Способы решения комбинаторных задач в начальной школе
Обновлено: 05.07.2024
Методика обучения любому комбинаторному содержанию должна базироваться на определенных исходных положениях, в которых находит определение взаимосвязь основных компонентов процесса обучения: целей, содержания, деятельности учителя и деятельности учащихся.
Эти положения могут носить общий или частный характер. В качестве общих положений выступают психологические закономерности, дидактические принципы, психолого-педагогические и методические концепции.
В соответствии с ними формулируются частные положения, учитывающие непосредственно специфику содержания, которое подлежит усвоению.
Методика обучения решению комбинаторных задач разрабатывалась в рамках методической системы развивающего обучения младших школьников математике (Н.Б. Истомина), которая выражает необходимость целенаправленного и систематического формирования приемов умственной деятельности в процессе усвоения математического содержания.
Нацеленность начального курса математики на формирование приемов умственной деятельности позволяет установить внутреннюю связь между развивающими условиями обучения и способами их достижения, так как в процессе усвоения знаний, умений и навыков приемы умственной деятельности выполняют различные функции и их можно рассматривать:
1) как способ организации учебной деятельности школьников;
2) как способы познания, которые становятся достоянием ребенка, характеризуя его интеллектуальный потенциал и способности к усвоению знаний;
3) как способы включения в процесс познания различных психических функций: эмоций, воли, чувств, внимания; в результате интеллектуальная деятельность ребенка входит в различные соотношения с другими сторонами его личности, прежде всего с ее направленностью, мотивацией, интересами, уровнем притязаний т.е. характеризуется возрастающей активностью личности в различных сферах ее деятельности.
Средствами реализации данной концепции являются:
– тематическое построение курса, создающее условия для осознания школьниками связей между новыми и ранее изученными понятиями, для осуществления продуктивного повторения, для активного использования в процессе обучения приемов умственной деятельности;
– новый методический подход к изучению математических понятий, свойств и способов действий, в основе которых лежит установление соответствия между предметными, графическими (схематическими) и символическими моделями, их выбор, преобразование и конструирование в соответствии с заданными условиями;
– новый методический подход к формированию вычислительных навыков и умений, который создает условия не только для повышения качества вычислительной деятельности младших школьников, но и для развития их мышления;
– новый методический подход к обучению младших школьников решению текстовых задач, в соответствии с которым дети знакомятся с текстовой задачей только после того, как у них сформированы те знания, умения и навыки (навыки чтения, усвоение конкретного смысла сложения и вычитания, приобретение опыта в соотнесении предметных, словесных, схематических и символических моделей, знакомство со схемой как способом моделирования), которые необходимы им для овладения умением решать текстовые задачи;
Органически вписываясь в логику построения содержания курса, в методику обучения решению задач, в систему учебных заданий, в процессе выполнения которых учащиеся усваивают знания, умения и навыки, комбинаторные задачи выступают как одно из средств реализации методической концепции развивающего обучения младших школьников математике.
Возможность данного положения обусловливается спецификой комбинаторных задач, решение которых требует активного использования таких приемов умственной деятельности как анализ и синтез, сравнение, классификация, обобщение.
Методика обучения решению комбинаторных задач находится в соответствии с методическим подходом к формированию у младших школьников математических понятий, который связан с установлением соответствия между различными моделями. Возможность такого соответствия определяется способами решения комбинаторных задач. Так способ перебора (хаотичного и системного) позволяет детям решать комбинаторные задачи, опираясь на имеющийся у них опыт, на предметно-действенное и наглядно-образное мышление.
Используя для решения комбинаторных задач таблицы и графы, учащиеся фактически переводят вербальные модели в схематические. Тем самым у них формируются представления о моделировании как способа решения задач.
Тематическое строение развивающего курса математики создает условия для включения комбинаторных задач в процесс усвоения содержания основных вопросов программы. Тем самым обеспечивается вариативность учебных заданий, нацеленных на усвоение знаний, умений, навыков и на формирование приемов умственной деятельности.
При этом курс не перегружается информацией, так как для решения комбинаторных задач не требуется введение новых понятий и терминов.
Покажем возможность взаимосвязи комбинаторных задач с содержанием начального курса математики, выделив основные вопросы для каждого класса.
1. Признаки предметов
2. Сложение. Состав числа.
3. Двухзначные числа.
1. Понятие текстовой задачи. Структура задачи.
3. Трехзначные числа.
1. Текстовые задачи на четыре арифметических действия.
2. Порядок выполнения действий.
3. Четырехзначные, пятизначные и шестизначные числа.
1. Текстовые задачи.
2. Многозначные числа.
Данный курс начинается с уточнения представлений детей о признаках (свойствах) предметов. Это позволяет использовать опыт младших школьников и имеющиеся у них математические представления для организации целенаправленного наблюдения, которое включает в себя такие мыслительные операции, как анализ и синтез, сравнение, классификация, обобщение.
При организации деятельности учащихся в соответствии с концепцией курса нельзя не учитывать, что и жизненный опыт, и запас математических представлений, и развитие речи, и готовность к школе каждого ребенка различны. Но несмотря на эти различия необходимо создать на уроке комфортные условия для активного включения в работу всех детей, помочь им адаптироваться к школьной обстановке, научиться общаться друг с другом и с учителем.
Целенаправленная работа по формированию приемов умственных действий на первых уроках учитывает как различный опыт ребенка, так и различный уровень его математической подготовки. В результате этой работы у первоклассников формируются представления о признаках предметов, об их изменении, о расположении в пространстве, об их количестве, которые тесно связаны с операцией счета. На этих же уроках ребенок адаптируется к школьной обстановке, овладевает общеучебными умениями: работать с учебником, слушать учителя и других учеников, принимать участие в обсуждении, работать в тетради и т.д.
Деятельность учащихся при выполнении данного задания можно организовать по-разному, используя различные методические приемы:
а) Задание можно выполнить фронтально на доске, заготовив для этого заранее три комплекта карточек с данными предметами (деревья: клен, ель и рябину).
Сначала предметы выставляются в той последовательности, как они предложены в задании. Затем обговариваются возможные изменения. Предложения детей обсуждаются.
Обычно они предлагают два варианта переставить: (поменять местами) клен и ель или ель и рябину. Оба эти варианта выставляются на доске, и выясняется, изменился ли порядок.
в) Наконец, третий вариант связан с самостоятельной индивидуальной работой. В этом случае каждому ученику дается карточка, на которой деревья обозначены буквами К, Е, Р, и каждый ученик работает в меру своих возможностей в течение времени, которое отводит учитель. Все возможные варианты перестановки опять же выясняются в процессе обсуждения.
Отметим, что, организуя процесс выполнения комбинаторных заданий, учитель вполне может обойтись без показа образца, создав тем самым детям условия для самостоятельного поиска.
Образец в данном случае заменяется более доступным для детей заданием, которое подготавливает их к выполнению более сложного.
Рассмотрим в качестве примера такие задания:
а) На полке стояли три чайные чашки. Маме нужно взять две. Одну она взяла. Какую вторую чашку мама может выбрать? (Словесная формулировка задания сопровождается рисунком или реальными предметами).
б) Среди трех чашек у мамы есть две любимые. Какие это могут быть чашки?
Выполнение первого задания лучше обыграть (прием драматизации). Девочка у доски выполняет роль мамы. На столе у учителя три чашки. Проигрывая описанную в задаче ситуацию, она берет со стола красную чашку, а затем одну из двух -голубую или зеленую. Взяв голубую, она имеет комбинацию из двух чашек, красной и голубой. Затем, поставив голубую на стол, составляет комбинацию из красной и зеленой. Таким образом, чтобы выбрать вторую чашку, у мамы есть два возможных варианта.
Второе задание это - фактически комбинаторная задача на сочетание. Полезно обсудить с детьми, чем отличаются друг от друга данные задания. Проигрывание первого задания позволяет детям легко ответить на этот вопрос (в первом мама уже взяла одну чашку, а во втором надо выбрать самим две чашечки из трех). Поэтому число вариантов выбора увеличилось.
Как видим, выполнение комбинаторных заданий органически вписывается в подготовительный этап знакомства детей с текстовой задачей, формируя у них умения представлять ситуацию, заданную вербально, и переводить словесную модель в предметно-действенную.
1. Красками трех цветов: голубой, желтой и красной раскрась мячики так, чтобы они отличались друг от друга.
2. У Тани на полке стояли три игрушки: кукла Барби, Мишка и Тигренок. Выбери для девочки две любимые.
3. Сережа поставил на полку 3 книги; русские, узбекские и белорусские сказки. В каком порядке он мог их поставить?
Выполнению таких заданий предшествует подготовительная работа по выбору одного предмета из определенной совокупности.
Процесс выполнения того задания лучше драматизировать, пригласив одну девочку к доске и предложив ей сделать выбор сначала одной, затем другой, третьей и т. д. книг. Таким образом, выполнение таких заданий подводит детей к выводу, что если есть наборы из 5 предметов, то выбрать один можно пятью способами.
Процесс выполнения задания сводится к тому, что мальчик поставлен перед выбором: какую розу лучше подарить маме? Так как к ее приезду расцвели только три, то и выбор он должен сделать из трех цветков. Значит, у него есть три варианта выбора.
Выполнение этого задания сопровождается записью всех возможных вариантов на доске (фронтальная работа). С помощью символической записи (Л - липовый мед, Ц - цветочный мед) названные варианты записываются на доске. После того, как все возможные случаи будут названы, полученные варианты обсуждаются.
Целесообразно предложить ученикам изменить условие задачи так, чтобы Пятачку был подарен мед разного сорта. Это станет возможным, если количество банок с липовым и цветочным медом у Винни-Пуха будет меньше, чем он подарит Пятачку.
В процессе усвоения школьниками конкретного смысла действия сложения можно предложить задачи.
1. От остановок автобуса до дачи ведут три дороги вдоль озера и одна через лес. Сколько вариантов выбора дороги до дачи есть у дедушки с внуком, приехавшими на автобусе?
2. В конкурсе кошек принимали участие 7 сиамских и 2 персидских кошечки. Сколько способов выбора одной кошечки на 1 место есть у жюри?
В соответствии с концепцией курса основным способом усвоения состава однозначных чисел является соотношение предметных действий с математической записью. Задания, в процессе выполнения которых ученики усваивают состав каждого однозначного числа, органически дополняются заданиями комбинаторного характера.
Приступая к выполнению задания, важно обратить внимание детей на то, что бабушка испекла и пирожки с капустой, и пирожки с земляникой. Затем первоклассники приступают к составлению возможных вариантов:
Варианты повторяющихся слагаемых обязательно оговариваются, один пирожок с капустой и шесть пирожков с земляникой - это не то же самое, что один с земляникой и шесть с капустой.
Помимо заданий, имеющихся в различных учебниках, в содержание эксперимента в данную тему были включены и другие задания.
В задании нужно провести неполный перебор возможных вариантов. Достаточно только выбрать цифры для записи этих чисел (сумма которых дает число 16), а их всего три: 7, 8, 9.
Наряду с сокращенным перебором в эксперименте использовались задания, в которых операция перебора повторяется неоднократно по отношению к разного рода объектам.
Примером таких заданий могут служить следующие задания.
Для выполнения требования задачи нужно провести полный перебор вариантов:
1) Два знака в выражении могут быть одинаковыми;
После выполнения задания детям можно предложить детям найти значения полученных выражений.
Из предыдущего задания известно, что таких вариантов может быть четыре, но, в силу дополнительного условия, нет необходимости рассматривать варианты 4-5-7, 4-5 + 7, т.к. значение их ученики начальной школы вычислить не могут, поэтому при выполнении таких заданий осуществляется сокращенный перебор.
Таким образом, в программное содержание первого года обучения математике в систему развивающего обучения четырехлетней начальной школы были включены комбинаторные задания с небольшим количеством элементов, число выбора вариантов сознательно ограничивалось, перебор возможных вариантов в основном проводился хаотически. Основными методическими приемами на данном этапе обучения были: метод раскрашивания, манипуляции с предметами и их моделями, драматизация (обыгрывание описанных в заданиях ситуаций), использование символических записей.
Овладение данными умениями является необходимым условием целенаправленной работы над развитием мышления школьников в процессе обучения решению текстовых задач.
При этом существенным является не отработка умения решать определенные типы (виды) текстовых задач, а приобретение опыта в семантическом и математическом анализе различных текстовых конструкций, формирование умения представлять их в виде схематических и символических моделей, усвоение структуры задачи и овладение формами записи ее решения.
Предметом такого же анализа становятся комбинаторные задания. Учащиеся самостоятельно приходят к выводу, что их можно классифицировать как задачу. Это создает условия для знакомства младших школьников с новым способом решения комбинаторных задач и с формой их записи (таблицей).
Таким образом, наряду с арифметическими задачами решаются задачи комбинаторные.
Использование таблиц в процессе решения комбинаторных задач помогает младшим школьникам в последовательном поиске всех возможных вариантов. Однако число объектов, из которых составляются комбинации, остается небольшим, а количество комбинаций - все возможные.
Составление таблиц в процессе решения задач помогает избежать повторения одной и той же комбинации; составить все возможные комбинации и исключить не удовлетворяющие условию.
Ученики чертят таблицу. В ходе обсуждения выясняется, что, смешивая две красные краски, нельзя получить новую. Аналогично нельзя получить новых красок, если смешивать синюю с синей и желтую с желтой. В таблице эти клеточки зачеркиваются. Дети заполняют пустые клеточки. После выполнения этой работы следует обратить внимание на смеси красной краски с синей и синей краски с красной. Смешивая по две этих краски, мы получим только одну новую. Значит, в таблице убираются (зачеркиваются) варианты смесей, дающих только одну новую. Итак, из трех красок: красной, синей и желтой можно получить только три новых, если смешивать их по две.
Все возможные варианты дети записывают в таблицу. Затем по таблице проводится анализ, все ли варианты удовлетворяют условию: а) нет ли среди получившихся пар повторяющихся; б) нет ли пар: мальчик - мальчик, девочка - девочка. Только после этого можно, пересчитав число вариантов, ответить на вопрос задачи.
Решение этой задачи предлагается второклассникам для самостоятельной работы, так как ситуация, описанная в ней, встречается в жизни каждого ребенка и, решая ее, он опирается на свой жизненный опыт.
В результате анализа выполнения работы выясняется, что сложных начинок для пирогов у бабушки получилось совсем немного: капуста с рыбой, капуста с мясом и земляника со щавелем. Аргументы такого выбора вариантов следующие: а) нельзя смешивать одинаковые начинки; б) нужно убрать (вычеркнуть) повторяющиеся; в) пироги должны быть вкусными.
Таким образом, становится очевидным, что в процессе знакомства с текстовыми задачами второклассники решают комбинаторные задачи, связанные с сочетаниями и размещениями. Поэтому необходимо обратить внимание детей на задачи, в которых важен порядок записи элементов в комбинации (чаще это связано с задачами на составление двузначных, а далее и трехзначных чисел), а в каких нет.
При изучении нумерации трехзначных чисел деятельность учащихся направлена на осознание позиционного принципа десятичной системы счисления. Комбинаторные задачи на размещения органически включаются в данный раздел развивающего курса математики начальной школы, так как при составлении таких комбинаций учитывается порядок в записи ее элементов.
а) на выделение признаков сходства и различия данных выражений;
б) на соотнесение рисунка и числового выражения;
в) на запись числового выражения по данному рисунку;
г) на выбор числового выражения, соответствующего рисунку;
д) на замену произведения суммой;
е) на сравнение числовых выражений и т.д..
Пользуясь аналогией с предыдущей задачей, ученики отвечают, что 9. Чтобы убедиться в правильности ответа, составляется таблица и подсчитывается число возможных комбинаций.
Умение проводить системный перебор с помощью таблицы создает условия для открытия учащимися нового способа решения комбинаторных задач - правило произведения.
Правило произведения (формулировка и название его) не даётся в начальной школе. Весь процесс применения правила строится с опорой на рассуждения учебника, ученик проговаривает свои действия, что позволяет решать комбинаторные задачи там, где применить таблицу невозможно.
Таким образом в программное содержание второго года обучения математике в систему развивающего обучения четырехлетней начальной школы были включены комбинаторные задачи на перестановки, размещения и сочетания с небольшим числом элементов. Выбор возможных вариантов проводился методом системного перебора и с использованием правила произведения, которое не давалось в явном виде, а использовалось второклассниками проговариванием своих действий в процессе решения комбинаторной задачи.
Основные вопросы третьего и четвертого года обучения математике в начальных классах - нумерация многозначных чисел и текстовые задачи на четыре арифметических действия.
3. «Сколько букетов можно составить, если брать по одному цветку из каждой вазы?
1 ваза - шафран, пион;
2 ваза - лилия, нарцисс, тюльпан;
Первое блюдо можно выбрать - …способ.
Второе блюдо можно выбрать - …способ.
Третье блюдо можно выбрать - …способ.
Комплект из трех блюд можно выбрать - …способ.
Использование этих способов решения комбинаторных задач целесообразно, когда приходится составлять наборы более чем из 2 элементов. Овладение ими дает возможность решения комбинаторной задачи, т.е. он овладевает навыками самопроверки.
На примере решения комбинаторных задач младшие школьники знакомятся с графами как способом их решения.
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.
(с методическими указаниями)
Сборник комбинаторных задач с методическими указаниями
Методические указания: для решения задачи целесообразно разыграть сценку, с помощью которой можно найти два возможных варианта решения:
50 рублей, 100 рублей, 50 рублей, 100 рублей;
50 рублей, 50 рублей, 100 рублей, 100 рублей.
Задача 2. В парке 4 пруда. Было решено засыпать песком дорожки между ними так, чтобы можно было пройти от одного пруда к другому кратчайшим путем, т.е. не нужно было идти в обход. Покажите, какие дорожки будут сделаны.
Задача 3. 4 парусника готовились к соревнованиям. У каждого был свой корабль. Судьи решили, что надо раскрасить паруса, чтобы парусники были видны издалека, и было ясно, кто из спортсменов идет впереди, кто запаздывает. Покажите, как по-разному раскрасили паруса, если было всего две краски?
Методические указания: после прочтения задачи учитель может повесить заготовленные заранее модели парусников на доску, чтобы учащимся было легче сориентироваться в ситуации.
Таким образом, на подготовительном этапе создается положительная мотивация и эмоциональная подготовка учащихся к дальнейшему решению комбинаторных задач.
На основном этапе учащиеся знакомятся с разными способами решения комбинаторных задач.
На данном этапе решаются задачи четырех видов:
задачи, решаемые методом организованного перебора;
задачи, решаемые с помощью таблиц;
задачи, решаемые с помощью графов;
задачи, решаемые с помощью дерева возможных вариантов.
Для начала мы предлагаем ознакомить учащихся с методом организованного перебора. При решении данных задач важно обучить детей выполнять перебор не хаотически, а соблюдая определенную последовательность перебора всех вариантов решений.
Задача 4. На каждом флажке должны быть полоски разного цвета: синяя, красная, белая. Раскрась флажки так, чтобы они отличались друг от друга. Сколько разных флажков ты раскрасил? Можете ли вы указать способ позволяющий назвать число флажков, не производя непосредственного их подсчёта?
Методические указания: Ответ на вопрос задачи предполагался после выполнения следующей работы. Этот же ответ предполагается и ответ на вопрос учителя.
Как можно добавить к этим цветным полоскам третью? Мы помещаем её либо сверху, либо снизу, либо посередине, между двумя первыми полосками. Так, из трёх разноцветных полосок можно составить всего 2*3=6 флажков.
Задача 5. Прямоугольник состоит из трех квадратов. Сколькими способами можно раскрасить эти квадраты тремя красками: красной, зеленой и синей?
Методические указания: при решении данной задачи можно предложить учащимся организовать перебор с помощью раскрашивания квадратов, предварительно установив порядок.
Пусть первый квадрат раскрашен красным цветом, тогда остальные квадраты можно раскрасить двумя способами: синим и зеленым, зеленым и синим.
Пусть первый квадрат раскрашен зеленым цветом, тогда остальные квадраты можно раскрасить двумя способами: красным и синим, синим и красным.
Пусть первый квадрат раскрашен синим цветом, тогда остальные квадраты можно раскрасить двумя способами: красным и зеленым, зеленым и красным. В результате получаем всего 6 способов.
Задача 6. У Миши 6 яблок. Из них 4 красных и 2 зеленых. Миша съел 3 яблока. Какого цвета могли быть яблоки? Сколько вариантов у тебя получилось?
Задача 7. В магазине продают воздушные шары: красные, желтые, зеленые, синие. Какие наборы можно составить из двух разных шаров? Сколько наборов у тебя получилось?
Методические указания: следует обратить внимание учащихся на то, что при выборе двух шаров не имеет значения, какой из них находится справа, а какой слева. Но при расположении шаров необходимо пользоваться организованным перебором
Задача 8. Представь, что у тебя 10 тюльпанов: 3 желтых,
2 оранжевых, 5 красных. Какие разные букеты из трех тюльпанов ты можешь составить?
Методические указания: как и в предыдущей задаче, следует обратить внимание учащихся, что при выборе трех цветов не имеет значения порядок расположения в букете.
Задача 9. На цветочной клумбе сидели шмель, жук, стрекоза, бабочка и муха. Два насекомых улетели. Какие пары насекомых могли улететь?
Задача 10. Перечислите все двузначные числа, в записи которых встречаются цифры 0, 1, 2.
Далее мы предлагаем ознакомить учащихся с другим способом решения комбинаторных задач – с помощью таблиц.
Задача 11. Запиши в нужные клетки таблицы следующие числа: 23, 32, 11, 31, 22, 33, 13. Какие числа нужно записать в оставшиеся клетки?
Задача 12. Проверь, правильно ли заполнена таблица?
Задача 13. Для изготовления двуцветных ручек на фабрике использовали красные, желтые, зеленые и синие стержни. Сколько различных видов двуцветных ручек выпускала фабрика? Заполни таблицу и проверь свой ответ. Обведи зеленым цветом клетки таблицы, в которых записаны возможные наборы двуцветных ручек.
Задача 14. В одной деревне по сложившейся традиции мужчин называют каким-либо из следующих имен: Иван, Петр, Василий и Михаил. Проживают в этой деревне 15 мужчин. Может ли оказаться так, что в деревне нет мужчин с одинаковым именем и отчеством?
Методические указания: для удобства записи данных в таблицу нужно подвести учеников к мысли о том, что имена и отчества можно записывать кратко, используя только первую букву имени и отчества.
Задача 15. У Миши 4 ручки разного цвета и 3 блокнота разного размера. Сколько различных наборов из ручки и блокнота сможет составить Миша? Реши задачу, составив таблицу.
Задача 16. У Кати 2 кофты и 3 юбки – все разного цвета. Может ли Катя в течение 7 дней недели надевать каждый день разные костюмы?
Методические указания: особенность данной задачи в том, что прежде чем ответить на вопрос, необходимо составить и заполнить таблицу, а затем сравнить числа: количество костюмов, которые получили в результате заполнения таблицы с количеством дней. Только после такой работы можно ответить непосредственно на вопрос задачи.
Задача 17. В танцевальном кружке занимаются пять девочек: Женя, Маша, Катя, Юля и Даша и 5 мальчиков: Олег, Вова, Стас, Андрей и Иван. Сколько различных танцевальных пар можно составить? Заполни таблицу и проверь свой ответ.
Задача 18. Пятеро друзей встретились после каникул и обменялись рукопожатиями. Каждый, здороваясь, пожал руку. Сколько всего было сделано рукопожатий?
Методические указания: для начала необходимо выяснить с учащимися, как можно обозначить каждого человека (быстрее и удобнее изображать людей точками, которые располагаются примерно по кругу, чтобы записи были понятными и наглядными). Рукопожатия удобно обозначить черточками. Сначала составить рукопожатия одного человека (точку соединить со всеми остальными), потом перейти к другому человеку. Проведенные линии помогут увидеть, с кем он уже поздоровался, а с кем нет. Составить недостающие рукопожатия. Так действовали до тех пор, пока все не поздоровались друг с другом.
Задача 19. Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, 4?
Методические указания: при решении данной задачи важно подвести учащихся к мысли о том, что связи между объектами могут обозначаться не только линиями, но и стрелками. Это происходит в том случае, когда нужно показать направление действия или правильную последовательность в изображении объектов.
Задача 20. Миша, Вася, Катя и Лиза поздравили друг друга с Новым годом, подписав открытки. Покажи красным цветом стрелки, которые показывают, кому Миша подписал открытки, а синим – кто подписал Мише.
Методические указания: при решении этой задачи имена можно обозначить первой буквой, изобразить граф, изображая поздравления стрелками. После стрелки обвести соответствующим цветом.
З адача 21. Из каждой пары чисел 63, 9, 7, 70 составь всевозможные суммы. Выбери граф, который соответствует данному заданию.
Методические указания: цель данной задачи – формировать умение читать граф. Стрелочка вокруг каждого числа обозначает, что к данному числу прибавляют то же число.
Задача 22. Соедини линией каждое задание с графом, который ему соответствует.
2. Используя цифры 4, 5, 6, запиши двузначные числа, которые меньше 50.
3. Используя цифры 4, 5, 6, запиши двузначные числа, которые больше 50.
Методические указания: перед решением данной задачи необходимо вспомнить с учащимися, что обозначают стрелки и петли у графа.
Задача 23. Рассмотри граф.
Подчеркни те задания, которые ему соответствуют.
Из каждой пары чисел 18, 36, 54 составь все возможные:
а) суммы; б) разности;
в) произведения; г) частные,
значение которых ты можешь вычислить.
Методические указания: см. Методические указания к задаче 22.
Задача 24. Шесть девочек взяли напрокат двухместную лодку. Построй граф, на котором будет показано, как девочки катались парами.
Методические указания: см. Методические указания к задаче 22. Важно обратить внимание учащихся на то, что при построении графа надо ставить не стрелки, а линии.
Задача 25. Сколько разностей можно составить из чисел 30, 25, 17, 9, если для их составления брать два числа? Проверь свой ответ, изобразив граф.
Далее мы предлагаем познакомить учащихся с применением одной из разновидностей графа – деревом возможных вариантов при решении комбинаторных задач.
Задачу 26 и задачу 27 целесообразно предлагать учащимся на одном уроке.
Задача 27. Какое число зашифровано в выделенном пути?
Покажи путь, в котором зашифровано число 5571.
Методические указания: проанализировав новый вид графа, важно подвести учащихся к выводу, что они отличаются по структуре от ранее изученных графов: предложенные схемы отражают определенную последовательность, которая начинается строго с определенного объекта.
С детьми выясняется, что данный вид графа, если его перевернуть будет похож на дерево, на котором растут ветки с листьями. Наше дерево отличается тем, что растет сверху вниз, потому что так удобнее располагать объекты в нужной последовательности. Такой вид графа называется деревом возможных вариантов.
Далее с детьми следует проанализировать структуру дерева возможных вариантов: дерево возможных вариантов начинается строго с определенного объекта (красный кубик является верхним для всех изображенных башенок, цифра 5 обозначает первый разряд при чтении показанных на дереве чисел), такой объект в структуре дерева называется корнем дерева; дерево возможных вариантов показывает последовательности вариантов выбора объектов (определенный порядок расположения кубиков в башенках и цифр, из которых состоят четырехзначные числа), они называются ветвями дерева.
Задача 28. Миша решил в воскресенье навестить дедушку, своего друга Петю и старшего брата Володю. В каком порядке он может организовать визиты? Сколько вариантов получилось?
Методические указания: в данной задаче речь идет о числе перестановок Р3 = 1 ∙ 2 ∙ 3 = 6, т.е. о выполнении трех визитов в разной последовательности. В качестве корня дерева возможных вариантов выступает Миша, который совершает визиты.
Задача 29. В класс пришли четыре новых ученика Миша, Вася, Катя, Лиза. С помощью дерева возможных вариантов покажи, все возможные варианты расположения четырех учеников за одной партой. Сколько вариантов выбора у него будет?
Задача 30. Сосчитай, сколько слов содержится в заклинании волшебника, если слова начинаются с букв Ш или Ц, второй буквой могут быть О, И, Е, а оканчиваться слова могут буквами Р, К, Х.
Задача 31. Петя, Вася, Катя, Лиза и Миша должны участвовать в конкурсе чтецов. В каком порядке дети выступят, если Миша будет выступать первым, а за ним пойдут Катя и Лиза?
Задача 32. Из цифр 9, 7, 5, 0 составляют все возможные трехзначные числа, в которых нет одинаковых цифр. Сколько среди чисел, меньше 900?
Таким образом, на основном этапе дети учатся решать комбинаторные задачи разными способами.
На этапе отработки умений выполнять организованный перебор предлагается решать комбинаторные задачи разными способами (методом организованного перебора, с помощью таблиц, с помощью графов), тем самым, с одной стороны, закрепляя умение решать такие задачи с помощью различных приемов перебора, с другой – осуществляя действие самоконтроля, являющееся необходимым компонентом учебной деятельности.
Задача 33. Поставь между цифрами один или несколько знаков арифметических действий и скобки так, чтобы получились верные равенства.
Методические указания: задачу можно предложить в качестве домашнего задания.
Задача 34. Сколько различных завтраков, состоящих из 1 напитка и 1 вида выпечки, можно составить из чая (ч), кофе (к), булочки (б), печенья (п) и вафель (в)?
1. Пользуясь условными обозначениями, составь таблицу, соответствующую условию задачи. Сколько завтраков у тебя получилось?
2. Заполни схему дерева возможных вариантов в соответствии с условием задачи.
Сколько завтраков у тебя получилось?
3. Дострой граф так, чтобы он соответствовал условию задачи.
Сколько завтраков у тебя получилось?
4. Сравни ответы, которые у тебя получились в пунктах 1, 2, 3.
Методические указания: задача предлагается для проверки умения решать комбинаторные задачи разными способами, поскольку наглядно показывает уровень сформированности умения выполнять организованный перебор. Задача позволяет учащимся осуществлять действие самоконтроля. На решение данной задачи отводится 10 – 15 минут от урока.
Задача 35. Шесть семей уехали отдыхать в разные города. Приехав к месту отдыха, они поговорили друг с другом по телефону. Сколько звонков было сделано?
1. Закончи построение графа, соответствующего данной задаче.
1
2. Используя построенный граф, ответь на вопросы: «Сколько звонков сделала
а) первая семья _________,
б) вторая семья _________,
в) третья семья _________,
г) четвертая семья ________,
д) пятая семья _________,
3. Обведи на графе красным цветом стрелки, обозначающие разговор между
а) третьей и пятой семьями;
б) первой и четвертой семьями;
в) второй и третьей семьями.
4. Ответь на вопрос задачи.
5. Проверь свой ответ, составив таблицу, соответствующую данной задаче.
Методические указания: см. Методические указания к задаче 34.
Задача 36. Поставь скобки так, чтобы получились верные равенства.
Статья знакомит с историей появления комбинаторных задач, методах решения комбинаторных задач, используемых в начальной школе. Рассматривается экспериментальная работа, целью которой являлся поиск возможных методических путей включения комбинаторных задач в процесс усвоения младшими школьниками программного содержания курса математики четырехлетней начальной школы.
Описание разработки
Комбинаторика возникла в XVI веке и первоначально в ней рассматривались комбинаторные задачи, связанные в основном с азартными играми. Одним из первых занялся подсчетом числа возможных комбинаций при игре в кости итальянский математик Тарталья. Теоретическое исследование вопросов комбинаторики предприняли в XVII веке французские ученые Паскаль и Ферма. Дальнейшее развитие комбинаторики связано с именами Якова Бернулли, Лейбница и Эйлера.
В обыденной жизни нам нередко встречаются задачи, которые имеют несколько различных вариантов решения. Чтобы сделать правильный выбор, важно не упустить ни один из них. Для этого надо уметь осуществлять перебор всех возможных вариантов или подсчитывать их число. Задачи, требующие такого решения, называются комбинаторными.
Задачи комбинаторного характера по - прежнему для начальной школы классифицируются, как задачи повышенной трудности. Они не связываются с усвоением основных вопросов курса и не согласовываются с логикой построения его содержания. В связи с этим комбинаторные задачи включаются в учебный процесс эпизодически, что в значительной мере снижает их развивающие и дидактические возможности.
В начальном обучении математике роль комбинаторных задач постоянно возрастает, поскольку в них заложены большие возможности не только для развития мышления учащихся, но и для подготовки учащихся к решению проблем, возникающих в повседневной жизни.
Современное развитие российского общества поставило перед школой задачу воспитания личности, которая могла бы самостоятельно и критически мыслить, сопоставлять и анализировать факты, находить различные варианты решения возникающих проблем, выбирать из них оптимальные. Одним из направлений модернизации математического образования на современном этапе является включение комбинаторики в программу школьного курса математики.
Комбинаторные задачи можно использовать как средство усвоения программного содержания, не перегружая учащихся дополнительной информацией, а включение комбинаторных задач в процесс усвоения программного содержания способствует повышению качества знаний учащихся и формированию у них умения решать комбинаторные задачи неформальными методами (без использования специальных формул).
В начальной школе используются следующие методы решения комбинаторных задач:
- метод перебора (подбираются задачи на развитие мышления);
- табличный метод (все условия вносятся в таблицу, в ней же выполняется решение);
- построение дерева возможных вариантов решений;
- построение граф – схемы.
Методы решения комбинаторных задач вводятся по нарастающей траектории от простого к сложному. В 1–2 классе решаются задачи с помощью перебора и таблиц, а в 3–4 с помощью построения дерева вариантов и графов, тем самым создается возможность в основной и средней школе при изучении некоторых аспектов теории вероятности использовать знакомые понятия и способы решения.
Комбинаторные задачи, составленные на жизненном материале, помогают младшим школьникам лучше ориентироваться в окружающем мире, учат рассматривать все имеющиеся возможности и делать оптимальный выбор. В тоже время применение изучаемых знаний и умений при решении комбинаторных задач позволяет совершенствовать программный материал в процессе его использования в новых условиях.
Комбинаторика – раздел дискретной математики, изучающий всевозможные сочетания и расположения предметов.
Цели: 1. Понимание того, что в задаче на перебор вариантов целесообразно следовать логике перебора, а не хаотично. 2. Познакомить с инструментом перебора вариантов, деревом возможности. 3. Развивать вариативное мышление.4. Закреплять вычислительные навыки.
Решение комбинаторных задач в начальной школе
Комбинаторика – раздел дискретной математики, изучающий всевозможные сочетания и расположения предметов.
Цели: 1. Понимание того, что в задаче на перебор вариантов целесообразно следовать логике перебора, а не хаотично.
2. Познакомить с инструментом перебора вариантов, деревом возможности.
3. Развивать вариативное мышление.
4. Закреплять вычислительные навыки.
Подготовительный период
(свойства предметов, отношения).
1. Следы от НЛО. Витя и Вика обнаружили в поле странные следы. Они сразу догадались. Что ночью здесь приземлились НЛО. Но дети поспорили: с одной планеты прилетели НЛО или с разных? Разрешите спор Вити и Вики. (Рис. 1)
- Что надо определить, чтобы ответить на вопрос задания? (Одинаковые следы или разные)
- Как вы считаете? Ваши предложения? Чем они похожи? (По 4 кружка 4 цветов)
- Но чем же все-таки различаются следы? (Кружки строятся в разном порядке)
Перестановка из двух элементов.
Дети делают вывод, что существует 2 способа расположения предметов.
Перестановка из трех элементов по два.
Теперь ученики при выполнении другого задания смогут сразу определить число комбинаций, если они будут составлены без повторений из трех элементов по два.
Из трех букв А, У, Х можно составить 6 слогов, где слог состоит из двух букв, буквы не повторяются
Перестановки из трех элементов.
ТК \\ ТКЛ КТЛ ЛКТ
КТ \\ ТЛК КЛТ ЛТК
Деи проговаривают алгоритм получения новых перестановок: один элемент фиксируется, а два других переставляются.
На 13-м уроке рассматривается перестановка 3-х элементов, здесь есть подсказка, и дети её замечают. Один цвет фиксируется 2 раза наверху, остальные дети меняют. (Рис.5)
Учитель предлагает учащимся определить
- какой прямоугольник расположен выше красного?
- какой ниже синего, но выше красного?
- как изменить расположение прямоугольников, чтобы красный находился ниже синего, но выше зеленого?
Такая же работа проводится над всеми столбиками, кроме последнего.
- Можно ли раскрасить последний столбик как-нибудь по другому?
Ребята вспоминают и закрепляют алгоритм перестановки.
Художник написал 3 картины и сделал для них рамки. (Рис. 6)
Помоги ему найти лучший способ расположения картин на стене.
Состав числа в пределах 10.
Смысл действий сложения и вычитания.
Большинство задач этого этапа основывается на знании состава однозначного числа – на умении представить число разными способами в виде суммы других чисел, причем соблюдается принцип перевода предметных действий на язык математических символов и наоборот.
Вывод: от перестановки слагаемых сумма не меняется.
2. Запиши значения выражений 2+1, 3-1, 3-2.
Какие цифры использованы для записи чисел? Запиши все возможные перестановки этих цифр, без повторов. Подчеркни ту запись, которая обозначает отрезок чисел, стоящих по порядку, в обратном порядке.
3 2 1 2 1 3 1 2 3
3 1 2 2 3 1 1 3 2
3. Состав чисел в пределах 20.
а) составь все возможные суммы из двух чисел, используя лишь числа 5,6,7 (порядок слагаемых не принимается во внимание)
5 + 5, 5 + 6, 5 + 7, 6 + 6, 6 + 5, 6 + 7, 7 + 5, 7 + 6, 7 + 7
б) составь все возможные разности из этих же чисел.
6 – 6, 6 – 5, 7 – 7, 7 – 6, 7 – 5, 5 – 5
Перестановки из 4,5,6… элементов
Во 2 классе рассматриваются случаи перестановки 4,5,6 элементов, где первые 1,2,3 соответственно элементы фиксируются, а остальные 3 переставляются:
Двузначные и трехзначные числа.
1.Запишите числа: 22,24,26, 42,44,46, 62,64,66.
По какому правилу все эти числа собраны в одну группу? По каким признакам можно разбить эти числа на две группы?
- в записи чисел 22,24,26 использованы цифры 2,3,6
- в этих числах по 2 дес., в записи каждого числа цифра 2
- в записи чисел 42,44,46 использованы цифры 2,4,6
- в этих числах по 4 дес., в записи каждого числа цифра 4
- в записи чисел 62.64,66 использованы цифры 2,4,6
- в этих числах по 6 дес., в записи каждого числа цифра 6
- Итак, по какому правилу записали все числа?
В записи двузначных чисел использовали цифры 2,4,6.
- На какие две группы разбиваются эти числа?
22,44,66 – записи использована одна цифра
24,26,42,46,62,64 – в записи разные цифры.
2. Какие трехзначные числа можно составить из цифр 7,0,9, если
а) цифры в записи числа не повторяются?
7 0 9 9 0 7
7 9 0 9 7 0
4 перестановки, т.к. трехзначное число не может начинаться с 0.
Дети должны усвоить мысль о том. Что перебор вариантов выгодно осуществлять в определенном порядке. Каждую цифру надо фиксировать по очереди в разряде сотен.
б) цифры в записи числа могут повторяться?
777 999 770 779 990
707 797 909
700 799 900
- найди наименьшее трехзначное число
- подчеркни наибольшее трехзначное число
- найди число, в котором: 70 дес. 7 ед., 7 дес. 99 ед..
- какое число подходит к схеме
Итак, при выполнении только одного задания задействуется весь комплекс мыслительных операций.
Таблицы, графы. Дерево возможностей.
1. Три поросенка Ниф-Ниф, Нуф-Нуф и Наф-Наф решили построить себе домики. Выбрали три прекрасных места: у реки, на озере и на горе. Найди все возможные варианты их размещения с помощью таблицы. (Рис. 7)
2. Однажды встретились пятеро друзей. Каждый, здороваясь, пожал каждому руки. Сделай график и определи, сколько рукопожатий было сделано. (Рис.8)
3. Дерево возможностей - ветки растут и сверху и снизу. Дети являются творцами создания веточек у дерева. На их глазах точка превращается в дерево возможностей.
Сосчитай, сколько слов содержится в заклинании волшебника, если слова начинаются с букв Ш, Ц. Второй буквой могут быть О, И, Е. А оканчиваться слова могут буквами Р, К, Х. (Рис. 9)
ШОР ШИР ШЕР
ШОК ШИК ШЕК
ШОХ ШИХ ШЕХ
ЦОР ЦИР ЦЕР
ЦОК ЦИК ЦЕК
ЦОХ ЦИХ ЦЕХ
2 * 3 * 3 = 18 вариантов.
Таким образом, при решении комбинаторных задач активизируется мыслительная деятельность учащихся. Ученики, анализируя условие, выделяют определенные части, составляют нужные комбинации. Задействуется такая мыслительная операция, как анализ – процесс расчленения целого на части, выделения отдельных элементов в объекте. С другой стороны, в процессе синтеза, или соединения элементов, сторон объектов в целое, учащиеся определяют, что сначала можно составить определенную комбинацию.
На примерах хорошо видно, что при поиске ответа на поставленный вопрос ученики не смогут обойтись без наблюдения и сравнения.
Если младшие школьники не будут специально, с определенной целью воспринимать информацию, заключенную в задаче, то вряд ли смогут решить её. Сравнение – процесс выделения признаков, свойств объектов и установления сходства и различия между ними – позволяет ученикам при составлении чисел избежать повторов. Составит все возможные числа на основе сходства и различия.
Систематическое использование комбинаторных задач в обучении – эффективно для формирования у учащихся базовых математических знаний, умений, навыков.
Читайте также: