Точка это в математике 5 класс определение кратко

Обновлено: 05.07.2024

Эти понятия относятся к основным геометрическим объектам. Казалось бы, что может быть проще, чем объяснить, что такое точка и линия ? Но ученые из разных стран до сих пор не могут прийти к единым определениям.

Я не буду рассказывать вам, что об этом пишут в различных учебниках, ведь вы здесь для того, чтобы понять и применять, а не для того, чтобы зубрить. Я расскажу так, чтобы было понятно.

Точка – это воображаемый геометрический объект, не имеющий никаких размеров и не состоящий ни из чего.
У точки нет ни длины, ни ширины, ни высоты. Ее нельзя измерить. Точка неделимая. Она не состоит ни из каких-либо других частей.

Зачем нужна точка, если она воображаемая? Для чего ее придумали?

Точка выполняет только одну задачу: указание месторасположения.

Пример: точка на карте навигатора указывает нам на то, где находится конечный пункт поездки, то есть, на его местоположение.

Линия – это множество точек, расположенных последовательно друг за другом.

Например, представим себе цепь. Можно вообразить, что каждое ее звено – это точка. И точно так же, как цепь состоит из звеньев, соединенных между собой, так и линия состоит из точек, образно говоря, склеенных друг с другом.

Рис. 1 Цепь и линия

Линия не имеет ширины и высоты, но можно измерить ее длину. Линия состоит из точек.

Как можно измерить то, что состоит из придуманных объектов, не имеющих размеров? Зачем нужна линия?

Действительно, геометрическая точка не имеет размеров, ее невозможно измерить. Но она, как было сказано выше, указывает на местоположение чего-либо конкретного.

Возьмем для примера опять навигатор. Вы на автомобиле проехали от своего дома в любимое кафе.

Рис. 2 Путь автомобиля

Можем ли мы представить автомобиль точкой? Да, можем. Во время движения автомобиль изменял свое местоположение. Чтобы показать на карте, в каких именно местах побывал автомобиль во время поездки, мы обозначим их точками, следовательно, для упрощения рисунка мы смело можем заменить автомобиль точкой. Тогда полный путь от дома к кафе (множество мест на дороге, на которых побывала машина) мы можем изобразить в виде линии, то есть, идущих друг за другом точек. А так как путь от дома к кафе имеет какую-то длину, то и нарисованная линия имеет длину, равную этому пути, а значит, линию можно измерить.

Итак, с помощью линии мы можем отобразить путь движения объекта и узнать длину этого пути .

Еще одно предназначение, для которого используется линия, это обозначение границ объекта или диапазона (интервала) .

Рис. 3 Контур и диапазон

Как видно на примере рисунка 3-а, при помощи линии обозначено очертание птицы на ветке, а на 3-б – пример решения неравенств методом интервалов.

Для чего нужна линия:
1. Показывает путь движения какого-либо объекта;
2. С ее помощью можно измерить расстояние между какими-нибудь объектами;
3. Служит для обозначения границ объекта или фигуры;
4. Показывает диапазон каких-то значений.

Обозначение точек и линий

На рисунке точку рисуют в виде небольшого закрашенного кружочка. Чтобы понять, о какой именно точке идет речь, их обозначают заглавными (большими) буквами латинского алфавита . Линии помечают строчными (маленькими) латинскими буквами .

Рис. 4 Обозначение точек и линий

Взаимное расположение точек и линии

Точка может принадлежать линии (то есть, быть одной из ее составляющих), а может не принадлежать ей.

Например, на рисунке 4.1 точки M и O принадлежат линии c , а точки D , Z , F не принадлежат линии c .

Рис. 4.1 Принадлежность точек линии

При записи на письме точка обозначается при помощи знака точка, заключенного в скобки, с добавлением заглавной буквы латинского алфавита: (·) H

Для того, чтобы показать, принадлежит данная точка линии или нет, используется символ принадлежности , напоминающий зеркально перевернутую заглавную русскую букву Э: ∈ . Если точка не принадлежит линии, тогда используют этот символ в перечеркнутом виде: ∉ .

Теперь я запишу то, что мы увидели на рисунке 4.1, на языке геометрии, а вы попробуйте прочитать самостоятельно:

(·) M ∈c
(·)O ∈c
(·)D ∉c
(·)Z ∉c
(·)F ∉c

Виды линий

Линия может быть:

Рис. 5 Замкнутая и незамкнутая линия

Замкнутая линия не имеет обрывающихся концов. Она начинается и заканчивается в одной точке. Причем эта точка может находиться в любом месте на этой линии.

Например, контур птицы можно нарисовать, начав из любой точки: A , B или C .

Рис. 6 Контур птицы

Незамкнутая линия имеет один или два обрывающихся конца. Начало и конец такой линии находятся в разных местах (точки A и B ).

Рис. 7 Незамкнутые линии

Еще несколько примеров.

1. Ты вышел из дома погулять и вернулся домой. Какой линией можно обозначить твой путь? Правильно, замкнутой.

2. Ты вышел из дома, погулял, а потом зашел к соседу. Какой линией можно обозначить твой путь? Правильно, разомкнутой.

3. Ты вышел из дома и пошел к другу в дом напротив. Какой линией можно обозначить твой путь? Правильно, разомкнутой.

Также линии бывают:

самопересекающиеся;
не самопересекающиеся;

Рис. 11 Самопересекающиеся и не самопересекающиеся линии

Попробуйте сформулировать самостоятельно, какие линии называются самопересекающиеся, а какие – не самопересекающиеся.

Рис. 12 Прямая, ломаная, кривая линии

Более подробно о прямых, кривых и ломаных линиях рассмотрено в других уроках.

Мы рассмотрим каждую из тем, а в конце будут даны тесты по темам.

Точка в математике

Что такое точка в математике? Математическая точка не имеет размеров и обозначается заглавными латинскими буквами: A, B, C, D, F и т.д.

На рисунке можно видеть изображение точек A, B, C, D, F, E, M, T, S.

Отрезок в математике

Что такое отрезок в математике? На уроках математики можно услышать следующее объяснение: математический отрезок имеет длину и концы. Отрезок в математике - это совокупность всех точек, лежащих на прямой между концами отрезка. Концы отрезка - две граничные точки.

На рисунке мы видим следующее: отрезки [A;C],[C;D],[D;M],[M;F],[F;E] и [E;T], а также две точки B и S.

Прямая в математике

Что такое прямая в математике? Определение прямой в математике: прямая не имеет концов и может продолжаться в обе стороны до бесконечности. Прямая в математике обозначается двумя любыми точками прямой. Для объяснения понятия прямой ученику можно сказать, что прямая - это отрезок, который не имеет двух концов.

На рисунке изображены две прямые: CD и EF.

Луч в математике

Что же такое луч? Определение луча в математике: луч - часть прямой, которая имеет начало и не имеет конца. В названии луча присутствуют две буквы, например, DC. Причем первая буква всегда обозначает точку начала луча, поэтому менять местами буквы нельзя.

На рисунке изображены лучи: DC, KC, EF, MT, MS. Лучи KC и KD - один луч, т.к. у них общее начало.

Числовая прямая в математике

Определение числовой прямой в математике: прямая, точки которой отмечают числа, называют числовой прямой.

Точка — некий объект полностью определённый в неопределённости таким образом, что разболтанность в его положении никогда не равна бесконечности.

Точка - нульмерный объект, то есть объект без объема, без площади, без ширины, длины и высоты. Абстрактное понятие.
Может иметь координаты, то есть размещение ее на прямой, плоскости или пространстве. (x, y, z)
Точка является в математике одним из основных понятий, так как все фигуры, графики и т. п. строится по точкам.
Точка - первичное понятие в Евклидовой геометрии

В этом уроке мы продолжим разговор про геометрию, начатый в прошлых уроках.

Мы рассмотрим такие понятия, как плоскость, прямая, луч, поговорим еще раз про отрезки. Также обсудим, как все эти объекты могут располагаться друг относительно друга. Начнем же.

Плоскость

Важно отметить, что в начале разбора приходится некоторые понятия принимать как нечто, что не требует определения, к таким понятиям относятся понятия прямой и точки.

Немецкий учений Гильберт как-то сказал на эту тему, что “точкой можно назвать хоть стул”, тем самым говоря, что вся наша модель строится на некоторых условностях.

С этим пониманием приступим к первой теме урока.

Для начала нам нужно понять, что такое поверхность.

Есть много строгих математических формулировок, но они уместны скорее в высших учебных заведениях, пока будет достаточно обиходного понятия поверхности.

Будем понимать под поверхностью непрерывное множество точек, границу, отделяющую геометрическое тело от внешнего пространства.

Представьте себе поверхность рабочего стола, футбольного мяча или любого другого предмета.

Также известно, что некоторые поверхности, например, рабочего стола, плоские.

Так мы подходим к понятию плоскости. Плоскость - плоская, бесконечная поверхность.

Плоская в данном случае обозначает, что если через любые две точки, принадлежащие этой плоскости, провести прямую, то она будет лежать в этой плоскости.

В самом деле, если нарисовать две точки на поверхности стола и соединить их прямой, то эта прямая будет лежать в плоскости стола.

Если же отметить две точки на шаре, то (тут нужен некоторый мысленный эксперимент) прямая, соединяющая их, будет проходить внутри шара, а не по его поверхности. Таким образом, поверхность шара не плоская, не является плоскостью.

Сейчас очень важно понять, что плоскость - это некоторое математическое понятие, соответствующее нашим бытовым плоским поверхностям с главным отличием в том, что у плоскости нет края.

Обычно на рисунках плоскость обозначается конечной, в крайнем случае лист бумаги или экран компьютера конечен.

Но это лишь обозначения, сама плоскость бесконечна.

Поверхности и плоскости принято обозначать двумя способами: с помощью трех латинских букв, соответствующих трем точкам плоскости, или одной греческой.

Выше изображена четырехугольная пирамида. В ней можно насчитать 5 плоскостей:

Согласись, две точки слишком мало, чтобы обозначить плоскость: на данном рисунке, например, есть две плоскости, проходящие через точки A и E, а четыре точки уже несут избыточную информацию, поэтому плоскости обозначают тремя точками.

Иногда плоскость обозначают одной строчной греческой буквой, например, так:

Плоскость - множество точек.

Точка может принадлежать плоскости (лежать в ней) или не принадлежать плоскости.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Прямая

Прямая - это, как уже было сказано, фундаментальное понятие и формального определения не имеет, но мы можем ее описать.

Проведем отрезок, назовем его AB.

А теперь продолжим его по линейке за концы в обе стороны:

Так мы получим прямую. Прямая, как и плоскость, бесконечна.

Если плоскость простирается во все стороны, то прямая в конкретные два направления.

Как и в случае с плоскостью, невозможно изобразить нечто бесконечное в тетрадях или на мониторах, так как эти объекты имеют границы, поэтому любое изображение будет лишь обозначать прямую.

Для обозначения прямой используются две заглавные латинские буквы, так выше приведенную прямую можно назвать “прямая АВ” или “прямая ВА”.

Также иногда прямые обозначают строчными латинскими буквами:

Вот, например, прямая а.

В геометрии есть понятия, которые принимаются без доказательств, - аксиомы.

И вот одна из них:

Через любые две точки проходит единственная прямая.

То есть ситуация, при которой между двумя точками нет ни одной прямой или, напротив, более одной, невозможна.

Прямая - это множество точек. Значит, как и в случае с плоскостями, точки могут принадлежать прямым.

Так на рисунке выше точки А и В принадлежат прямой АВ.

Рассмотрим другой рисунок:

В данном случае точки С и D не принадлежат прямой АВ.

Мы можем представить себе прямую, нарисованную на плоском листе бумаги.

Так и в математике прямые могут принадлежать плоскостям.

Можно изобразить это так:

На рисунке прямая а, принадлежит плоскости \(\mathbf\)

Обычно такие рисунки сопровождают текстовым описанием для того, чтобы их понимали однозначно.

Также мы можем видеть прямые и на других рисунках.

Мы знаем, что через любые две точки проходит прямая.

Так что смотря на рисунок выше мы можем говорить про прямые AE, ED, DC, AC, AB, EB, DB, CB

Точно также можно видеть прямые не только на объемных рисунках, но и на плоских.

Так на этом рисунке можно говорить про прямые AB, BC и AC

Также отношение “принадлежит” обладает в данном случае таким свойством: если точка принадлежит прямой, а прямая принадлежит плоскости, то верно, что эта точка принадлежит плоскости.

Посмотрим на рисунок:

Если нам известно, что точка А принадлежит прямой а и прямая а принадлежит плоскости \(\mathbf\), то очевидно, что и сама точка А принадлежит прямой \(\mathbf\)

Про прямые надо знать такое определение:

Если две прямые имеют общую точку, то говорят, что они пересекаются в этой точке.

В данном случае это точка О.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Любая точка на прямой делит ее на две части.

Каждую из этих частей называют лучом.

Сама такая точка будет называться началом луча.

Конца у луча нет - луч бесконечный.

На рисунке выше - точка М делит прямую АВ на два луча: МА и МВ.

Точка М является началом обоих лучей.

Лучи МА и МВ называются дополнительными друг другу. Это такие лучи, на которые точка разбивает прямую.

Давая лучам название, первой буквой пишут вершину луча, вторая определяет направление.

Это может быть как точка на соответствующей прямой, так и просто буква, подписанная возле соответствующей части прямой, как на рисунке выше.

Как и в случае с прямой, точки могут лежать и не лежать на луче.

Посмотрим, как лежат точки относительно луча MB.

Точки Р и К не лежат на прямой АВ, значит и на луче, как на части прямой, лежат не могут.

Точка С не лежит на луче МВ, так как находится с другой стороны от точки М, луч уходит в сторону В.

Научимся видеть лучи еще в некоторых ситуациях.

Например, сколько лучей образуются при пересечении прямых?

Обозначим прямые как АВ и CD, точку пересечения назовем точкой О.

Имеем одну точку, которая может стать началом луча, от нее отходят четыре половины прямых.

А полупрямая это и есть луч. Значит, при пересечении двух прямых от точки их пересечения будет отходить 4 луча.

Посмотрим еще раз на картинку с треугольником АВС.

Мы уже говорили, что прямые вида AB и ВС - это одна и та же прямая, просто записанная разными способами.

В случае с лучом принципиально, где у него начало, а где продолжение (конца не бывает).

Тогда у нас есть 3 точки-кандидата на начало луча. От каждой точки отходит по два отрезка, но чтобы обозначить луч нам нужна любая точка с продолжения, так что получается, что от каждой вершины отходят по 2 луча и всего на рисунке можно увидеть 6 лучей, если не ставить дополнительных точек.

Теперь вы знаете, что такое плоскость, прямая и луч, понимаете, в каких случаях точки могут принадлежать им, а в каких - нет, а также знаете, как давать имена всем этим объектам.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Дополнительная информация

Геометрия, про которую мы сегодня говорили, называется Евклидовой.

Как уже было сказано, часть понятий является фундаментальными. В данном случае первоначальные понятия Евклидовой геометрии предложил, как следует из названия, Евклид, живший в Древней Греции.

Если быть более точным, жил он в Александрии и являлся первым математиком Александрийской школы.

О самом Евклиде, к сожалению, известно крайне мало информации.

Самая его известная книга “Начала” содержала в себе факты о геометрии, а также об арифметике.

Иногда книга издавалась с комментариями. Из одного из таких изданий с комментариями от Прокла мы знаем что-то про Евклида, хотя Прокл жил примерно на 800 лет позже Евклида.

Также существуют скульптуры и портреты, посвященные Евклиду, но есть сомнения в их достоверности.

По сути единственное, что известно более-менее точно, так это то, что ученые занимались вопросами геометрии еще в те времена.

Сохранились и другие работы Евклида, например, ему приписывают “Деление канона” (трактат о теории музыки), но им уделяется меньше внимания.

Помимо Евклида уже значительно позже другие ученые предлагали свои варианты аксиом геометрии. Одним из них был Николай Лобачевский - русский математик XIX века, но его геометрия не получила такой популярности, как геометрия Евклида.

Читайте также: