Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента кратко

Обновлено: 02.07.2024

Что такое тригонометрические функции числового аргумента

Тригонометрические функции являются элементарными функциями, понятие которых сформулировано в процессе изучения прямоугольных треугольников, и выражают связь между длинами сторон данных треугольников и острыми углами, расположенными при гипотенузе.

Равнозначным является и такое объяснение: тригонометрические функции представляют собой выражение того, как связаны хорды и высоты с центральным углом дуги в круге. Рассматриваемые функции активно используют в разных научных областях. Можно наблюдать расширение определения тригонометрических функций по мере того, как развивалась математика. К примеру, в настоящее время роль аргумента могут играть какие-либо вещественные или комплексные числа.

Представим, что имеется некое действительное число, и обозначим его t. Данному числу однозначно соответствует конкретное число sin(t). Правило соответствие достаточно сложное. Поэтому рассмотрим его детально.

Поиск значения sin(t) относительно числа t реализован по следующему алгоритму:

Расположение координатной окружности на плоскости таким образом, что центр круга находится в точке начала координат, а у начальной точки А, принадлежащей окружности, следующие координаты (1; 0).
Поиск точки на окружности, которая бы соответствовала числу t.
Определение ординаты найденной точки.
Полученная ордината является искомым значением sin(t).

В действительности здесь говорится о приведении функции s = sin(t) при t в виде какого-либо действительного числа. По предыдущим курсам тригонометрии уже известны определенные свойства рассматриваемой функции, а также некоторые ее значения, к примеру:

Кроме того, с предыдущих уроков уже имеется некоторое представление о таких функциях, как s = cos ( t ) s = t g ( t ) s = c t g ( t ) . Перечисленные функции носят название тригонометрических функций числового аргумента t.

Взаимосвязь тригонометрических функций

Между всеми тригонометрическими функциями существует взаимная связь, благодаря которой неизвестное значение одной из них можно определить, зная значение другой функции. Наиболее распространено использование в решении подобных заданий основного тригонометрического тождества.

Уравнение основного тригонометрического тождества:

s i n 2 t + c o s 2 t = 1

Заметим, что с помощью данного тождества можно вычислить значение косинуса при известном значении синуса. Допустима и обратная операция.

Другими важными и полезными формулами являются уравнения, описывающие, каким образом между собой связаны синус и косинус с тангенсом и котангенсом.

Формулы, описывающие взаимосвязь тригонометрических функций:

tan t = sin t cos t , t ≠ π 2 + π k

cot t = cos sin , t ≠ π k

Рассмотрим детально две последние представленные формулы. С помощью данных закономерностей можно записать другое тригонометрическое тождество.

Тригонометрическое тождество, в котором отражена связь между тангенсом и котангенсом:

tan t · cot t = 1 , t ≠ π k 2

Закрепить полученные знания можно на практических примерах. Представим, что имеется некое выражение, которое нужно упростить:

Заметим, что в данном случае можно преобразовать тангенс, расписав его по формуле. Квадрат при этом сохранится:

1 + tan 2 t = 1 + sin 2 t cos 2 t

Затем устраним единицу. Для этого потребуется воспользоваться основным тригонометрическим тождеством:

1 + sin 2 t cos 2 t = sin 2 t + cos 2 t + sin 2 t cos 2 t

Далее занесем полученное выражение под общий знаменатель. В результате:

sin 2 t + cos 2 t + sin 2 t cos 2 t = cos 2 t + sin 2 t cos 2 t

Заметим, что в данном случае имеется возможность сократить числитель до единицы. При этом следует воспользоваться основным тригонометрическим тождеством. Таким образом:

1 + tan 2 = 1 cos 2 t

Рассмотрим еще один вариант выражения, где присутствует знак сложения, и попробуем его упростить с помощью уже известных формул:

Здесь ход решения аналогичен предыдущему примеру. Единственное отличие заключается в том, что знаменатель включает в себя не косинус, а синус. Тогда получим ответ:

1 + cot 2 = 1 sin 2 t

При решении этих задач было указано две полезные формулы. Обратим на них внимание.

Формулы, в теории описывающие связь между тригонометрическими функциями:

1 + tan 2 = 1 cos 2 t , t ≠ π 2 + π k

1 + cot 2 = 1 sin 2 t , t ≠ π k

Таблица значений тригонометрических функций

Основные табличные значения тригонометрических функций следует занести в конспект, так как они пригодятся при решении задач. В качестве подсказки на контрольной или самостоятельной работе в классе можно использовать краткую таблицу:

Прежде всего, получим формулы, по которым тригонометрические функции углов вида можно выражать через тригонометрические функции угла α. Эти формулы называются формулами приведения .

Отложим от положительного направления оси абсцисс угол α (см. рис. 2.4.2.1). Отразим точку , отвечающую этому углу, относительно прямой . Пусть она при отражении перейдёт в точку . Так как координатные оси тоже симметричны относительно прямой , то угол между осью ординат и радиус-вектором равен α.

Несложно сообразить, что угол между положительным направлением оси абсцисс и радиус-вектором равен Пусть координаты радиус-вектора будут , а координаты радиус-вектора будут . Так как при отражении относительно прямой ось абсцисс переходит в ось ординат, то абсцисса радиус-вектора станет ординатой радиус-вектора и наоборот. Следовательно, . Но координаты и можно найти с помощью угла α: . Аналогичные формулы связывают координаты радиус-вектора

Так как и , то получаем:

Рассмотрим радиус-вектор угол между которым и осью абсцисс равен –α. Очевидно, что координаты этого радиус-вектора равны . Но абсцисса и ордината этого вектора есть синус и косинус угла –α. Следовательно,

Отсюда легко получить, что

Последние равенства означают, что функции синус, тангенс и котангенс − нечётные, а функция косинус − чётная.

Основные формулы тригонометрии - это формулы, устанавливающие связи между основными тригонометрическими функциями. Синус, косинус, тангенс и котангенс связаны между собой множеством соотношений. Ниже приведем основные тригонометрические формулы, а для удобства сгруппируем их по назначению. С использованием данных формул можно решить практически любую задачу из стандартного курса тригонометрии. Сразу отметим, что ниже приведены лишь сами формулы, а не их вывод, которому будут посвящены отдельные статьи.

Основные тождества тригонометрии

Тригонометрические тождества дают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, позволяя выразить одну функцию через другую.

sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α · c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α + 1 = 1 sin 2 α

Эти тождества напрямую вытекают из определений единичной окружности, синуса (sin), косинуса (cos), тангенса (tg) и котангенса (ctg).

Формулы приведения

Формулы приведения позволяют переходить от работы с произвольными и сколь угодно большими углами к работе с углами в пределах от 0 до 90 градусов.

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

Формулы приведения являются следствием периодичности тригонометрических функций.

Тригонометрические формулы сложения

Формулы сложения в тригонометрии позволяют выразить тригонометрическую функцию суммы или разности углов через тригонометрические функции этих углов.

Тригонометрические формулы сложения

sin α ± β = sin α · cos β ± cos α · sin β cos α + β = cos α · cos β - sin α · sin β cos α - β = cos α · cos β + sin α · sin β t g α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α · t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β

На основе формул сложения выводятся тригонометрические формулы кратного угла.

Формулы кратного угла: двойного, тройного и т.д.

sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 · t g α 1 - t g 2 α с t g 2 α = с t g 2 α - 1 2 · с t g α sin 3 α = 3 sin α · cos 2 α - sin 3 α , sin 3 α = 3 sin α - 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α - 3 sin 2 α · cos α , cos 3 α = - 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α - t g 3 α 1 - 3 t g 2 α c t g 3 α = c t g 3 α - 3 c t g α 3 c t g 2 α - 1

Формулы половинного угла

Формулы половинного угла в тригонометрии являются следствием формул двойного угла и выражают соотношения между основными функциями половинного угла и косинусом целого угла.

Формулы половинного угла

sin 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α

Формулы понижения степени

sin 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α - sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

Часто при расчетах действовать с громоздктми степенями неудобно. Формулы понижения степени позволяют понизить степень тригонометрической функции со сколь угодно большой до первой. Приведем их общий вид:

Общий вид формул понижения степени

sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 ( - 1 ) n 2 - k · C k n · cos ( ( n - 2 k ) α ) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C k n · cos ( ( n - 2 k ) α )

sin n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 ( - 1 ) n - 1 2 - k · C k n · sin ( ( n - 2 k ) α ) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n · cos ( ( n - 2 k ) α )

Сумма и разность тригонометрических функций

Разность и сумму тригонометрических функций можно представить в виде произведения. Разложение на множители разностей синусов и косинусов очень удобно применять при решении тригонометрических уравнений и упрощении выражений.

Сумма и разность тригонометрических функций

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 · cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 · cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 · cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 · sin α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 · sin β - α 2

Произведение тригонометрических функций

Если формулы суммы и разности функций позволяют перейти к их произведению, то формулы произведения тригонометрических функций осуществляют обратный переход - от произведения к сумме. Рассматриваются формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус.

Формулы произведения тригонометрических функций

sin α · sin β = 1 2 · ( cos ( α - β ) - cos ( α + β ) ) cos α · cos β = 1 2 · ( cos ( α - β ) + cos ( α + β ) ) sin α · cos β = 1 2 · ( sin ( α - β ) + sin ( α + β ) )

Универсальная тригонометрическая подстановка

Все основные тригонометрические функции - синус, косинус, тангенс и котангенс, - могут быть выражены через тангенс половинного угла.

Универсальная тригонометрическая подстановка

sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 - t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 - t g 2 α 2 c t g α = 1 - t g 2 α 2 2 t g α 2

Например:
Известно, что $\frac\pi2\lt\alpha\lt\pi,\ sin\alpha=0,8$
Найдем остальные значения тригонометрические функций от угла $\alpha$.
Угол находится во 2-й четверти. Значит, косинус отрицательный:
$cos\alpha=-\sqrt=-\sqrt=-\sqrt=-0,6$
Тангенс: $tg\alpha=\frac=\frac=-\frac43$
Котангенс: $ctg\alpha=\frac=-\frac34$

п.2. Формулы приведения

Формулы, в которых тригонометрические функции углов $ ( \frac<\pi k>\pm\alpha ) $ выражаются через тригонометрические функции угла $\alpha$, называют формулами приведения .

Рассмотрим числовую окружность.
O(0;0), A(1;0)
Пусть $\angle AOB=\alpha,\ \angle AOC=\frac\pi2-\alpha$
Построим перпендикуляры: \begin BE\perp OA,\ E\in OA\\ CF\perp OA,\ F\in OA \end Рассмотрим $\Delta OBE\ \text\ \Delta COF$:
\begin \begin \angle BEO=\angle CFO=90^\\ \angle OBE=\frac\pi2-\alpha=\angle COF\\ OB=OS=R=1 \end \Rightarrow\\ \Rightarrow \text<(по острому углу и гипотенузе)>\\ \Delta OBE=\Delta COF\Rightarrow \begin BE=OF\\ OE=CF \end \end

По определению синуса и косинуса на числовой окружности (см. §2 данного справочника) $$ BE=sin\alpha,\ \ OE=cos\alpha,\ \ OF=cos\left(\frac\pi2-\alpha\right),\ \ CF=sin\left(\frac\pi2-\alpha\right) $$ Получаем: \begin cos\left(\frac\pi2-\alpha\right)=sin\alpha,\ \ sin\left(\frac\pi2-\alpha\right)=cos\alpha \end Откуда следует: \begin tg\left(\frac\pi2-\alpha\right)=ctg\alpha,\ \ ctg\left(\frac\pi2-\alpha\right)=tg\alpha \end Например:
cos72°=sin18°; tg37°=ctg53°; sin36°=cos54°.

Пусть $\angle AOB=\alpha,\ \angle AOC=\frac\pi2+\alpha$
По аналогии с предыдущим случаем получаем: \begin \Delta OBE=\Delta COF\Rightarrow \begin BE=OF\\ OE=CF \end \end Учитывая знаки (а длины сторон всегда положительны): \begin BE=sin\alpha,\ \ OE=cos\alpha\\ OF=-cos\left(\frac\pi2+\alpha\right),\ \ CF=sin\left(\frac\pi2+\alpha\right) \end

Получаем: \begin cos\left(\frac\pi2+\alpha\right)=-sin\alpha,\ \ sin\left(\frac\pi2+\alpha\right)=cos\alpha \end Откуда следует: \begin tg\left(\frac\pi2+\alpha\right)=-ctg\alpha,\ \ ctg\left(\frac\pi2+\alpha\right)=-tg\alpha \end Например:
cos114°=-sin24°; sin150°=cos60°; tg96°=-ctg6°.

Пусть $\angle AOB=\alpha,\ \angle AOC=\pi-\alpha$
Тогда \begin \Delta OBE=\Delta OCF\Rightarrow \begin BE=CF\\ OE=OF \end \end \begin BE=sin\alpha,\ \ OE=cos\alpha\\ CF=sin(\pi-\alpha),\ \ OF=-cos(\pi-\alpha) \end

\begin sin(\pi-\alpha)=sin\alpha,\ \ cos(\pi-\alpha)=-cos\alpha \end \begin tg(\pi-\alpha)=-tg\alpha,\ \ ctg(\pi-\alpha)=-ctg\alpha \end Например:
sin116°=sin64°; cos105°=-cos75°; tg120°=-tg60°.

Пусть $\angle AOB=\alpha,\ \angle AOC=\pi+\alpha$
Тогда \begin \Delta OBE=\Delta OCF\Rightarrow \begin BE=CF\\ OE=OF \end \end \begin BE=sin\alpha,\ \ OE=cos\alpha\\ CF=-sin(\pi+\alpha),\ \ OF=-cos(\pi+\alpha) \end

\begin sin(\pi+\alpha)=-sin\alpha,\ \ cos(\pi+\alpha)=-cos\alpha \end \begin tg(\pi+\alpha)=tg\alpha,\ \ ctg(\pi+\alpha)=ctg\alpha \end Например:
sin220°=-sin40°; cos230°=-cos50°; $tg\frac<7\pi>=tg\frac\pi6$.

Угол 3π/2 - α

Пусть $\angle AOB=\alpha,\ \angle AOC=\frac<3\pi>-\alpha$
Тогда \begin \Delta OBE=\Delta COF\Rightarrow \begin BE=OF\\ OE=CF \end \end \begin BE=sin\alpha,\ \ OE=cos\alpha\\ OF=-cos\left(\frac<3\pi>-\alpha\right),\ \ CF=-sin\left(\frac<3\pi>-\alpha\right) \end

\begin sin\left(\frac<3\pi>-\alpha\right)=-cos\alpha,\ \ cos\left(\frac<3\pi>-\alpha\right)=-sin\alpha \end \begin tg\left(\frac<3\pi>-\alpha\right)=ctg\alpha,\ \ ctg\left(\frac<3\pi>-\alpha\right)=tg\alpha \end Например:
sin250°=-cos20°; cos215°=-sin55°; $tg\frac<9\pi>=ctg\frac<3\pi>$.

Угол 3π/2 + α

Пусть $\angle AOB=\alpha,\ \angle AOC=\frac<3\pi>+\alpha$
Тогда \begin \Delta OBE=\Delta COF\Rightarrow \begin BE=OF\\ OE=CF \end \end \begin BE=sin\alpha,\ \ OE=cos\alpha\\ OF=cos\left(\frac<3\pi>+\alpha\right),\ \ CF=-sin\left(\frac<3\pi>+\alpha\right) \end

\begin sin\left(\frac<3\pi>+\alpha\right)=-cos\alpha,\ \ cos\left(\frac<3\pi>+\alpha\right)=sin\alpha \end \begin tg\left(\frac<3\pi>+\alpha\right)=-ctg\alpha,\ \ ctg\left(\frac<3\pi>+\alpha\right)=-tg\alpha \end Например:
sin310°=-cos40°; cos345°=sin15°; ctg307°=-tg37°.

Сводная таблица формул приведения

п.3. Примеры

Пример 2. Вычислите:
a) $tg135^cos^ctg150^sin300^=$ \begin =tg(180^-45^)\cdot cos(180^+60^)\cdot ctg(180^-30^)\cdot sin(360^-60^)=\\ =tg(-45^)\cdot(-cos60^)\cdot ctg(-30^)\cdot sin(-60^)=-1\cdot\left(-\frac12\right)\cdot (-\sqrt)\cdot\left(-\frac<\sqrt>\right)=\frac34 \end
б) $tg\left(\frac<3\pi>+\alpha\right)tg(5\pi-\alpha)+sin(\alpha-2\pi)\cdot cos\left(\frac<3\pi>-\alpha\right)+cos^2\left(\frac\pi2-\alpha\right)=$
$=-ctg\alpha\cdot tg(-\alpha)+sin\alpha\cdot(-sin\alpha)+sin^2\alpha=1-sin^2\alpha+sin^2\alpha=1$

б) $sin\alpha+cos\alpha$, если $sin\alpha cos\alpha=\frac13$
Пусть $A=sin\alpha+cos\alpha$. Тогда \begin A^2=(sin\alpha+cos\alpha)^2=sin^2\alpha+2sin\alpha cos\alpha+cos^2\alpha=\\ =(sin^2\alpha+cos^2\alpha)+2sin\alpha cos\alpha=1+2sin\alpha cos\alpha=1+2\cdot\frac13=\frac53 \end Произведение по условию положительно. Значит, угол $\alpha$ может находиться

в 1-й четверти ($sin\alpha\gt 0\ \text\ cos\alpha\gt 0$), и тогда $A\gt 0$
в 2-й четверти ($sin\alpha\lt 0\ \text\ cos\alpha\lt 0$), и тогда $A\lt 0$

$б)\ sin^2\frac\pi8+cos^2\frac<3\pi>+sin^2\frac<5\pi>+cos^2\frac<7\pi>$
$cos\frac<7\pi>=cos\left(\pi-\frac\pi8\right)=-cos\frac\pi8$
$sin\frac<5\pi>=sin\left(\pi-\frac<3\pi>\right)=sin\frac<3\pi>$
Получаем: \begin sin^2\frac\pi8+cos^2\frac<3\pi>+\left(sin\frac<3\pi>\right)^2+\left(-cos\frac\pi8\right)^2=\\ =\left(sin^2\frac\pi8+cos^2\frac\pi8\right)+\left(cos^2\frac<3\pi>+sin^2\frac<3\pi>\right)=1+1=2 \end Ответ: 2

Читайте также: