Точка в системе двух и трех плоскостей проекций кратко

Обновлено: 04.07.2024

Федеральное агентство морского и речного транспорта Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МОРСКОГО И РЕЧНОГО ФЛОТА имени адмирала С. О. МАКАРОВА

Институт ВОДНОГО ТРАНСПОРТА

Кафедра основ инженерного проектирования

Т. О. Карклина

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Конспект лекций

Изд-во ГУМРФ имени адмирала С. О. Макарова

Кандидат технических наук, доцент В. Я. Готлиб

Карклина Т.О.

Начертательная геометрия. Конспект лекций: учебно-методическое пособие / Т.О.Карклина. - СПБ.: Изд-во ГУМРФ им. адм. С. О. Макарова, 2017. — 75 с.

Учебно-методическое пособие предназначено для студентов очной и заочной форм обучения следующих направлений подготовки:

Предмет начертательной геометрии

Начертательная геометрия, как и другие разделы математики, входит в число фундаментальных дисциплин, составляющих основу инженерного образования.

Предметом начертательной геометрии является обоснование методов построения изображений пространственных форм на плоскости и способов решения геометрических задач по заданным изображениям этих форм.

Начертательная геометрия вызывает усиленную работу пространственного воображения, а также передает ряд своих выводов в практику выполнения технических чертежей, обеспечивая их выразительность и точность.

Правила построения изображений в начертательной геометрии основаны на методе проекций.

Рассмотрение метода проекций начинают с построения проекций точки, так как любая пространственная форма рассматривается как ряд точек.

Проекции центральные

При центральном проецировании задаётся плоскость проекций(обозначается строчными буквами греческого алфавита и другими ) и центр проекций –точка (обозначается прописными буквами латинского алфавита – A, B, … S и т.д.), не лежащая в данной плоскости (рис.1.).

Взяв некоторую произвольную точку в пространстве (например (∙) А), проведем через неё и центр проекций S прямую до пересечения с

плоскостью проекций ₀. Получим А 0 – проекцию точки А на плоскость ₀. Так же поступим с произвольными точками в пространстве В и С.

В 0 , С 0 - центральные проекции (∙) В и (∙) С на плоскость ₀.

Но в данном случае, имея проекцию точки, нельзя однозначно определить положение самой точки в пространстве, так любая точка, лежащая на проецирующей прямой SA, проецируется в А 0 . Для единственного решения необходимы дополнител ьные условия.

Проекции параллельные

Если принять, что центр проекций бесконечно удалён от плоскости проекций, то проецирующие прямые будут параллельны между собой. Для их проведения должно быть указано некоторое направление (рис.2)

Следовательно, параллельной проекцией точки называется точка пересечения проецирующей прямой, проведенной параллельно заданному направлению, с плоскостью проекций.

Существуют правила, распространяющиеся как на центральное проецирование, так и на параллельное:

1. Для прямой линии проецирующей поверхностью в общем случае служит плоскость, потому прямая проецируется в виде прямой;

2. Каждая точка и линия в пространстве имеют единственную свою проекции;

3. Каждая точка на плоскости может быть проекцией множества точек;

4. Каждая линия на плоскости может быть проекцией множества линий;

5. Для построения проекций прямой достаточно спроецировать две её точки;

6. Если прямая параллельна направлению проецирования, то её проекция является точкой;

7. Отрезок прямой, параллельный плоскости проекций, проецируется в натуральную величину.

Метод Монжа

Метод параллельного ортогонального проецирования был развит в трудах французского учёного Монжа.

Гаспар Монж (1746-1818) – крупный геометр и государственный деятель периода правления Наполеона. Его труд по начертательной геометрии долго не публиковался, так как имел большое практическое значение для выполнения чертежей военных объектов, и увидел свет только в конце 18 века. Изложенный Монжем метод параллельного ортогонального (т.е., прямоугольного) проецирования до сих пор остается основным методом составления технических чертежей, обеспечивая выразительность, точность и удобоизмеримость предметов на плоскости.

Точка в системе двух плоскостей проекций

Как уже отмечалось выше, одна проекция точки однозначно не определяет её положение в пространстве, необходимы дополнительные условия.

Возьмём две взаимно перпендикулярные плоскости и примем их за плоскости проекций (рис.3а).

Одна из них расположена горизонтально, обозначается ₁ и называется горизонтальной плоскостью проекций.Другая – вертикально, обозначается ₂ и называется фронтальной плоскостью проекций. Эти плоскости образуют систему ₁ и ₂ .

Линия их пересечения называется осью проекций и обозначается ОХ или ₁/ ₂.

В результате пересечения плоскостей образовались четыре двугранных угла I, II, III, IV. Взяв произвольным образом точку А ( не лежащую в плоскостях ₁ и ₂ ), найдём её проекции А' – горизонтальную и А"- фронтальную, опустив перпендикуляры соответственно на плоскости проекций ₁ и ₂. Проецирующие прямые А А' и А А" определяют плоскость, перпендикулярную к плоскостям ₁ и ₂, при пересечении с которыми образуются взаимно перпендикулярные прямые А'А_х и А"А_х, пересекающиеся в точке А_х. Прямые А'А_х и А"А_х называются линиями связи.

Повернув горизонтальную плоскость проекции ₁ вокруг оси ОХ на 90 0 , получим плоский чертеж, который называют эпюр Монжа(рис.3б).

Итак, две проекции точки вполне определяют её положение в пространстве относительно данной системы плоскостей проекций.

© 2014-2022 — Студопедия.Нет — Информационный студенческий ресурс. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав (0.006)

Образование отрезка прямой линии АА₁ можно представить как результат перемещения точки А в какой-либо плоскости Н (рис. 84, а), а образование плоскости — как перемещение отрезка прямой линии АВ (рис. 84, б).

Точка — основной геометрический элемент линии и поверхности, поэтому изучение прямоугольного проецирования предмета начинается с построения прямоугольных проекций точки.

В пространство двугранного угла, образованного двумя перпендикулярными плоскостями — фронтальной (вертикальной) плоскостью проекций V и горизонтальной плоскостью проекций Н, поместим точку А (рис. 85, а).

Линия пересечения плоскостей проекций — прямая, которая называется осью проекций и обозначается буквой х.

Плоскость V здесь изображена в виде прямоугольника, а плоскость Н — в виде параллелограмма. Наклонную сторону этого параллелограмма обычно проводят под углом 45° к его горизонтальной стороне. Длина наклонной стороны берется равной 0,5 ее действительной длины.

Из точки А опускают перпендикуляры на плоскости V и Н. Точки а'и а пересечения перпендикуляров с плоскостями проекций V и Н являются прямоугольными проекциями точки А. Фигура Ааа_ха' в пространстве — прямоугольник. Сторона аах этого прямоугольника на наглядном изображении уменьшается в 2 раза.

Совместим плоскости Н с плоскостью V ,вращая V вокруг линии пересечения плоскостей х. В результате получается комплексный чертеж точки А (рис. 85, б)

Для упрощения комплексного чертежа границы плоскостей проекций V и Н не указывают (рис. 85, в).

Перпендикуляры, проведенные из точки А к плоскостям проекций, называются проецирующими линиями, а основания этих проецирующих линий — точки а и а' — называются проекциями точки А: а' — фронтальная проекция точки А, а — горизонтальная проекция точки А.

Линия а' а называется вертикальной линией проекционной связи.

Расположение проекции точки на комплексном чертеже зависит от положения этой точки в пространстве.

Если точка А лежит на горизонтальной плоскости проекций Н (рис. 86, а), то ее горизонтальная проекция а совпадает с заданной точкой, а фронтальная проекция а' располагается на оси При расположении точки В на фронтальной плоскости проекций V ее фронтальная проекция совпадает с этой точкой , а горизонтальная проекция лежит на оси х. Горизонтальная и фронтальная проекции заданной точки С, лежащей на оси х, совпадают с этой точкой. Комплексный чертеж точек А, В и С показан на рис. 86, б.

ПРОЕЦИРОВАНИЕ ТОЧКИ НА ТРИ ПЛОСКОСТИ ПРОЕКЦИЙ

В тех случаях, когда по двум проекциям нельзя представить себе форму предмета, его проецируют на три плоскости проекций. В этом случае вводится профильная плоскость проекций W, перпендикулярная плоскостям V и Н. Наглядное изображение системы из трех плоскостей проекций дано на рис. 87, а.

Ребра трехгранного угла (пересечение плоскостей проекций) называются осями проекций и обозначаются x, у и z. Пересечение осей проекций называется началом осей проекций и обозначается буквой О. Опустим из точки А перпендикуляр на плоскость проекций W и, отметив основание перпендикуляра буквой а", получим профильную проекцию точки А.

Для получения комплексного чертежа точки А плоскости Н и W совмещают с плоскостью V, вращая их вокруг осей Ох и Oz. Комплексный чертеж точки А показан на рис. 87, б и в.

Отрезки проецирующих линий от точки А до плоскостей проекций называются координатами точки А и обозначаются: х_А, у_А и z_A.

Например, координата z_A точки А, равная отрезку а'а_х (рис. 88, а и б), есть расстояние от точки А до горизонтальной плоскости проекций Н. Координата у точки А, равная отрезку аа_х, есть расстояние от точки А до фронтальной плоскости проекций V. Координата х_А, равная отрезку аа_у — расстояние от точки А до профильной плоскости проекций W.

Таким образом, расстояние между проекцией точки и осью проекции определяют координаты точки и являются ключом к чтению ее комплексного чертежа. По двум проекциям точки можно определить все три координаты точки.

Если заданы координаты точки А (например, х_А=20 мм, у_А=22мм и z_A= 25 мм), то можно построить три проекции этой точки.

Для этого от начала координат О по направлению оси Oz откладывают вверх координату z_A и вниз координату у_А.Из концов отложенных отрезков — точек a_z и а_у (рис. 88, а) — проводят прямые, параллельные оси Ох, и на них откладывают отрезки, равные координате х_А. Полученные точки а' и а — фронтальная и горизонтальная проекции точки А.

По двум проекциям а' и а точки А построить ее профильную проекцию можно тремя способами:

1) из начала координат О проводят вспомогательную дугу радиусом Оа_у, равным координате (рис. 87, б и в), из полученной точки а_у1 проводят прямую, параллельную оси Oz, и откладывают отрезок, равный z_A;

2) из точки а_у проводят вспомогательную прямую под углом 45° к оси Оу (рис. 88, а), получают точку а_у1 и т. д.;

3) из начала координат О проводят вспомогательную прямую под углом 45° к оси Оу (рис. 88, б), получают точку а_у1 и т. д.

Точка в системе плоскостей проекций , и . Проекции точки в системе прямоугольных координат .

На рис 4.2, а показано наглядное изображение трех взаимно перпендикулярных плоскостей проекций:

Плоскости проекций, пересекаясь в пространстве, делят пространство на восемь частей, которые называют октантами Слева от плоскости проекций располагаются 1, 2, 3 и 4 октанты, пронумерованные против часовой стрелки. Для получения изображений предмет располагал в 1-м октанте (европейская система) между наблюдателем и плоскостью проекций и проецируют ею на каждую из взаимно перпендикулярных плоскостей проекций , и . построив соответственно горизонтальную, фронтальную и профильную проекции предмета.

В качестве предмета проецирования на рис. 4.2, а взята точка и построены ее прямоугольные проекции на каждую плоскость проекций:

Плоскости проекций пересекаются между собой по линиям, которые называют осями проекций: ось , ось и ось .

Оси проекций принимают за оси координат, определяющих положение точки в пространстве, и называют системой прямоугольных координат , и .

Оси проекций пересекаются в точке — это точка начата координат.

Расстояния точки от каждой плоскости проекции определяют ее положение в пространстве и называются ее прямоугольными координатами: координата расстояние от плоскости проекций (абсцисса); координата расстояние от плоскости проекций (ордината); координата расстояние от плоскости проекций (аппликата).

Чтобы перейти от наглядного изображения системы трех плоскостей проекций , и и получить чертеж (эпюр), плоскости проекций первого октанта повертывают относительно координатных осей и совмещают с фронтальной плоскостью проекций следующим образом:

На чертеже (см. рис. 4.2, 6) координатные оси проекций располагают следующим образом:

Чертеж предмета содержит изображения проекций этого предмета.

Проекции предмета строятся как проекции совокупного множества точек, определяющих и задающих поверхность этого предмета. Точки объединяются в более общие известные из геометрии элементы: прямые, плоскости и различные поверхности (гранные, цилиндрические, конические и т.д.).

Чертеж точки содержит ее проекции, которые строятся по координатам этой точки.

На рис. 4.2, б показано построение чертежа произвольной точки . заданной на рис. 4.2, а. положение которой в пространстве определяют координаты и . Для построения чертежа этой точки выполнены следующие графические действия:

. Запомните! Горизонтальная и фронтальная проекции точки лежат на одной вертикальной линии, перпендикулярной оси , которая называется ЛИНИЕЙ СВЯЗИ.

Чтобы построить профильную проекцию точки, следует провести горизонтальную ЛИНИЮ СВЯЗИ, перпендикулярную оси проекций , и отложить от полученной точки отрезок , равный координате (или отложить от точки вправо по оси отрезок и провести вертикальную линию до пересечения с линией связи от фронтальной проекции точки ).

. Запомните! Фронтальная и профильная проекции точки лежат на одной горизонтальной линии связи, перпендикулярной оси проекций .

На рис. 4.3 показано построение чертежа точки по заданным (в скобках) координатам , и в миллиметрах. Выполнены следующие графические построения:

Эта теория взята со страницы задач по начертательной геометрии:

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Все пространственные геометрические фигуры могут быть ориентированы относительно декартовой прямоугольной системы координатных осей - системы трех взаимно перпендикулярных координатных плоскостей (рис. 1.12).

Эти координатные плоскости обозначаются:

1. Горизонтальная плоскость проекций - π₁;

2. Фронтальная плоскость проекций - π₂;

3. Профильная плоскость проекций - π₃.

Линии пересечения этих плоскостей образуют координатные оси: ось абсцисс – Х; ось ординат – Y; ось аппликат – Z. Точка О пересечения координатных осей принимается за начало координат и обозначается буквой О. Положительными направлениями осей считают: для оси x − влево от начала координат, для оси Y − в сторону зрителя от плоскости π₂, для оси z – вверх от плоскости π₁; противоположные направления считают отрицательными.

Рис. 1.12. Изображение системы трех плоскостей проекций

Для упрощения дальнейших рассуждений будем рассматривать только часть пространства, расположенную влево от профильной плоскости проекций π₃.

При таком допущении три координатные плоскости проекций образуют четыре пространственных угла – октанта ( в общем случае – 8 октантов).

Из рис. 1.12 видно, что ось абсцисс Х делит горизонтальную плоскость проекций π₁ на две части: переднюю полу π₁ (оси Х и Y) и заднюю полу π₁ (оси Х и - Y).

Ось абсцисс Х делит фронтальную плоскость проекций π₂ также на две части: верхнюю полу π₂ (оси Х и Z) и нижнюю полу π₂ (оси Х и - Z).

Оси ординат Y и аппликат Z делят профильную плоскость проекций π₃ на четыре части:

Верхнюю переднюю полу π₃ (оси Y и Z)
Верхнюю заднюю полу π₃ (оси –Y и Z)
Нижнюю переднюю полу π₃ (оси Y и –Z)
Нижнюю заднюю полу π₃ (оси – Y и –Z)

Для того, чтобы получить плоскую (двухмерную) модель пространственных координатных плоскостей проекций, горизонтальную π₁ и профильную π₃ плоскости совмещают с фронтальной π₂ в том порядке как это показано стрелками на рис. 1.12.

Рис. 1.13. Пространственная модель точки А

При этом горизонтальная плоскость проекций π₁ вращается вокруг оси Х на 90°, а профильная плоскость проекций π₃ вращается вокруг оси Z также на 90° (направление вращения показано на рис. 1.12).

Полученное таким образом совмещение трех плоскостей проекций (рис. 1.13) является плоской моделью системы трех пространственных координатных плоскостей

Для построения плоской модели пространственной геометрической фигуры каждая ее точка проецируется ортогонально на плоскости проекций π₁, π₂ и π₃, которые затем совмещаются в одну плоскость. Полученная таким образом плоская модель пространственной геометрической фигуры называется эпюром Монжа.

Порядок построения эпюры точки, расположенной в первом октанте.

На рис. 1.13 изображена пространственная точка А, координаты которой (x, y, z) показывают величины расстояний, на которые точка удалена от плоскостей проекций.

Для того чтобы получить ортогональные проекции точки А, необходимо из этой точки опустить перпендикуляры на плоскости проекций.

Точки пересечения этих перпендикуляров с плоскостями проекций образуют проекции точки А:

А₁ – горизонтальную проекцию точки;

А₂ – фронтальную проекцию точки;

А₃ – профильную проекцию точки.

Рис. 1.14. Эпюр точки А

На рис. 1.14 плоскости проекций π₁ и π₃ совмещены с плоскостью чертежа ( с плоскостью проекции π₂), а вместе с ними совмещены с плоскостью чертежа и проекции точки А (А₁, А₂, А₃) и таким образом получена плоскостная модель координатных плоскостей проекций и плоскостная модель пространственной точки А – ее эпюра.

Положение проекций точки А на эпюре однозначно определяется ее тремя координатами (рис. 1.14).

На рис. 1.13 и рис. 1.14 также видно, что на эпюре горизонтальная и фронтальная проекции точки лежат на одном перпендикуляре к оси Х, а также фронтальная и профильная проекции – на одном перпендикуляре к оси Z:

А₁А₂ Х, А₂А₃ Z.

Из рис 1.12 видно, что точки, расположенные в различных октантах, имеют определенные знаки координат.

В таблице приведены знаки координат точек, расположенных в различных октантах

Читайте также: