Теоретико множественное толкование свойств сложения примеры в том числе из начальной школы

Суммой целых неотрицательных чисел а и в называют число элементов в объединении непересекающихся множеств А и В таких, что число элементов на множестве А-а (n(A)=а), число элементов на множестве В-в, (n(B)=в).

Суммы их зависят от выбора этих непересекающихся мн-в, лишь бы число их элементов было а и в соответственно.

1 Коммутативность сложения ɏа,в€Z f а+в=в+а

Рассмотрим n(A)=a; n(B)=в; A∩B=¢, тогда а+в=n(AUB)=n(BUA)=в+а

ɏА,В: AUB=BUA В начальной школе этот закон носит название переместительный закон.

2 Ассоциативность сложения (сочетательный закон)

ɏа,в€Z (а+в)+с=а+(в+с) В начальной школе этот закон сложения в явном виде ещё не изучается, но постоянно используется (прибавление суммы к числу и числа к сумме).

Действие, при помощи которого находят сумму наз. сложение.

2. Обучающимся начальных классов предложены задания:

1) Какие числа можно поставить вместо буквы х, чтобы получить верные числовые неравенства?

• При изучении какой темы начального курса математики можно предложить детям эти задания?

• Проведите возможные рассуждения учащихся при выполнении данного задания.

• Переформулируйте задание, используя язык математической логики.

Билет № 21

Теоретико-множественный смысл суммы целых неотрицательных чисел. Законы сложения (доказательство одного из них по выбору студента).

Задача. Мальчик нашёл 3 гриба, а девочка 2. Сколько грибов нашли они вместе?

А-мн-во грибов, которые нашёл мальчик. n(A)=3 (число элементов на мн-ве А)

Суммы их зависят от выбора этих непересекающихся мн-в, лишь бы число их элементов было а и в соответственно.

1 Коммутативность сложения ɏа,в€Z f а+в=в+а

Рассмотрим n(A)=a; n(B)=в; A∩B=¢, тогда а+в=n(AUB)=n(BUA)=в+а

ɏА,В: AUB=BUA В начальной школе этот закон носит название переместительный закон.

2 Ассоциативность сложения (сочетательный закон)

Действие, при помощи которого находят сумму наз. сложение.

2. Обучающимся начальных классов предложены задания:

1) Какие числа можно поставить вместо буквы х, чтобы получить верные числовые неравенства?

• При изучении какой темы начального курса математики можно предложить детям эти задания?

• Проведите возможные рассуждения учащихся при выполнении данного задания.

• Переформулируйте задание, используя язык математической логики.

Вопрос об арифметических действиях является центральным в начальном курсе математики. От правильного его решения зависит успех формирования понятий о самих действиях, их свойствах, а также умений и навыков вычислений.

При традиционном подходе к обучению младших школьников конкретный смысл каждого действия раскрывается в процессе выполнения операций над конечными множествами (объединение множеств без общих элементов, удаление части множества, объединение множеств одинаковой численности, разложение данного множества на ряд равночисленных множеств), что позволяет опереться на жизненный опыт детей и использовать наглядность при изучении всех вопросов, связанных с действиями.

В курсе математики начальной школы находит отражение теоретико-множественный подход к истолкованию сложения и вычитания целых неотрицательных чисел, в соответствии с которым сложение связано с операцией объединения, вычитание – с операцией дополнения. [3, С.28]

Сложение с точки зрения определения суммы в количественной теории числа, называется число элементов в объединении не пересекающихся множеств А и B таких, что a=n (A); b=n (B). [6, С.265 ]

В программе математики М.И.Моро в качестве основного средства формирования представлений о смысле действий сложения и вычитания выступают простые текстовые задачи. [3, С.28] В программе Н.Б. Истоминой в основе лежит выполнение учащимися предметных действий, и их интерпретация в виде графических и символических моделей.

Для разъяснения действия сложения и вычитания используются:

1. текстовые задачи;

2. предметные модели;

3. графические модели;

4. символические модели;

Вербальные модели.

Можно условно выделить три вида ситуаций, связанных с действием сложения:

1. составление одного предметного множества из двух данных;

2. увеличение данного предметного множества на несколько предметов;

3. увеличение на несколько предметов множество равносильно данному. [3, С.29]

Составление одного предметного множества из двух данных.

Например, детям предлагается картинка на которой Миша и Маша запускают рыбок в аквариум.

Ответы детей: Запускают рыбок в один аквариум; вместе запускают рыбок; Миша запускает 2, а Маша -3 и др.

Числовые выражения под картинкой. Анализируя выражения, дети находят подходящее: 2+3 и 3+2.

Выясняется, чем похожи и как по-разному можно прочитать, эти выражения. Дети говорят, что похожи числами и знаком. Можно прочесть: 2 плюс 3, и к 2-ум прибавить 3.

В результате, дети записывают равенство, знакомятся с компонентами сложения. После, числовые равенства интерпретируются на числовом луче.

Увеличение данного предметного множества на несколько на несколько предметов

Увеличение на несколько предметов множества равносильного данному.

Например, учитель даёт задание: На одной тарелке 5 яблок, а на другой на 3 яблока больше. Покажи сколько яблок на второй тарелке?

С теоретико- множественных позиций разность натуральных чисел a и b представляет собой число элементов в дополнении множества B множества А, если а=n(A), b=n(B) и В подмножество А. [6, С.266]

При формировании у детей представлений о вычитании можно условно ориентироваться на следующие предметные ситуации:

Уменьшение данного предметного множества на несколько предметов (предметы, которые удаляются, зачеркиваются).

2. Уменьшение множества, равносильного данному, на несколько предметов. [3, С.31]

Формирование вычислительных умений и навыков – одна из основных задач начального курса математики. [3, С. 42] Вычислительное умение – это развёрнутое осуществление действия, в котором каждая операция осознаётся и контролируется. [3, С. 42] В отличие от умения навыки характеризуются свёрнутым, в значительной мере автоматизированным выполнением действия, с пропуском промежуточных операций, когда контроль переносится на конечный результат. [3, С.42]

В начальном курсе математики учащиеся должны усвоить на уровне навыка:

1.таблицу сложения (вычитания) в пределах 10;

2.таблицу сложения однозначных чисел с переходом через разряд и соответствующие случаи вычитания;

3.таблицу умножения и соответствующие случаи деления. [3,С.43]

Методика ознакомления учащихся со сложением и вычитанием в пределах 10

Подход в учебнике М.И.Моро к формированию навыков сложения и вычитания в пределах 10 предполагает осознанное составление таблиц и их непроизвольное или произвольное запоминания в процессе специально организованной деятельности. Осознанное составление таблиц может обеспечиваться теоретической линией курса, предметными действиями, методическими приёмами и наглядными средствами. Для произвольного и непроизвольного запоминания таблиц используется специальная система упражнений. [3, С.43]

Таблицы сложения и вычитания в пределах 10 можно условно разделить на четыре группы, каждая из которых связана с теоретическим обоснованием и соответствующим способом действия:

1) принцип построения натурального ряда чисел – присчитывание и отсчитывание по 1;

2) смысл сложения и вычитания – присчитывание и отсчитывание по частям;

3) переместительное свойство сложения – перестановка слагаемых;

Взаимосвязь сложения и вычитания – правило: если из значения суммы вычесть одно слагаемое, то получим другое слагаемое.

В формировании вычислительных навыков в школьной практике используются различные подходы:

a) выучивание таблиц;

b) знакомство с различными вычислительными приёмами, самостоятельное составление таблиц, непроизвольное запоминание в процессе выполнения упражнений;

c) после использования предметных действий и вычислительных приёмов, ученику даётся установка на запоминание. [3, С.44]

В учебнике Н.Б. Истоминой при изучении табличных случаев сложения (вычитания) ориентир направлен на усвоение состава числа.

Это связанно с тем, что изучение таблицы с последовательным составлением каждой группы сложения (вычитания) в соответствии с выделенными этапами, на практике не всегда оказывается эффективным для формирования автоматизированных навыков сложения и вычитания в пределах 10.

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.

Тема: Теоретико-множественный смысл суммы двух целых неотрицательных чисел. Законы действия сложения.

Тип занятия: урок.

Цели занятия:

Образовательная: создать условия для раскрытия смысла суммы двух целых неотрицательных чисел на основе теоретико-множественного подхода и способствовать формированию у студентов методических умений по теме в курсе начальной школы.

Воспитательная: воспитывать самостоятельность, воспитывать интерес к профессии.

Развивающая: развивать речь, мышление, развивать навыки работать с книгой.

Методика преподавания математики в начальных классах: учеб.пособие для учащихся школ.отд-ний пед.уч-щ/ М.А.Бантовой.-М.:Просвещение,1984.-335с.

Ход занятия

Этап урока

Содержание

(деятельность

преподавателя)

Деятельность

студентов

Формируемые

компетенции

Актуализация

Целеполагание и постановка задач.

Изучение нового материала

В нач.шк. в качестве основного средства формирования представлений о смысле действия сложения выступают простые текстовые задачи, выполнение обучающимися предметных действий, и их интерпретация в виде графических и символических моделей.

Ответы детей: Запускают рыбок в один аквариум; вместе запускают рыбок; Миша запускает 2, а Маша -3 и др. Числовые выражения под картинкой. Анализируя выражения, дети находят подходящее: 2+3 и 3+2. Выясняется, чем похожи и как по-разному можно прочитать, эти выражения. Дети говорят, что похожи числами и знаком. Можно прочесть: 2 плюс 3, и к 2-ум прибавить 3. В результате, дети записывают равенство, знакомятся с компонентами сложения. После, числовые равенства интерпретируются на числовом луче.

Сложение ц.н.ч. тесно связано с операцией объединения множеств.

Пример. Найдем число элементов в объединении множеств.

Суммой ц.н.ч. a и b наз. число элементов в объединении непересекающихся множеств А и В, таких, что n ( A )= a , n ( B )= b

- Объясните , что 4+5=9

Сумма a + b не зависит от выбора непересекающихся множеств А и В, таких что n ( A )= a , n ( B )= b .

Сумма ц.н.ч. всегда существует и единственна.

1. Переместительный закон сложения

Докажем, что для любых ц.н.ч. a и b выполняется равенство a + b = b + a

Дано: a и b – ц.н.ч.

Доказать: a + b = b + a

1) Пусть n(A)=a, n(B)=b, A ∩B= ᴓ

2) Тогда по определению суммы ц.н.ч. a + b = n ( AUB )

3) Но AUB=BUA => n(AUB)=n(BUA) => n(BUA) = b+a

что требовалось доказать.

2. Сочетательный закон сложения

Докажем, что для любых ц.н.ч. a , b , c выполняется равенство ( a + b )+ c = a +( b + c )

Дано : a,b,c – ц . н . ч .

1) Пусть n(A)=a, n(B)=b, n(C)=c A ∩B∩C= ᴓ

2) Тогда по определению суммы ц.н.ч. ( a + b )+ c = n ( AUB )+ n ( C )= n (( AUB ) UC )

3) Но ( AUB ) UC = AU ( BUC ), тогда n (( AUB ) UC )= n ( AU ( BUC )) => n ( AU ( BUC ))= a +( b + c )

4) Значит , (a+b)+c=a+(b+c)

что требовалось доказать.

Из переместительного и сочетательного законов следует, что сумма нескольких слагаемых не изменится, если их переставить любым способом и если любую их группу заключить в скобки.

Сложение натуральных чисел выполняется в соответствии с теоретико–множественной трактовкой числа. В теории множеств существуют понятие об объединении множеств, которое заключается в том, что при объединении двух множеств, не имеющих общих элементов, получается множество, содержащее элементы этих множеств.

Объяснение смысла вычитания натуральных чисел строится на основе следующего положения: разностью множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.

Методика ознакомления учащихся со сложением и его свойствами.

1. Мы говорим о компонентах действий. 2 + 1 = 3. 2 – слагаемое; 1 – 2е слагаемое; 3 – значение суммы. К 2 прибавить 1. или 2 увеличить на 1. Существует три смысла сложения: Объяснить учащимся смысл действий сложения можно использовать 3 вида заданий:

- Состав одного множества из двух данных;

У Кати 3 яблока и 4 груши. Сколько всего фруктов у Кати?

- Увеличение данного предметного множества на несколько предметов.

Была два воробья, прилетел еще один. Сколько стало воробьев?

- Увеличения множества равночисленного данного на несколько предметов.

У Кати 3 яблока, а груш на 2 больше. Сколько у Кати груш? 3 + 2 = 5; 000 + 2. Мы увеличили груши на два.

Свойства: переместительный и сочетательное.

- рассмотреть действия с предметными свойствами. 3 синих + 2 красных = 5. 2 красных + 3 синих.

- решение пар предметов. 3+4; 4+2.

- решение арифметических задач. На одном пришкольном участке 2 мешка картошки на другом 7. Сколько всего собрали мешков картошки? 2 + 7; 7 + 2.

Это свойство используется для объяснения сложения однозначных чисел перехода через разряд.

7+5 = 7 + (3 + 2) = 7 + 3 + 2. При выполнения сложения цифр в приделах ста.46+12= 46 + 10 + 2 = =56 + 2 = 58.

Особенности изучения таблицы сложения однозначных чисел в различных методических системах.

Методика ознакомления младших школьников с вычитанием.

1. 5-2 = 3. 5 – уменьшаемое, 2 – вычитаемое. 3 значение разности. Найти разность 5 и 2. От 5 отнять 2.

Познакомить со смыслом вычитания можно с использованием 3х видов заданий.

- уменьшение данного предметного множества на несколько предметов.

У Маши было 5 конфет, 2 съела. Сколько осталось.

- Уменьшение множества равносильное данному на несколько предметов.

У Пети было 5 груш, а яблонь на 2 меньше.

- Сравнение предметных множеств по вопросу.

На сколько больше? На сколько меньше?

На ветке сидело 3 воробья и 2 вороны. На сколько больше воробьев?

Сравнение предметных множеств по вопросу.

На сколько больше? На сколько меньше?

На ветке сидело 3 воробья и 2 вороны. На сколько больше воробьев?

Методика изучения умножения и деления натуральных чисел в начальном курсе математики.

Трактовка понятия умножения и деления натуральных чисел.

С теоретико – множественной точки зрения деление чисел связано с разбиением конечного множества на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества.

В методико – математической литературе деление рассматривается и как опирается, обратная умножению. Деление натуральных чисел а и b называется операция, удовлетворяющая условию: а:b = с, тогда и только тогда, когда b * с = а, т.е. делением называются действие, в результате которого по значению произведения двух множителей и одному из них находят неизвестный множитель.

Методика ознакомления учащихся со сложением и его свойствами.

- Состав одного множества из двух данных;

У Кати 3 яблока и 4 груши. Сколько всего фруктов у Кати?

- Увеличение данного предметного множества на несколько предметов.

Была два воробья, прилетел еще один. Сколько стало воробьев?

- Увеличения множества равночисленного данного на несколько предметов.

У Кати 3 яблока, а груш на 2 больше. Сколько у Кати груш? 3 + 2 = 5; 000 + 2. Мы увеличили груши на два.

Свойства: переместительный и сочетательное.

- рассмотреть действия с предметными свойствами. 3 синих + 2 красных = 5. 2 красных + 3 синих.

- решение пар предметов. 3+4; 4+2.

Это свойство используется для объяснения сложения однозначных чисел перехода через разряд.

7+5 = 7 + (3 + 2) = 7 + 3 + 2. При выполнения сложения цифр в приделах ста.46+12= 46 + 10 + 2 = =56 + 2 = 58.

Особенности изучения таблицы сложения однозначных чисел в различных методических системах.

Методика ознакомления младших школьников с вычитанием.

1. 5-2 = 3. 5 – уменьшаемое, 2 – вычитаемое. 3 значение разности. Найти разность 5 и 2. От 5 отнять 2.

Познакомить со смыслом вычитания можно с использованием 3х видов заданий.

- уменьшение данного предметного множества на несколько предметов.

У Маши было 5 конфет, 2 съела. Сколько осталось.

- Уменьшение множества равносильное данному на несколько предметов.

У Пети было 5 груш, а яблонь на 2 меньше.

- Сравнение предметных множеств по вопросу.

На сколько больше? На сколько меньше?

На ветке сидело 3 воробья и 2 вороны. На сколько больше воробьев?

Сравнение предметных множеств по вопросу.

На сколько больше? На сколько меньше?

На ветке сидело 3 воробья и 2 вороны. На сколько больше воробьев?

Методика изучения умножения и деления натуральных чисел в начальном курсе математики.

Трактовка понятия умножения и деления натуральных чисел.

Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни.

Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой.

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.

Теоретико-множественный смысл натурального числа и нуля

1. Количественные натуральные числа. Счет

Аксиоматическая теория описывает натуральное число как элемент бесконечного ряда, в котором числа располагаются в определенном порядке, существует первое число и т.д. Другими словами, в аксиоматике раскрывается порядковый смысл натурального числа. Но натуральные числа имеют и количественный смысл. Чтобы выяснить, как связаны между собой эти два смысла натурального числа, рассмотрим такие понятия, как отрезок натурального ряда, конечное множество, счет, и другие.

Определение. Отрезком N_а натурального ряда называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа а.

Используя запись множества, для элементов которого указано характеристическое свойство, можно записать, что N_а =

Например, отрезок N₇ - это множество натуральных чисел, не превосходящих числа 7, т. е. N₇ = .

Отметим два важных свойства отрезков натурального ряда.

1) Любой отрезок N_а содержит единицу. Это свойство вытекает из определения отрезка N_а.

2) Если число х содержится в отрезке N_а и х¹а, то и непосредственно следующее за ним число х +1 также содержится в N_а.

Определение. Множество А называется конечным, если оно равномощно некоторому отрезку N_а натурального ряда.

Например, множество А вершин треугольника - конечное множество, так как оно равномощно отрезку N₃ = , т.е. А ~ N₃.

Теорема. Всякое непустое конечное множество равномощно одному и только одному отрезку натурального ряда.

Доказательство этой теоремы мы опускаем.

Определение. Если непустое конечное множество А равномощно отрезку N_а, то натуральное число а называют числом элементов множества А и пишут п(А) = а.

Например, если А - множество вершин треугольника, то n (А) = 3. Из данного определения и теоремы получаем, что для любого непустого конечного множества А число а = n(А) единственное.

Определение. Установление взаимно однозначного соответствия между элементами непустого конечного множества А и отрезком натурального ряда называется счетом элементов множества А.

Так как всякое непустое конечное множество равномощно только одному отрезку натурального ряда, то число элементов, т.е. результат счета не зависит от того, в каком порядке будут пересчитываться элементы множества. Поэтому можно какому-либо элементу множества А поставить в соответствие число 1 и больше этот элемент не рассматривать. Затем какому-либо из оставшихся элементов сопоставить число 2 и больше его не рассматривать. Продолжая это построение, последнему оставшемуся элементу мы поставим в соответствие число а.

В процессе счета мы не только найдем число элементов множества А, но и упорядочим его: элемент, которому соответствует число 1, - первый; элемент, которому сопоставлено число 2, - второй, и т.д.

Таким образом, всякое натуральное число а можно рассматривать как характеристику численности некоторого конечного множества А. Натуральное число а имеет при этом количественный смысл.

Читайте также: