок-схема, определяется выпускаемыми промышленностью элементами;

принципиальная схема, выделяет функциональные единицы;

монтажная схема, определяется геометрией прибора.

Агрегат-статистика

Процессы функционирования систем во многих случаях носят случайный характер.

Выходной сигнал такой системы принимает некоторые случайные значения из множества величин, описываемых некоторой функцией распределения.

Достаточная статистика – это агрегат, который извлекают всю полезную информацию об интересующем параметре из совокупности наблюдений.

Если закон распределения имеет нормальный вид, то достаточными статистиками являются математическое ожидание (среднее значение) и дисперсия (стандартное отклонение).

Агрегат как случайный процесс

состоит из набора (ансамбля) функций некоторого параметра;

каждая конкретная функция называется реализацией и имеет свою вероятностную меру появления.

Если вероятностные характеристики реализаций не изменяются с течением времени, то такой процесс называют стационарным.

Марковские (будущее состояние зависит только от текущего состояния) и гауссовские (белый шум – равномерный спектр) процессы.

Читайте также: