Система неравенств в начальной школе
Обновлено: 07.07.2024
Статья раскрывает тему неравенств, разбираются определения систем и их решения. Будут рассмотрены часто встречающиеся примеры решения систем уравнений в школе на алгебре.
Определение системы неравенств
Системы неравенств определяют по определениям систем уравнений, значит, что особое внимание уделяется записям и смыслу самого уравнения.
Системой неравенств называют запись уравнений, объединенных фигурной скобкой с множеством решений одновременно для всех неравенств, входящих в систему.
Ниже приведены примеры неравенств. Даны два неравенства 2 · x − 3 > 0 и 5 − x ≥ 4 · x − 11 . Необходимо записать одно уравнение под другим, после чего объединим при помощи фигурной скобки:
2 · x - 3 > 0 , 5 - x ≥ 4 · x - 11
Таким же образом определение систем неравенств представлены в школьных учебниках как для использования одной переменной, так и двух.
Основные виды системы неравенств
Имеет место составление бесконечного множества систем неравенств. Их классифицируют по группам, отличающихся по определенным признакам. Неравенства подразделяют по критериям:
- количество неравенств системы;
- количество переменных записи;
- вид неравенств.
Количество входящих неравенств может насчитывать от двух и более. В предыдущем пункте рассматривался пример решения системы с двумя неравенствами.
2 · x - 3 > 0 , 5 - x ≥ 4 · x - 11
Рассмотрим решение системы с четырьмя неравенствами.
x ≥ - 2 , y ≤ 5 , x + y + z ≥ 3 , z ≤ 1 - x 2 - 4 · y 2
Решение неравенства отдельно не говорит о решение системы в целом. Для решения системы необходимо задействовать все имеющиеся неравенства.
Такие системы неравенств могут иметь одну, две, три и более переменных. В последней изображенной системе это отчетливо видно, там имеем три переменные: x , y , z . Уравнения могут содержать по одной переменной, как в примере, либо по несколько. Исходя из примеров, неравенство x + 0 · y + 0 · z ≥ − 2 и 0 · x + y + 0 · z ≤ 5 не считают равнозначными. Школьным программам уделяют внимание решению неравенств с одной переменной.
При записи системы могут быть задействованы уравнения разных видов и с разным количеством переменных. Чаще всего встречаются целые неравенства разных степеней. При подготовке к экзаменам могут встретиться системы с иррациональными, логарифмическими, показательными уравнениями вида:
544 - 4 - x 32 - 2 - x ≥ 17 , log x 2 16 x + 20 16 ≤ 1
Такая система включает в себя показательное и логарифмическое уравнение.
Решение системы неравенств
Решение системы неравенств с одной переменной – это значение переменной, которое обращает каждое неравенство заданной системы в верное числовое неравенство, то есть будет являться решением каждого имеющегося неравенства.
Рассмотрим пример решения систем уравнений с одной переменной.
x > 7 , 2 - 3 · x ≤ 0
Если значение х = 8 , то решение системы очевидно, так как выполняется 8 > 7 и 2 − 3 · 8 ≤ 0 . При х = 1 система не решится, так как первое числовое неравенство во время подстановки имеет 1 > 7 . Таким же образом решается система с двумя и более переменными.
Решение системы неравенств с двумя и более переменными называют значения, которые являются решением всех неравенств при обращении каждого в верное числовое неравенство.
Если х = 1 и у = 2 будет решением неравенства x + y 7 x - y 0 , потому как выражения 1 + 2 7 и 1 − 2 0 верны. Если подставить числовую пару ( 3 , 5 , 3 ) , тогда система не даст значения переменных и неравенство будет неверным 3 , 5 − 3 0 .
Данные определения систем неравенств и решения рассматриваются как пересечения множеств решений всех неравенств системы. Особое внимание стоит уделить разделу, посвященному равносильным неравенствам.
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.
в школьном курсе математики ………. ………….…………………..5
1.1. Изучение неравенств и систем неравенств в школьном курсе математики…….……………………………………………. 5
Анализ комплектов школьных учебников……. ……….17
(с использованием интерактивной доски)…………………. …32
2.3. Примеры решения задач ЕГЭ по теме «Неравенства
Список использованной литературы ………………………………44
Учебный материал, связанный с неравенствами, составляет значительную часть школьного курса математики, а его изучение в современной методике обучения математике организовано в отдельную содержательно-методическую линию.
Логическим продолжением развития содержательно-методической линии вслед за уравнениями являются неравенства, а также системы уравнений и неравенств. Отметим, что умение школьников решать уравнения и неравенства является обязательным компонентом при проведении итоговой аттестации учащихся.
Данная тема очень актуальна при работе с одаренными детьми. Так как задания с неравенствами часто встречаются в олимпиадах и в заданиях части С ЕГЭ. На сегодня наиболее распространенными формами работы с одаренными детьми являются факультативы, кружки, олимпиады и т. д. Актуально на спецкурсах и элективных курсах рассмотреть изучение неравенств и систем неравенств более подробно.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
Проследить развитие содержательной линии неравенств и систем неравенств в школьном курсе;
Объектом исследования является процесс обучения решению неравенств и систем неравенств в школьном курсе математики.
Предметом исследования являются методические особенности решения неравенств и систем неравенств в школьном курсе математики.
Методы исследования:
1) изучение научной, методической, педагогической литературы по теме исследования;
2) анализ ФГОС, программ по математике, школьных учебников;
Структура исследования: работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы.
1.1. Изучение неравенств и систем неравенств в школьном курсе математики
Основная задача обучения математике в школе – обеспечить прочное и сознательное овладение учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования.
Можно выделить три основных направления развертывания линии уравнений и неравенств в школьном курсе математики.
1. Прикладная направленность линии уравнений и неравенств раскрывается при изучении алгебраического метода решения текстовых задач. Этот метод широко применяется в школьной математике, так каку он связан с изучением приемов, используемых в приложениях математики.
Одно из важных положений в приложениях математики занимает математическое моделирование. Используя это понятие, можно сказать, что прикладное значение уравнений, неравенств и их систем определяется тем, что они являются основной частью математических средств, используемых в математическом моделировании.
2. Теоретико-математическая направленность линии уравнений и неравенств имеет два аспекта: первый - изучение наиболее важных классов уравнений, неравенств и их систем , второй - изучение обобщенных понятий и методов, относящихся к линии в целом. Оба эти аспекта важны в школьном курсе математики. Основные классы уравнений и неравенств связаны с простейшими и одновременно наиболее важными математическими моделями. Использование обобщенных понятий и методов позволяет логически упорядочить изучение линии в целом, поскольку они описывают то общее, что имеется в процедурах и приемах решения, относящихся к отдельным классам уравнений, неравенств, систем. В свою очередь, эти общие понятия и методы опираются на основные логические понятия: неизвестное, равенство, равносильность, логическое следование, которые также должны быть раскрыты в линии уравнений и неравенств.
3) Для линии уравнений и неравенств характерна направленность на установление связей с остальным содержанием курса математики. Эта линия тесно связана с числовой линией. Основная идея, реализуемая в процессе установления взаимосвязи этих линий, - это идея последовательного расширения числовой системы. Все числовые области, за исключением области всех действительных чисел, возникают в связи с решением каких-либо уравнений, неравенств, систем. Например, числовые промежутки выделяются неравенствами или системами неравенств. Связь линии уравнений и неравенств с числовой линией двусторонняя. Обратное влияние проявляется в том, что каждая вновь введенная числовая область расширяет возможности составления и решения различных уравнений и неравенств.
Линия уравнений и неравенств тесно связана также и с функциональной линией. Одна из важнейших таких связей приложения методов, разрабатываемых в линии уравнений и неравенств, к исследованию функции (например, к заданиям на нахождение области определения некоторых функций, их корней, промежутков знакопостоянства и т.д.). С другой стороны, функциональная линия оказывает существенное влияние как на содержание линии уравнений и неравенств, так и на стиль ее изучения. В частности, функциональные представления служат основой привлечения графической наглядности к решению и исследованию уравнений, неравенств и их систем.
Можно выделить три типа преобразований неравенств и их систем в школьном курсе маткматики:
1) Преобразование одной из частей неравенства.
2) Согласованное преобразование обеих частей неравенства.
3) Преобразование логической структуры.
Преобразования первого типа используются при упрощении выражения, входящего в запись неравенства. Преобразование одной из частей неравенства используют раньше других преобразований, это происходит еще в начальном курсе математики. Прочность владения навыком преобразований этого типа имеет большое значение для успешности изучения других видов преобразований, поскольку они применяются очень часто.
Преобразования второго типа заключаются в согласованном изменении обеих частей неравенства в результате применения к ним арифметических действий или элементарных функций. Преобразования второго типа сравнительно многочисленны. Они являются ядром материала, изучаемого в линии неравенств.
Приведем примеры преобразований этого типа.
1. Прибавление к обеим частям неравенства одного и того же выражения.
2. Умножение (деление) обеих частей неравенства на выражение, принимающее только положительные значения.
Умножение (деление) обеих частей неравенства на выражение, принимающее только отрицательные значения и изменение знака неравенства на противоположный.
3. Переход от неравенства a>b к неравенству f(a) >f(b), где f-возрастающая функция, или обратный переход.
Переход от неравенства а
Среди преобразований второго типа преобразования неравенств образуют сложную в изучении, обширную систему. Этим в значительной степени объясняется то, что навыки решения неравенств формируются медленнее навыков решения уравнений и не достигают у большинства учащихся такого же уровня.
К третьему типу преобразований относятся преобразования неравенств и их систем, изменяющие логическую структуру заданий. То есть, в каждом задании можно выделить элементарные предикаты - отдельные уравнения или неравенства.
Изучение и применение преобразований оказывают большое влияние на формирование логической культуры учащихся.
В итоге изучения неравенств и их систем, учащиеся должны не только овладеть применением алгоритмических предписаний к решению конкретных заданий, но и научиться использовать логические средства для обоснования решений в случаях, когда это необходимо.
При изучении материала линии неравенств необходимо учитывать два противоположно направленных процесса, сопровождающих обучение. Первый процесс - постепенное возрастание количества классов неравенств и приемов их решения, различных преобразований, применяемых в решении. За счет увеличения объема материал как бы дробится, изучение его новых фрагментов затрудняется наличием уже изученных. Второй процесс - установление разнообразных связей между различными классами неравенств, выявление более общих классов, закрепление обобщенных типов преобразований, упрощение описания и обоснования решений.
Можно выделить четыре основные ступени распределения материала по изучению неравенств и их систем: независимое изучение основных типов неравенств и их систем; постепенное расширение количества изученных классов неравенств и их систем; формирование приемов решения и анализа неравенств и их систем, имеющих широкую область применимости; синтез материала линии уравнений и неравенств.
К основным типам неравенств и систем неравенств, изучаемых в школьном курсе математики, относятся: линейные неравенства с одним неизвестным, квадратные неравенства, простейшие иррациональные и трансцендентные неравенства.
Введение нового основного класса неравенств сопровождается введением новой области числовых выражений, которые входят в стандартную форму записи ответа. Когда материал усвоен, следует предлагать задания, в которых могут возникать нестандартные ответы для данного класса неравенств.
Заметную роль при изучении неравенств играют универсальные средства решения и исследования. Их можно разделить на три группы.
Первая группа включает в себя логические методы обоснования решения. Он заключается в переходе от исходных неравенств к новым. Такие переходы производятся до тех пор, пока не получаются задания, относящиеся к известным классам.
Вторая группа состоит из вычислительных приемов, с помощью которых производятся упрощения одной из частей данного неравенства, проверка найденных корней при помощи подстановки вместо неизвестного, различные промежуточные подсчеты и т.д.
Третья группа - это наглядно-графические приемы. В качестве основы, большинство этих приёмов, используют координатную прямую или координатную плоскость.
Координатная прямая позволяет решать некоторые неравенства и системы неравенств с одним неизвестным, а также неравенства с модулями. Например, прием решения систем линейных неравенств с одним неизвестным состоит в том, что на координатную прямую наносятся множества решений каждого неравенства, а потом выделяется их общая часть.
Использование координатной плоскости позволяет применить графические методы к решению и исследованию неравенств и их систем с одним, а также с двумя неизвестными. Графические приемы эффективно применяются для изображения результатов исследования там, где аналитическая запись громоздка. Характерным примером служит схема, на которой приведены различные случаи решения неравенства ax²+bx+c>0, помещенная на рис.1. В результате определенной тренировки учащиеся привыкают пользоваться такой схемой, а затем ее мысленным образом.
Основные классы неравенств и их систем можно разбить на две группы. Первая группа алгебраические неравенства и системы. Вторая группа - трансцендентные неравенства и системы. В состав этой группы входят показательные, логарифмические и тригонометрические неравенства.
Первая группа получает достаточное развертывание, вплоть до формирования прочных навыков решения, уже в курсе алгебры неполной средней школы. Вторая же группа в этом курсе только начинает изучаться, причем рассматриваются далеко не все классы, а окончательное изучение происходит в курсе алгебры и начал анализа. При изучении второй группы приходится опираться на общие понятия и методы, относящиеся к линии неравенств. Указанное различие, однако, не является единственным, которое противопоставляет эти две группы. Более существенным является учет особенностей, связанных с развертыванием материала каждой из этих групп. По сравнению с первой группой неравенства, входящие в состав второй, в процессе их изучения обнаруживают значительно более сложные связи с другими линиями курса математики - числовой, функциональной, тождественных преобразований и др.
Последовательность изучения различных классов неравенств и систем различна в разных учебниках. Однако количество возможных вариантов для последовательности их введения не слишком велико - классы находятся в определенной логической зависимости друг от друга, которая предписывает порядок их появления в курсе.
Наличие такого разнообразия подходов затрудняет методическое описание, поскольку принятие того или иного пути требует различных приемов изучения материала.
Отметим ряд особенностей в изучении неравенств:
1) Как правило, навыки решения неравенств, за исключением квадратных, формируются на более низком уровне, чем уравнений соответствующих классов. Эта особенность имеет объективную природу: теория неравенств сложнее теории уравнений. Отмеченное обстоятельство отчасти смягчается другими особенностями изучения неравенств, поэтому в целом можно считать, что содержательная сторона неравенств в школьном курсе от этого не страдают.
2) Большинство приемов решения неравенств состоит в переходе от данного неравенства a>b к уравнению а=b и последующем переходе от найденных корней уравнения к множеству решений исходного неравенства. Пожалуй, такого перехода не производится лишь при рассмотрении линейных неравенств, где в нем нет необходимости из-за простоты процесса решения таких неравенств. Эту особенность необходимо постоянно подчеркивать, для того, чтобы переход к уравнениям и обратный переход превратились в основной метод решения неравенств; в старших классах он представлен в виде "метода интервалов".
3) В изучении неравенств большую роль играют наглядно-графические средства.
Указанные особенности могут быть использованы для обоснования расположения материала, относящегося к неравенствам, количества заданий, необходимых для усвоения программного минимума.
Перечисленные особенности показывают, что изучение предшествующего материала сильно влияет на изучение неравенств. Поэтому роль этапа синтеза в изучении неравенств особенно возрастает.
Потренируйтесь в решении неравенств, тогда с системами неравенств у вас не возникнет трудностей.
Важно!
Системой неравенств называют два или более неравенства, которые объединены фигурной скобкой.
Рассмотрим пример системы неравенств.
Как видно на примере выше, систему неравенств легко определить по фигурной скобке.
Как решить систему неравенств
Запомните!
Чтобы решить систему неравенств нужно:
- решить отдельно каждое неравенство;
- сравнить полученные решения каждого неравенства и получить общий ответ системы.
Вернемся к нашему примеру системы неравенств.
Так как оба неравенства в системе уже решены и представляют собою готовый ответ, то сразу переходим к поиску общего решения всей системы.
Для этого проведем две числовые оси (для каждого из неравенств свою). На осях заштрихуем результат решения неравенств.
Важно!
Числовые оси с решениями нужно располагать друг под другом.
После того как мы построили числовые оси с решениями неравенств, необходимо провести через отмеченные на осях числа перпендикулярные прямые.
Запомните!
При проведении прямых через точки на осях соблюдают следующие правила:
Проведем прямые через числовые точки на осях.
Для определения ответа найдем те области решения, которые удовлетворяют ответам обоим неравенствам. Другими словами, те области, где в обоих случаях области решений заштрихованы.
Рассмотрим другой пример системы неравенств.
Когда область решений находится между двумя числами, принято записывать ответ с помощью двойного неравенства .
Запомните!
Запись двойного неравенства используют, когда интервал решения системы неравенств лежит между числами.
Числа записываются в том же порядке, что они расположены на оси.
Другие примеры решения систем неравенств
В отличии от примеров выше, как правило, в системах неравенств перед поиском общего решения всей системы необходимо предварительно решить каждое из неравенств.
Рассмотрим и решим систему, где неравенства требуют предварительного решения.
При решении систем неравенств, в которых есть неравенства, содержащие пропорцию, используем правило пропорции.
Цель. Сформировать у первоклассников умение записывать числовые неравенства.
Задачи:
Тема. Неравенства (1 урок).
Цель. Сформировать у первоклассников умение записывать числовые неравенства.
развивать умения сравнивать, анализировать, сопоставлять, логически мыслить;
воспитывать коммуникативные навыки, духовно – нравственные традиции русского народа.
Организационный момент. Эмоциональный настрой. 1мин.
Вот звонок нам дал сигнал:
Поработать час настал.
Так что время не теряем,
И работать начинаем.
– Поздоровались с гостями и улыбнулись друг другу, садитесь!
Актуализация опорных знаний. 10 мин.
- Ребята, отгадайте загадку
“Ростом разные подружки,
Но похожи друг на дружку,
Все они сидят друг в дружке,
А всего одна игрушка”.
( Матрёшка). 2 слайд
- Сегодня мы проведём урок с этой знаменитой куклой. А, что вы знаете об этой кукле?
Наша русская матрёшка
Не стареет сотню лет.
В красоте, в таланте русском
Весь находится секрет.
- Какие же секреты нам предстоит узнать? Вы готовы? (Да)
1 матрёшка. Назови, где цифры 1,2,3… 3 слайд
- Назови соседей числа 2
- Какое число стоит между 5 и 7?
- Продолжи счёт от 4 до 8
2 матрёшка. Минутка чистописания.
- Почему именно эту цифру выбрала матрёшка? (Она похожа на неё) 4 слайд
3 матрёшка. Назови линии. 5 слайд
4 матрёшка. Очень милые сестрички, только есть у нас отличья
Вы внимательно смотрите на две группы нас делите (наглядный материал).
Постановка проблемы и темы урока. 2 мин.
- Посмотрите – ка на них, опять у них сюрприз.
Появляется слово неравенство. Оно вам знакомо? (Нет)
Крючки, значки. Мы раньше с ними встречались? (Нет)
- У вас не возник ко мне вопрос?
- Нам впервые встречается слово неравенство, поэтому это и будет проблема нашего урока.
- Мы будем учиться составлять неравенства и сравнивать их (дают ответы дети).
Физкультурная минутка. 2 мин.
А теперь все на зарядку!
Сколько раз ногою топнем 2
Сколько раз руками хлопнем 4
Мы присядем сколько раз 3
Мы наклонимся сейчас 2
Мы подпрыгнем ровно столько 5
Ай да счет! Игра и только.
Работа над новым материалом. 15 мин.
Объяснение учителем по наглядности. Письмо математических знаков. 6,7 слайд
Сравнение предметов по размеру, по количеству. 8,9,10,11 слайд (работа учащихся у компьютора)
Физминутка для глаз (музыкальная)
Работа с учебником № 141. 12 слайд
Работа в тетради. Запиши неравенства № 145.
Итог урока. 5мин
- Какую оценку нашему уроку вы поставите? Почему?
-Матрёшка вам ребята дарит свой портрет – жетон и благодарит вас за урок.
- Вопрос в семью: какую роспись используют для росписи изделий из дерева.
Читайте также: