Системы счисления используемые в вычислительной технике кратко

Обновлено: 05.07.2024

История создания систем счисления. Системы счисления, используемые в вычислительной технике. Сравнение непозиционных и позиционных систем счисления. Изучение основных правил десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатиричной систем счисления.

Рубрика	Программирование, компьютеры и кибернетика
Вид	реферат
Язык	русский
Дата добавления	31.10.2016
Размер файла	304,9 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Негосударственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Институт гуманитарных и социальных наук

Кафедра Информационных технологий и математики

Выполнила: Студентка группы _3041-1

Санкт-Петербург 2014 год

система счисление вычислительный техника

1. История создания систем счисления

2. Системы счисления, используемые в вычислительной технике

3. Непозиционные системы счисления

4. Позиционные системы счисления

5. Десятичная система счисления

6. Двоичная система счисления

7. Восьмеричная система счисления

8. Шестнадцатиричная система счисления

9. Перевод из одной системы счисления в другую

Список использованных источников

На протяжении всей своей жизни мы сталкиваемся с числами и выполняем над ними арифметические действия. Нас это не удивляет. Мы воспринимаем это, как факт, как само собой разумеющееся. А откуда возникли числа и счет? Что такое система счисления? Где сейчас мы сталкиваемся с ними? Мне стало очень интересно, и я решила изучить эту тему.

Данная тема мне интересна еще и потому, что в настоящее время двоичная система счисления приобрела большое значение в связи с ее применением в электронных вычислительных машинах. Системы счисления с основанием 8 и 16 применяются в программировании различных процессов на вычислительной технике.

Я поставила перед собой цель: познакомиться с историей возникновения счета и систем счисления, изучить системы счисления, используемые в вычислительной технике, позиционные и непозиционные системы счисления и арифметические действия в различных системах. В данной работе будут рассмотрены разные системы счисления.

1. История создания систем счисления

В древности людям приходилось считать на пальцах. Кроме пальцев считать нужно было много предметов, к счету привлекали больше участников. Один считал единицы, второй - десятки, третий - сотни. Очевидно, такой счет лег в основу системы счисления, принятой почти у всех народов, она называется десятичной системой. Счет с основанием десять применяли и у восточных славян.

Так же был распространен счет дюжинами, то есть счет, при котором пользовались системой с основанием 12. Её происхождение связано с 12 фалангами на четырёх пальцах руки (кроме большого). Еще и сейчас некоторые предметы принято считать дюжинами. Столовые приборы состоят из полудюжины или дюжины комплектов.

В древнем Вавилоне, где математика была очень высоко развита, существовала весьма сложная шестидесятеричная система счисления. В наше время мы тоже используем эту систему. Например: 1 час=60 минут; 1 минута=60 секунд.

Самой древней из пальцевых систем счисления считается пятеричная. Эта система зародилась, и наибольшее распространение получила в Америке. Ее создание относится к эпохе, когда человек считал по пальцам одной руки. До последнего времени у некоторых племен пятеричная система счисления сохранилась еще в чистом виде.

Таким образом, все системы (пятеричная, двенадцатеричная, двадцатеричная) связаны с тем или иным способом счёта по пальцам рук (или рук и ног). Переход человека к пальцевому счету привел к созданию различных систем счисления./1/

2. Системы счисления, используемые в вычислительной технике

Системой счисления называют систему приемов и правил, позволяющих устанавливать взаимнооднозначное соответствие между любым числом и его представлением в виде совокупности конечного числа символов. Множество символов, используемых для такого представления, называют цифрами.

В зависимости от способа изображения чисел с помощью цифр системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.

В непозиционных системах любое число определяется как некоторая функция от численных значений совокупности цифр, представляющих это число. Цифры в непозиционных системах счисления соответствуют некоторым фиксированным числам. Исторически первыми системами счисления были именно непозиционные системы. Одним из основных недостатков является трудность записи больших чисел. Запись больших чисел в таких системах либо очень громоздка, либо алфавит системы чрезвычайно велик. В вычислительной технике непозиционные системы не применяются.

Систему счисления называют позиционной, если одна и та же цифра может принимать различные численные значения в зависимости от номера разряда этой цифры в совокупности цифр, представляющих заданное число. Пример такой системы - арабская десятичная система счисления.

Количества и количественные составляющие, существующие реально могут отображаться различными способами. Основание позиционной системы счисления определяет ее название. В вычислительной технике применяются двоичная, восьмеричная, десятичная и шестнадцатеричная системы. В дальнейшем, чтобы явно указать используемую систему счисления, будем заключать число в скобки и в нижнем индексе указывать основание системы счисления. Каждой позиции в числе соответствует позиционный (разрядный) коэффициент или вес./2/

В настоящее время позиционные системы счисления более широко распространены, чем непозиционные. Это объясняется тем, что они позволяют записывать большие числа с помощью сравнительно небольшого числа знаков. Еще более важное преимущество позиционных систем - это простота и легкость выполнения арифметических операций над числами, записанными в этих системах.

Перевод чисел в десятичную систему осуществляется путем составления степенного ряда с основанием той системы, из которой число переводится. Затем подсчитывается значение суммы.

В целом вычислительные машины могут быть построены в любой системе счисления. Но столь привычная для нас десятичная система окажется крайне неудобной. Если в механических вычислительных устройствах, использующих десятичную систему, достаточно просто применить элемент со множеством состояний (колесо с десятью зубьями), то в электронных машинах надо было бы иметь 10 различных потенциалов в цепях./3/

3. Непозиционные системы счисления

В настоящее время и в технике и в быту широко используются как позиционные, так и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах счисления вес цифры не зависит от позиции, которую она занимает в числе. Пример непозиционной системы счисления - римская система счисления. Возникшая в древнем Риме она просуществовала до наших дней. Традиционно применяют ее при нумерации веков или при составлении оглавлений печатных трудов. Римские цифры можно встретить на циферблатах часов.

В современной жизни наиболее яркий вариант использования непозиционной системы счисления - это денежные отношения. Мы с ними сталкиваемся каждый день. Здесь никому не приходит в голову, что сумма, которую мы выкладываем в магазине за продукты, может зависеть от того, в каком порядке мы расположим монеты на столе. Номинал монеты не зависит от того, в каком порядке она была вынута из кошелька. Это классический пример непозиционной системы счисления.

Таким образом, в настоящее время позиционная система счисления является наиболее распространенной.

4. Позиционные системы счисления

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее позиции в последовательности цифр, изображающих число. Любая позиционная система характеризуется своим основанием. Основание позиционной системы счисления - это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе. За основание можно принять любое натуральное число - два, три, четыре, шестнадцать и т.д. Следовательно, возможно бесконечное множество позиционных систем: двоичная, состоящая из цифр 0 и 1; троичная, состоящая из цифр 0,1,2; и так далее.

Таким образом, позиционные системы удобны тем, что они позволяют записывать большие числа с помощью небольшого числа знаков, просто и легко выполняются арифметические действия. /4/

5. Десятичная система счисления

Пришла в Европу из Индии, где она появилась не позднее VI века н.э. Основанием десятичной системы счисления является число 10, которое образует единицу 2-го разряда, единицей 3-го разряда будет 100 = 10 2 , вообще единица каждого следующего разряда в 10 раз больше единицы предыдущего (полагают, что выбор в качестве основания Д. с. с. числа 10 связан со счётом на пальцах).

Д. с. с. основана на позиционном принципе, т. е. в ней один и тот же знак (цифра) имеет различные значения в зависимости от того места, где он расположен. В связи с этим для записи всех чисел нуждаются в особых символах только первые 10 чисел. Символы эти, обозначаемые знаками 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, называются цифрами. Для записи числа определяют, сколько в нём содержится единиц наивысшего разряда; затем в остатке определяют число единиц разряда, на единицу меньшего, и т.д. Полученные цифры записывают рядом: например 4Ч10 2 + 7Ч10 1 + 3Ч10 0 = 473.

Таким образом, действия над числами производятся поразрядно, т. е. отдельно над цифрами каждого разряда; если при этом получаются числа больше 10 (при сложении, умножении), то прибавляют одну или несколько единиц к следующему, более высокому разряду; при делении и вычитании приходится разбивать разряды на более мелкие./4/

6. Двоичная система счисления

Двоичная система счисления, система счисления, построенная на позиционном принципе записи чисел, с основанием 2. В двоичной системе счисления используются только два знака -- цифры 0 и 1; при этом, как и во всякой позиционной системе, значение цифры зависит дополнительно от занимаемого ею места. Число 2 считается единицей 2-го разряда и записывается так: 10 (читается: "один, нуль"). Каждая единица следующего разряда в два раза больше предыдущей, т. е. эти единицы составляют последовательность чисел 2, 4, 8, 16. 2 n .

Для того чтобы число, записанное в десятичной системе счисления, записать в Д. с. с., его делят последовательно на 2 и записывают получающиеся остатки 0 и 1 в порядке от последнего к первому, например: 43 = 21·2 +1; 21 = 10·2 +1; 10 = 5·2+0; 5=2·2+1; 2 = 1·2+ 0; 1 =0·2 + 1; итак, двоичная запись числа 43 есть 101011. Т. о., 101011 в Д. с. с. обозначает 1·2 0 +1·2 1 + 0Ч2 2 +1Ч2 3 + + 0·2 4 + 1·2 5 .

В Д. с. с. особенно просто выполняются все арифметические действия: например, таблица умножения сводится к одному равенству 1·1 = 1. Однако запись в Д. с. с. очень громоздка: например, число 9000 будет 14-значным.

Благодаря тому, что в двоичной системе счисления используются лишь две цифры, она часто бывает полезной в теоретических вопросах и при вычислениях на ЦВМ./5/

7. Восьмеричная система счисления

Восьмеричная система счисления - позиционная целочисленная система счисления с основанием 8. Для представления чисел в ней используются 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Цифра 1, указанная в самом младшем разряде, означает - как и в десятичном числе - просто единицу. Та же цифра 1 в следующем разряде означает 8, в следующем 64 и т.д. Число 100 (восьмеричное) есть не что иное, как 64 (десятичное). Чтобы перевести в двоичную систему, например, число 611 (восьмеричное), надо заменить каждую цифру эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр). Легко догадаться, что для перевода многозначного двоичного числа в восьмиричную систему нужно разбить его на триады справа налево и заменить каждую триаду соответствующей восьмеричной цифрой.

Восьмеричная система чаще всего используется в областях, связанных с цифровыми устройствами. Таким образом, восьмеричная система счисления выступает в качестве простейшего языка общения человека с ЭВМ. /5/

8. Шестнадцатиричная система счисления

Шестнадцатеричная система счисления (шестнадцатеричные числа) -- позиционная система счисления по целочисленному основанию 16. Запись числа в восьмеричной системе счисления достаточно компактна, но еще компактнее она получается в шестнадцатеричной системе. В качестве первых 10 из 16 шестнадцатеричных цифр взяты привычные цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а вот в качестве остальных 6 цифр используют первые буквы латинского алфавита: A, B, C, D, E, F. Цифра 1, записанная в самом младшем разряде, означат просто единицу. Та же цифра 1 в следующем - 16 (десятичное), в следующем - 256 (десятичное) и т.д. Цифра F, указанная в самом младшем разряде, означает 15 (десятичное).

Перевод из шестнадцатеричной системы в двоичную и обратно производится аналогично тому, как это делается для восьмеричной системы.

Шестнадцатеричная система счисления, на сегодняшний день является наиболее популярным средством компактной записи двоичных чисел. Она очень широко используется при разработке и проектировании цифровой техники, и как восьмеричная система счисления служит человеку в качестве простейшего языка общения с ЭВМ. /6/

9. Перевод из одной системы счисления в другую

1. Перевод из любой системы счисления в десятичную систему счисления

Для перевода целого числа из любой системы счисления в десятичную, необходимо записать данное число в общем виде:

Например: переведем число 12568 в десятичную систему счисления.

1256₈=1·8 3 +2·8 2 +5·8 1 +6·8 0 =1·512+2·64+5·8+6·1=686₁₀

2. Правило перевода числа из десятичной системы счисления в другую систему.

2.1 Делим данное число на основание той системы, в которую необходимо перевести число.

2.2 Полученное число делим аналогично на основание системы, в которую необходимо перевести число.

2.3 Пункт 2 повторяем до тех пор пока, полученное частное не будет меньше основания.

Двоичная система счисления, используемая в ЭВМ, весьма неудобна для записи и чтения чисел человеком. Для сокращения трудоемкости ручной обработки кодов чисел широко применяют восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

В восьмеричной системе счисления используются 8 цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), в шестнадцатеричной – 10 цифр и 6 прописных латинских букв от А до F (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, E, F).

Так как основанием восьмеричной системы является число 8 = 2 3 , то для перевода двоичных чисел в восьмеричные необходимо разделить двоичные числа на 3-битовые группы – триады.

Аналогичным образом осуществляется перевод двоичных чисел в шестнадцатеричные (16 = 2 4 ). Только в этом случае двоичное число разбивается на 4-битовые группы (тетрады), которые и представляются одной шестнадцатеричной цифрой. На рис. 1.4. показано два примера подобных преобразований.

Рис. 1.4. Преобразование чисел

Преобразование двоичных чисел в десятичные осуществляется путем суммирования значений степеней числа 2, соответствующих тем разрядам переводимого двоичного числа, в которых содержатся единицы. Аналогичным образом можно выполнить перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел.

В микрокалькуляторах или кассовых аппаратах широко используется двоично-десятичная система счислений.

Так, если число 1001 0101 0011 1000 рассматривать как двоичное, то его десятичный эквивалент (1001 0101 0011 1000)₂= (38200)₁₀ в 4 раза больше десятичного эквивалента двоично-десятичного числа

Рис. 1.4. Преобразование чисел

В микрокалькуляторах или кассовых аппаратах широко используется двоично-десятичная система счислений.

Система счисления – это способ записи чисел с помощью символов. Мы все привыкли использовать десять различных знаков для записи чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Такая система счисления называется десятичной. Один знак числа называется цифрой.

Основание системы счисления – это количество знаков, используемых для записи числа в этой системе. Основанием системы счислений, как правило, может являться любое натуральное число (например, шумеры использовали шестидесятеричную систему счисления), но сегодня наиболее распространены (кроме десятичной) двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. Основание системы счисления указывается подстрочным знаком после числа, например 101₂.

Разряд числа – это место цифры в числе. В зависимости от количества разрядов мы называем числа двузначными, трёхзначными, четырёхзначными и т.д.

Двоичная система счисления

Популярность двоичной системы в информатике обусловлена тем, что для записи чисел используется всего две цифры: 0 и 1. Это соответствует значению одного бита, который тоже может принимать значения 0 и 1. Поэтому во многих случаях один разряд двоичного числа называют битом. А так как в вычислительной технике информация передаётся в битах, то и числа удобнее передавать в виде двоичного (бинарного) кода.

Простой пример. IP-адрес компьютера состоит из четырёх байт, разделенных точками, к примеру:

192.168.0.1

Почему байты записаны в виде чисел? Если перевести байты этого IP-адреса в биты (двоичную систему), мы получим четыре восьмизначных двоичных числа:

11000000. 10101000.00000000.00000001

Двоичные числа состоят из восьми разрядов, а байт равен восьми битам.

Восьмеричная система счисления

Двоичная система счисления удобна для компьютера, но не очень удобна для людей, так как числа, записанные в ней, получаются очень большими по размеру. Представьте, десятичное число 10000000 в двоичной системе выглядит как 100110001001011010000000, не очень удобно, согласитесь?

Поэтому была введена восьмеричная система счисления. Восьмеричная система отличается от десятичной тем, что двоичные числа очень удобно приводить к основанию 8, а восьмеричные – к основанию 2. С десятичной всё немного сложнее. Для перевода используется таблица триад (в правом нижнем углу сайта есть кнопочка, можете посмотреть, а почитать про правила перевода можно здесь).

Шестнадцатеричная система счисления

Помните, что один разряд двоичной системы – это один бит? А два разряда шестнадцатеричной системы – это один байт. В современных компьютерах информация кодируется в байтах, поэтому во многих случаях удобно использовать шестнадцатеричную систему.
В шестнадцатеричной системе шестнадцать разрядов: цифры от 0 до 9, и буквы от A до F (где буквы от A до F – десятичные числа от 10 до 15 соответственно).

Шестнадцатеричную систему используют в низкоуровневом программировании, в компьютерном дизайне широко используются шестнадцатеричные коды цвета, в некоторых кодировках символы кодируются именно с помощью шестнадцатеричной системы… В общем, штука полезная:).

Одно из заданий ЕГЭ предыдущих лет было как раз на знание шестнадцатеричных цветовых кодов.

Решение: Данный код является кодом цвета в палитре RGB, то есть первые два разряда – Red, вторые два разряда – Green, третьи два разряда – Blue:

Получается, что красного цвета - 0, синего цвета – 0, а зелёного – FF, то есть 255 в десятичной системе счисления (максимальное двузначное шестнадцатеричное число). То есть это код чистого зелёного цвета.

Подобные коды вы можете встретить, к примеру, в палитре цветов Adobe Photoshop, или при разработке внешнего вида сайта, когда для различных элементов дизайна необходимо указать код цвета.

Люди постоянно используют числа – абстрактное понятие, применяемое для качественной характеристики и измерения окружающего мира. Одним народам достаточно нескольких цифр: один, два и много, другие разработали десяток способов представления чисел. И первым, и вторым для решения поставленных задач этого достаточно. Кратко рассмотрим виды и историю развития систем счисления (СС). Разберёмся с их классификацией.

История систем счисления

Натуральные числа были с людьми всегда. Для подсчёта небольшого количества объектов вязались узлы, использовались камешки – так появились счёты, загибались пальцы. Последние и стали основой десятичной СС.

С появлением необходимости проводить измерения расстояний и габаритов объектов придумали дробные числа. Для измерения времени создали древние системы счисления, привязанные к астрономическим событиям: вращение Земли вокруг Солнца, своей оси, движение Луны, затем полученные величины разбили на более мелкие – часы, минуты. У большинства народов были собственные СС. Римляне обозначали количество буквами алфавита, арабы – современными цифрами.

Греки обозначали цифры буквами алфавита, на которые начинались их названия.

Японцы и китайцы считали палочками.

Самая древняя система записи чисел

Жители Руси цифр не знали, их заменяли буквицами с соответствующим значением. Числа обозначали особым символом – титло – горизонтальная волнистая линия. Например, буквице A – соответствовала единица, В – 2, Г – 3. За десятки отвечали отдельные буквицы: I – 10, K – 20, K – 30 и т. д., как и за сотни: С – 200, Х – 600.

526 записывается как.

Вавилоняне применяли СС с цифрой 60 в основании. Благодаря ей наш час насчитывает 60 минут, минута – 60 секунд. Такая СС отличалась сложной методикой обозначения разрядов.

Вавилонская и древнерусская считаются наиболее древними из известных систем счисления.

Для проведения вычислений электроникой разработали новые СС. Они сложные и непонятные для человека, но эффективны для машины.

Определение и виды систем счисления

Возможность записать все числа в нужном диапазоне.
Естественность представления – любой из комбинаций соответствует только одно значение.
Обеспечение простоты восприятия и выполнения операций над числами.
Возможность точного (без или с минимальными погрешностями) перевода значений в другие СС.

Различают два типа систем счисления: позиционные, унарные.

Выберите верный вариант: знаки, с помощью которых записываются числа в системе счисления, называются:

Алфавитом.
Основанием.
Числовым рядом.

Позиционная система счисления: что это

Позиционная СЧ – наиболее распространённый тип записи чисел, где положение цифры влияет на величину числа, а окружающие её значения – нет. Каждый символ обозначает единицу соответствующего разряда. Десятичная СС, например, является позиционной. Если цифра пять стоит последней, обозначает единицы, второй – десятки, четвёртой – тысячи. Символ один, а значения разные.

Плюсы позиционных систем счисления:

Простота запоминания и изображения чисел.
Удобство совершения математических и логических операций.
Миниатюрная запись огромных значений.

К позиционным системам счисления в информатике относятся двоичная, шестнадцатеричная, четвертичная, а также десятеричная. Основная СЧ, используемая в вычислительной технике, двоичная. Она:

Обладает минимальными таблицами умножения, сложения.
Представит любое число посредством двух состояний: единица и ноль.
Помехоустойчивая по причине всего пары состояний.
Проста в выполнении арифметических операций.

Также в цифровой технике применяется шестнадцатеричная СС. Её алфавит состоит из чисел от 0 до 9 и первых шести букв латинского алфавита: A – D.

Унарная система счисления: что это

Непозиционная система счисления — это практически не применяемая в информатике СС. В ней значение числа определяется как функция от величин стоящих рядом символов, исходя из правил. Яркий пример унарной системы счисления – римская, которая применяется разве для обозначения столетий. Она основана на десятке букв латинского алфавита, основная из которых – I (английская) – единица.

Правила записи чисел римлянами:

Меньшая цифра добавляется до большей, если идёт после неё.
Если меньшая предшествует старшей – отнимается.
Две меньших цифры рядом, если следуют перед большей, не ставятся.
D, V, L используют в числе лишь раз.
I, X. C, M – применяются до трёх раз.

В цифровой технике унарные СС не применяются по названным причинам.

Тесты

Где порядок символов не влияет на величину числа.
От очередности знаков зависит значение числа.
Где числа записывают буквами.

Совокупность знаков, с помощью которых записываются числа, называют:

Читайте также: