Средние степенные характеристики выборочной совокупности кратко

Обновлено: 01.07.2024

Т.В. Чернова
Экономическая статистика
Учебное пособие. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 1999

Глава 5. Средние величины. Показатели вариации

5.1. Понятие средней величины

Средняя величина – это обобщающий показатель, характеризующий типический уровень явления. Он выражает величину признака, отнесенную к единице совокупности.

Средняя всегда обобщает количественную вариацию признака, т.е. в средних величинах погашаются индивидуальные различия единиц совокупности, обусловленные случайными обстоятельствами. В отличие от средней абсолютная величина, характеризующая уровень признака отдельной единицы совокупности, не позволяет сравнивать значения признака у единиц, относящихся к разным совокупностям. Так, если нужно сопоставить уровни оплаты труда работников на двух предприятиях, то нельзя сравнивать по данному признаку двух работников разных предприятий. Оплата труда выбранных для сравнения работников может быть не типичной для этих предприятий. Если же сравнивать размеры фондов оплаты труда на рассматриваемых предприятиях, то не учитывается численность работающих и, следовательно, нельзя определить, где уровень оплаты труда выше. В конечном итоге сравнить можно лишь средние показатели, т.е. сколько в среднем получает один работник на каждом предприятии. Таким образом, возникает необходимость расчета средней величины как обобщающей характеристики совокупности.

Вычисление среднего – один из распространенных приемов обобщения; средний показатель отрицает то общее, что характерно (типично) для всех единиц изучаемой совокупности, в то же время он игнорирует различия отдельных единиц. В каждом явлении и его развитии имеет место сочетание случайности и необходимости. При исчислении средних в силу действия закона больших чисел случайности взаимопогашаются, уравновешиваются, поэтому можно абстрагироваться от несущественных особенностей явления, от количественных значений признака в каждом конкретном случае. В способности абстрагироваться от случайности отдельных значений, колебаний и заключена научная ценность средних как обобщающих характеристик совокупностей.

Для того, чтобы средний показатель был действительно типизирующим, он должен рассчитываться с учетом определенных принципов.

Остановимся на некоторых общих принципах применения средних величин.
1. Средняя должна определяться для совокупностей, состоящих из качественно однородных единиц.
2. Средняя должна исчисляться для совокупности, состоящей из достаточно большого числа единиц.
3. Средняя должна рассчитываться для совокупности, единицы которой находятся в нормальном, естественном состоянии.
4. Средняя должна вычисляться с учетом экономического содержания исследуемого показателя.

5.2. Виды средних и способы их вычисления

Рассмотрим теперь виды средних величин, особенности их исчисления и области применения. Средние величины делятся на два больших класса: степенные средние, структурные средние.

К степенным средним относятся такие наиболее известные и часто применяемые виды, как средняя геометрическая, средняя арифметическая и средняя квадратическая.

В качестве структурных средних рассматриваются мода и медиана.

Остановимся на степенных средних. Степенные средние в зависимости от представления исходных данных могут быть простыми и взвешенными. Простая средняя считается по не сгруппированным данным и имеет следующий общий вид:

где X_i – варианта (значение) осредняемого признака;
m – показатель степени средней;
n – число вариант.

Взвешенная средняя считается по сгруппированным данным и имеет общий вид

где X_i – варианта (значение) осредняемого признака или серединное значение интервала, в котором измеряется варианта;
m – показатель степени средней;
f_i – частота, показывающая, сколько раз встречается i-e значение осредняемого признака.

Приведем в качестве примера расчет среднего возраста студентов в группе из 20 человек:

№ п/п	Возраст (лет)	№ п/п	Возраст (лет)	№ п/п	Возраст (лет)	№ п/п	Возраст (лет)
1 2 3 4 5	18 18 19 20 19	6 7 8 9 10	20 19 19 19 20	11 12 13 14 15	22 19 19 20 20	16 17 18 19 20	21 19 19 19 19

Средний возраст рассчитаем по формуле простой средней:

Сгруппируем исходные данные. Получим следующий ряд распределения:

Возраст, Х лет	18	19	20	21	22	Всего
Число студентов	2	11	5	1	1	20

В результате группировки получаем новый показатель – частоту, указывающую число студентов в возрасте Х лет. Следовательно, средний возраст студентов группы будет рассчитываться по формуле взвешенной средней:

Общие формулы расчета степенных средних имеют показатель степени (m). В зависимости от того, какое значение он принимает, различают следующие виды степенных средних:
средняя гармоническая, если m = -1;
средняя геометрическая, если m –> 0;
средняя арифметическая, если m = 1;
средняя квадратическая, если m = 2;
средняя кубическая, если m = 3.

Формулы степенных средних приведены в табл. 4.4.

Если рассчитать все виды средних для одних и тех же исходных данных, то значения их окажутся неодинаковыми. Здесь действует правило мажорантности средних: с увеличением показателя степени m увеличивается и соответствующая средняя величина:

В статистической практике чаще, чем остальные виды средних взвешенных, используются средние арифметические и средние гармонические взвешенные.

Виды степенных средних

Вид степенной средней	Показатель степени (m)	Формула расчета
Вид степенной средней	Показатель степени (m)	Простая	Взвешенная
Гармоническая	-1
Геометрическая	0
Арифметическая	1
Квадратическая	2
Кубическая	3

Средняя гармоническая имеет более сложную конструкцию, чем средняя арифметическая. Среднюю гармоническую применяют для расчетов тогда, когда в качестве весов используются не единицы совокупности – носители признака, а произведения этих единиц на значения признака (т.е. m = Xf). К средней гармонической простой следует прибегать в случаях определения, например, средних затрат труда, времени, материалов на единицу продукции, на одну деталь по двум (трем, четырем и т.д.) предприятиям, рабочим, занятым изготовлением одного и того же вида продукции, одной и той же детали, изделия.

Главное требование к формуле расчета среднего значения заключается в том, чтобы все этапы расчета имели реальное содержательное обоснование; полученное среднее значение должно заменить индивидуальные значения признака у каждого объекта без нарушения связи индивидуальных и сводных показателей. Иначе говоря, средняя величина должна исчисляться так, чтобы при замене каждого индивидуального значения осредняемого показателя его средней величиной оставался без изменения некоторый итоговый сводный показатель, связанный тем или другим образом с осредняемым [1] . Этот итоговый показатель называется определяющим, поскольку характер его взаимосвязи с индивидуальными значениями определяет конкретную формулу расчета средней величины. Покажем это правило на примере средней геометрической.

Формула средней геометрической

используется чаще всего при расчете среднего значения по индивидуальным относительным величинам динамики.

Средняя геометрическая применяется, если задана последовательность цепных относительных величин динамики, указывающих, например, на рост объема производства по сравнению с уровнем предыдущего года: i₁, i₂, i₃. i_n. Очевидно, что объем производства в последнем году определяется начальным его уровнем (q₀) и последующим наращиванием по годам:

Приняв q_n в качестве определяющего показателя и заменяя индивидуальные значения показателей динамики средними, приходим к соотношению

5.3. Структурные средние

Особый вид средних величин – структурные средние – применяется для изучения внутреннего строения рядов распределения значений признака, а также для оценки средней величины (степенного типа), если по имеющимся статистическим данным ее расчет не может быть выполнен (например, если бы в рассмотренном примере отсутствовали данные и об объеме производства, и о сумме затрат по группам предприятий).

В качестве структурных средних чаще всего используют показатели моды – наиболее часто повторяющегося значения признака – и медианы – величины признака, которая делит упорядоченную последовательность его значений на две равные по численности части. В итоге у одной половины единиц совокупности значение признака не превышает медианного уровня, а у другой – не меньше его.

Если изучаемый признак имеет дискретные значения, то особых сложностей при расчете моды и медианы не бывает. Если же данные о значениях признака Х представлены в виде упорядоченных интервалов его изменения (интервальных рядов), расчет моды и медианы несколько усложняется. Поскольку медианное значение делит всю совокупность на две равные по численности части, оно оказывается в каком-то из интервалов признака X. С помощью интерполяции в этом медианном интервале находят значение медианы:

где X_Me – нижняя граница медианного интервала;
h_Me – его величина;
(Sum m)/2 – половина от общего числа наблюдений или половина объема того показателя, который используется в качестве взвешивающего в формулах расчета средней величины (в абсолютном или относительном выражении);
S_Me-1 – сумма наблюдений (или объема взвешивающего признака), накопленная до начала медианного интервала;
m_Me – число наблюдений или объем взвешивающего признака в медианном интервале (также в абсолютном либо относительном выражении).

В нашем примере могут быть получены даже три медианных значения – исходя из признаков количества предприятий, объема продукции и общей суммы затрат на производство:

Таким образом, у половины предприятий уровень себестоимость единицы продукции превышает 125,19 тыс. руб., половина всего объема продукции производится с уровнем затрат на изделие больше 124,79 тыс. руб. и 50 % общей суммы затрат образуется при уровне себестоимости одного изделия выше 125,07 тыс. руб. Заметим также, что наблюдается некоторая тенденция к росту себестоимости, так как Ме₂ = 124,79 тыс. руб., а средний уровень равен 123,15 тыс. руб.

При расчете модального значения признака по данным интервального ряда надо обращать внимание на то, чтобы интервалы были одинаковыми, поскольку от этого зависит показатель повторяемости значений признака X. Для интервального ряда с равными интервалами величина моды определяется как

где Х_Mo – нижнее значение модального интервала;
m_Mo – число наблюдений или объем взвешивающего признака в модальном интервале (в абсолютном либо относительном выражении);
m_Mo_-1 – то же для интервала, предшествующего модальному;
m_Mo+1 – то же для интервала, следующего за модальным;
h – величина интервала изменения признака в группах.

Для нашего примера можно рассчитать три модальных значения исходя из признаков числа предприятий, объема продукции и суммы затрат. Во всех трех случаях модальный интервал один и тот же, так как для одного и того же интервала оказываются наибольшими и число предприятий, и объем продукции, и общая сумма затрат на производство:

Таким образом, чаще всего встречаются предприятия с уровнем себестоимости 126,75 тыс. руб., чаще всего выпускается продукция с уровнем затрат 126,69 тыс. руб., и чаще всего затраты на производство объясняются уровнем себестоимости в 123,73 тыс. руб.

5.4. Показатели вариации

Конкретные условия, в которых находится каждый из изучаемых объектов, а также особенности их собственного развития (социальные, экономические и пр.) выражаются соответствующими числовыми уровнями статистических показателей. Таким образом, вариация, т.е. несовпадение уровней одного и того же показателя у разных объектов, имеет объективный характер и помогает познать сущность изучаемого явления.

Для измерения вариации в статистике применяют несколько способов.

Наиболее простым является расчет показателя размаха вариации Н как разницы между максимальным (X_max ) и минимальным (X_min) наблюдаемыми значениями признака:

Однако размах вариации показывает лишь крайние значения признака. Повторяемость промежуточных значений здесь не учитывается.

Более строгими характеристиками являются показатели колеблемости относительно среднего уровня признака. Простейший показатель такого типа – среднее линейное отклонение Л как среднее арифметическое значение абсолютных отклонений признака от его среднего уровня:

При повторяемости отдельных значений Х используют формулу средней арифметической взвешенной:

(Напомним, что алгебраическая сумма отклонений от среднего уровня равна нулю.)

Показатель среднего линейного отклонения нашел широкое применение на практике. С его помощью анализируются, например, состав работающих, ритмичность производства, равномерность поставок материалов, разрабатываются системы материального стимулирования. Но, к сожалению, этот показатель усложняет расчеты вероятностного типа, затрудняет применение методов математической статистики. Поэтому в статистических научных исследованиях для измерения вариации чаще всего применяют показатель дисперсии.

Дисперсия признака (s 2 ) определяется на основе квадратической степенной средней:

Показатель s, равный , называется средним квадратическим отклонением.

В общей теории статистики показатель дисперсии является оценкой одноименного показателя теории вероятностей и (как сумма квадратов отклонений) оценкой дисперсии в математической статистике, что позволяет использовать положения этих теоретических дисциплин для анализа социально-экономических процессов.

Если вариация оценивается по небольшому числу наблюдений, взятых из неограниченной генеральной совокупности, то и среднее значение признака определяется с некоторой погрешностью. Расчетная величина дисперсии оказывается смещенной в сторону уменьшения. Для получения несмещенной оценки выборочную дисперсию, полученную по приведенным ранее формулам, надо умножить на величину n / (n - 1). В итоге при малом числе наблюдений ( (15÷20) расхождение смещенной и несмещенной оценок становится несущественным. По этой же причине обычно не учитывают смещенность и в формуле сложения дисперсий.

Если из генеральной совокупности сделать несколько выборок и каждый раз при этом определять среднее значение признака, то возникает задача оценки колеблемости средних. Оценить дисперсию среднего значения можно и на основе всего одного выборочного наблюдения по формуле

где n – объем выборки; s 2 – дисперсия признака, рассчитанная по данным выборки.

Величина носит название средней ошибки выборки и является характеристикой отклонения выборочного среднего значения признака Х от его истинной средней величины. Показатель средней ошибки используется при оценке достоверности результатов выборочного наблюдения.

Показатели относительного рассеивания. Для характеристики меры колеблемости изучаемого признака исчисляются показатели колеблемости в относительных величинах. Они позволяют сравнивать характер рассеивания в различных распределениях (различные единицы наблюдения одного и того же признака в двух совокупностях, при различных значениях средних, при сравнении разноименных совокупностей). Расчет показателей меры относительного рассеивания осуществляют как отношение абсолютного показателя рассеивания к средней арифметической, умножаемое на 100%.

1. Коэффициентом осцилляции отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней

2. Относительное линейное отключение характеризует долю усредненного значения признака абсолютных отклонений от средней величины

3. Коэффициент вариации:

является наиболее распространенным показателем колеблемости, используемым для оценки типичности средних величин.

В статистике совокупности, имеющие коэффициент вариации больше 30–35 %, принято считать неоднородными.

[1] Боярский А.Я. Теоретические исследования по статистике: Сб. Науч. Трудов.– М.: Статистика,1974. С. 19–57.

Наиболее распространенной формой статистических показателей, используемой в экономических исследованиях, являются средние показатели (средняя величина).

Средняя величина – представляет обобщенную количественную характеристику признака в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени.

Показатель в форме средней величины выражает типичные черты и дает обобщающую характеристику однотипных явлений по одному из варьирующих признаков. Он отражает уровень этого признака, отнесенный к единице совокупности.

Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности.

Значения признака отдельных единиц совокупности колеблются в ту или иную сторону под влиянием множества факторов, среди которых могут быть как основные, так и случайные.

Например, курс акций корпорации в основном определяется финансовыми результатами ее деятельности. В то же время, в отдельные дни и на отдельных биржах эти акции в силу сложившихся обстоятельств могут продаваться по более высокому или заниженному курсу.

Сущность средней заключается, в том, что в ней взаимопогашаются отклонения значений признака отдельных единиц совокупности, обусловленные действием случайных факторов, и учитываются изменения, вызванные действием факторов основных. Это позволяет средней отражать типичный уровень признака и абстрагироваться от индивидуальных особенностей, присущих отдельным единицам.

ВИДЫ СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН наиболее часто применяемых на практике:

Выбор средней величины зависит от содержания осредняемого признака и конкретных данных, по которым ее приходится вычислять.

Средняя арифметическая простая (невзвешенная) – вычисляется когда каждый вариант совокупности встречается только один раз.
Средняя арифметическая (взвешенная)–вариантыповторяютсяразличное число раз , при этом число повторений вариантов называется частотой, или статистическим весом.

ФОРМУЛЫ СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН

Средняя арифметическая простая – самый распространенный вид средней величины, рассчитывается по формуле (8.8):

гдех_i – вариант,аn – количество единиц совокупности.
Пример вычисления средней арифметической простой. Провели опрос о желаемом размере заработной платы у пяти сотрудников офиса. По результатам опроса выяснили, что желаемый размер заработной платы составляет соответственно для каждого сотрудника: 50000, 100000, 200000, 350000, 500000 рублей человек. Рассчитаем среднюю арифметическую простую по формуле (8.8):Вывод: в среднем желаемый размер заработной платы по результатам опроса 5-ти человек составил 240 тысяч рублей.
Средняя арифметическая взвешенная формула 8.9.

1. Задачи математической статистики.

3. Способы отбора.

4. Статистическое распределение выборки.

5. Эмпирическая функция распределения.

6. Полигон и гистограмма.

7. Числовые характеристики вариационного ряда.

8. Статистические оценки параметров распределения.

9. Интервальные оценки параметров распределения.

1. Задачи и методы математической статистики

Математическая статистика - это раздел математики, посвященный методам сбора, анализа и обработки результатов статистических данных наблюдений для научных и практических целей.

Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты. Например, если имеется партия деталей, то качественным признаком может служить стандартность детали, а количественным- контролируемый размер детали.

Иногда проводят сплошное исследование, т.е. обследуют каждый объект относительно нужного признака. На практике сплошное обследование применяется редко. Например, если совокупность содержит очень большое число объектов, то провести сплошное обследование физически невозможно. Если обследование объекта связано с его уничтожением или требует больших материальных затрат, то проводить сплошное обследование не имеет смысла. В таких случаях случайно отбирают из всей совокупности ограниченное число объектов (выборочную совокупность) и подвергают их изучению.

Основная задача математической статистики заключается в исследовании всей совокупности по выборочным данным в зависимости от поставленной цели, т.е. изучение вероятностных свойств совокупности: закона распределения, числовых характеристик и т.д. для принятия управленческих решений в условиях неопределенности.

2. Виды выборок

Генеральная совокупность – это совокупность объектов, из которой производится выборка.

Выборочная совокупность (выборка) – это совокупность случайно отобранных объектов.

Объем совокупности – это число объектов этой совокупности. Объем генеральной совокупности обозначается N , выборочной – n .

Если из 1000 деталей отобрано для обследования 100 деталей, то объем генеральной совокупности N = 1000, а объем выборки n = 100.

При составлении выборки можно поступить двумя способами: после того, как объект отобран и над ним произведено наблюдение, он может быть возвращен либо не возвращен в генеральную совокупность. Т.о. выборки делятся на повторные и бесповторные.

Повторной называют выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность.

Бесповторной называют выборку, при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.

На практике обычно пользуются бесповторным случайным отбором.

Для того, чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно судить об интересующем признаке генеральной совокупности, необходимо, чтобы объекты выборки правильно его представляли. Выборка должна правильно представлять пропорции генеральной совокупности. Выборка должна быть репрезентативной (представительной).

В силу закона больших чисел можно утверждать, что выборка будет репрезентативной, если ее осуществлять случайно.

Если объем генеральной совокупности достаточно велик, а выборка составляет лишь незначительную часть этой совокупности, то различие между повторной и бесповторной выборками стирается; в предельном случае, когда рассматривается бесконечная генеральная совокупность, а выборка имеет конечный объем, это различие исчезает.

3. Способы отбора

На практике применяются различные способы отбора, которые можно разделить на 2 вида:

1. Отбор не требует расчленения генеральной совокупности на части (а) простой случайный бесповторный; б) простой случайный повторный).

2. Отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части. (а) типичный отбор; б) механический отбор; в) серийный отбор).

Простым случайным называют такой отбор, при котором объекты извлекаются по одному из всей генеральной совокупности (случайно).

На практике часто применяют комбинированный отбор, при котором сочетаются указанные выше способы.

4. Статистическое распределение выборки

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем значение x₁ –наблюдалось раз, x₂-n₂ раз,… x_k - n_k раз. n = n₁+n₂+. +n_k– объем выборки. Наблюдаемые значения называются вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке- вариационным рядом. Числа наблюдений называются частотами (абсолютными частотами), а их отношения к объему выборки - относительными частотами или статистическими вероятностями.

Если количество вариант велико или выборка производится из непрерывной генеральной совокупности, то вариационный ряд составляется не по отдельным точечным значениям, а по интервалам значений генеральной совокупности. Такой вариационный ряд называется интервальным. Длины интервалов при этом должны быть равны.

Статистическим распределением выборки называется перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (суммы частот, попавших в этот интервал значений)

Как отмечено в конце предыдущего параграфа, числовые характеристики выборки ; ; ; являются случайными величинами. В связи с этим возникает естественный и важный для практики вопрос о математическом ожидании, дисперсии и прочих числовых характеристиках этих случайных величин.

Начнём с важнейшей из этих величин – с выборочной средней . Будем считать, что объём N генеральной совокупности настолько велик, что объём N выборки можно считать малой величиной по сравнению с N . Поэтому последовательный отбор из генеральной совокупности каждого отбираемого объекта практически не нарушает состава генеральной совокупности – она как бы всё время остаётся целой.

Обозначим через (Х1; Х2; …Хп) случайные величины, выражающие значения исследуемого признака Х при отборе первого, второго, … N-ого объектов выборки. С учётом предположения, сделанного выше относительно объёма генеральной совокупности, можем считать, что случайные величины (Х1; Х2; …Хn) одинаково распределены и независимы. Распределение каждой из них совпадает с с распределением величины Х1 - с распределением признака Х у первого отобранного объекта. Если (Х1; х2; . хр) – список всех возможных значений исследуемого признака Х в генеральной совокупности, то случайная величина Х1 имеет возможность принять любое из этих значений. А их вероятности будут, очевидно, равны (), где () – количества объектов генеральной совокупности, имеющих соответственно значения (Х1; х2; . хр). Таким образом, закон распределения величины Х1, а вместе с нею и остальных случайных величин (Х2; Х3; …Хп), будет иметь вид:

(K=1, 2, …N) (2.1)

Выборочная средняя - это, очевидно, средняя арифметическая из случайных величин (Х1; Х2; …Хn):

Если объём N Выборки достаточно большой (хотя и много меньше объёма N генеральной совокупности), то согласно (2.2) выборочная средняя является суммой большого числа независимых случайных величин. А потому, согласно теореме Ляпунова (часть Ι, глава 2, §4), можем считать, что случайная величина распределена приблизительно по нормальному закону. Причём это будет При любом законе распределения величин (Х1; Х2; …Хn), то есть При любом законе распределения признака Х в генеральной совокупности. А если есть основания считать, что признак Х в генеральной совокупности распределён нормально (что обычно и имеет место), то распределение случайной величины , как суммы независимых нормально распределённых случайных величин, будет нормальным при любом, в том числе и малом, объёме N выборки.

Действительно, распределения случайных величин (Х1; Х2; …Хn) при очень большом объёме генеральной совокупности можно считать совпадающими с распределением величины Х1. Но если величина Х1 приняла некоторое значение Xi, то это значит, что признак Х принял это значение. То есть распределения Х И Х1, а значит распределения Х и (Х1; Х2; …Хn) совпадают. И все эти величины являются нормальными, если распределение величины Х нормальное. Но тогда и все слагаемые в (2.2) распределены нормально, а вместе с ними, в силу их независимости, и величина распределена нормально.

В общем, так или иначе, мы практически всегда можем считать величину распределённой нормально (мы не можем этого утверждать лишь в случае, когда выборка имеет малый объём N и при этом исследуемый признак Х заведомо не распределён нормально).

Найдём параметры и нормально распределённой случайной величины . Для этого сначала вычислим математическое ожидание и дисперсию случайных величин Хк (K=1, 2,…N). В соответствии с таблицей (2.1) и формулами (1.4) и (1.23) (часть I, глава 2) имеем:

Здесь и – числовые характеристики генеральной совокупности (генеральная средняя и генеральная дисперсия). А тогда на основании (2.2) и свойств математического ожидания и дисперсии (см. часть I, глава 2) получим:

Итак, нормально распределённая случайная величина распределена с параметрами и .

Свои числовые характеристики имеет и выборочная дисперсия . Она уже заведомо не распределена нормально, ибо по природе своей имеет лишь неотрицательные значения. Из ее числовых характеристик приведем лишь важнейшую – математическое ожидание (среднее значение):

Кстати, если объем N выборки достаточно велик, то 1, и тогда можно считать, что

Докажем формулу (2.5). Согласно определения (1.5) выборочной дисперсии, ее можно выразить через введенные выше случайные величины (X,…) формулой:

Так как случайные величины (X,…) имеют одинаковые распределения, то все N слагаемых в сумме (2.7) одинаковы, и поэтому

Найдем каждое из трех слагаемых, входящих в (2.9).

1) Найдем . Так как

Так как величины (X,…) независимы, то

3) Найдём Так как

Подставляя выражения (2.10), (2.11) и (2.12) в (2.9), мы и получим доказываемое равенство (2.5).

Анализируя формулы (2.4) для выборочной средней , видим, что математическое ожидание (среднее значение) выборочной средней равно средней генеральной . При этом разброс этих значений вокруг будет уменьшаться с увеличением объема N выборки, ибо, согласно (2.4),

Таким образом, если нам нужно по выборке оценить неизвестную генеральную среднюю , то эта оценка будет такой:

Причем эта оценка будет тем точнее (надежнее), чем больше будет объем N выборки.

Анализируя теперь формулу (2.5), видим, что . То есть возможные значения выборочной дисперсии (значения для разных выборок) группируются не вокруг генеральной дисперсии , а вокруг Несколько меньшего числа То есть является Смещенной оценкой . Для устранения этого смещения введем так называемую Исправленную выборочную дисперсию :

При этом Называется Исправленным выборочным средним квадратическим отклонением. Математическое ожидание (среднее значение) уже равно. Действительно:

Таким образом, исправленная выборочная дисперсия имеет среднее значение, равное генеральной дисперсии и, таким образом, является Несмещенной оценкой для генеральной дисперсии:

Замечание. Исправленная выборочная дисперсия , согласно её выражения (2.15), является суммой квадратов отклонений вариант выборки от их среднего значения , Рассчитанной на одну степень свободы этой суммы.

Действительно, объём выборки равен N, значит и всех вариант в выборке тоже N. Будь в сумме

Все эти варианты независимыми, эта сумма квадратов отклонений вариант от

Выборочной средней имела бы N степеней свободы - по числу независимых вариант , участвующих в формировании этой суммы. Однако эти варианты в сумме (2.18) не являются независимыми, ибо через них по первой из формул (1.5) вычисляется выборочная средняя , фигурирующая в этой сумме. Формула (1.5) представляет собой линейное соотношение

Cвязывающее варианты . Из него одну из вариант (любую) можно выразить через остальные N-1 вариант. Так что в сумме (2.18) содержится только N-1 независимых слагаемых, в силу чего она имеет не N, а N-1 степеней свободы. Так что исправленная выборочная дисперсия (несмещённая оценка генеральной дисперсии ), согласно (2.15), действительно представляет собой сумму (2.18), рассчитанную на её одну степень свободы. Такое истолкование исправленной выборочной дисперсии (несмещённой оценки дисперсии генеральной) нами ещё позднее не раз будет использоваться.

Исходя из оценок (2.14) и (2.17), можем получить еще две оценки для неизвестных числовых характеристик генеральной совокупности:

Оценки (2.14), (2.17) и (2.20) числовых характеристик . % генеральной совокупности называются Точечными оценками, ибо эти оценки осуществляются одним числом (точкой). Все эти оценки несмещённые, и они тем точнее (надёжнее), чем больше объем N выборки.

Кроме точечных оценок числовых характеристик генеральной совокупности, вводятся также и их Интервальные оценки.

Пусть, например, - некоторая из выборочных числовых характеристик (, или , или , и т. д.), а - соответствующая ей генеральная характеристика. И пусть , так что мы имеем точечную несмещённую оценку . Нас, естественно, интересует точность этой оценки, то есть разность . Но так как по выборочным данным вычисляется лишь , а неизвестна, то разность эту точно найти нельзя. Её можно лишь попытаться оценить. А именно, можно лишь поставить вопрос: с какой вероятностью можно утверждать, что , где - некоторое заданное положительное число? Или, что одно и то же, какова вероятность того, что ?

Интервал Называется Доверительным интервалом для оценки ; число Называется Точностью интервальной оценки ; вероятность называется Надежностью интервальной оценки . Все эти понятия связываются в следующем равенстве:

Геометрическая иллюстрация этого равенства изображена на рис. 3.3. Этот рисунок иллюстрирует смысл равенства (2.21): с вероятностью неизвестная содержится в своем доверительном интервале

Очевидно, чем шире доверительный интервал (то есть чем больше ), тем больше надежность (вероятность) того, что принадлежит этому интервалу. И наоборот, чем ýже доверительный интервал (меньше ), тем меньше вероятность того, что содержится в этом интервале. Заметим, что широкий доверительный интервал означает малую точность оценки величины , а узкий – наоборот, высокую. Таким образом, чем выше точность оценки , тем меньше её надежность, а чем ниже точность – тем больше надежность, что вполне естественно.

Нас, естественно, будет интересовать конкретная математическая связь между шириной доверительного интервала и вероятностью того, что содержится в этом интервале. Очевидно, что наиболее важно ответить на этот вопрос, когда . Этим мы и ограничимся.

Как отмечалось выше, точечной оценкой для является , которая распределена нормально с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением (формулы (2.4)). Заменяя в (2.21) на , на и пользуясь формулой (4.11) (часть I, глава 2) для нормально распределённых случайных величин, получим:

Читайте также: